12.8 尺规作图（题型专练）数学新教材北京版八年级上册

12.8 尺规作图 题型一 作一条线段等于已知线段 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点C是线段的中点，点D在直线上，已知线段，． (1)尺规作图：在点A的左边找出点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面上三点A，B，C，请按如下要求作图：    (1)画直线，射线，线段． (2)在射线上作一点D，使得．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型二 作一个角等于已知角 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）尺规作图：如下图，已知线段和，在上作，使点在上，点在上，且，（保留作图痕迹，不写作法） 4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知是内部的一条射线，且． (1)求的度数； (2)①尺规作图：在内部，过点作射线，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，求的度数． 5．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，已知，，求作，使（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    题型三 作角的平分线 6．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，D为直线上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使等于P点到的距离（保留作图痕迹，不写作法） 7．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： (1)等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； (2)在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知，利用尺规作图法在边下方作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 题型四 作线段的垂直平分线 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）尺规作图：已知，在上求作点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 10．（21-22八年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，在中，． (1)作图：作线段的垂直平分线分别交于点D、E，并连接．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求证：． 11．（23-24八年级下·山东青岛·期中）用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹． 如图：表示两条道路，在上有一车站（用点表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置． 题型五 作三角形 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）． 13．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： (1)已知：线段h，a，b．求作：，使得，，边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．若一定，请说明理由；若不一定．请作出符合条件的其他三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 14．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）等腰的底边高为，腰上的高为，利用圆规和无刻度直尺作出该等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 题型六 由角平分线的性质求线段长度 15．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图， ，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 16．（18-19八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，平分，交于点，且，若，则 ． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点是平分线上一点，于，如果是上一动点，则线段的取值范围是 ． 题型七 由角平分线的性质求周长/面积 18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，是等腰直角三角形，，平分交于点D，于E．若的周长为，则 ． 19．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 20．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 21．（22-23八年级上·北京密云·期末）已知：在中，，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求的周长． 题型八 角平分线的证明 22．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，直线是边的垂直平分线，点D是直线上一点，连接，，满足，求证：为的外角的角平分线．    23．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 24．（22-23八年级上·广东阳江·期中）如图，，，，，交于点，连接.求证：    (1)； (2)平分. 题型九 利用线段垂直平分线的性质求角度/线段长 25．（24-25七年级下·北京·期末）如图，在 中， ，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线 交 于点 D，连接．若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 27．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 28．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为 ． 题型十 利用线段垂直平分线的性质求周长 29．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接交于，交于，若的周长为20，则长为（   ） A．10 B．12 C．20 D．无法确定 30．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 31．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，平分，点是线段延长线上一点，连接，点在的垂直平分线上，若，则的周长是 ． 32．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 题型十一 垂直平分线的判定 33．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 34．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，，直接写出的长． 35．（21-22八年级上·北京通州·期末）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：直线是线段的垂直平分线； (2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系． 题型一 角平分线的性质与判定综合运用 36．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在梯形中，，点E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 37．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 38．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 题型二 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题 39．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，连接．以下结论：①；②；③平分；④点E是的中点．