【轮轮清·齐鲁名校大联考】2026届山东省高三第一次学业水平联合检测数学试题

绝密★启用箱 齐鲁名校大联考 2026届山东省高三第一次学业水平联合检湖 数学 本试卷总分15雅分.考试时间120分钟。 庄意率项： 1,答垂前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 工可答这择题时，这出每小圆答案后，用的笔把答题卡上对应题日的答聚标号豫果。如 需政荷，用橡皮棉干净后，再途涂其他谷案标号。国容卡选择赐时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效， 3考试结桌后，将本试卷和容驱卡一并父回。 一、，进播颚：本丽共等小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最 特合题日要求的。 1.已知集合M=x|-2<xc},N={-,2,0,51,刚M门N= A.(0 我《2 C-形，o D.一2,5 2已如复数±在复平面内对应韵点为(1，一1》，则E一 A.1- 1+日 C,-1+i n-1-1 怎设稀暖号+少-1的上离点为B,右熊点为，则坐标原点到直线B即的距离为 A司 u号 C.1 D.厘 4,函数f(x)=临3：因像的对移帕方型可以为 A.-- k上-开 C -i D- 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1向量&，b的起点和终点均在格点上，则a·a一b) b/ A.-10 B.5 C.15 D.20 6.若函数f(士)■x十'(1)十上是奇雨数，期u A.-1 c n 7.已知圆台的上，下底面华轻分料为2,4，体积为1x,划支图台的妻面积为 A.3到e 且36m C.370 D.38m 表若稀数)-上十一。有且仅有2个零点则。的取值数国是 A.-1,o)U0.1] B(-m。-1)U[1,+》 C.(-1,0u10 D.《-1,00U(0,+0o) 和学法期第1百（共4百） 二，选择题：本题共3小丽，每小贾6分，共18分。在每小丽给出的选项中，有备项符合■日 要求，全那选对的得6分，部分进对的得的分分，有选错的得非分， 以已知双陆线C号花-1，测 AC的焦点在y帕上 BC的焦距为10 CC的两心率为号 D.C的南近线方程为y一±了 10,设相本数据x1:x1":x4的平将数为云，方差为s:受y,=2x4十1一1,2，"，8，样参数 据1y一y的平均数为，方差为从，则 A,2F=y-1 B4<好 c82-=- n含-2=+1 1L.已知f(x)是定义在区间(0，十©)上的增函数，且对任意的正数x,y,满足/(y》 f(x)十了(y,设abc为互不相等的正数，荆 入fs+的+r5++f+a>nBf+++)+f+>0 C(倍白+()+()<0 D.-()+g()+2-(后<0 三、填空题：本蓝共3小盟，每小盟5分，共15分。 12,记5.为等比数列a.1的前n和若a1=2,51=一2，则S.= 13.两数(x)=31一于十士的最大值为 1话在△AC申，A-子m(B-C)-2,BC-3,期△A8C的面积为 四.解答随：本整共5小题，共行分。解答应写出文字镜明、任明过程成澳算步案。 15,(13分) 有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5. 《1)随机依次取出2张卡片，采第二次取出的卡片上的数字比第一次取出的卡片上的数 字大2的概率： 《2)随机一次取出2张卡片，记2张卡片上的数字之差的地对值为X,求X的分有列及 数学期里E(X). 酸学试期第2面引共4圆引二，选择题：本题共3小丽，每小贾6分，共18分。在每小丽给出的选项中，有备项符合■日 要求，全那选对的得6分，部分进对的得的分分，有选错的得非分， 以已知双陆线C号花-1，测 AC的焦点在y帕上 BC的焦距为10 CC的两心率为号 D.C的南近线方程为y一±了 10,设相本数据x1:x1":x4的平将数为云，方差为s:受y,=2x4十1一1,2，"，8，样参数 据1y一y的平均数为，方差为从，则 A,2F=y-1 B4<好 c82-=- n含-2=+1 1L.已知f(x)是定义在区间(0，十©)上的增函数，且对任意的正数x,y,满足/(y》 f(x)十了(y,设abc为互不相等的正数，荆 入fs+的+r5++f+a>nBf+++)+f+>0 C(倍白+()+()<0 D.-()+g()+2-(后<0 三、填空题：本蓝共3小盟，每小盟5分，共15分。 12,记5.为等比数列a.1的前n和若a1=2,51=一2，则S.= 13.两数(x)=31一于十士的最大值为 1话在△AC申，A-子m(B-C)-2,BC-3,期△A8C的面积为 四.解答随：本整共5小题，共行分。解答应写出文字镜明、任明过程成澳算步案。 15,(13分) 有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5. 《1)随机依次取出2张卡片，采第二次取出的卡片上的数字比第一次取出的卡片上的数 字大2的概率： 《2)随机一次取出2张卡片，记2张卡片上的数字之差的地对值为X,求X的分有列及 数学期里E(X). 酸学试期第2面引共4圆引绝密★启用前 齐鲁名校大联考 2026届山东省高三第一次学业水平联合检测 数 学 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 国 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 的 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合M-{x|-2<x<2},N={-√2,0,5}，则M∩N= A.{0} B.{2} C.{-√2,0} D.{-2,5} 数 2.