宁夏中卫市第一中学2025-2026学年高二上学期开学质量检测数学试题(A)

中卫市第一中学2025-2026学年度第一学期开学质量检测 高二（A卷）数学答案考场号 座位号 考号 姓名 提醒：请将选择题答案填涂在小答题卡上，切记！ 第Ⅱ卷 非选择题 1、 单选 D B C A D C B D 2、 多选　AC ABD BD ABD 二、填空题 (13) (14) (15) (16) 4 三、解答题 (17)题：（本题满分10分） 解： （1）若是纯虚数，则有. （2）由正弦定理，，可得， 因，则，故.A=75° (18)题：（本题满分12分） 解： （1）因为频率之和为1，所以，解得. 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第分位数为，则， 由，得， 所以样本成绩的第分位数为84. 综上，；上四分位数为84. （2）由图可知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， 故这两组成绩的总平均数， 总方差. 综上，总平均数；总方差. (19)题：（本题满分12分） 解： （1）因为， 所以根据正弦定理得. 因为，所以等式可化简为， 即，又， 所以，解得. 又，所以. （2）由（1）知，所以. 根据正弦定理得. 根据余弦定理得. 解得或（舍去）. 所以的面积为. (20)题：（本题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为： ． 用样本数据估计该校的名学生这次考试成绩的平均分为： ． （2）样本成绩属于第六组的有人，设为， 样本成绩属于第八组的有人，设为， 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取名， 基本事件有：，，，，，，，，，共个， 他们的分差的绝对值不超过分包含的基本事件个数，，，共个， 他们的分差的绝对值不超过分的概率． (21)题：（本题满分12分） 解：（1）如图①，取PA的中点F，连接EF，BF，又E为PD中点，则，， 因为B，C为半圆O圆弧上的两个三等分点，所以，，所以，， 所以四边形BCEF为平行四边形，所以， 又平面PAB，平面，所以平面PAB． （2）如图②，连接OC，则，   由（1）可得，，所以四边形为菱形，则， 由题意得，又，，AC，平面，所以平面PAC， 又平面，所以， 由E为PD的中点,O为AD的中点,得， 又，∴，. 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． (22)题：（本题满分12分） 解：（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，， ，， ，设点D到平面PBC的距离为， 由得，解得. 故点D到平面PBC的距离为. （2）设直线与平面所成的角为， ， E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使PE最小，此时. 由题意可知：，，平面，且， ，， 在中，， ， 由面积相等， 即，解得：， ，点E在线段AD上靠近点D的4分点处. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中卫市第一中学2025-2026学年度第一学期开学质量检测 高二数学(A卷) 一、单选题:（每小题5分,共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知复数（i为虚数单位），则 （  ） A． B． C． D． 2.已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是 （  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3.已知平面向量，，则向量夹角的余弦值为 （  ） A． B． C． D． 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 （  ） A．120° B．45° C．60° D．30° 5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则 （  ） A．事件A与B互为对立事件 B．事件A与B为互斥事件 C．事件A与B相等 D．事件A与B相互独立 6.若抛一颗骰子两次得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是 （  ） A． B． C． D． 7.已知△ABC中，，，，为边的中线，为的中点，则 （  ） A．0 B．1 C．3 D．4 8.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则下列结论中，错误的是 （  ） A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．直线与的夹角为60° D．平面 1 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列说法正确的是 （　 　） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 10.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大 疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：    用样本估计总体，以下四个选项正确的 （　 　） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30～41周岁参保人数最多 11.已知向量，满足，，则下列说法正确的是 （　 　） A．若则 B．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 C．若，则 D．最大值为 12.已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则下列说法不正确的是 （　 　） A．圆锥的高为 B．圆锥的侧面积为 C．二面角的大小为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 3、 填空题：（每小题5分，共20分．） 13. 已知事件A，B相互独立，且，，则 ． 14. 已知向量，满足，，与的夹角为，则 ． 15. 在△ABC中，若，则△ABC的外接圆半径为 . 16.如图，这是某零件的结构模型，中间1个大球为正四面体的内切球，4个小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中4个小球的体积为 ． 4、 解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(本题10分)（1）已知复数是纯虚数，求实数的值； （2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求∠A的大小. 18．(本题12分)“数学好玩”是著名数学家陈省身赠送给数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，特举办数学竞赛活动，在活动中，共有19道题.从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的上四分位数； （2）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 方差公式: 19．(本题12分)记△ABC的内角的对边分别为，满足，. （1）求角的大小； （2）若，求△ABC的面积. . 20．(本题12分)某校在一次期末数学测试中，为统计学生考试情况，从学校名学生中随机抽取名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于分到分之间满分分，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分． （1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值； （2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取名，求他们的分差的绝对值不超过分的概率． 21．(本题12分)如图，点为半圆O圆弧上的两个三等分点，，，E为PD的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 22．(本题12分)已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． （1）求点到平面的距离； （2）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并 求出取得最大值时线段的长． 高二年级数学试题A 第7页（共8页） 高二年级数学试题A 第8页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$