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 40．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（   ） ①；②；③连接，则平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 41．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 题型三 垂直平分线性质与判定综合 42．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 43．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点，，连接，． (1)若，求的周长． (2)设直线，交于点，连接，． ①试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； ②若，求的度数． 44．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 题型四 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系 45．（24-25八年级上·全国·期末）在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N． (1)如图1，若，，则＝ ； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数； (4)通过以上的探索过程，直接写出的度数与，的关系． 46．（21-22八年级上·福建龙岩·阶段练习）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．    (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，，若平分，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含t的式子表示） 47．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．      (1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：______． (2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，，请直接写出线段AF的长． 48．（21-22八年级下·陕西宝鸡·期中）将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将绕A点按逆时针方向旋转．如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)若是等腰三角形，则旋转角的度数为______． (2)在旋转过程中，连接AP，CE，求证：AP所在的直线是线段CE的垂直平分线． (3)在旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.8 尺规作图 题型一 作一条线段等于已知线段 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点C是线段的中点，点D在直线上，已知线段，． (1)尺规作图：在点A的左边找出点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查做已知线段的倍数和差，代数式的计算， （1）以点D为圆心长为半径画弧交直线于点F，则，再以点F为圆心以为半径画弧交于点E，那么即为所求； （2）按照题意已知代入分别求得和，利用即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面上三点A，B，C，请按如下要求作图：    (1)画直线，射线，线段． (2)在射线上作一点D，使得．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）本题考查了画直线，画射线，线段，解题的关键是掌握直线，射线，线段之间的区别；（2）本题考查了线段的尺规作图，解题的关键是作线段． 【详解】（1）解：如下图所示，直线，射线，线段即为所求；    （2）如（1）图，以A为圆心，以线段的长为半径画弧交射线于D，则，，点D即为所． 题型二 作一个角等于已知角 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）尺规作图：如下图，已知线段和，在上作，使点在上，点在上，且，（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角．首先在射线上作线段，再以点为顶点作即可． 【详解】解：如下图所示， 以点为圆心为半径画弧，交于点， 则有=m， 以点为顶点作，射线与射线交于点， 如下图所示，即为所求． 【点睛】 4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知是内部的一条射线，且． (1)求的度数； (2)①尺规作图：在内部，过点作射线，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，求的度数． 【答案】(1) (2)①作图见解析；② 【分析】本题考查几何图形角度的计算，尺规作一个角等于已知角， （1）设，根据题意可得，解方程，即可求解； （2）①根据题意，作，即可求解； ②由（1）得因为，可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：设 因为所以 解得：所以． （2）①如图所示 ②由（1）得因为所以 所以． 5．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，已知，，求作，使（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角，先作，再在内部作，则即为所求． 【详解】解：如图，即为所求的角．    题型三 作角的平分线 6．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，D为直线上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使等于P点到的距离（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，因为，且在边上求作一点P，使等于P点到的距离，所以作的角平分线交上一点，即点P，运用角平分线上的点到角的两边距离相等，得等于P点到的距离，即可作答． 【详解】解：依题意，在边上求作一点P，使等于P点到的距离，如图所示： 7．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： (1)等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； (2)在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，作的角平分线，直线与射线相交于点，由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的性质可得点到两边的距离相等，故点即为所求； （）由角平分线的定义得，进而由等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知，利用尺规作图法在边下方作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，作角平分线，先作的平分线，然后再以点C为角的顶点，为角的一条边，在下方，作即可． 【详解】解：即为所求作的角，如图所示： 题型四 作线段的垂直平分线 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）尺规作图：已知，在上求作点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于、，作直线交于，连接，点即为所作，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，点即为所作， ， 由作图可得，垂直平分， ∴， ∴． 10．（21-22八年级上·重庆北碚·阶段练习）如图，在中，． (1)作图：作线段的垂直平分线分别交于点D、E，并连接．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，难度不大，需熟练掌握． （1）根据作已知线段的垂直平分线的作法画出图形，即可求解； （2）根据等边对等角的性质求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，从而得到，然后根据三角形外角的性质可得，即可求证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）证明：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24八年级下·山东青岛·期中）用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹． 