22.3实际问题与二次函数 第3讲二次函数与实际问题讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第3讲 二次函数的实际问题 知识点1二次函数的实际问题之利润问题 1.利润、售价、进价之间的关系： 利润=售价-进价。 2.总利润、单价利润、数量之间的关系： 总利润=单件利润×数量。 【典例】 【题干】某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A. y=（x﹣40）（500﹣10x） B. y=（x﹣40）（10x﹣500） C. y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D. y=（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）] 【答案】C. 【解析】解：设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元， 则y与x的函数关系式为：y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]． 故选：C． 2.某公司销售一种新型节能电子小产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售：①若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=﹣x+150，成本为20元/件，月利润为W内（元）；②若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，月利润为W外（元）． （1）若只在国内销售，当x=1000（件）时，y=　　（元/件）； （2）分别求出W内、W外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）； （3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值． 【解析】解：（1）当x=1000时，y=﹣×1000+150=140， 故答案为：140． （2）W内=（y﹣20）x=（﹣x+150﹣20）x=﹣x2+130x． W外=（150﹣a）x﹣x2=﹣x2+（150﹣a）x． （3）由题意得（750﹣5a）2=422500． 解得a=280或a=20． 经检验，a=280不合题意，舍去， ∴a=20． 【方法总结】 解这类题方法是： （1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式； （2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式,把二次函数化成顶点式来求题目中的最大值。 【随堂练习】 1．某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润是多少？ 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）， 由题意得：， 解得：k=﹣2，b=160， 所以y与x之间的函数关系式是y=﹣2x+160（40≤x≤80）； （2）由题意得，w与x的函数关系式为： w=（x﹣40）（﹣2x+160）=﹣2x2+240x﹣6400=﹣2（x﹣60）2+800， 当x=60元时，w最大利润是800元， 所以当销售单价x为60元时，日销售利润w最大，最大日销售利润是800元． 　 2．某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）由题意可知y=2x+40； （2）根据题意可得：w=（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40）， =﹣2x2+80x+2400， =﹣2（x﹣20）2+3200， ∵a=﹣2＜0， ∴函数有最大值， ∴当x=20时，w有最大值为3200元， ∴第20天的利润最大，最大利润是3200元． 知识点2：二次函数的实际问题之轨迹问题 1.建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中。 2.从已知和图象中获得求二次函数图象所需条件。 3.利用待定系数法求二次函数的解析式。 4.运用已求二次函数的解析式解决问题。 【典例】 1.某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是________ 【答案】3米 【解析】解：顶点为，设，将点代入， 令，得：，所以OB=3 2.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【解析】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0）， 将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0， 解得：a=﹣， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）． （2）当y=1.8时，有﹣（x﹣3）2+5=1.8， 解得：x1=﹣1，x2=7， ∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． （3）当x=0时，y=﹣（x﹣3）2+5=． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+， ∵该函数图象过点（16，0）， ∴0=﹣×162+16b+，解得：b=3， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【方法总结】 1.一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当 时，二次函数有最小（大）值 2.利用函数的观点来认识现实生活中的模型，可以用二次函数的最值来解决实际问题。 【随堂练习】 1．在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图），若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）该男生把铅球推出去多远？ 【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k， 由于顶点坐标为（6，5）， ∴y=a（x﹣6）2+5． 又A（0，2）在抛物线上， ∴2=62•a+5， 解得：a=﹣． ∴二次函数的解析式为y=﹣（x﹣6）2+5， 整理得：y=﹣x2+x+2． （2）当y=0时，﹣x2+x+2=0． x=6+2，x=6﹣2（不合题意，舍去）． ∴x=6+2≈13.75（米）． 答：该同学把铅球抛出13.75米． 　 2．小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P．已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=﹣x2+x+c． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度； （3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB． 【解答】解：（1）∵OP=1， ∴当x=0时，y=1，代入y=x2+x+c， 解得：c=1， ∴y与x的函数表达式为y=﹣x2+x+1； （2）y=﹣x2+x+1， =x2﹣8x）+1， =（x﹣4）2+3， 当x=4时，y有最大值3， 故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m； （3）令y=2.5，则有﹣（x﹣4）2+3=2.5， 解得x1=2，x2=6， 根据题意可知x1=2不合题意，应舍去故小亮离小明的最短距离为6m． 知识点3二次函数的实际问题之面积问题 1.二次函数的应用中动点产生的图形面积问题； 2. 二次函数的最值： 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值； 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定； 【典例】 1.拟建中的一个温室的平面图如图所示，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x（cm），种植面积为y（m2）．则y与x的函数关系式为　 　，当x=　 　时，种植面积最大=　 　m2． 【答案】y=﹣x2+58x﹣112，729m2 【解析】解：设一边长是xcm，则种植部分的长是x﹣1﹣1=x﹣2，宽是60﹣x﹣1﹣3=56﹣x，则面积y=﹣x2+58x﹣112． 函数的顶点坐标是（29，729），则当x=29时，种植面积最大=729m2． 2.