精品解析：四川省南充市高坪中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

南充市高坪中学七年级下期中教学质量监测数学试卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．注意：在试题卷上作答无效） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线AB、CD相交于O，OA平分∠EOC，若，那么∠BOD的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各数中，3.14159，，，，，，无理数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，五架轰炸机组成了一个三角形飞行编队，且每架飞机都在边长等于1正方形网格格点上，其中、两架轰炸机对应点的坐标分别为和，那么轰炸机对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 给出下列个命题：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②同旁内角互补；③如果直线，，那么；④如果，那么．其中假命题的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 已知方程组的解满足，则的算术平方根为（ ） A. B. C. ±4 D. ±2 7. 如图，，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A、B、C在同一直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，，下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（　　） A. 108° B. 114° C. 116° D. 120° 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接写在答题卡上对应题中横线上．注意：在试题卷上作答无效） 11. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 12. 的平方根是____． 13. 已知是二元一次方程组的解，则的值是_________． 14. 已知轴，且到轴距离为2，则点的坐标是_________． 15. 如图，三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若三角形ABC的周长为13cm，平移距离为2cm，则四边形ABFD的周长为__________． 16. 直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，作射线OG⊥OE．若∠EOF＝54°，则∠AOG的度数为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．请把答案直接写在答题卡上对应题的空白处．注意：在试题卷上作答无效） 17. （1）计算： （2）解方程 18. 在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）点在过点且与轴平行的直线上； （3）点到两坐标轴的距离相等． 19. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 20. 已知：已知正数m的两个不同平方根分别是和，又的立方根为． （1）求a和正数m及b的值； （2）求的平方根． 21. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． （1）甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ （2）求出原方程组的正确解． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，是三角形的边上的任意一点，三角形经过平移后得到三角形，点的对应点为． （1）直接写出点的坐标． （2）在图中画出三角形． （3）连接，，，求三角形的面积． 23. 【阅读材料】：∵，∴的整数部分为2，的小数部分为． 【解决问题】： （1）填空：的小数部分是_________； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值； （3）已知：是的整数部分，是其小数部分，请直接写出的相反数． 24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 25. 在平面直角坐标系中，有点，且m，n满足． （1）求A、B两点坐标； （2）如图1，直线l⊥x轴，垂足为点．点P为直线l上任意一点，若的面积为，求点P的坐标； （3）如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段AB上任意一点，以O为顶点作，使交于F．点G为线段与线段之间一点，连接，且．当点E在线段上运动时，始终垂直于，试写出与之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市高坪中学七年级下期中教学质量监测数学试卷 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．注意：在试题卷上作答无效） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 2. 如图，直线AB、CD相交于O，OA平分∠EOC，若，那么∠BOD的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得∠AOC=35°，根据对顶角的性质可得∠BOD=∠AOC=35°． 【详解】解∶∵OA平分∠EOC，， ∴∠AOC=∠EOC=35°， ∴∠BOD=∠AOC=35°， 故选：B． 【点睛】此题考查了角平分线的计算，对顶角相等的性质，熟记对顶角相等的性质是解题的关键． 3. 下列各数中，3.14159，，，，，，无理数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据无理数的概念，无限不循环小数为无理数， ∵=-4， ∴，，是无理数，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的概念，解题关键是了解什么特点的数是无理数． 无理数的三种形式： ①开方开不尽的数； ②含有π的数； ③有规律但无限不循环的小数． 4. 如图，五架轰炸机组成了一个三角形飞行编队，且每架飞机都在边长等于1正方形网格格点上，其中、两架轰炸机对应点的坐标分别为和，那么轰炸机对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系进行解答即可． 【详解】因为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），所以建立如图所示的坐标系，可得轰炸机C的坐标为（2，﹣1）． 故选A． 【点睛】本题考查了坐标问题，关键是根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标确定坐标轴的位置． 5. 给出下列个命题：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②同旁内角互补；③如果直线，，那么；④如果，那么．其中假命题的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的位置关系、平行线的性质、垂线的性质及实数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题，不符合题意； ②两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意； ③在同一平面内，如果直线b∥c，a⊥b，那么a⊥c，故错误，是假命题，符合题意； ④如果a≤0，那么|a|=-a，正确，是真命题，不符合题意， 假命题有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直线的位置关系、平行线的性质、垂线的性质及实数的性质，难度不大． 6. 已知方程组的解满足，则的算术平方根为（ ） A. B. C. ±4 D. ±2 【答案】B 【解析】 【分析】方程组中两方程相加表示出，代入中求出k的值，即可得出的算术平方根． 【详解】解： ①+②得：， 解得： ∵ ∴， 解得：， 则的算术平方根为2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次方程，算术平方根，解决问题的关键是熟练掌握用适当方法解二元一次方程组，一元一次方程的一般解法，算术平方根的定义与求一个数的算术平方根． 7. 如图，，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A、B、C在同一直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点C作CM，则，根据平行线的性质可得∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，再根据三角板的特点求解即可． 【详解】解：如图，过点C作CM， ∵， ∴， ∴∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM， ∵∠2＝180°−45°＝135°， ∴∠ACM＝135°， ∴∠ECM＝135°−30°＝105°， ∴∠1＝180°−105°＝75°， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”及作平行线是解题的关键． 8. 某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元可列方程组． 【详解】设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元， 则所列方程组为， 故选D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 9. 如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，，下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质进行计算求解即可． 【详解】解：如图1，过作，则由，可得 ∴，， ∴． 如图2，同理可得．故①有可能， 如图3，同理可得．故②有可能， 其中：当时，，故③有可能， 如图4，同理可得．故④有可能， 如图5，同理可得． 如图6，同理可得． 综上所述，①②③④均有可能． 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，解题时需注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 10. 如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（　　） A. 108° B. 114° C. 116° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】如图，设∠B′FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A′EF，则∠BFC=x−18°，再由第2次折叠得到∠C′FB=∠BFC=x−18°，于是利用平角定义可计算出x=66°，接着根据平行线的性质得∠A′EF=180°−∠B′FE=114°，据此即可求得． 【详解】解：如图，设∠B′FE＝x， ∵纸条沿EF折叠， ∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF， ∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣18°， ∵纸条沿BF折叠， ∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣18°， 而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°， ∴x+x+x﹣18°＝180°， 解得x＝66°， ∵， ∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣66°＝114°， ∴∠AEF＝114°． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后的图形． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接写在答题卡上对应题中横线上．注意：在试题卷上作答无效） 11. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 12. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 13. 已知是二元一次方程组的解，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，得到关于的方程组，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 即：，解得：， ∴； 故答案为：． 14. 已知轴，且到轴距离为2，则点的坐标是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，以及点到轴的距离为纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵到轴距离为2， ∴， ∴， ∴点的坐标是或； 故答案为：或 15. 如图，三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若三角形ABC的周长为13cm，平移距离为2cm，则四边形ABFD的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，，，四边形ABFD的周长为，即可求解． 【详解】解：根据平移的性质可得，，， 由题意可得：， 四边形ABFD的周长为 故答案为： 【点睛】此题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移的有关性质． 16. 直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，作射线OG⊥OE．若∠EOF＝54°，则∠AOG的度数为______． 【答案】54°或126° 【解析】 【分析】先根据垂直定义求出∠FOD=90°，从而求出∠DOE的度数，然后利用角平分线的定义求出∠BOD，分两种情况，射线OG在OE的下方，射线OG在OE的上方，即可求解． 【详解】解：∵OF⊥CD， ∴∠FOD=90°， ∵∠EOF=54°， ∴∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-54°=36°， ∵∴OE平分∠BOD， ∴∠BOD=2∠DOE=72°， 分两种情况： 当射线OG在OE的下方，如图： ∵OG⊥OE， ∴∠EOG=90°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE=∠BOD=36°， ∴∠AOG=180°-∠EOG-∠BOE=54°； 当射线OG在OE的上方，如图： ∵OG⊥OE， ∴∠EOG=90°， ∵∠DOE=36°， ∴∠COG=180°-∠EOG-∠DOE=54°， ∴∠AOG=∠AOC+∠COG=∠BOD+∠COG=72°+54°=126°， 综上所述：∠AOG的度数为：54°或126°， 故答案为：54°或126°． 【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角，邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．请把答案直接写在答题卡上对应题的空白处．注意：在试题卷上作答无效） 17. （1）计算： （2）解方程 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别计算算术平方根，绝对值，立方根，再进行加减运算； （2）利用平方根解方程即可． 【详解】解：（1）        ， （2） 或 解得：或． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）点在过点且与轴平行的直线上； （3）点到两坐标轴的距离相等． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查坐标系下求点的坐标： （1）根据轴上的点的横坐标为0，得到，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，进行求解即可； （3）根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 由题意，得：， 解得：或； 当时，，则； 当时，，则； 综上：或 19. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， 又∵， ∴， ∴； （2）50° 【解析】 【分析】（1）首先根据角直接的等量代换得到，然后根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）首先证明出，得到，然后根据得到，最后利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理． 20. 已知：已知正数m的两个不同平方根分别是和，又的立方根为． （1）求a和正数m及b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，解方程求解即可； （2）将a和b的值代入，然后计算平方根求解即可． 【小问1详解】 依题意得：， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 ． 【点睛】此题考查了平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的概念． 21. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． （1）甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ （2）求出原方程组的正确解． 【答案】（1）甲把错看成了1，乙把错看成了1 （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，熟练掌握二元一次方程组的解和解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）分别把两组解代入方程组中，进行求解即可； （2）根据（1）得到正确的方程组，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：； 故甲把错看成了1； 把代入，得：， 解得：， 故乙把错看成了1； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴原方程组为：， 解得：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，是三角形的边上的任意一点，三角形经过平移后得到三角形，点的对应点为． （1）直接写出点的坐标． （2）在图中画出三角形． （3）连接，，，求三角形的面积． 【答案】（1）；；． （2） 如图，三角形即为所求． （3） 【解析】 【分析】此题考查了平移的作图，利用网格求三角形面积等知识，熟练掌握平移作图是关键． （1）根据平移方式得到答案即可； （2）根据平移后点的坐标写出答案即可； （3）利用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵的对应点为， ∴平移方式为向右平移6个单位，向下平移2个单位， ∵点，，， ∴；；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 三角形的面积为 23. 【阅读材料】：∵，∴的整数部分为2，的小数部分为． 【解决问题】： （1）填空：的小数部分是_________； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值； （3）已知：是的整数部分，是其小数部分，请直接写出的相反数． 【答案】（1） （2）21 （3） 【解析】 【分析】（1）根据即可得到的整数部分与小数部分； （2）依题意求出a，b，代入即可求解； （3）根据题意求出x，y，根据实数的性质即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴的整数部分为9，的小数部分为 故答案为：； 【小问2详解】 ∵是的整数部分，是的小数部分， ∵， 则 ∴，， ∴； 【小问3详解】 是的整数部分，是其小数部分，请直接写出的相反数． ∵， ∴的整数部分为5，的小数部分为-5= ∴=5-（）=7- ∴的相反数是． 【点睛】此题主要考查实数的混合运算的运用，解题的关键是熟知实数的整数部分与小数部分的特点与实数的运算法则． 24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元 （2）方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆 （3）购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程组是解题的关键． （1）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据题意列出方程，得出，结合是整数，得出是5的倍数，且，再列举出所有符合题意的值，即可解答； （3）结合（2）中的购买方案，计算每一种方案的获利，比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元， 由题意得，， 解得：， 答：A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元； 【小问2详解】 解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆， 由题意得，， 整理得，， 是整数， 是5的倍数，且， ， 当，， 当，， 当，， 购买方案有3种，分别是： 方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆； 方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆； 方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆； 【小问3详解】 解：方案一获利：（元）， 方案二获利：（元）， 方案三获利：（元）， ， 购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元． 25. 在平面直角坐标系中，有点，且m，n满足． （1）求A、B两点坐标； （2）如图1，直线l⊥x轴，垂足为点．点P为直线l上任意一点，若的面积为，求点P的坐标； （3）如图2，点D为y轴负半轴上一点，过点D作，E为线段AB上任意一点，以O为顶点作，使交于F．点G为线段与线段之间一点，连接，且．当点E在线段上运动时，始终垂直于，试写出与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）或 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用算术平方根的非负性，可得，从而求出的值，由此即可得； （2）连接，设点的坐标为，根据建立方程，解方程即可得； （3）过点作于点，设，则，根据四边形的内角和可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，解得：（舍去）或1， ∴， ∴点； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由题意，设点的坐标为， ， ， 当点P位于点Q下方时，， 的面积为， ，即， 解得， 则点的坐标为； 当点P位于点Q上方时，， 的面积为， ，即， 解得， 则点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图，过点作于点， 设，则， ， ， 解得， ， ， ， 又， ， ， 即． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、坐标与图形、平行线的性质、平行公理推论等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $