精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟 三县 2025-2026学年八年级上学期开学联考数学试题

保密★启用前 2024－2025学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学开学摸底考试卷 考试分数：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2.请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. A、B是平面上两点，，P为平面上一点，若，则P点（ ） A. 在直线外 B. 在直线上 C. 在线段上 D. 不在线段上 2. 如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（　　） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 3. 下列等式变形正确是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 将一根长为的铁丝围成一边长为的长方形，将它按如图所示的方式向外等距离扩，得到新的长方形，则这根铁丝需要增加（　　） A. B. C. D. 5. 数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 对于以下整式：，，，下列说法正确的有 ①当时，若，则的值为或； ②如果为第项，为第项，为第项，第项与第项的和减去第项的结果为第项，第项与第项的和减去第项的结果为第项，，依此类推，则第项为； ③记②中的前两项的和为，前三项的和为，前四项的和为，，则前项的和为，若有，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 将正整数按图所示的规律排列，若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示整数8，则表示的整数是（ ） A. 190 B. 191 C. 192 D. 193 8. 已知方程组的解为则的值为 （ ） A. 4 B. 7 C. D. 9. 如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间添加绝对值符号，对相邻的两个或者三个字母间添加括号，每一次操作必须同时添加一个绝对值符号和一个括号，且添加绝对值符号和添加括号时不能有相同字母，然后进行去绝对值和去括号运算，称此为“双添操作”．例如：，，． 下列说法：①不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“双添操作”共有6种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则=______． 12. ，那么______，______，______． 13. 如图，社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，物业公司计划在空地内修一条底边宽度为米的平行四边形小路，其余部分种植草坪，则草坪面积为______平方米．（用含、的代数式表示） 14. 如图，将9个数分别填入九宫格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若，，，，分别表示其中的一个数，则的值为______． 0 3 1 15. 对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“通关数”．对于通关数，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，，，．若为最大的通关数，则_______；一个通关数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整数，且是一个完全平方数，则满足条件的通关数的最大值与最小值之和为_______． 16. 某超市出售一种礼品混合糖是由两种糖果按一定比例配制而成，其中A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得56%的利润率．物价上涨，A糖果进价上涨20%，糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总进价的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种礼品糖果的利润率是____． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 把下列各数填在相应的集合内： ． 正有理数集合{ …}； 负分数集合 { …}； 整数集合 { …}． 18. 如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． （1）建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为______； （2）将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的； （3）在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为_____． 19. 如图，数一数每个图形的线段总数： （1）如图①，线段总数是______； （2）如图②，线段总数 _____； （3）如图③，线段总数是______； （4）如图④，线段总数是 ______； （5）由此得出求线段总数的规律：当线段上共有 个点（包括两个端点）时，线段的总数为_____，当时，线段的总数为______； （6）由以上规律，解答下面的问题：如果位同学聚会，每两个人都要握手一次，一共需要握多少次手？ 20. 材料1： 已知数轴上M，N两点对应的数分别为，，则点和点之间的距离表示为． 材料2： 已知数轴上，两点对应的数分别表示为，，则线段的中点表示的数为． 知识运用： （1）可理解为数轴上的数到_____的距离； （2）若数轴上表示3和的两点分别为和，则的中点表示的数为_____； 深入探究： （3）在数轴上，点表示的数为，则的最小值是_____，的最大值是_____； （4）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为9，若点，点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度同时在数轴上向左运动．秒后，点，点，点三点中，其中一点恰是连接另外两点所成线段的中点，求的值． 21. 如图，某小区要在三块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示． （1）求阴影部分面积（用含x、的代数式表示）； （2）当，取3时，求阴影部分的面积． 22. 已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，数轴上点P表示的数为x． （1）①表示数x与________对应两点之间的距离； ②若，则________； （2）代数式，则最小值为________； （3）若A，B，P三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，则称这个点是另外两点的“倍分点”．已知，，若P是A，B的“倍分点”，求x的值． 23. 阅读：同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．利用数形结合思想解决以下问题 探索： （1）______；______； （2）若数轴上表示数a的点位于与6之间，则______． 应用：已知多项式的常数项是a，次数是b，a、b在数轴上分别表示的点是A、B（如图），点A与点B之间的距离记作． （3）______，______，=______． （4）动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向右运动，点B向左运动． ①当时，点P表示的数是______；点A表示的数是______；点B表示的数是______； ②试探究：A，B两点到P点的距离可能相等吗？若能，请求出A、B两点到P点的距离相等时经历的时间；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2024－2025学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学开学摸底考试卷 考试分数：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2.请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. A、B是平面上两点，，P为平面上一点，若，则P点（ ） A. 在直线外 B. 在直线上 C. 在线段上 D. 不在线段上 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，，推出点P一定在线段上． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P一定在线段上． 故选：C． 【点睛】本题考查两点间距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2. 如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（　　） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短． 【详解】解：根据垂线段的性质，则表示该运动员成绩的是线段的长度， 故选B． 3. 下列等式变形正确的是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C 由，得 D. 由，得 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在等式的两边同时减去，可得，正确，故本选项符合题意； B、在等式的两边同时加上，可得，原变形错误，故本选项不符合题意； CD、在等式的两边同时除以2，可得，原变形错误，故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 将一根长为的铁丝围成一边长为的长方形，将它按如图所示的方式向外等距离扩，得到新的长方形，则这根铁丝需要增加（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意和长方形周长公式求出先长方形的周长，再用先长方形的周长减去原长方形的周长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，得到的新的长方形周长为， ∵， ∴这根铁丝需要增加， 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意表示出新长方形的周长是解题的关键． 5. 数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上点表示的数，绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键；先根据数轴，且，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，，且， ∴， ∴可能表示数的点是C． 故选∶C． 6. 对于以下整式：，，，下列说法正确的有 ①当时，若，则的值为或； ②如果为第项，为第项，为第项，第项与第项的和减去第项的结果为第项，第项与第项的和减去第项的结果为第项，，依此类推，则第项为； ③记②中前两项的和为，前三项的和为，前四项的和为，，则前项的和为，若有，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算、绝对值方程及数列规律问题；①由题意得，化简绝对值求解即可；②根据定义列出这列数，即可知从第三项开始两个为一组，每组中的系数都为1，的系数互为相反数，且绝对值一次增加6，则第25项为；③结合已知定义列出前几项，总结出，，结合多项式的定义可得即可． 【详解】①当时，．由得，解得或，故①正确． ②根据规则生成数列： 第1项：，第2项：，第3项：， 第4项：， 第5项：， 第6项：， 观察规律，从第3项开始，每两项为一组，的系数绝对值依次增加6． 第25项为第12组的第1项，其系数为，故第25项为，故②错误． ③， ， ， ， ， ⋯⋯ 则，， ∵， ∴， ∴， 则，故③正确． 综上，①③正确，故选C． 7. 将正整数按图所示的规律排列，若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示整数8，则表示的整数是（ ） A. 190 B. 191 C. 192 D. 193 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了读图找规律的能力，能理解题意，从数列中找到数据行列的规律是解题的关键．根据行列规律可知从1开始，第m行有m个数，每行都是从左到右数由小到大，第1行1个数；第2行2个数；第3行3个数；第4行4个数…根据此规律即可得出结论． 【详解】解：由数字排列规律可知：第19行最后一个数为， 又表示第20行的第一个数字， 第20行的第一个数字是， 故选：B． 8. 已知方程组解为则的值为 （ ） A. 4 B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查二元一次方程组的加减消元法，将x和y的值代入到方程组，原方程组变成关于a、b的方程组．再仔细观察未知数的系数，相同或者相反，可以运用加减消元解题，再求解代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴． 由得， 得． 将，代入， 即． 故选：B． 9. 如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，由角平分线想到作垂线是解题的关键．作于E，于G，于H，连接，由角平分线性质定理得，再由角平分线的判定知，点C在的平分线上，则可求得；当′于，则，即的最小值为，此时点C与重合，从而求得此时的度数． 【详解】解：如图，作于E，于G，于H，连接， ∵平分，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴平分，即点C在的平分线上， ∴， ∵， ∴， 如图，作于，则， 即的最小值为，此时点C与重合， ∴， ∴， ∴当线段取最小值时，的度数为， 故选：B． 10. 在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间添加绝对值符号，对相邻的两个或者三个字母间添加括号，每一次操作必须同时添加一个绝对值符号和一个括号，且添加绝对值符号和添加括号时不能有相同字母，然后进行去绝对值和去括号运算，称此为“双添操作”．例如：，，． 下列说法：①不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“双添操作”共有6种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义题型，根据新定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较，主要考查去括号法则、绝对值计算，整式的加减和分类讨论思想的应用；列举出所有可能，然后化简计算并判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴所有“双添操作”如下： ， ， ， ， ， ， ， ∴不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确； ∵每一种结果中a的符号与原式中a的符号相同， ∴不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②错误； 观察上面所有运算结果可知，第二个和第五个结果相等，其余都不相等， ∴所有的“双添操作”共有7种不同运算结果，故③错误， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则=______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意可得，从而可得． 【详解】解： 故答案为：5 【点睛】此题考查已知式子的值求代数式的值，代入求解是解题关键． 12. ，那么______，______，______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据绝对值的非负性，偶次幂的非负性，分别求得的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得： 则， 故答案为：，，． 13. 如图，社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，物业公司计划在空地内修一条底边宽度为米的平行四边形小路，其余部分种植草坪，则草坪面积为______平方米．（用含、的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，解题关键是能正确理解题意用、表示出草坪的面积．根据题意用长方形的面积减去平行四边形的面积，表示出草坪的面积再化简即可解答． 【详解】解：（平方米）， 故答案为：． 14. 如图，将9个数分别填入九宫格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若，，，，分别表示其中的一个数，则的值为______． 0 3 1 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，多次建立等式和方程将求解出，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15. 对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“通关数”．对于通关数，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，，，．若为最大的通关数，则_______；一个通关数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整数，且是一个完全平方数，则满足条件的通关数的最大值与最小值之和为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查数式的新定义计算，涉及有理数的运算，列代数式，整式的加减运算，不等式的性质，熟练读懂新定义，并可以根据新定义列式是解题的关键．根据定义即可得出最大的“通关数”为，再计算即可；由题意，可得，，， 求出，进而得到是3的倍数，的值可能为，再根据a的取值结合是一个完全平方数，来决定通关数的最大值与最小值，从而确定即可解答． 【详解】解：根据为最大的“通关数”， 当千位上的数字为9时，百位上的数字为7，则十位上的数字1，个位上的数字为7， ∴最大的“通关数”为， ∴， ∵， ∴，， ∴； 由题意，可得，，， ∴， ∴， ∵能被6整数， ∴是6的倍数， ∴是3的倍数， ∵，，，， ∴的值可能为：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴或或或， 当最小时，即时，通关数可能存在最小值， 此时，没有符合的b值（舍去）； ∴当时，通关数可能存在最小值， 此时，符合条件，则， 当时，是一个完全平方数，即， ∴通关数的最小值为； 当最大时，即时，通关数可能存在最大值， 此时，时，通关数最大，则， ∴是一个完全平方数或是一个完全平方数， ∴或（舍去）， ∴通关数的最大值为； ∴通关数的最大值与最小值之和为， 故答案为：；． 