第一课时 1.1函数概念的拓展-新课程新课标《初高中数学衔接课程》

第一部分 函数与方程、代数式、不等式概念 1.1函数概念的拓展（第1课时） 【学习目标】 1、掌握函数的概念及构成函数三要素，了解函数的发展历程； 2、会求常见函数的定义域和值域； 【知识建构】 1.1.1 函数概念的发展历程（人教A版2019年8月第一版第75页《阅读与思考》材料） 1.1.2高中函数概念 初中函数定义：设在某个变化过程中有两个变量、，如果对于在某个范围内的每一个值，都有唯一的值与它对应，我们就说是的函数，叫自变量，叫的函数. 初中阶段强调用函数描述一个变化过程.例如，在匀速运动中，路程随时间的变化而变化，路程是时间的函数；商品单价为，总价随商品数量的变化而变化，是的函数…….其本质是：初中函数概念的基本思想是突出变化过程中“变量”，但是这样的函数概念很难解释一些函数，比如狄利克雷函数D(x)＝所以我们就有必要进一步学习更加严谨的函数概念——高中函数概念.为此，先做好以下概念的铺垫： 1.集合概念　　 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）. 2.映射概念 设、是两个非空集合，如果存在一个对应关系，使得对中的每个元素，按对应关系，在中有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的映射，记作. 其中，称为元素在映射下的象，记作:; 称为关于映射的原象.集合A中所有元素的象的集合称为映射的象集，记作. 3.高中函数的映射定义 一般地，设，是两个非空实数集，如果对中的任意一个数，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称对应关系为从集合到集合的一个函数（function）.记作. 其中,叫做自变量，自变量取值的范围（数集）叫做这个函数的定义域(domain)；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）. 在函数定义中,集合是否一定是函数值域？若不一定，那么集合与函数值域的关系怎样？ 函数的本质是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．是研究它们间变量的一种特殊的对应关系，而非函数值.从数到数允许“多对一”，而排斥“一对多”，即突出“任意性”到“唯一性”的关系. 1.1.3函数定义域值域求法 1、解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （5）对于实际问题中函数定义域，根据实际意义限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）值域是： 当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． 【知识整合】 【探究过程】 问题1.怎样判断是否集合及集合基本特征有哪些？怎样正确理解映射与函数映射？ 探究题1.（1）①集合中元素是确定的吗？元素可以相同吗？元素有顺序要求吗？集合中元素基本性质是什么？②空集对吗？③“很高的山”能构成集合吗？ 【解】①集合中元素是确定的，且元素之间是互异的，没有顺序要求，因此，集合元素有三大基本特征：确定性、互异性和无序性；②空集写法不对，右边表示含有0元素的单元素集，属于非空集合，不相等；③“很高的山”不能构成集合，因为元素不确定。 （2）①设={1,2,3,4}，={3,5,7,9,10}集合中的元素按照对应关系“乘2加1”和集合中的元素对应，这个对应关系：是集合到集合的映射吗？是函数映射吗？②函数映射:从数集到数集的函数，对有何要求？定义域是，值域一定是数集吗？ 【解】①是集合到集合的映射，同时也是是数集到数集的函数映射，映射中集合的元素分别满足任意性和唯一性要求. 【解】②函数映射中集合要求是非空实数集，本题值域不是，是数集,其包含关系是 （3）设是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是(　 ) A．A中的每一个元素（原象）在B中必有象 B．B中每一个元素在A中必有原象 C．A中的一个元素在B中可以有多个象 D．A中不同元素的象必不同 【解】A 问题2.函数三要素是什么？函数一定存在解析式吗？什么叫相同函数？ 探究题2.函数概念的深度挖掘 （1）下列说法中不正确的是（ ） A．定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定 B．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 C．函数的定义域和值域均不能为空集 D．若函数的定义域和值域均为有限集，函数值域中的元素个数可以多于函数定义域中的元素个数 （2）（多选题）从函数概念角度判断下列选项中变量是函数的（ ） A. B. C. D. （3）下列四个图象中，不是函数图象的是( 　 ) A　 B　　 C　 D 【解】（1）D;（2）A,B;（3）B. 探究题3.探求函数定义域和值域求法 1.求函数定义域和值域 （1）已知函数则函数的定义域为(　 　) A．(－∞，1) B．(0，2) C．(－∞，1)∪(1,2) D．(0，1)∪(1,2) （2）函数的值域是(　 　) A．R B．{y|－1≤y≤1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} （3） 在上述题（2）的条件下，求f (x-2)值域. （4）求函数y＝的值域. 【解】（1）D; (2) D; (3) 值域保持不变，为{－1,0,1}；（4），由此可知值域是. 【课堂练习】 1.求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； (2)y＝2x－； (3)y＝＋. 【答案】（1）[2,6];（2）方法：t换元，令，则，配方法得值域， （3）单调性法，函数在[1,+∞)单调递增，故值域. 2.已知函数的定义域为，求的定义域 . 【答案】 【解】∵的定义域为，即，∴，故需，∴． ∴的定义域为．故答案为： 3.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解】由函数的定义域为R，得，恒成立.,分类讨论如下： 当时，恒成立；当时，，得.综上，实数a取值范围为. 故选：C. 【自主限训】（8分钟） 1.下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A．     B．     C．   D．     【解】D；方法：任作一条垂直于x轴的直线，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，结合选项可知D不满足要求，因此D中图象不表示函数关系．故选：D. 2.判断相同函数：下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【解】B；① ，两个函数对应法则不一样，不是同一函数； ②，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数； ③，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数； ④，两个函数定义域不一样，不是同一函数. 故选：B. 【课堂小结】 1.函数概念及发展历程了解是学好函数的基础，由函数概念知：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素. 2.当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数； 3.求函数定义域的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．抽象函数的定义域求法：（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解； 4.求函数值域是研究函数值取值范围，属于“纵向”问题，常用方法？：配方法、拆分法、单调性法、图象法、判别式法及复合函数“同增异减”法等。 【课外作业】 基础题：课本相关习题自选5-10题 提升题： 1.下列对应是从集合A到集合B的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数； 对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数； 对于C选项，当时，不存在，不是函数； 对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数. 故选：A 2.下列各组是相同函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【解】D 对A，函数定义域为R，定义域为，故定义域不同，故A错误； 对B，函数定义域为R，定义域为，故定义域不同，故B错误； 对C，函数定义域为R，与定义域为，所以定义域不同，故C错误； 对D，函数与定义域均为R，定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 3.已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【解】由题设有，由得，故选A. 4.若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解】由题意得，在R上恒成立，当时，，成立； 当时，，即，解得； 综上所述，. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一部分 函数与方程、代数式、不等式概念 1.1函数概念（第1课时） 【学习目标】 1、掌握函数的概念及构成函数三要素，了解函数的发展历程； 2、会求常见函数的定义域和值域； 【知识建构】 1.1.1 函数概念的发展历程（人教A版2019年8月第一版第75页《阅读与思考》材料） 1.1.2高中函数概念 初中函数定义：设在某个变化过程中有两个变量、，如果对于在某个范围内的每一个值，都有唯一的值与它对应，我们就说是的函数，叫自变量，叫的函数. 初中阶段强调用函数描述一个变化过程.例如，在匀速运动中，路程随时间的变化而变化，路程是时间的函数；商品单价为，总价随商品数量的变化而变化，是的函数…….其本质是：初中函数概念的基本思想是突出变化过程中“变量”，但是这样的函数概念很难解释一些函数，比如狄利克雷函数D(x)＝所以我们就有必要进一步学习更加严谨的函数概念——高中函数概念.为此，先做好以下概念的铺垫： 1.集合概念　　 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）. 2.映射概念 设、是两个非空集合，如果存在一个对应关系，使得对中的每个元素，按对应关系，在中有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的映射，记作. 其中，称为元素在映射下的象，记作:; 称为关于映射的原象.集合A中所有元素的象的集合称为映射的象集，记作. 3.高中函数的映射定义 一般地，设，是两个非空实数集，如果对中的任意一个数，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称对应关系为从集合到集合的一个函数（function）.记作. 其中,叫做自变量，自变量取值的范围（数集）叫做这个函数的定义域(domain)；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）. 在函数定义中,集合是否一定是函数值域？若不一定，那么集合与函数值域的关系怎样？ 函数的本质是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．是研究它们间变量的一种特殊的对应关系，而非函数值.从数到数允许“多对一”，而排斥“一对多”，即突出“任意性”到“唯一性”的关系. 1.1.3函数定义域值域求法 1、解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （5）对于实际问题中函数定义域，根据实际意义限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）值域是： 当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． 【知识整合】 【探究过程】 问题1.怎样判断是否集合及集合基本特征有哪些？怎样正确理解映射与函数映射？ 探究题1.（1）①集合中元素是确定的吗？元素可以相同吗？元素有顺序要求吗？集合中元素基本性质是什么？②空集对吗？③“很高的山”能构成集合吗？ （2）①设={1,2,3,4}，={3,5,7,9,10}集合中的元素按照对应关系“乘2加1”和集合中的元素对应，这个对应关系：是集合到集合的映射吗？是函数映射吗？②函数映射:从数集到数集的函数，对有何要求？定义域是，值域一定是数集吗？ （3）设是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是(　 ) A．A中的每一个元素（原象）在B中必有象 B．B中每一个元素在A中必有原象 C．A中的一个元素在B中可以有多个象 D．A中不同元素的象必不同 问题2.函数三要素是什么？函数一定存在解析式吗？什么叫相同函数？ 探究题2.函数概念的深度挖掘 （1）下列说法中不正确的是（ ） A．定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定 B．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 C．函数的定义域和值域均不能为空集 D．若函数的定义域和值域均为有限集，函数值域中的元素个数可以多于函数定义域中的元素个数 （2）（多选题）从函数概念角度判断下列选项中变量是函数的（ ） A. B. C. D. （3）下列四个图象中，不是函数图象的是( 　 ) A　 B　　 C　 D 探究题3.探求函数定义域和值域求法 1.求函数定义域和值域 （1）已知函数则函数的定义域为(　 　) A．(－∞，1) B．(0，2) C．(－∞，1)∪(1,2) D．(0，1)∪(1,2) （2）函数的值域是(　 　) A．R B．{y|－1≤y≤1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} （3） 在上述题（2）的条件下，求f (x-2)值域. （4）求函数y＝的值域. 【课堂练习】 1.求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； (2)y＝2x－； (3)y＝＋. 2.已知函数的定义域为，求的定义域 . 3.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（     ） A． B．或 C． D．或 【自主限训】（5分钟） 1.下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A．     B．     C．   D．     2.判断相同函数：下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【课堂小结】 1.函数概念及发展历程了解是学好函数的基础，由函数概念知：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素. 2.当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数； 3.求函数定义域的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．抽象函数的定义域求法：（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解； 4.求函数值域是研究函数值取值范围，属于“纵向”问题，常用方法？：配方法、拆分法、单调性法、图象法、判别式法及复合函数“同增异减”法等。 【课外作业】 基础题：课本相关习题自主选择5-10题 提升题： 1.下列对应是从集合A到集合B的函数的是（     ） A． B． C． D． 2.下列各组是相同函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 3.已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4.若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$