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动． （1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？ （2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t为何值时s最小，最小值时多少？ 【解析】（1）根据t秒时，P、Q两点的运动路程，分别表示PB、BQ的长度，可得△BPQ的面积，用S=S矩形ABCD-S△PBQ求面积即可； （2）将（1）中所求函数式配方，可得函数的最小值． （1）第t秒钟时，AP=t cm，故PB=（6-t）cm，BQ=2t cm 故S△PBQ=•（6-t）•2t=-t2+6t ∵S矩形ABCD=6×12=72． ∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72（0＜t＜6）； （2）∵S=t2-6t+72=（t-3）2+63， ∴当t=3秒时，S有最小值63cm2． 3.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围． 【解析】解：（1）S=BC×AB=（24﹣3x）x=﹣3x2+24x 由题意得： 0＜x＜8 （2）∵24﹣3x≤9 ∴x≥5 结合（1）得，5≤x＜8． 4.如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【解析】解：由题意得： y=（80﹣x）（60﹣x）， =x2﹣140x+4800（0＜x＜60）． 所以函数关系式为： y=x2﹣140x+4800（0＜x＜60）． 【方法总结】 根据图形的形状列出函数的解析式，再确定自变量的取值范围，根据二次函数的顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）； 【随堂练习】 1．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【解答】解：（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45， 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10， 答：AD的长为10m； （2）设AD=xm， ∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2， 综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 　 知识点4二次函数的实际问题之拱桥问题 喷出的水柱，投篮时篮球的运动路线，桥拱等，这些图形有什么共同特点？ 1.从题目本身的哪些条件，你能联想到用二次函数解决问题？（形状） 2.求水面宽度增加多少，就是求解什么数学问题？（线段长的关系） 在明确上述两个问题后，让学生尝试着建立平面直角坐标系，并求出这条抛物线表示的函数关系式。 【典例】 1.如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_____m. 　　　 【答案】48 【解析】以C为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得B（18，－9）， 设抛物线方程为：，将B点坐标代入，得a＝－， 所以，抛物线方程为：， E点纵坐标为y＝－16，代入抛物线方程，－16＝，解得：x＝24，所以，DE的长为48m。 2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=﹣x2+4表示． （1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？ （3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？ 【解析】解：（1）把y=4﹣2=2代入y=﹣x2+4，得： 2=﹣x2+4， 解得x=±2， ∴此时可通过物体的宽度为2﹣（﹣2）=4＞2， ∴能通过； （2）∵一辆货运卡车高4m，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m， ∴货车上面有2m，在矩形上面，当y=2时， 2=﹣x2+4， 解得x=±2， ∵2＞2， ∴能通过． （3）当x=2时，y=3，所以隧道应限高3+2=5米比较适宜． 【方法总结】 解题基本步骤： （1）建立平面直角坐标系，把图象放到平面直角坐标系中函数图象的解析式； （2）函数图象的解析式； （3）确定自变量的取值范围； （4）根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）； 【随堂练习】 1．一座钢索桥的轮廓是抛物线型，如图所示，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离约5m． （1）以地面BC所在的直线为x轴，以BC的垂直平分线OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）求柱EF的长度； （3）拱桥下地平面是单向行车道，能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由； （4）拱桥下方要悬挂宽为1米的电子警示牌，要求警示牌下底距地面不能少于4.4m，则电子警示牌最长为多长？ 【解答】解：（1）根据题目条件B、C、A的坐标分别是（﹣10，0），（10，0），（0，6）， 设抛物线的解析式为y=ax2+c， 将A、C的坐标代入y=ax2+c， 得， 解得． 所以抛物线的表达式y=﹣x2+6． （2）可设F（5，yF），于是 yF=﹣×52+6=4.5， 从而支柱EF的长度是10﹣4.5=5.5米． （3）根据题意，当x=×2+2=3时，y=﹣×32+6=5.46＞3， 所以可以并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车； （4）根据题意，当y=1+4.4=5.4时，﹣x2+6=5.4， 解得：x=±， 则电子警示牌最长为2米． 　 2．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为 2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）一辆货车高4m，宽4m，能否从该隧道内通过，为什么？ 【解答】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k， ∵顶点（4，6）， ∴y=a（x﹣4）2+6， ∵它过点（0，2）， ∴a（0﹣4）2+6=2，解得a=﹣， ∴设抛物线的解析式为； （2）当x=2时，y=5＞4， ∴该货车能通过隧道． 综合运用：二次函数的实际应用 1.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为： y1= 若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为 （1）用x的代数式表示t为：t=　 　；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2=　 　；当　 　＜x＜　 　时，y2=100； （2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围； （3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？ 【解析】（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x； 根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系及t=6﹣x即可求出y2与x的函数关系：当0＜x≤4时，y2=5x+80；当4≤x＜6时，y2=100； （2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6； （3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可． 解：（1）由题意，得x+t=6， ∴t=6﹣x； ∵ ∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6， 此时y2与x的函数关系为：y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80； 当4≤x＜6时，0≤6﹣x＜2，即0≤t＜2， 此时y2=100． 故答案为6﹣x；5x+80；4，6； （2）分三种情况： ①当0＜x≤2时， ②当2＜x≤4时， ③当4＜x＜6时， 综上可知， （3）当0＜x≤2时，，此时x=2时，w最大=600； 当2＜x≤4时，，此时x=4时，w最大=640； 当4＜x＜6时，，4＜x＜6时，w＜640； ∴x=4时，w最大=640． 