专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 终边相同的角】 4 【题型2 象限角及其判定】 4 【题型3 弧度制】 4 【题型4 扇形的弧长与面积的计算】 5 【题型5 扇形中的最值问题】 6 【题型6 任意角的三角函数的定义及应用】 7 【题型7 三角函数值符号的判定】 8 1、任意角和弧度制、三角函数的概念 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解任意角的概念和弧度制 (2)能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性 (3)借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 2023年北京卷：第13题，5分 2024年北京卷：第12题，5分 2025年北京卷：第13题，5分 任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察任意角的概念、三角函数的概念，一般以选择题、填空题的形式考查，试题比较简单. 知识点1 三角函数的基本概念 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角α,β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 4．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作，即y=； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作，即x=； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则=，=，=. 知识点2 任意角和弧度制的解题策略 1．终边相同的角的集合 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 2．确定，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置. 3．应用弧度制解决问题的几大要点 应用弧度制解决问题时应注意： (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 知识点3 三角函数的定义及应用的解题策略 1．三角函数定义的应用 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值. (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值. 2．判定三角函数值的符号的解题策略 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解. 【题型1 终边相同的角】 【例1】（24-25高一下·广西钦州·期末）下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）在0到范围内，与角终边相同的角是 （用弧度制表示）. 【变式1-3】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【题型2 象限角及其判定】 【例2】（24-25高一下·四川达州·阶段练习）已知为第二象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第一或第三象限 【变式2-1】（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式2-3】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【题型3 弧度制】 【例3】（24-25高一下·陕西·期中）将化为弧度制，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·山东威海·阶段练习）时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【题型4 扇形的弧长与面积的计算】 【例4】（2024·广西来宾·模拟预测）机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【变式4-3】（2025·甘肃白银·二模）已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 【题型5 扇形中的最值问题】 【例5】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【变式5-1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【变式5-3】（24-25高一下·山东·阶段练习）如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【题型6 任意角的三角函数的定义及应用】 【例6】（2024·吉林·模拟预测）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·山东·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【题型7 三角函数值符号的判定】 【例7】（24-25高三下·四川德阳·阶段练习）若，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式7-1】（24-25高一下·湖北·开学考试）如果，，那么角所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式7-2】（24-25高一下·山东·期中）若且，则角所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式7-3】（24-25高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 一、单选题 1．（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（    ） A．1 B． C．3 D．6 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与直线位于第三象限的图象重合，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·福建福州·模拟预测）如图所示，两动点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上从点处同时出发做匀速圆周运动．已知点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，且两点在第2秒末第一次相遇于点处，则它们从出发后到第2次相遇时，点走过的总路程为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·内蒙古包头·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，设的始边是轴非负半轴且，若关于的方程在内有解，则的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2025·吉林·二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（    ） A．经过1后，扇形AOB的面积为 B．经过2后，劣弧的长为 C．经过6后，质点B的坐标为 D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇 三、填空题 12．（2025·上海崇明·三模）设，则 . 13．（2025·福建漳州·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则 . 14．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ． 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）将下列各弧度化成角度． (1)； (2)； (3)． 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 17．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 18．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tanα的值； (2)若为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 19．（24-25高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 终边相同的角】 4 【题型2 象限角及其判定】 5 【题型3 弧度制】 6 【题型4 扇形的弧长与面积的计算】 8 【题型5 扇形中的最值问题】 10 【题型6 任意角的三角函数的定义及应用】 12 【题型7 三角函数值符号的判定】 14 1、任意角和弧度制、三角函数的概念 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解任意角的概念和弧度制 (2)能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性 (3)借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 2023年北京卷：第13题，5分 2024年北京卷：第12题，5分 2025年北京卷：第13题，5分 任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察任意角的概念、三角函数的概念，一般以选择题、填空题的形式考查，试题比较简单. 知识点1 三角函数的基本概念 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角α,β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 4．