已知复数z在复平面内对应的点为(1，一1)，则z= A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i 3.设椭圆号十y=1的上顶点为B,右焦点为F,则坐标原点到直线BF的距离为 R号 C.1 D.2 4.函数f(x)=sin3x图像的对称轴方程可以为 AE=-君 Bx=开 Cx=骨 D.z=7 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a,b的起点和终点均在格点上，则a·(a一b)= b A.-10 B.5 C.15 D.20 6.若函数f(x)=ax3+f'(1)e十x是奇函数，则a A.-1 c号 n是 7.已知圆台的上、下底面半径分别为2,4，体积为14π，则该圆台的表面积为 A.35π B.36r C.37π D.38π &.若函数f(c)-x上-+红-a有且仅有2个零点，则a的取值范图是 A.(-1,0)U(0,1] B.(-∞，-1)U[1,+∞) C.(-1,0)U{1} D.(-1,0)U(0,+∞) 数学试题第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 、9.已知双曲线C:g一6=1，则 A.C的焦点在y轴上 B.C的焦距为10 C.C的离心率为号 D.C的渐近线方程为y= 3 10.设样本数据x1,x2,…,x8的平均数为x,方差为s;设y:=2x:十1，i=1,2,…,8,样本数 据y1,y2,…,ya的平均数为y,方差为s,则 A.2x=y-1 B.4si<s c22,-)=-1 D.号2g2=+1 11.已知f(x)是定义在区间(0，十∞)上的增函数，且对任意的正数x,y,满足f(xy)= f(x)十f(y).设a,b,c为互不相等的正数，则 A.f(a+b)+f(b+c)+f(c+a)>0 B.f+)+f6+)+fe+)>0 c.af()+bf(6)+cf()<0 D.2-f(合)+2f(2)+2f(后）<0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记Sm为等比数列{an}的前n项和.若a1=2,S2=一2，则S5= 13.函数f(x)=3√1-x+x的最大值为 4,在△ABC中，A=不，cos(B-C)=,BC=3,则△ABC的面积 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5. (1)随机依次取出2张卡片，求第二次取出的卡片上的数字比第一次取出的卡片上的数 字大2的概率； (2)随机一次取出2张卡片，记2张卡片上的数字之差的绝对值为X,求X的分布列及 数学期望E(X). 数学试题第2页（共4页） 16.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E,F分别为PA,PB的中点，G,H为PD上 的两点，且PG=GH=HD (1)证明：GF∥平面BEH; (2)设K为AD的中点，若PD⊥平面ABCD,AD=DG,求面BEH与面FGK所成的 二面角的正弦值. E H D 17.(15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且不与x轴垂直的直线与C交于 P,Q两点，且当点P的横坐标为4时，|PF|=5.设P'为P关于x轴的对称点. (1)求C的方程； (2若PQ1=安，求P'Q: 25 (3)证明：直线P'Q过定点. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数fx)=2nx+是g(x)=e-sinx (1)求f(x)的单调区间； (2)当x>0时，g(x)<e24十ax,求a的取值范围； (3)设s,4∈(0,1)，且f1-s)=g(n)证明：f)-f'()>g(s)十g(s). 19.(17分) 设k为正整数，数列X:a,1,ai2,…,ai,2和数列Y:a1,i,a2t,“,a2,i可构成如下2kX 2k数表，i=1,2,…,2k,且数列2：X1,X2,…,X2%为1,2，…，4k2的一个排列. a1.1 a1,2 a1,2 a3.1 a2,2 中 a2,2 42,1 a24,8 Q24.2k (1)若k=2,2:1,2,…,16,写出X3和Y3: （2若Y,是公差为k的等差数列，i=1,2,…,2k,求登a: (3)若对任意给定的2，总能在数表的某一行中或某一列中找到和不大于S的两项，且 总能在数表的某一行中或某一列中找到差的绝对值不小于d的两项，记m为S的最小值， M为d的最大值，证明异<得<是 数学试题第4页（共4页） 2026届山东省高三第一次学业水平联合检测 ·数学· 叁春登亲及解折 2026届山东省高三第一次学业水平联合检测·数学 一、选择题 1.C【解析】因为集合M={x|-2<x<2), 圆台的母线一号，则圆台的侧面积为S一 N={-2,0,w5},所以M∩N={-√2,0. π(2+4)×2 =15π，所以圆台的表面积为4π十 2.B【解析】因为复数x在复平面内对应的点 为(1，一1)，所以z=1一i,则z=1十i 16π+15π=35π 3.B【g折】椭圆号+-1的上顶点为B0,8D【解折】了x)=是-a十-a 1),半焦距为√2-1=1，则F(1,0),所以直线 |ax2一x|一（一x十a)(x≠0）零点的个数等价 BF的方程为x十y一1=0，故坐标原点到直线 于曲线y=|ax2一x|与直线y=一x十a交点 BF的距离为 0+0-1_2 的个数.当a=0时，曲线y=|x与直线y= √+1 2 一x有无数个交点，不符合题意；当a<0时， 4.D【解析】根据题意得3x=受十kx,k∈乙，故 曲线y=|ax2一x|与x轴的2个交点坐标分 x-看+经，k∈Z当k=1时，x=受澜足 别为后0)和00)，直线y=-x+a与y轴 要求 的交点坐标为(0，a),因为直线y=一x十a的 5.C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 则a=(3,1),b=(-1,-2),故a-b=(4,3), 斜率为-1，若>a,即-1<a<0,则它 所以a·(a-b)=15. 