22.2.4　一元二次方程根的判别式 同步练 2025-2026学年 华东师大版 九年级数学上册

22.2.4　一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a )，当b2－4ac>0时，方程 ；当b2－4ac＝0时，方程 ；当b2－4ac<0时，方程 ．因此b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，用它可以直接判断一元二次方程根的情况． 考点1　根据一元二次方程根的情况，确定字母的取值范围 【典例1】已知关于x的一元二次方程mx2＋5x－1＝0（m为常数）. (1)若x＝－2是该方程的一个实数根，求m的值； (2)若该方程有两个实数根，求m的取值范围. 在利用根的判别式求待定字母的取值范围时，(1)要根据方程根的情况判断b2－4ac与0的关系；(2)利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式（组）；(3)求解． 【变式训练】 1.（海南琼中县期中）关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k＞－1 B．k＜1 C．k＞－1且k≠0 D．k＜1且k≠0 考点2　应用根的判别式证明方程一定有实数根 【典例2】已知关于x的一元二次方程x2－ax＋a－1＝0.求证：该方程总有两个实数根． 利用根的判别式证明一元二次方程有实数根，(1)找到判别式，并将判别式配方；(2)利用配方的结果判断根的判别式与0的大小关系；(3)得证. 【变式训练】 2.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. 求证：方程有两个不相等的实数根． 知识点1　一元二次方程根的判别式 1.对于一元二次方程x2－x＋2＝0，根的判别式b2－4ac中的b表示的数是( ) A.－2 B．2 C．－1 D．1 2.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的判别式Δ 0（填“>”“＝”或“<”）. 知识点2　用判别式直接判断方程根的情况 3.（上海中考）下列方程中，没有实数根的是( ) A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x＋2＝0 4.（海南海口龙华区校级期中）一元二次方程2x2－3x＝1的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5.已知一元二次方程x2＋bx－2＝0. (1)当b＝1时，求方程的根； (2)若b为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由． 知识点3　用判别式求字母的值或取值范围 6.（山东聊城中考）若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是( ) A．m≥－1 B．m≤1 C．m≥－1且m≠0 D．m≤1且m≠0 7.已知关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m＝时，求方程的根． 易错易混点　忽略二次项系数不能为0 8.（江苏徐州中考）若关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 9.（河南漯河临颍县期末）在正比例函数y＝kx(k≠0)中，y随x的增大而减小，则关于x的方程x2－x＋k＝0根的情况是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 10.（四川广安中考）已知a、b、c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 11.（四川内江中考）对于实数a、b定义运算“”为ab＝b2－ab，例如：32＝22－3×2＝－2，则关于x的方程(k－3)x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 12.若关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，则a的最大整数值是 ． 13.（甘肃兰州中考）关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)的值为 ． 14.（海南临高县期中）当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0. (1)有两个不等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)无实数根？ 15.（推理能力）已知关于x的方程x2＋(3k－2)x－6k＝0. (1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2.4　一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a　≠0　)，当b2－4ac>0时，方程　有两个不相等的实数根　；当b2－4ac＝0时，方程　有两个相等的实数根　；当b2－4ac<0时，方程　没有实数根　．因此b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，用它可以直接判断一元二次方程根的情况． 考点1　根据一元二次方程根的情况，确定字母的取值范围 【典例1】已知关于x的一元二次方程mx2＋5x－1＝0（m为常数）. (1)若x＝－2是该方程的一个实数根，求m的值； (2)若该方程有两个实数根，求m的取值范围. 解：(1)将x＝－2代入原方程，得 m×(－2)2＋5×(－2)－1＝0， 解得m＝，∴m的值为； (2)∵关于x的一元二次方程mx2＋5x－1＝0有两个实数根， ∴Δ＝52－4m×(－1)≥0且m≠0， 解得m≥－且m≠0， ∴m的取值范围为m≥－且m≠0. 在利用根的判别式求待定字母的取值范围时，(1)要根据方程根的情况判断b2－4ac与0的关系；(2)利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式（组）；(3)求解． 【变式训练】 1.（海南琼中县期中）关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　C　) A.k＞－1 B．k＜1 C．k＞－1且k≠0 D．k＜1且k≠0 考点2　应用根的判别式证明方程一定有实数根 【典例2】已知关于x的一元二次方程x2－ax＋a－1＝0.求证：该方程总有两个实数根． 证明：∵Δ＝(－a)2－4(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0， ∴该方程总有两个实数根． 利用根的判别式证明一元二次方程有实数根，(1)找到判别式，并将判别式配方；(2)利用配方的结果判断根的判别式与0的大小关系；(3)得证. 【变式训练】 2.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. 求证：方程有两个不相等的实数根． ∵x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0， ∴a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝k2＋k， ∴Δ＝［－(2k＋1)］2－4(k2＋k)＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 知识点1　一元二次方程根的判别式 1.对于一元二次方程x2－x＋2＝0，根的判别式b2－4ac中的b表示的数是(　C　) A.－2 B．2 C．－1 D．1 2.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的判别式Δ　＝　0（填“>”“＝”或“<”）. 知识点2　用判别式直接判断方程根的情况 3.（上海中考）下列方程中，没有实数根的是(　D　) A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x＋2＝0 4.（海南海口龙华区校级期中）一元二次方程2x2－3x＝1的根的情况是(　A　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5.已知一元二次方程x2＋bx－2＝0. (1)当b＝1时，求方程的根； (2)若b为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由． (1)当b＝1时，原方程为x2＋x－2＝0， 分解因式，得(x＋2)(x－1)＝0，x＋2＝0，或x－1＝0， ∴x1＝－2，x2＝1； (2)若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根，理由如下： ∵Δ＝b2－4×1×(－2)＝b2＋8>0， ∴若b为任意实数，方程总有两个不相等的实数根． 知识点3　用判别式求字母的值或取值范围 6.（山东聊城中考）若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是(　D　) A．m≥－1 B．m≤1 C．m≥－1且m≠0 D．m≤1且m≠0 7.已知关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m＝时，求方程的根． (1)∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0，解得m≤1； (2)当m＝时，原方程为x2－2x＝0. 即x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2. 易错易混点　忽略二次项系数不能为0 8.（江苏徐州中考）若关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为　4　． 9.（河南漯河临颍县期末）在正比例函数y＝kx(k≠0)中，y随x的增大而减小，则关于x的方程x2－x＋k＝0根的情况是(　B　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 10.（四川广安中考）已知a、b、c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　A　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 ∵点P(a，c)在第四象限，∴a>0，c<0，∴ac<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根． 11.（四川内江中考）对于实数a、b定义运算“”为ab＝b2－ab，例如：32＝22－3×2＝－2，则关于x的方程(k－3)x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是(　A　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 ∵(k－3)x＝k－1，∴x2－(k－3)x＝k－1，∴x2－(k－3)x－k＋1＝0，∴Δ＝［－(k－3)］2－4×1×(－k＋1)＝(k－1)2＋4>0，∴关于x的方程(k－3)x＝k－1有两个不相等的实数根． 12.若关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，则a的最大整数值是　－1　． ∵关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，∴Δ≥0，即(－1)2－4a≥0，解得a≤，又a≠0，∴a的最大整数值是－1. 13.（甘肃兰州中考）关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则b2－2(1＋2c)的值为　－2　． ∵关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4c＝0，∴b2＝4c，∴b2－2(1＋2c)＝b2－4c－2＝0－2＝－2. 14.（海南临高县期中）当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0. (1)有两个不等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)无实数根？ (1)根据题意，得k≠0且Δ＝(－6)2－4k·9＞0，解得k＜1且k≠0. (2)根据题意，得k≠0且Δ＝(－6)2－4k·9＝0，解得k＝1. (3)根据题意，得k≠0且Δ＝(－6)2－4k·9＜0，解得k＞1. 15.（推理能力）已知关于x的方程x2＋(3k－2)x－6k＝0. (1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． (1)∵Δ＝b2－4ac＝(3k－2)2－4·(－6k)＝9k2－12k＋4＋24k＝9k2＋12k＋4＝(3k＋2)2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； (2)①若a＝6为底边，则b、c为腰长，则b＝c，则Δ＝0. ∴(3k＋2)2＝0，解得k＝－. 此时原方程化为x2－4x＋4＝0， ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2. 此时△ABC三边为6、2、2，不能构成三角形，故舍去； ②若a＝6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6， 代入方程62＋6(3k－2)－6k＝0，∴k＝－2， 则原方程化为x2－8x＋12＝0， (x－2)(x－6)＝0， ∴x1＝2，x2＝6，即b＝6，c＝2. 此时△ABC三边为6、6、2，能构成三角形， 综上所述：△ABC的三边为6、6、2. ∴△ABC的周长为6＋6＋2＝14. 学科网（北京）股份有限公司 $$