如图：表示两条道路，在上有一车站（用点表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．先作的平分线，然后过点P作于点T，则点T即为所求． 【详解】解：如图，点T即为所求． 题型五 作三角形 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图；作，在射线上截取，在射线上顺次截取，连接，即为所求． 【详解】解：如图： 作法： 作， 在射线上截取，在射线上顺次截取， 连接，即为所求． 13．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： (1)已知：线段h，a，b．求作：，使得，，边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．若一定，请说明理由；若不一定．请作出符合条件的其他三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)不一定，见解析 【分析】本题考查了尺规作图，以及三角形的全等． （1）根据解题思路作图即可； （2）通过题意画出相对应的线段即可得到不同的三角形． 【详解】（1）解：如图所示： （2）不一定，如图所示： 14．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）等腰的底边高为，腰上的高为，利用圆规和无刻度直尺作出该等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】图见解析． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的判定，在直线上取一点，过作，且使得，，以为圆心，为半径画圆，再以为直径画圆，两圆相交于，连接并延长，分别交直线于，连接，过作于，由是直径可得，即，得到，根据相似三角形的性质得到，所以即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在直线上取一点，过作，且使得，以为圆心，为半径画圆，再以为直径画圆，两圆相交于，连接并延长，分别交直线于，连接，过作于，由是直径可得，即，得到，根据相似三角形的性质得到，所以即为所求，如图： 题型六 由角平分线的性质求线段长度 15．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图， ，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】过点作，交于点，利用角平分线定理得到，根据两直线平行内错角相等得到，利用三角形外角的性质求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出结果； 此题考查了含角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 【详解】过点作，交于点 ∵， ∵， ∴ 又∵， ∴ 又为的外角， ∴ 在直角三角形中， ， ， 则 故选：A． 16．（18-19八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，平分，交于点，且，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点是平分线上一点，于，如果是上一动点，则线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，也考查了垂线段最短.作于，根据角平分线的定义可得，再根据是上一动点解答． 【详解】解：作于， ∵是平分线上一点，， ∴， ∵是上一动点， ∴．故答案为． 题型七 由角平分线的性质求周长/面积 18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，是等腰直角三角形，，平分交于点D，于E．若的周长为，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键． 根据角平分线的性质可得，再利用“HL”证明和全等，则有，然后求出的周长． 【详解】解：∵，，平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又 ∴的周长 ， ∵的周长为， ∴． 故答案为10． 19．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 【答案】32 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：32． 21．（22-23八年级上·北京密云·期末）已知：在中，，边的垂直平分线分别交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，再根据角平分线的性质得到； （2）判定是等边三角形，即可求出周长． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∴平分， ∵， ∴； （2）解：∵在中，，，                ∴，             ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，                                ∴是等边三角形， ∴的周长为9． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键． 题型八 角平分线的证明 22．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，直线是边的垂直平分线，点D是直线上一点，连接，，满足，求证：为的外角的角平分线．    【答案】见详解 【分析】连接交于O，过D作于L，于K，由线段垂直平分线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，而，因此，由三角形内角和定理得到，又，，判定，推出，即可求证． 【详解】证明：连接交于O，过D作于L，于K，    ∵直线是边的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵于L，于K， ∴为的外角的角平分线． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，关键是由等腰三角形的性质得到，判定，推出． 23．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（22-23八年级上·广东阳江·期中）如图，，，，，交于点，连接.求证：    (1)； (2)平分. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由得，再由，，利用，即可判定； （2）首先作于点，于点，由，可得，即可证得平分． 【详解】（1）证明：， 在和中， （2）证明：如图：过点作于点，于点    ， 在和中， ， 又，， 平分 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质以及角平分线的判定，此题难度适中，注意掌握辅助线的做法，注意掌握数形结合思想的应用，解题关键是证明三角形全等． 题型九 利用线段垂直平分线的性质求角度/线段长 25．（24-25七年级下·北京·期末）如图，在 中， ，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线 交 于点 D，连接．若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角．由作图可知：平分，由线段垂直平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 26．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 27．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质；由线段垂直平分线的性质得，进而有，则有； 进一步由含30度角直角三角形的性质求得，最后可求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴； ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 28．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理，根据线段垂直平分线的性质得到，根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 故答案为：5． 题型十 利用线段垂直平分线的性质求周长 29．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接交于，交于，若的周长为20，则长为（   ） A．