们有2个交点.又曲线y=一ax2+x在x=马 处的切线的斜率恰为一1，所以当a≤一1时， 该曲线与直线y=一x十a至多有一个交点， 不符合题意；当a>0时，曲线y=|ax2一x|与 x轴的2个交点坐标分别为日0)和(0,0)， 6.B【解析】若函数f(x)=ax3+f'(1)e十x 是奇函数，则f(x)+f(一x)=0,故f'(1) 且曲线y=一ax2十x在x=二处的切线的斜 0,f(x)=ax3十x,所以f'(x)=3ax2+1,则 率为一1，与直线y=一x十a的斜率相同，即当 f0-3a+1-0,所以a=-号 a=1时，曲线y=|ax2-x|与直线y=-x+a 7.A【解析】设圆台的高为h,则令(4x十16x十 在点(1,0)处相切，故当a>0时，它们总有 2个交点.综上，若函数f(x)有且仅有2个零 V4xX16m)=14,放A=2由几何关系可知 点，则a的取值范围是(-1,0)U(0,+∞). 。1· ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 9.AB【解折1由双面线C:号-1可知C 0,故C正确.对于D,不妨设a>b>c,则分> 1,2>1,f(8)>0,f()>0,且2< 的焦点在y轴上，焦距2c=2√9+16=10，离 心率为号，渐近线方程为y=土子，故A,B 2-2<2,所以2(）+2（名）十 正确，C,D错误。 2-f()<21(后)+2f() 10.AcD【解折】名，-(2+1D 2f(台)=2f(合·名·)=2f) 2元+1，即2x=了-1，故A正确：= 0,故D正确。 三、填空题 =号红2红+1-ez+1=4x82a, 12.22【解析】因为a1=2,S2=a1+a2=-2,所 81 以a2=一4，故等比数列{a.}的公比g=2- y-1》=了-了-1=-1，故C正确：号含0 -2,所以5，=411-94）=2 1-q 2刀=2,-+10=(,-+ 13.√10【解析】法一：设y=√1-x,则x2+ 8-】 y2=1(y≥0)，该曲线为圆心是坐标原点，且 号2g,-刀+1=好+1，放D正确 半径是1的半圆.设3√1一x+x=x+3y= 11.BCD【解析】令x=y=1,由f(xy)=f(x)+ 6,得y=一音+名故当直线y=专+号与 f(y),得f(1)=f(1)+f(1),故f(1)=0,且 当x∈(0,1)时，f(x)<0:当x∈(1，+∞)时， 半圆相切时，名的值最大，根据几何关系可知 f>0对于A,不坊设a-=b=号c= 则f(a+b)<0,f(b+c)<0,f(c十a)<0, 此时的 3 2,故f(x)的最大值为√0. 所以f(a+b)+f(b+c)+f(c+a)<0,故 法二：设x=cos0,0∈[0，π]，则3√1-x7+ A错误对于B,根据f(x)的性质有f(a+ x=3sin0+cos0=√/10sin(0+p),故当sin(0+ )=1时，f(x)的最大值为/10. 品)+f+)++a)>层)+ 14. 【解析】在△ABC中，因为A=,所以 21 )+)=fg··) f(1)=0,故B正确.对于C,不妨设a<b<c, casA=-cos(B+C)-号，即coss C √2 则2>1>1（合）>0（合）>0，所以 sin Bsin C=- 又cos(B-C)=cBeosC+ r(台)+f()+f()<f() sin Bsin C=22 3,由以上两式可知sin Bsin C f()+f(）=f(名·分·)=cf= 7设内角A,B,C的对边分别为a,bc,由 2。 2026届山东省高三第一次学业水平联合检测 ·数学· b C 1 正弦定理可知， sin A sin B-sin C,故sinB= 放ECx0=1X号+2x品+3x写+4X。-2 2 1 6b,sin C= 2 =1/2 6c,sin Bsin C=1 (13分) 12, 16.(1)证明：因为PG=GH, 解得e=21v2 21 222,所以Sac=cnA- 1 所以G为PH的中点. 又F为PB的中点， 四、解答题 所以由三角形中位线定理可知GF∥BH. 15.解：(1)从5张卡片中随机依次取出2张卡 (3分) 片，共有A=20种取法， (2分) 因为BHC平面BEH,GF寸平面BEH, 其中第二次取出的卡片上的数字比第一次取 所以GF∥平面BEH. (5分) 出的卡片上的数字大2的情况有3种，分别 (2)解：因为PD⊥平面ABCD,且底面是正 是第一次取出的卡片上的数字为1，第二次取 方形， 出的卡片上的数字为3；第一次取出的卡片上 所以可以以D为坐标原点，DA,DC,DP所 的数字为2，第二次取出的卡片上的数字为 在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示 4:第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取 的空间直角坐标系。 出的卡片上的数字为5， (4分) 本2 所以第二次取出的卡片上的数字比第一次取 出的卡片上的数字大2的概率为品 (5分) G (2)从5张卡片中随机一次取出2张卡片，共 有C号=10种取法， (6分) H 其中2张卡片上的数字之差的绝对值X的所 有可能取值为1,2,3,4。 D X=1的取法有4种，故P(X=1D=0=号； (7分) X=2的取法有3种，故P(X=2)=3 0: 设AD=DG=2,则B(2,20),E1,0,2) (8分) G(0,0,2),H(0,0,1),K(1,0,0), X=3的取法有2种，故P(X=3》=名=1： 1051 所以正=(1,0,2)店=(2.2，-1)。 (9分) GR=(1,0,-2). (8分) X=4的取法有1种，故P(X=4)=0 设平面BEH的法向量为m=(x1y1,z1), 1 (10分) HE·m=0 则 即1十2=0， 所以X的分布列为 Hi·m=0, 2x1+2y1-z1=0. 1 2 3 令x1=1,得y1=一2，z1=一2，则平面BEH 2 3 1 的一个法向量为m=(1,一2，一2). 5 10 5 10 设平面FGK的法向量为n=(x2,y2,之：)，由 (11分) (1)可知GF与HB共线， ·3· ·数学· 参考答案及解析 GK·n=0, (3)证明：在(2)的条件下可知x1x2=1. 则 即 (x2一2xg=0, HB.n=0, 2xg+2y2-z2=0. 不妨设点P在第一象限，则P(x1,2x1), 令x2=2,得y2=一 22?=1,则平面FGK P'(x1,-2/x1),Q(x2,-2x2), 的一个法向量为n=(2,一多，1小。 故直线P'Q的斜率为一2工+2V工_ (12分) x1一x2 2 所以|cos〈m,n〉|= m。n √x1十√x2 mn 2 1x2+(-2x(-2)+(-20X1 即P'Q的方程为y= =(x-x1) √x1十x 2√29 29 2x1. (13分) 令y=0,则x=-√x1xg=-1, (14分) 故直线P'Q过定点(-1,0) (15分) 故平面BEH与平面FGK所成二面角的正 18.(1)解：f(z)=2-2= 2(x+1)(x-1) 弦值为需 (15分) (x>0), (1分) 17.(1)解：当点P的横坐标为4时，由抛物线的 当0<x<1时，f'(x)<0; 定义可知PF-是=5-是=4， 当x>1时，f'(x)>0, (2分) 所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递 故p=2,所以C的方程为y2=4x. (3分) 增区间是(1，+∞). (3分) (2)解：由(1)知F(1,0),设过点F且不与x (2)解：设h(x)=g(x)-e2-ax=e2 轴垂直的直线的斜率为k,则直线方程为y= e-sinx-ax,则h(0)=0,h'(x)=e一 k(x-1). 2e2-cos x-a. 联立=4x, 令h'(0)=0,则a=-2. (4分) {y=k(x-1), 得kx2-2(k2十2)x十 当a<-2时，h'(0)>0, k2=0. (5分) 所以存在8>0，使得当x∈(0,8)时，h'(x)> 0,h(x)单调递增， 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则k≠0，△>0，且 故当x∈(0,6)时，h(x)>h(0)=0, x1十x2= 2(k+2) k2 ,x1x2=1 (6分) 即g(x)>e十ax,不符合题意. (5分) 故由抛物线的定义可知|PQ|=x1十x2十2 当a≥-2时，h'(x)≤e-2e2-cosx+2, 且当x>0时，e2-2ea-cosx十2<-e24 4 cos x+2. 令k(x)=一e2r一cosx+2,则当x>0时， 解得x=4,=4或x=2=4, k'(x)=-2e2+sin x<0, 所以不妨设P4,,Q(行，-，则P'4,-0。 故当x>0时，k(x)单调递减，此时(x)< k(0)=0, (8分) 所以当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 所以1PQ1-4-'+(-4+1-3厘 所以当x>0时，h(x)<h(0)=0, 即g(x)<e十ax. (8分) (10分) 综上，a的取值范围是[-2，十∞).(9分) 。4 2026届山东省高三第一次学业水平联合检测 ·数学· (3)证明：设1n=r,则r>0,t=e∈(0,1)， (2)解：因为Y,是公差为k的等差数列，i=1, 2,…,2k,所以a=a1i十(i-1)k,(4分) 故f)-g(n)=fe)-g)=e心 故a=登a1+k(总：-2)=登a+ =1 i1 =1 2r-e'+sin r, 2k3一k2. (5分) 由(2)可知，当a=一2，x>0时，h(x)<0, 记数表中第j行的数字之和为S,=总a, 故f(e)>g(r) (11分) j=1,2,…,2k, 由f1-s)=gn）=g),得f(e)> 因为Y:是公差为k的等差数列， 所以S1,S2,…,S是公差为2k2的等差数列， f(1-s). (6分) 又e,1一s∈(0,1)，且由(1)可知f(x)在区 间(0,1)上单调递减， 故2S,=2S,+26(2-1 .2k2=1+2+…+ 所以0<e<1-s<1, 4:=462（46+1=262(4k:+1), 即-lnt=r>-ln(1-s),s<1-t.(13分) 2 令p(x)=lnx-x+1,则g'(x)=1-之 解得2a14=S,=23十2+友， 当0<x<1时，p'(x)>0,p(x)单调递增： 放e-总+2-6=4+.（8分) 当x>1时，p'(x)<0,P(x)单调递减， (3)证明：构造如下2k×2k数表： 故当x≠1时，(x)<p(1)=0, Y Y Yu-1 Y 所以r>-ln(1-s)>s. (14分) X 43 a1,24-1 6k-2 当x>0时，g'(x)=e-cosx>0. X: 4k2- a2,2-1 6k-4 令t(x)=e2-cosx,x>0, 则t'(x)=e+sinx>0, X-1 a2h-1,1a20-1,z 2k-1 2k+2 故当x>0时，g(x),g'(x)均单调递增， X 6k-3 6k-5 2k+1 2k 所以f(t)=f(er)>g(r)>g(-ln(1-s)> 由该表可以看出在所有行和所有列中两个数 g(s)>0. (15分) 和的最小值为(2k-1)十(2k+1)=4k, 当0<x<1时，设x3[f'(x)十g'(1-x)]< 若将1,2，…，2k,2k十1这2k十1个数填入数 2(x2-1)+x[e--cos(1-x)]=u(x), 表，则必存在一个数（记为x)及另外两个数 则u'(x)=4x十e-cos(1-x)十x[-e-r (记为x和y),使得z与x在同一行，且之与 sin(1-x)]>x[3-sin(1-x)]+(1 y在同一列，而x十x和x十y中至少有一个 x)(e1-￥-1)>0， 不大于4k, 故u(x)单调递增，u(x)<u(1)=0. 