16. 某超市出售一种礼品混合糖是由两种糖果按一定比例配制而成，其中A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得56%的利润率．物价上涨，A糖果进价上涨20%，糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总进价的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种礼品糖果的利润率是____． 【答案】40% 【解析】 【分析】先根据A糖果进价上涨20%，糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了12%，求出配制比例，从而求出涨价前的利润，再求出涨价后的成本，继而求出利润率． 【详解】解：A糖果的进价为15元/千克，糖果的进价为10元/千克， 涨价后，A糖果进价上涨20%，变为18元；糖果进价上涨10%，变为11元，总成本上涨12%， 设每100千克成品中，原料A占x千克，B占（100-x）千克， 则涨价前每100千克成本为15x+10（100-x）， 涨价后每100千克成本为18x+11（100-x）， 解得：x=千克， 100-x=千克， 即二者的比例是：A：B=1：6， 则涨价前每千克的成本为元，销售价为元， 利润为6元， 原料涨价后，每千克成本变为元，成本的25%=3元，保证利润为6元， 则利润率为：6÷（12+3）=40%． 故答案为40%． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用——销售盈亏问题，求出两种糖果的配比是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 把下列各数填在相应的集合内： ． 正有理数集合{ …}； 负分数集合 { …}； 整数集合 { …}． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的分类进行填空即可． 【详解】解：正有理数集合{ …}； 负分数集合 { …}；　 整数集合 {…}． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题的关键． 18. 如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． （1）建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为______； （2）将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的； （3）在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为_____． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据点B的坐标为，点C的坐标为，建立平面直角坐标系，进而可得点A的坐标； （2）根据平移的性质即可将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，进而画出平移后的； （3）结合（2）根据点，可得平移后的对应点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，平面直角坐标系即为所求，点A的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：∵点， ∴平移后的对应点的坐标为， 故答案为：． 19. 如图，数一数每个图形的线段总数： （1）如图①，线段总数是______； （2）如图②，线段总数是 _____； （3）如图③，线段总数是______； （4）如图④，线段总数是 ______； （5）由此得出求线段总数的规律：当线段上共有 个点（包括两个端点）时，线段的总数为_____，当时，线段的总数为______； （6）由以上规律，解答下面的问题：如果位同学聚会，每两个人都要握手一次，一共需要握多少次手？ 【答案】（1）3 （2）6 （3）10 （4）15 （5）； （6）一共需要握次手 【解析】 【分析】（1）根据算式直接计算即可； （2）根据算式直接计算即可； （3）根据算式直接计算即可； （4）根据算式直接计算即可； （5）根据所给算式得出一般性规律，然后再代入数据计算即可； （6）握手问题类似于数线段的总数，可直接代入数据计算． 【小问1详解】 解：如图①，线段总数是， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：如图②，线段总数是 ， 故答案为：6； 【小问3详解】 解：如图③，线段总数是， 故答案为：10； 【小问4详解】 解：如图④，线段总数是 ， 故答案为：15； 【小问5详解】 解：由题意得：当线段上共有个点（包括两个端点）时，线段的总数为， 当，， 即线段的总数为231， 故答案为：；； 【小问6详解】 解：由题意得：（次）． 答：一共需要握次手． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，直线、射线及线段的知识，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． 20. 材料1： 已知数轴上M，N两点对应的数分别为，，则点和点之间的距离表示为． 材料2： 已知数轴上，两点对应的数分别表示为，，则线段的中点表示的数为． 知识运用： （1）可理解为数轴上的数到_____的距离； （2）若数轴上表示3和的两点分别为和，则的中点表示的数为_____； 深入探究： （3）在数轴上，点表示的数为，则的最小值是_____，的最大值是_____； （4）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为9，若点，点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度同时在数轴上向左运动．秒后，点，点，点三点中，其中一点恰是连接另外两点所成线段的中点，求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）4；12；（4）当或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，求中点表示的数， 根据两点之间的距离解答（1）；然后根据中点算式解答（2）；再根据点P到两个数对应的数轴上的点之间的距离解答（3）；最后表示三个点，分三种情况根据中点算式解答（4）． 【详解】（1）根据材料1，可以理解为数轴上的数x和对应的点之间的距离； 故答案为：； （2）根据材料2，的中点表示的数是； 故答案为：1； （3）表示数轴上的点P到和1对应的点的距离之和，当点P在两个数对应的点之间时，有最小值4；表示数轴上的点P到对应的点的距离减去这个点到9对应的点的距离，当点P在数9对应的点的右边时，有最大值12； 故答案为：4,12； （4）t秒时A，B，C三点对应的数分别为， 当点B为中点时，， 解得； 当点C为中点时，， 解得； 当点A为中点时，， 解得． 所以或4或16． 21. 如图，某小区要在三块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示． （1）求阴影部分的面积（用含x、的代数式表示）； （2）当，取3时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列代数式，代数式求值： （1）用大长方形的面积减去半圆的面积减去小长方形的面积表示出阴影部分的面积即可； （2）将，取3代入（1）中的代数式进行计算即可． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积． 【小问2详解】 当，时，原式． 22. 已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，数轴上点P表示的数为x． （1）①表示数x与________对应两点之间的距离； ②若，则________； （2）代数式，则的最小值为________； （3）若A，B，P三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，则称这个点是另外两点的“倍分点”．已知，，若P是A，B的“倍分点”，求x的值． 【答案】（1）①2；②或 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）①根据两点距离公式即可得到答案；②先去绝对值，然后解方程即可； （2）根据绝对值的几何意义可得和的最小值分别为3和8以及对应的a、b取值范围，再根据已知条件确定a、b的范围，进而求解即可； （3）先讨论点P的位置，再根据“倍分点”的定义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，表示数x与2对应两点之间的距离； 故答案为：2； ②∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：∵表示的是数轴上表示数a的点到表示和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵表示的是数轴上表示数b的点到表示数和5的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∵， ∴，， ∴当a、b都最小时，的值最小， ∴的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当点P在点A左边时，且，则， ∴； 当点P在A、B之间时， 若，则， 解得； 若，则， 解得； 当点P在点B右边时，且，则， 解得； 综上所述，或或或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解一元一次方程，绝对值的几何意义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 23. 阅读：同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．利用数形结合思想解决以下问题 探索： （1）______；______； （2）若数轴上表示数a的点位于与6之间，则______． 应用：已知多项式的常数项是a，次数是b，a、b在数轴上分别表示的点是A、B（如图），点A与点B之间的距离记作． （3）______，______，=______． （4）动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向右运动，点B向左运动． ①当时，点P表示的数是______；点A表示的数是______；点B表示的数是______； ②试探究：A，B两点到P点的距离可能相等吗？若能，请求出A、B两点到P点的距离相等时经历的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；6 （2） （3）；； （4）①；；24；②能，或 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的意义进行求解即可； （2）根据数a的点位于与6之间，去掉绝对值进行化简即可； （3）根据多项式的项，次数定义求出，，然后求出即可； （4）①根据动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，求出时，点P即可；根据点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，点A向右运动，点B向左运动，求出时，点A、B表示的数即可； ②表示出t秒后，点P运动到数对应的点，点A运动到数对应的点，点B运动到数对应的点，分两种情况进行讨论：当，时，当，． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：2；6； 【小问2详解】 解：∵数a的点位于与6之间， ∴， ∴． 故答案为：10． 【小问3详解】 解：∵多项式的常数项是a，次数是b， ∴，， ∵a、b在数轴上分别表示点是A、B， ∴； 故答案：；；． 【小问4详解】 解：①∵动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度， ∴时，点P表示的数为：； ∵点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，点A向右运动，点B向左运动， ∴时，点A、B表示的数分别为： ， ； 故答案为：；；24； ②经过t秒后，点P运动到数对应的点， 点A运动到数对应的点， 点B运动到数对应的点， 当，时， ∵， ∴， 解得：． 当， 则， 解得：． 综上：或． 【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 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