故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元． 2.在等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，，动点P从点C出发沿C求D方向向终点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。 （1）求AD的长； （2）设CP=，问当为何值时，的面积达到最大？求出最大值。 【解析】 解：（1）过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4， 是等边三角形 （2）为PD边上的高，则 根据题意得： 由题意可知，，当时（满足），。 3.一经销商按市场价收购某种海鲜1000斤放养在池塘内（假设放养期内每个海鲜的重量基本保持不变），当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出． （1）用含x的代数式填空： ①x天后每斤海鲜的市场价为　 　元； ②x天后死去的海鲜共有　 　斤；死去的海鲜的销售总额为　 　元； ③x天后活着的海鲜还有　 　斤； （2）如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为y1，写出y1关于x的函数关系式； （3）若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x的函数关系式． 【解析】解：（1）由题意可得：①x天后每斤海鲜的市场价为：（30+x）元； ②x天后死去的海鲜共有：10x斤；死去的海鲜的销售总额为：200x元； ③x天后活着的海鲜还有：（1000﹣10x）斤； 故答案为：30+x；10x；200x；1000﹣10x； （2）根据题意可得：y1=（1000﹣10x）（30+x）+200x=﹣10x2+900x+30000； （3）根据题意可得： y2=y1﹣30000﹣400x=﹣10x2+500x． 4.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度． 【解析】解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4， 设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0）， 则据题意得：， 解得：， ∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣x2+x+1， ∵y=﹣（x﹣4）2+， ∴飞行的最高高度为：米． 5.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据： （1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？ （2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？ （3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k． ①用含a的代数式表示k； ②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线恰好擦网扣杀到点A，求a的值． 【解析】解：（1）由表格中数据可知，当t=0.4秒时，乒乓球达到最大高度． （2）以点A为原点，桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立直角坐标系． 由表格中数据可判断，y是x的二次函数，且顶点为（1，0.45）， 所以可设y=m（x﹣1）2+0.45， 将（0，0.25）代入，得：0.25=m（0﹣1）2+0.45， 解得：m=﹣0.2， ∴y=﹣0.2（x﹣1）2+0.45． 当y=0时，﹣0.2（x﹣1）2+0.45=0， 解得：x=2.5或x=﹣0.5（舍去）． ∴乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米． （3）①由（2）得，乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）． ∴将（2.5，0）代入y=a（x﹣3）2+k，得0=a（2.5﹣3）2+k， 化简整理，得：k=﹣a． ②∵球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米， ∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点， 由题意可得，扣杀路线在直线y=x上， 由①得y=a（x﹣3）2﹣a， 令a（x﹣3）2﹣a=x，整理，得20ax2﹣（120a+2）x+175a=0． 当△=（120a+2）2﹣4×20a×175a=0时，符合题意， 解方程，得a1=，a2=． 当a=时，求得x=﹣，不合题意，舍去； 当a=时，求得x=，符合题意． 答：当a=时，可以将球沿直线扣杀到点A． 6.为进一步缓解城市交通压力，湖州推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y的值表示8：00点时的存量，x=2时的y值表示9：00点时的存量…以此类推，他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系． 根据所给图表信息，解决下列问题： （1）m=　 　，解释m的实际意义：　　； （2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式； （3）已知10：00﹣11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数． 【解析】解：（1）m+7﹣5=15， m=13， 则m的实际意义：7：00时自行车的存量； 故答案为：13，7：00时自行车的存量； （2）由题意得：n=15+8﹣7=16， 设二次函数的关系式为：y=ax2+bx+c， 把（0，13）、（1，15）和（2，16）分别代入得：， 解得：， ∴y=﹣x2+x+13； （3）当x=3时，y=﹣×32+×3+13=16， 当x=4时，y=﹣×42+×4=13=15， 设10：00﹣11：00这个时段的借车数为x，则还车数为2x﹣4， 根据题意得：16+2x﹣4﹣x=15， x=3， 答：10：00﹣11：00这个时段的借车数为3辆． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 二次函数的实际问题 知识点1二次函数的实际问题之利润问题 1.利润、售价、进价之间的关系： 利润=售价-进价。 2.总利润、单价利润、数量之间的关系： 总利润=单件利润×数量。 【典例】 【题干】某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A. y=（x﹣40）（500﹣10x） B. y=（x﹣40）（10x﹣500） C. y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D. y=（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）] 2.某公司销售一种新型节能电子小产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售：①若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=﹣x+150，成本为20元/件，月利润为W内（元）；②若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，月利润为W外（元）． （1）若只在国内销售，当x=1000（件）时，y=　　（元/件）； （2）分别求出W内、W外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）； （3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值． 【方法总结】 解这类题方法是： （1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式； （2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式,把二次函数化成顶点式来求题目中的最大值。 【随堂练习】 1．某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润是多少？ 2．某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？ 知识点2：二次函数的实际问题之轨迹问题 1.建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中。 2.从已知和图象中获得求二次函数图象所需条件。 