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作，即y=； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作，即x=； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作，即= (x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则=，=，=. 知识点2 任意角和弧度制的解题策略 1．终边相同的角的集合 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 2．确定，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置. 3．应用弧度制解决问题的几大要点 应用弧度制解决问题时应注意： (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 知识点3 三角函数的定义及应用的解题策略 1．三角函数定义的应用 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值. (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值. 2．判定三角函数值的符号的解题策略 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解. 【题型1 终边相同的角】 【例1】（24-25高一下·广西钦州·期末）下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据终边相同的角的集合即可求解. 【解答过程】与角终边相同的角的集合为, 取， ，其他均不符合， 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据终边相同的角的集合，即可求解. 【解答过程】终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围是． 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）在0到范围内，与角终边相同的角是 （用弧度制表示）. 【答案】 【解题思路】根据终边相同的角的表示方法得解. 【解答过程】与角终边相同的角为（） 当时，得. 故答案为：. 【变式1-3】（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【答案】；（答案不唯一 【解题思路】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【解答过程】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一）. 【题型2 象限角及其判定】 【例2】（24-25高一下·四川达州·阶段练习）已知为第二象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第一或第三象限 【答案】D 【解题思路】由象限角的定义可得出，求出的取值范围，对分奇数和偶数两种情况讨论，可得出的终边所在的象限. 【解答过程】因为为第二象限角，则， 所以，， ①当为奇数时，设，则， 即，此时为第三象限角； ②当为偶数时，设，则， 此时为第一象限角. 综上所述，为第一或第三象限角. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】求出与的角终边相同，从而得到得到答案. 【解答过程】，故与的角终边相同， 其中在第二象限，故角的终边落在第四象限. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解题思路】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【解答过程】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 【变式2-3】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【解题思路】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定所在的象限. 【解答过程】由为第三象限角，得, 则, 当 ，此时在第二象限； 当 ，此时在第四象限. 故是第二或第四象限角. 故选：C. 【题型3 弧度制】 【例3】（24-25高一下·陕西·期中）将化为弧度制，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用角度与弧度的换算关系可得结果. 【解答过程】. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据任意角的概念即可求解. 【解答过程】将钟表的分针拨快20分钟，时针顺时针旋转， 所以时针转过的角度为. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度. 【解答过程】因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿， 所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿， 所以小轮此时转动周， 即小轮转动的角度为. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一下·山东威海·阶段练习）时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用弧度制定义计算即可得. 【解答过程】， 故时针转过的弧度数为. 故选：D. 【题型4 扇形的弧长与面积的计算】 【例4】（2024·广西来宾·模拟预测）机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图形分析，利用扇形的圆心角、半径、弧长的关系，即可求解. 【解答过程】由已知，． 得， 则莱洛三角形的周长是 故选：A． 【变式4-1】（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得. 【解答过程】显然为等腰三角形，，则，， 即，于是， 所以璜身的面积近似为. 故选：C. 【变式4-2】（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，. 【解答过程】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得，又，所以.    故选：A. 【变式4-3】（2025·甘肃白银·二模）已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将图分为八部分，通过切割的思想即可得结果. 【解答过程】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为. 故选：D. 【题型5 扇形中的最值问题】 【例5】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【解题思路】根据二次函数的性质求得正确答案. 【解答过程】设扇形的圆心角为，弧长为，半径为， 则周长，面积， 所以当时面积取得最大值为， 此时，对应. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【解答过程】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由扇形弧长公式计算； （2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【解答过程】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 【变式5-3】（24-25高一下·山东·阶段练习）如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)面积为，弧AB的长为 (2)， 【解题思路】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.（2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解. 【解答过程】（1）由题意知，设，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； （2）由，即， 扇形的周长为当且仅当等号成立， 所以由知：． 【题型6 任意角的三角函数的定义及应用】 【例6】（2024·吉林·模拟预测）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三角函数的定义计算． 【解答过程】，， 所以， 故选：A． 【变式6-1】（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角函数的定义分角的终边在第一象限和第二象限讨论即可. 【解答过程】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时. 故选：B. 【变式6-2】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三角函数的定义求解. 【解答过程】根据题意， 由三角函数的定义得. 故选：A. 【变式6-3】（2024·山东·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角函数的定义即可求得，从而得到结果. 【解答过程】由题意可得，则，所以， 所以. 故选：B. 【题型7 三角函数值符号的判定】 【例7】（24-25高三下·四川德阳·阶段练习）若，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【解题思路】根据象限角判断三角函数值的符号，即可得结果. 【解答过程】因为，则， 所以点位于第二象限. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一下·湖北·开学考试）如果，，那么角所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】由，可得，，即可判断角所在象限. 【解答过程】因为，， 所以，， 故角的终边所在的象限是第二象限. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高一下·山东·期中）若且，则角所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】根据各象限三角函数的符号特征判断即可. 【解答过程】若，则角在第三或第四象限，也可能与轴的负半轴重合， 若，则角在第二或第四象限， 所以当且时，角在第四象限． 故选：D． 【变式7-3】（24-25高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【解题思路】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限. 【解答过程】因为，， 所以为第二象限角，即， 所以， 则的终边所在象限为所在象限， 即的终边在第一、二、四象限. 故选：D. 一、单选题 1．（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（    ） A．1 B． C．3 D．6 【答案】C 【解题思路】根据扇形面积公式计算求解. 【解答过程】设圆心角为，所以，所以3 故选：C. 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】将，与的终边相同． 【解答过程】， 又终边在第三象限， 所在的象限为第三象限， 故选：C． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案. 【解答过程】由题意可得，， 则. 故选：D. 4．（2025·安徽·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用不等式即可. 【解答过程】如图，角的终边与单位圆圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点， 过作轴，交角的终边于点， 则，， 则，扇形的面积为，， 由三者的大小关系可知，，即， 因，则，即. 故选：C. 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与直线位于第三象限的图象重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】在终边上取一点的坐标为，利用三角函数的定义，结合勾股定理求出斜边的长度，进而得到的值. 【解答过程】由于终边在第三象限且在直线上， 取，则,因此，终边上一点 的坐标为， 设 ，根据勾股定理，, 则由三角函数的定义可得. 故选：D. 6．（2025·福建福州·模拟预测）如图所示，两动点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上从点处同时出发做匀速圆周运动．已知点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，且两点在第2秒末第一次相遇于点处，则它们从出发后到第2次相遇时，点走过的总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】计算相遇时间，再确定转过的角度，再利用弧长公式可求点走过的总路程. 【解答过程】根据题意，设经过秒，第二次相遇. 点对应的圆心角为，则有， 则. 则由，解可得， 所以第二次相遇时，走过的总路程为． 故选：C. 7．（2025·内蒙古包头·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由三角函数的定义求解即可. 【解答过程】因为角的终边经过点，可得， 由三角函数的定义，可得， 故A，B，C错误，D正确. 故选：D. 8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积. 【解答过程】 如图所示，根据已知和图形知， 设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即， 在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知， 由扇形面积公式可得， 易知以直径的半圆的半径为，即，于是， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据终边相同的角定义判断. 【解答过程】由于， 故与405°终边相同的角应为或． 故选：BC. 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，设的始边是轴非负半轴且，若关于的方程在内有解，则的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABD 【解题思路】根据函数解析式，写出方程，解出方程，根据角的取值范围，得到角的取值范围，从而得出可能在的象限. 【解答过程】由，, 或， 当时，得， 又因为，所以不存在， 当时，， ， ，又因为 时，，此时在第一象限， 时，此时在第二象限， 时，此时在第四象限 所以的终边可能位于第一二四象限. 故选：ABD. 11．（2025·吉林·二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（    ） A．经过1后，扇形AOB的面积为 B．经过2后，劣弧的长为 C．经过6后，质点B的坐标为 D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇 【答案】BD 【解题思路】根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解. 【解答过程】对于，由题意可知：经过1后，， 所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误； 对于，经过2后，， 所以此时劣弧的长为，故选项正确； 对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误； 对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确， 故选：. 三、填空题 12．（2025·上海崇明·三模）设，则 . 【答案】 【解题思路】根据三角函数值求，以及，再求余弦值. 【解答过程】，则，，所以. 故答案为：. 13．（2025·福建漳州·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则 . 【答案】 【解题思路】利用三角函数的定义求解即可. 【解答过程】已知角 的终边过点，则 ， .计算半径 ， 利用三角函数定义：， 因此，， 故答案为： 14．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ． 【答案】 【解题思路】把分钟转速转换成秒转速问题，然后借助比例来求出被动轮的转速，最后利用弧长公式求解即可. 【解答过程】由题意知，主动轮的转速为，则被动轮转过的角度大小为， 所以弧长为 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）将下列各弧度化成角度． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)135°； (3)210°． 【解题思路】根据弧度制的定义，可得答案． 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 16．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【解题思路】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【解答过程】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 17．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)当；当； (2). 【解题思路】（1）结合三角函数的定义即可求解； （2）结合三角函数的定义即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以当， 当 （2）若为第二象限角，则， 所以. 18．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求tanα的值； (2)若为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用单位圆上点到原点距离为的性质求出点纵坐标，再根据三角函数定义求正切值； （2）根据等边三角形的性质得出角的大小，进而求出与角终边相同的角的集合. 【解答过程】（1）设点B的纵坐标为m，则由题意得，且， 所以，故，根据三角函数的定义得 （2）若为等边三角形，则， 故与角α终边相同的角β的集合为． 19．（24-25高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1)； (2)； (3),. 【解题思路】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可； （2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可； （3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的面积为； （2）设扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或， 所以扇形圆心角的弧度数为； （3）设扇形圆心角的弧度为，则，则 扇形的周长为， 当且仅当时，周长可取得最小值，此时， 故此时扇形的圆心角. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$