广东省潮州市湘桥区南春中学2025-2026学年高三上学期开学数学试题

广东省潮州市湘桥区潮州市湘桥区南春中学2025-2026学年高三上学期开学数学试题 试卷满分 150 分，考试时间 0 分钟 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项 （1）答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 （2）将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共 8 题，每题 5 分，共 40 分） 1. 若，则（    ） A. B. C. D. 2. 设全集，集合，则集合中的元素的个数为（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的焦距为（    ） A. B. 4 C. D. 4. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A. 29是这20人年龄的一个上四分位数 B. 29是这20人年龄的一个下四分位数 C. 31是这20人年龄的一个中位数 D. 这20人年龄的众数是5 5. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A. 182 B. 128 C. 56 D. 42 6. 6、已知是第四象限角,则（    ） A. B. C. D. 7. 在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（    ） A. 24种 B. 36种 C. 6种 D. 12种 8. “”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件     C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（共 3 题，每题 6 分，共 18 分） 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 如果，那么“”是“”的充要条件 D. ，不等式恒成立，则的取值范围是 10. 下列说法正确的是（    ） A. 某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，则该单位全体职工的平均年龄是33.6岁 B. 已知随机变量，若，则 C. 两个具有相关关系的变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 D. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则 11. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A. B. 当时， C. 若点的坐标为，则周长的最小值为8 D. 当时， 三、填空题（共 3 题，每题 5 分，共 15 分） 12. 若二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是___________. 13. 现有3箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味．现从三箱中任意选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率为_________． 14. 若直线与曲线相切，则         ． 四、解答题（共 5 题，77 分） 15. 某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. （1）求； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，．求二面角的大小． 18. 已知数列的前n项和为，且满足，. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和. 19. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由． 【参考答案与解析】 一、单选题 1. （5分） 【答案】D 【解析】由得 【知识点】复数的四则运算 2. （5分） 【答案】B 【解析】因为全集集合，可得或， 又由集合， 所以，共有4个元素. 【知识点】集合的基本运算 3. （5分） 【答案】C 【解析】由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得，解得， 所以的焦距为. 【知识点】双曲线 4. （5分） 【答案】B 【解析】对于A，上四分位数，即分位数，因，则上四分位数为从小到大排列第15个数和第16个数的平均数，为，故A错误； 对于B，下四分位数，即分位数，因，则下四分位数为从小到大排列第5个数和第6个数的平均数，为，故B正确； 对于C，这20人年龄的中位数是，故C错误； 对于D，这20人年龄的众数是32，故D错误. 【知识点】用样本估计总体 5. （5分） 【答案】D 【解析】设等差数列的首项为，公差为d， 由，，得， 解得，所以   【知识点】等差数列 6. （5分） 【答案】A 【解析】由是第四象限角,得 所以 【知识点】三角恒等变换 7. （5分） 【答案】A 【解析】①A小区安排一人，有种，②A小区安排两人，有种， 所以共24种． 【知识点】排列与组合 8. （5分） 【答案】B 【解析】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即， 故“”是“圆上恰有2个点到直线 距离为1”的必要不充分条件. 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系；充分条件与必要条件 二、多选题 9. （6分） 【答案】BC 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，原命题“存在x满足”的否定应为“所有x都不满足”，即“所有x都满足或”，原命题表述正确，故B正确； 对于C，若，，则，则，即，必要性成立； 若，，则，所以，充分性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件，故C正确； 对于D，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，，故D错误. 【知识点】等式性质与不等式性质；全称量词与存在量词；二次函数与一元二次方程、不等式；充分条件与必要条件 10. （6分） 【答案】AD 【解析】对A，单位男职工概率为，女职工概率为， 其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁， 则该单位全体职工的平均年龄是岁，故A正确； 对B，随机变量，若，则， 则，故B错误； 对C，两个具有相关关系的变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1，故C错误； 对D，某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量， 则服从二项分布，即，所以， 所以，故D正确. 【知识点】一元线性回归模型及其应用；离散型随机变量的数字特征；正态分布；随机抽样；二项分布与超几何分布 11. （6分） 【答案】ACD 【解析】A选项，直线与轴的交点为，所以焦点为，所以，所以A选项正确； B选项，当时，联立得，所以B选项错误； C选项，因为，，所以，过点作准线的垂线，垂足为，三角形周长为，所以C选项正确； D选项，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，， 根据三角形相似得，所以， 所以直线的倾斜角为，则．所以D选项正确. 【知识点】抛物线 三、填空题 12. （5分） 【答案】 【解析】的展开式中所有项的二项式系数之和为，. 的展开式的通项公式为， 令，可得， 的展开式的常数项为. 【知识点】二项式定理 13. （5分） 【答案】 【解析】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件，则彼此互斥，且，. 设随机取1袋酸奶，取出的酸奶是水果味为事件，则. 【知识点】条件概率与全概率公式 14. （5分） 【答案】 【解析】依题意，设切点为，则， 由，求导得，于是，解得， 从而，则. 【知识点】导数的概念及其意义；导数的运算 四、解答题 15. （13分） 【答案】 （1）0.002 （2） （3）不能认为空气质量是否达标与月份有关联 【解析】 （1）依题意得，，解得． （2）由频率分布直方图知， 4月份的空气质量达标的天数为：， 则4月份的空气质量不达标的天数为：， 则任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为：． （3）列联表如下： 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 12 18 30 6月 8 22 30 合计 20 40 60 零假设H0：空气质量是否达标与月份无关， 则 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断假设不成立， 故不能认为空气质量是否达标与月份有关联． 【知识点】 （1）用样本估计总体 （2）随机事件与概率 （3）列联表与独立检验 16. （15分） 【答案】 （1） （2）8； 【解析】 （1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2）根据椭圆的定义，的周长为 ，直线的斜率为， ∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴    【知识点】 （1）椭圆 （2）直线方程；椭圆 17. （15分） 【答案】 （1）见解析 （2） 【解析】 （1）证明：如图，取中点，连接，， 在中，，分别为，的中点， 所以且， 在菱形中，因为且， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． （2）解：因为平面，，，平面， 所以，，． 连接，因为，，且， （或者证 所以，在菱形中，，即为正三角形， 又因为为中点，所以， 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为且． 又因为为正三角形且，所以， 则，，，则，， 易得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 所以， 所以二面角的大小为． 【知识点】 （1）空间直线、平面的平行 （2）空间向量的应用 18. （17分） 【答案】 （1）见解析 （2） 【解析】 （1）因为，又因为， 所以，即， 两边同时除以可得，， 即，所以. 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知，所以. 所以， ， 所以 ， 所以. 【知识点】 （1）等差数列 （2）等比数列 19. （17分） 【答案】 （1）见解析 （2）见解析 【解析】 （1）函数的定义域为，， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， ， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值也是最小值，即， 而当从正方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为. ②，理由如下： 显然， ， 由①知，，即， 故只需证明，即证， 令， 令，得， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 因此，所以. 【知识点】 （1）导数在研究函数中的应用 （2）导数在研究函数中的应用 学科网（北京）股份有限公司 $$