3.利用待定系数法求二次函数的解析式。 4.运用已求二次函数的解析式解决问题。 【典例】 1.某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是________ 2.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【方法总结】 1.一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当 时，二次函数有最小（大）值 2.利用函数的观点来认识现实生活中的模型，可以用二次函数的最值来解决实际问题。 【随堂练习】 1．在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图），若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）该男生把铅球推出去多远？ 2．小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P．已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=﹣x2+x+c． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度； （3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB． 知识点3二次函数的实际问题之面积问题 1.二次函数的应用中动点产生的图形面积问题； 2. 二次函数的最值： 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值； 当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定； 【典例】 1.拟建中的一个温室的平面图如图所示，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x（cm），种植面积为y（m2）．则y与x的函数关系式为　 　，当x=　 　时，种植面积最大=　 　m2． 2.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动． （1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？ （2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （3）t为何值时s最小，最小值时多少？ 3.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围． 4.如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【方法总结】 根据图形的形状列出函数的解析式，再确定自变量的取值范围，根据二次函数的顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）； 【随堂练习】 1．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 　 知识点4二次函数的实际问题之拱桥问题 喷出的水柱，投篮时篮球的运动路线，桥拱等，这些图形有什么共同特点？ 1.从题目本身的哪些条件，你能联想到用二次函数解决问题？（形状） 2.求水面宽度增加多少，就是求解什么数学问题？（线段长的关系） 在明确上述两个问题后，让学生尝试着建立平面直角坐标系，并求出这条抛物线表示的函数关系式。 【典例】 1.如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_____m. 　　　 2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=﹣x2+4表示． （1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？ （3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？ 【方法总结】 解题基本步骤： （1）建立平面直角坐标系，把图象放到平面直角坐标系中函数图象的解析式； （2）函数图象的解析式； （3）确定自变量的取值范围； （4）根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）； 【随堂练习】 1．一座钢索桥的轮廓是抛物线型，如图所示，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离约5m． （1）以地面BC所在的直线为x轴，以BC的垂直平分线OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）求柱EF的长度； （3）拱桥下地平面是单向行车道，能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由； （4）拱桥下方要悬挂宽为1米的电子警示牌，要求警示牌下底距地面不能少于4.4m，则电子警示牌最长为多长？ 2．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为 2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）一辆货车高4m，宽4m，能否从该隧道内通过，为什么？ 综合运用：二次函数的实际应用 1.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为： y1= 若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为 （1）用x的代数式表示t为：t=　 　；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2=　 　；当　 　＜x＜　 　时，y2=100； （2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围； （3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？ 2.在等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，，动点P从点C出发沿C求D方向向终点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。 （1）求AD的长； （2）设CP=，问当为何值时，的面积达到最大？求出最大值。 3.一经销商按市场价收购某种海鲜1000斤放养在池塘内（假设放养期内每个海鲜的重量基本保持不变），当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出． （1）用含x的代数式填空： ①x天后每斤海鲜的市场价为　 　元； ②x天后死去的海鲜共有　 　斤；死去的海鲜的销售总额为　 　元； ③x天后活着的海鲜还有　 　斤； （2）如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为y1，写出y1关于x的函数关系式； （3）若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x的函数关系式． 4.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度． 5.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据： （1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？ （2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？ （3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k． ①用含a的代数式表示k； ②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线恰好擦网扣杀到点A，求a的值． 6.为进一步缓解城市交通压力，湖州推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y的值表示8：00点时的存量，x=2时的y值表示9：00点时的存量…以此类推，他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系． 根据所给图表信息，解决下列问题： （1）m=　 　，解释m的实际意义：　　； （2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式； （3）已知10：00﹣11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $