专题7.5 空间向量的概念与运算（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题7.5 空间向量的概念与运算（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 空间向量的线性运算】 4 【题型2 空间向量数量积及其应用】 6 【题型3 空间向量基本定理】 9 【题型4 共线问题】 11 【题型5 共面问题】 13 【题型6 空间向量的坐标运算】 15 1、空间向量的概念与运算 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 2023年新高考I卷：第18题，12分 2024年上海卷：第15题，5分 空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础.从近几年的高考情况来看，空间向量的概念与运算的单独考查相对较少，一般以选择题、填空题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等，难度较易. 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 知识点3 空间向量的数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 知识点4 空间向量基本定理及其应用 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 3．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 知识点5 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【方法技巧与总结】 1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型1 空间向量的线性运算】 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【解答过程】连接，如图， 因为为的中点， 所以． 故选：C． 【变式1-1】（24-25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由向量的线性运算即可求解. 【解答过程】由题意点是的中点， 所以. 故选：B. 【变式1-2】（2025高二·全国·专题练习）在平行六面体中，与相交于点，设，，，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的线性运算求解即可. 【解答过程】根据题意，， 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【解答过程】. 故选：C. 【题型2 空间向量数量积及其应用】 【例2】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【解答过程】因为 所以， . 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据模长公式即可代入求解. 【解答过程】由可得， 故，故， 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算可得，结合八面体的特性计算数量积即可. 【解答过程】由正八面体的性质可得，，则， ． 故选：D. 【变式2-3】（2025·河南新乡·二模）已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，最小时，有最小值，求的最小值即可. 【解答过程】圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径， 则有，， 点在圆锥的侧面上运动， 则， 最小时，有最小值，的最小值为点到圆锥母线的距离， 中，，，则，点到的距离， 则的最小值为，的最小值为. 故选：A. 【题型3 空间向量基本定理】 【例3】（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合几何图形，利用给定的基底表示向量. 【解答过程】在三棱柱中，. 故选：B. 【变式3-1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【解答过程】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【解答过程】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【解答过程】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 【题型4 共线问题】 【例4】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】由，列出方程求解即可. 【解答过程】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【解答过程】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二下·福建宁德·期末）已知向量，，若与共线，则实数值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量共线列式求出即可. 【解答过程】由向量，共线，得，解得， 所以. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知， 若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可. 【解答过程】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 【题型5 共面问题】 【例5】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【解题思路】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解答过程】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 【变式5-1】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由四点，，，共面可得存在实数，使，用同一组基底向量表示出，根据系数对应相等列方程组求解. 【解答过程】由平行六面体的特征可得，    则， 所以， 又，， 又由，，，四点共面，可得存在实数，使， 所以，解得. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【解答过程】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点不共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由可得， 即，因为，所以四点共面. 故选：D. 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【解题思路】根据空间向量基本定理判断即可. 【解答过程】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确； ，若，，不共面， 则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误； ， 所以，即，，，四点共面，命题③正确． 故选：C. 【题型6 空间向量的坐标运算】 【例6】（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【解题思路】应用向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值. 【解答过程】由题设，， 所以. 故选：D. 【变式6-1】（2024·江苏·模拟预测）已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【解题思路】求得，进而可得，求解即可. 【解答过程】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【解题思路】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故选：A 【变式6-3】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由向量的共线与垂直条件求解的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得. 【解答过程】， 由，则有，解得，则. 由，则有，解得，， 所以，故， 则. 故选：D. 一、单选题 1．（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据方程组，即可求解. 【解答过程】由于， 所以，，. 故选：B. 2．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得. 【解答过程】向量，，则， 所以. 故选：A. 3．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【解答过程】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A. 4．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【解答过程】如图，， ， ，. 故选：C. 5．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的线性运算得，则得到其和值. 【解答过程】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 6．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【解答过程】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B. 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【解答过程】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 8．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【解答过程】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误. 【解答过程】对于A， ， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【解答过程】由题意可知，， 对于A，，故A正确； 对于B，又因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 11．（2025·浙江台州·一模）已知棱长为3的正四面体，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，的最大值为 D．当时，则的最大值为 【答案】ACD 【解题思路】选为空间内的基底向量，可计算得，可判断A；当，，可判断B；由已知可得，计算可判断C；，结合，可求的最大值，可判断D. 【解答过程】由正四面体，可知， 选为空间内的基底向量， 当，， ，所以 ，故A正确； 因为， 当，，故B错误； ， 又，所以， 整理得，当且仅当时取等号， 化简得，解得，故C正确； ， 所以 ， 由，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于 .    【答案】 【解题思路】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【解答过程】依题意，. 故答案为：. 13．（2025·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 . 【答案】3 【解题思路】根据空间向量共面得到，得到方程，求出 【解答过程】设，即， 故，解得. 故答案为：3. 14．（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 【答案】16 【解题思路】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【解答过程】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课前预习）在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    【答案】证明见解析 【解题思路】取中点，连接，，.先证明，再证明，即可证明. 【解答过程】取中点，连接，，，如图所示. 因为点是中点，所以. 因为点为的中点，所以， 因为， 所以， 因为，点是中点，所以G为HD的中点. 又点为的中点，所以为的中位线， 所以， 所以，，，四点共面.    16．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由两边平方后可得. （2）由（1）得，根据数量积的运算律可得，然后由向量夹角公式求解即可. 【解答过程】（1），又 则 ， 所以． （2）由空间向量的运算法则，可得，- 因为且， 所以 ， - ，- 则． 17．（24-25高二上·安徽宿州·期中）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算直接求解即可； （2）利用基底表示出，结合向量数量积的运算可求得，由此可得结果； （3）利用基底法求解出，，根据向量夹角运算可求得结果. 【解答过程】（1）连接， ，，， ，， 为线段的中点，， . （2）以顶点为端点的三条棱长都是，，， ，，， 由（1）知：，， ， ，即对角线的长为. （3）由（1）（2）知：，， ，， ， . 18．（2025高二·全国·专题练习）已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3) 【解题思路】利用空间向量坐标表示的数量积计算公式、夹角余弦公式和模长公式解决相关问题． 【解答过程】（1） （2），，,， 设与的夹角为，则． （3），， 根据， 解得． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）14；（ⅱ） 【解题思路】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论. 【解答过程】（1）连接，取中点为，连接．    因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． （2）由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ） ． （ⅱ）因为， 所以 ， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.5 空间向量的概念与运算（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 空间向量的线性运算】 4 【题型2 空间向量数量积及其应用】 5 【题型3 空间向量基本定理】 6 【题型4 共线问题】 7 【题型5 共面问题】 7 【题型6 空间向量的坐标运算】 8 1、空间向量的概念与运算 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 2023年新高考I卷：第18题，12分 2024年上海卷：第15题，5分 空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础.从近几年的高考情况来看，空间向量的概念与运算的单独考查相对较少，一般以选择题、填空题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等，难度较易. 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 知识点3 空间向量的数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 知识点4 空间向量基本定理及其应用 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 3．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 知识点5 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【方法技巧与总结】 1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型1 空间向量的线性运算】 【例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高二·全国·专题练习）在平行六面体中，与相交于点，设，，，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·山西·期末）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 空间向量数量积及其应用】 【例2】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】（2025·河南新乡·二模）已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量基本定理】 【例3】（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【题型4 共线问题】 【例4】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·福建宁德·期末）已知向量，，若与共线，则实数值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【变式4-3】（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知， 若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 共面问题】 【例5】（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【变式5-1】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【题型6 空间向量的坐标运算】 【例6】（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式6-1】（2024·江苏·模拟预测）已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【变式6-3】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）设，且，则（ ） A． B．0 C．3 D． 一、单选题 1．（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2025·浙江台州·一模）已知棱长为3的正四面体，则下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，的最大值为 D．当时，则的最大值为 三、填空题 12．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于 .    13．（2025·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 . 14．（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·课前预习）在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    16．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 17．（24-25高二上·安徽宿州·期中）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求的值. 18．（2025高二·全国·专题练习）已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$