故S的最小值m=4k. (10分) 又g'(x)单调递增，s<1一t, 所以0<g'(s)<g'(1-t)<-f'(t). 若异<得≤号则张≤M<2+2,且由 综上，f(t)-g(s)>0>f'(t)+g'(s), (2)可知X,的各项之和为S1=2k十k2+k, 即f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s). (17分) 不妨设a1.1<a1.2<…<a1,,则易知a11= 19.(1)解：Xa:9,10,11,12; (1分) 1,a24.24=4k2,且a1,24十(2k-1)k=a.熟 Y3:3,7,11,15. (2分) 4k2,故a1.2=2k2十k,故可令X1:1,2,…,k, ·5 ·数学· 参考答案及解析 2k2+1,2k2+2,…,2k2十k,满足上述要求， 同理，设数表中包含D2中所有元素的行共有 并将(2)中所给定的X1,X2,…,X填人数 u行，且包含D2中所有元素的列共有v列，则 表，此时数表中每一行中所填的数的最大差 uw≥k2+1,从而u+v≥2√m≥2√k2+1>2k. 不超过2k8十k一1，而每一列中所填的数的最 (15分) 大差不超过28一k,故对于该数表，任意一行 又s,t,u,v均为正整数， 或一列中所填的数的最大差不超过2k2十k一 所以s十t≥2k,u+v≥2k+1,s+t+4十v≥ 1,故猜想d的最大值M=2k2+k一1. 4k十1， (12分) 所以一定存在某一行或某一列，使得该行或 下面证明对任意给定的数表，一定存在某一 该列既包含D,中的元素，也包含D?中的元 行或某一列中两个数的差不小于2k2十k一1. 素，而D2中任意元素与D1中任意元素之差 设集合D1={1,2,…,k一k十1}，D2={3k8, 至少为2k2十k一1，故M=2k2+k一1， 3k2十1，…，4k2). (13分) (16分) 设数表中包含D,中所有元素的行共有s行， 故对任意的飞∈N, m 4k2 且包含D1中所有元素的列共有t列，则D M=2k2+k-≤2，且 中所有元素都位于这些行与这些列的相 Ak 2 2 交处， M(2k-1)(k+1) 所以st≥k8一k十1，从而s+t≥2√t≥ 2m2 (17分) 2√k-k+1>2k-1. 综上十1M 6绝密★启用前 齐鲁名校大联考 2026届山东省高三第一次学业水平联合检测 数 学 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 国 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 的 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合M-{x|-2<x<2},N={-√2,0,5}，则M∩N= A.{0} B.{2} C.{-√2,0} D.{-2,5} 数 2.已知复数z在复平面内对应的点为(1，一1)，则z= A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i 3.设椭圆号十y=1的上顶点为B,右焦点为F,则坐标原点到直线BF的距离为 R号 C.1 D.2 4.函数f(x)=sin3x图像的对称轴方程可以为 AE=-君 Bx=开 Cx=骨 D.z=7 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a,b的起点和终点均在格点上，则a·(a一b)= b A.-10 B.5 C.15 D.20 6.若函数f(x)=ax3+f'(1)e十x是奇函数，则a A.-1 c号 n是 7.已知圆台的上、下底面半径分别为2,4，体积为14π，则该圆台的表面积为 A.35π B.36r C.37π D.38π &.若函数f(c)-x上-+红-a有且仅有2个零点，则a的取值范图是 A.(-1,0)U(0,1] B.(-∞，-1)U[1,+∞) C.(-1,0)U{1} D.(-1,0)U(0,+∞) 数学试题第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 、9.已知双曲线C:g一6=1，则 A.C的焦点在y轴上 B.C的焦距为10 C.C的离心率为号 D.C的渐近线方程为y= 3 10.设样本数据x1,x2,…,x8的平均数为x,方差为s;设y:=2x:十1，i=1,2,…,8,样本数 据y1,y2,…,ya的平均数为y,方差为s,则 A.2x=y-1 B.4si<s c22,-)=-1 D.号2g2=+1 11.已知f(x)是定义在区间(0，十∞)上的增函数，且对任意的正数x,y,满足f(xy)= f(x)十f(y).设a,b,c为互不相等的正数，则 A.f(a+b)+f(b+c)+f(c+a)>0 B.f+)+f6+)+fe+)>0 c.af()+bf(6)+cf()<0 D.2-f(合)+2f(2)+2f(后）<0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记Sm为等比数列{an}的前n项和.若a1=2,S2=一2，则S5= 13.函数f(x)=3√1-x+x的最大值为 4,在△ABC中，A=不，cos(B-C)=,BC=3,则△ABC的面积 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5. (1)随机依次取出2张卡片，求第二次取出的卡片上的数字比第一次取出的卡片上的数 字大2的概率； (2)随机一次取出2张卡片，记2张卡片上的数字之差的绝对值为X,求X的分布列及 数学期望E(X). 数学试题第2页（共4页） 16.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E,F分别为PA,PB的中点，G,H为PD上 的两点，且PG=GH=HD (1)证明：GF∥平面BEH; (2)设K为AD的中点，若PD⊥平面ABCD,AD=DG,求面BEH与面FGK所成的 二面角的正弦值. E H D 17.(15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且不与x轴垂直的直线与C交于 P,Q两点，且当点P的横坐标为4时，|PF|=5.设P'为P关于x轴的对称点. (1)求C的方程； (2若PQ1=安，求P'Q: 25 (3)证明：直线P'Q过定点. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数fx)=2nx+是g(x)=e-sinx (1)求f(x)的单调区间； (2)当x>0时，g(x)<e24十ax,求a的取值范围； (3)设s,4∈(0,1)，且f1-s)=g(n)证明：f)-f'()>g(s)十g(s). 19.(17分) 设k为正整数，数列X:a,1,ai2,…,ai,2和数列Y:a1,i,a2t,“,a2,i可构成如下2kX 2k数表，i=1,2,…,2k,且数列2：X1,X2,…,X2%为1,2，…，4k2的一个排列. a1.1 a1,2 a1,2 a3.1 a2,2 中 a2,2 42,1 a24,8 Q24.2k (1)若k=2,2:1,2,…,16,写出X3和Y3: （2若Y,是公差为k的等差数列，i=1,2,…,2k,求登a: (3)若对任意给定的2，总能在数表的某一行中或某一列中找到和不大于S的两项，且 总能在数表的某一行中或某一列中找到差的绝对值不小于d的两项，记m为S的最小值， M为d的最大值，证明异<得<是 数学试题第4页（共4页）2026届山东省高三第一次学业水平联合检测 ·数学· 叁春登亲及解折 2026届山东省高三第一次学业水平联合检测·数学 一、选择题 1.C【解析】因为集合M={x|-2<x<2), 圆台的母线一号，则圆台的侧面积为S一 N={-2,0,w5},所以M∩N={-√2,0. π(2+4)×2 =15π，所以圆台的表面积为4π十 2.B【解析】因为复数x在复平面内对应的点 为(1，一1)，所以z=1一i,则z=1十i 16π+15π=35π 3.B【g折】椭圆号+-1的上顶点为B0,8D【解折】了x)=是-a十-a 1),半焦距为√2-1=1，则F(1,0),所以直线 |ax2一x|一（一x十a)(x≠0）零点的个数等价 BF的方程为x十y一1=0，故坐标原点到直线 于曲线y=|ax2一x|与直线y=一x十a交点 BF的距离为 0+0-1_2 的个数.当a=0时，曲线y=|x与直线y= √+1 2 一x有无数个交点，不符合题意；当a<0时， 4.D【解析】根据题意得3x=受十kx,k∈乙，故 曲线y=|ax2一x|与x轴的2个交点坐标分 x-看+经，k∈Z当k=1时，x=受澜足 别为后0)和00)，直线y=-x+a与y轴 要求 的交点坐标为(0，a),因为直线y=一x十a的 5.C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 则a=(3,1),b=(-1,-2),故a-b=(4,3), 斜率为-1，若>a,即-1<a<0,则它 所以a·(a-b)=15. 们有2个交点.又曲线y=一ax2+x在x=马 处的切线的斜率恰为一1，所以当a≤一1时， 该曲线与直线y=一x十a至多有一个交点， 不符合题意；当a>0时，曲线y=|ax2一x|与 x轴的2个交点坐标分别为日0)和(0,0)， 6.B【解析】若函数f(x)=ax3+f'(1)e十x 是奇函数，则f(x)+f(一x)=0,故f'(1) 且曲线y=一ax2十x在x=二处的切线的斜 0,f(x)=ax3十x,所以f'(x)=3ax2+1,则 率为一1，与直线y=一x十a的斜率相同，即当 f0-3a+1-0,所以a=-号 a=1时，曲线y=|ax2-x|与直线y=-x+a 7.A【解析】设圆台的高为h,则令(4x十16x十 在点(1,0)处相切，故当a>0时，它们总有 2个交点.综上，若函数f(x)有且仅有2个零 V4xX16m)=14,放A=2由几何关系可知 点，则a的取值范围是(-1,0)U(0,+∞). 。1· ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 9.AB【解折1由双面线C:号-1可知C 0,故C正确.对于D,不妨设a>b>c,则分> 1,2>1,f(8)>0,f()>0,且2< 的焦点在y轴上，焦距2c=2√9+16=10，离 心率为号，渐近线方程为y=土子，故A,B 2-2<2,所以2(）+2（名）十 正确，C,D错误。 2-f()<21(后)+2f() 10.AcD【解折】名，-(2+1D 2f(台)=2f(合·名·)=2f) 2元+1，即2x=了-1，故A正确：= 0,故D正确。 三、填空题 =号红2红+1-ez+1=4x82a, 12.22【解析】因为a1=2,S2=a1+a2=-2,所 81 以a2=一4，故等比数列{a.}的公比g=2- y-1》=了-了-1=-1，故C正确：号含0 -2,所以5，=411-94）=2 1-q 2刀=2,-+10=(,-+ 13.√10【解析】法一：设y=√1-x,则x2+ 8-】 y2=1(y≥0)，该曲线为圆心是坐标原点，且 号2g,-刀+1=好+1，放D正确 半径是1的半圆.设3√1一x+x=x+3y= 11.BCD【解析】令x=y=1,由f(xy)=f(x)+ 6,得y=一音+名故当直线y=专+号与 f(y),得f(1)=f(1)+f(1),故f(1)=0,且 当x∈(0,1)时，f(x)<0:当x∈(1，+∞)时， 半圆相切时，名的值最大，根据几何关系可知 f>0对于A,不坊设a-=b=号c= 则f(a+b)<0,f(b+c)<0,f(c十a)<0, 此时的 3 2,故f(x)的最大值为√0. 所以f(a+b)+f(b+c)+f(c+a)<0,故 法二：设x=cos0,0∈[0，π]，则3√1-x7+ A错误对于B,根据f(x)的性质有f(a+ x=3sin0+cos0=√/10sin(0+p),故当sin(0+ )=1时，f(x)的最大值为/10. 品)+f+)++a)>层)+ 14. 【解析】在△ABC中，因为A=,所以 21 )+)=fg··) f(1)=0,故B正确.对于C,不妨设a<b<c, casA=-cos(B+C)-号，即coss C √2 则2>1>1（合）>0（合）>0，所以 sin Bsin C=- 又cos(B-C)=cBeosC+ r(台)+f()+f()<f() sin Bsin C=22 3,由以上两式可知sin Bsin C f()+f(）=f(名·分·)=cf= 7设内角A,B,C的对边分别为a,bc,由 2。 2026届山东省高三第一次学业水平联合检测 ·数学· b C 1 正弦定理可知， sin A sin B-sin C,故sinB= 放ECx0=1X号+2x品+3x写+4X。-2 2 1 6b,sin C= 2 =1/2 6c,sin Bsin C=1 (13分) 12, 16.(1)证明：因为PG=GH, 解得e=21v2 21 222,所以Sac=cnA- 1 所以G为PH的中点. 又F为PB的中点， 四、解答题 所以由三角形中位线定理可知GF∥BH. 15.解：(1)从5张卡片中随机依次取出2张卡 (3分) 片，共有A=20种取法， (2分) 因为BHC平面BEH,GF寸平面BEH, 其中第二次取出的卡片上的数字比第一次取 所以GF∥平面BEH. (5分) 出的卡片上的数字大2的情况有3种，分别 (2)解：因为PD⊥平面ABCD,且底面是正 是第一次取出的卡片上的数字为1，第二次取 方形， 出的卡片上的数字为3；第一次取出的卡片上 所以可以以D为坐标原点，DA,DC,DP所 的数字为2，第二次取出的卡片上的数字为 在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示 4:第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取 的空间直角坐标系。 出的卡片上的数字为5， (4分) 本2 所以第二次取出的卡片上的数字比第一次取 出的卡片上的数字大2的概率为品 (5分) G (2)从5张卡片中随机一次取出2张卡片，共 有C号=10种取法， (6分) H 其中2张卡片上的数字之差的绝对值X的所 有可能取值为1,2,3,4。 D X=1的取法有4种，故P(X=1D=0=号； (7分) X=2的取法有3种，故P(X=2)=3 0: 设AD=DG=2,则B(2,20),E1,0,2) (8分) G(0,0,2),H(0,0,1),K(1,0,0), X=3的取法有2种，故P(X=3》=名=1： 1051 所以正=(1,0,2)店=(2.2，-1)。 (9分) GR=(1,0,-2). (8分) X=4的取法有1种，故P(X=4)=0 设平面BEH的法向量为m=(x1y1,z1), 1 (10分) HE·m=0 则 即1十2=0， 所以X的分布列为 Hi·m=0, 2x1+2y1-z1=0. 1 2 3 令x1=1,得y1=一2，z1=一2，则平面BEH 2 3 1 的一个法向量为m=(1,一2，一2). 5 10 5 10 设平面FGK的法向量为n=(x2,y2,之：)，由 (11分) (1)可知GF与HB共线， ·3· ·数学· 参考答案及解析 GK·n=0, (3)证明：在(2)的条件下可知x1x2=1. 则 即 (x2一2xg=0, HB.n=0, 2xg+2y2-z2=0. 不妨设点P在第一象限，则P(x1,2x1), 令x2=2,得y2=一 22?=1,则平面FGK P'(x1,-2/x1),Q(x2,-2x2), 的一个法向量为n=(2,一多，1小。 故直线P'Q的斜率为一2工+2V工_ (12分) x1一x2 2 所以|cos〈m,n〉|= m。n √x1十√x2 mn 2 1x2+(-2x(-2)+(-20X1 即P'Q的方程为y= =(x-x1) √x1十x 2√29 29 2x1. (13分) 令y=0,则x=-√x1xg=-1, (14分) 故直线P'Q过定点(-1,0) (15分) 故平面BEH与平面FGK所成二面角的正 18.(1)解：f(z)=2-2= 2(x+1)(x-1) 弦值为需 (15分) (x>0), (1分) 17.(1)解：当点P的横坐标为4时，由抛物线的 当0<x<1时，f'(x)<0; 定义可知PF-是=5-是=4， 当x>1时，f'(x)>0, (2分) 所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递 故p=2,所以C的方程为y2=4x. (3分) 增区间是(1，+∞). (3分) (2)解：由(1)知F(1,0),设过点F且不与x (2)解：设h(x)=g(x)-e2-ax=e2 轴垂直的直线的斜率为k,则直线方程为y= e-sinx-ax,则h(0)=0,h'(x)=e一 k(x-1). 2e2-cos x-a. 联立=4x, 令h'(0)=0,则a=-2. (4分) {y=k(x-1), 得kx2-2(k2十2)x十 当a<-2时，h'(0)>0, k2=0. (5分) 所以存在8>0，使得当x∈(0,8)时，h'(x)> 0,h(x)单调递增， 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则k≠0，△>0，且 故当x∈(0,6)时，h(x)>h(0)=0, x1十x2= 2(k+2) k2 ,x1x2=1 (6分) 即g(x)>e十ax,不符合题意. (5分) 故由抛物线的定义可知|PQ|=x1十x2十2 当a≥-2时，h'(x)≤e-2e2-cosx+2, 且当x>0时，e2-2ea-cosx十2<-e24 4 cos x+2. 令k(x)=一e2r一cosx+2,则当x>0时， 解得x=4,=4或x=2=4, k'(x)=-2e2+sin x<0, 所以不妨设P4,,Q(行，-，则P'4,-0。 故当x>0时，k(x)单调递减，此时(x)< k(0)=0, (8分) 所以当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 所以1PQ1-4-'+(-4+1-3厘 所以当x>0时，h(x)<h(0)=0, 即g(x)<e十ax. (8分) (10分) 综上，a的取值范围是[-2，十∞).(9分) 。4 2026届山东省高三第一次学业水平联合检测 ·数学· (3)证明：设1n=r,则r>0,t=e∈(0,1)， (2)解：因为Y,是公差为k的等差数列，i=1, 2,…,2k,所以a=a1i十(i-1)k,(4分) 故f)-g(n)=fe)-g)=e心 故a=登a1+k(总：-2)=登a+ =1 i1 =1 2r-e'+sin r, 2k3一k2. (5分) 由(2)可知，当a=一2，x>0时，h(x)<0, 记数表中第j行的数字之和为S,=总a, 故f(e)>g(r) (11分) j=1,2,…,2k, 由f1-s)=gn）=g),得f(e)> 因为Y:是公差为k的等差数列， 所以S1,S2,…,S是公差为2k2的等差数列， f(1-s). (6分) 又e,1一s∈(0,1)，且由(1)可知f(x)在区 间(0,1)上单调递减， 故2S,=2S,+26(2-1 .2k2=1+2+…+ 所以0<e<1-s<1, 4:=462（46+1=262(4k:+1), 即-lnt=r>-ln(1-s),s<1-t.(13分) 2 令p(x)=lnx-x+1,则g'(x)=1-之 解得2a14=S,=23十2+友， 当0<x<1时，p'(x)>0,p(x)单调递增： 放e-总+2-6=4+.（8分) 当x>1时，p'(x)<0,P(x)单调递减， (3)证明：构造如下2k×2k数表： 故当x≠1时，(x)<p(1)=0, Y Y Yu-1 Y 所以r>-ln(1-s)>s. (14分) X 43 a1,24-1 6k-2 当x>0时，g'(x)=e-cosx>0. X: 4k2- a2,2-1 6k-4 令t(x)=e2-cosx,x>0, 则t'(x)=e+sinx>0, X-1 a2h-1,1a20-1,z 2k-1 2k+2 故当x>0时，g(x),g'(x)均单调递增， X 6k-3 6k-5 2k+1 2k 所以f(t)=f(er)>g(r)>g(-ln(1-s)> 由该表可以看出在所有行和所有列中两个数 g(s)>0. (15分) 和的最小值为(2k-1)十(2k+1)=4k, 当0<x<1时，设x3[f'(x)十g'(1-x)]< 若将1,2，…，2k,2k十1这2k十1个数填入数 2(x2-1)+x[e--cos(1-x)]=u(x), 表，则必存在一个数（记为x)及另外两个数 则u'(x)=4x十e-cos(1-x)十x[-e-r (记为x和y),使得z与x在同一行，且之与 sin(1-x)]>x[3-sin(1-x)]+(1 y在同一列，而x十x和x十y中至少有一个 x)(e1-￥-1)>0， 不大于4k, 故u(x)单调递增，u(x)<u(1)=0. 故S的最小值m=4k. (10分) 又g'(x)单调递增，s<1一t, 所以0<g'(s)<g'(1-t)<-f'(t). 若异<得≤号则张≤M<2+2,且由 综上，f(t)-g(s)>0>f'(t)+g'(s), (2)可知X,的各项之和为S1=2k十k2+k, 即f(t)-f'(t)>g(s)+g'(s). (17分) 不妨设a1.1<a1.2<…<a1,,则易知a11= 19.(1)解：Xa:9,10,11,12; (1分) 1,a24.24=4k2,且a1,24十(2k-1)k=a.熟 Y3:3,7,11,15. (2分) 4k2,故a1.2=2k2十k,故可令X1:1,2,…,k, ·5 ·数学· 参考答案及解析 2k2+1,2k2+2,…,2k2十k,满足上述要求， 同理，设数表中包含D2中所有元素的行共有 并将(2)中所给定的X1,X2,…,X填人数 u行，且包含D2中所有元素的列共有v列，则 表，此时数表中每一行中所填的数的最大差 uw≥k2+1,从而u+v≥2√m≥2√k2+1>2k. 不超过2k8十k一1，而每一列中所填的数的最 (15分) 大差不超过28一k,故对于该数表，任意一行 又s,t,u,v均为正整数， 或一列中所填的数的最大差不超过2k2十k一 所以s十t≥2k,u+v≥2k+1,s+t+4十v≥ 1,故猜想d的最大值M=2k2+k一1. 4k十1， (12分) 所以一定存在某一行或某一列，使得该行或 下面证明对任意给定的数表，一定存在某一 该列既包含D,中的元素，也包含D?中的元 行或某一列中两个数的差不小于2k2十k一1. 素，而D2中任意元素与D1中任意元素之差 设集合D1={1,2,…,k一k十1}，D2={3k8, 至少为2k2十k一1，故M=2k2+k一1， 3k2十1，…，4k2). (13分) (16分) 设数表中包含D,中所有元素的行共有s行， 故对任意的飞∈N, m 4k2 且包含D1中所有元素的列共有t列，则D M=2k2+k-≤2，且 中所有元素都位于这些行与这些列的相 Ak 2 2 交处， M(2k-1)(k+1) 所以st≥k8一k十1，从而s+t≥2√t≥ 2m2 (17分) 2√k-k+1>2k-1. 综上十1M 6