10 B．12 C．20 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长． 【详解】解：∵P点关于，的对称点，， ∴，， ∴的周长， ∵的周长是20， ∴． 故选：C． 30．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 31．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，平分，点是线段延长线上一点，连接，点在的垂直平分线上，若，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出即可解答．本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：点在的垂直平分线上， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为： 32．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型十一 垂直平分线的判定 33．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 34．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系：即可求解． 【详解】（1）证明：∵直线分别为的垂线， ∴. ∴ 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上. ∴垂直平分. （2）解：在中，， 由勾股定理得：； ∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴． 35．（21-22八年级上·北京通州·期末）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：直线是线段的垂直平分线； (2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)当为钝角时，；当为锐角时， 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）连接，，，可得为等边三角形，再利用证明，得，从而证明结论； （2）分为钝角和为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，，， 点与点关于射线对称，， ，， ， ， 为等边三角形，， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分； （2）解：解：如图，当为钝角时，由（1）知， ， 如图，当为锐角时， ，， ． 题型一 角平分线的性质与判定综合运用 36．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在梯形中，，点E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键． （1）作，垂足为M，先根据角平分线性质定理得到，再等量代换，根据角平分线判定即可证明； （2）证明和即可． 【详解】（1）证明：作，垂足为M，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）证明：由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴． 37．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． （1）作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； （2）由（1）可知，由角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：作于点，于点，于点，如图所示： ∵是的平分线，是的平分线，，相交于点， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2）证明：由（1）可知，， 又∵，， ∴点在的平分线上． 38．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 题型二 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题 39．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，连接．以下结论：①；②；③平分；④点E是的中点．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等判断①；证明 ，根据全等三角形的性质得到，判断②；根据等腰三角形的性质、平行线的性质得到 ，判断③；根据角平分线的性质判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①结论正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故②结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 即平分，故③结论正确； 如图，过点作于， ∵平分， ， ， ∴点不是的中点，故④结论错误； 则正确结论的序号是①②③， 故选： C． 40．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图在直线的同一侧作和和都是等边三角形，连接交于点，下列选项正确的是（   ） ①；②；③连接，则平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，证明是解题的关键． 根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断③． 【详解】解： 和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又 ， ， 即，故②正确； ， 和边上的高相等， 即点B到和边的距离相等， 平分，故③正确； 综上可知，正确的结论有3个， 故选：D． 41．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】根据平行线的性质结合题意可证，即得出，故①正确；由平行线的性质结合题意可证，又可求出，即得出，结合勾股定理即可求出，故②错误；过点C作于点G，根据角平分线的性质定理得出，再由，即得出，故③正确；由题意可求，即得出，根据，即，可证，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴，故②错误； 如图，过点C作于点G， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴，故④错误． 综上可知正确结论是①③ 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题关键． 题型三 垂直平分线性质与判定综合 42．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 43．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点，，连接，． (1)若，求的周长． (2)设直线，交于点，连接，． ①试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； ②若，求的度数． 【答案】(1)10 (2)①点在的垂直平分线上，见解析；②． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，以及等腰三角形的性质． （1）在中，根据线段垂直平分线的性质可得，，继而可得的周长； （2）①连接，证明即可判断点是否在的垂直平分线上； ②根据题意得，由四边形内角和可得的度数． 【详解】（1）解：∵，的垂直平分线分别交于点，， ∴，， ∴的周长； （2）解：①点在的垂直平分线上． 理由：如图，补全图形， 连接． ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②∵，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 44．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点在的垂直平分线上．理由见解析 (3) 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，进而可求解； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据线段垂直平分线的判定可得结论； （3）根据等腰三角形的性质可得，，然后利用四边形的内角和为求得，进而可求解． 【详解】（1）解：，的垂直平分线分别交于点，， ，， 则的周长． （2）解：点在的垂直平分线上．理由如下： 连接，，， ，分别是，的垂直平分线， ，， ， 点在的垂直平分线上； （3）解：由（2）得，，又，， ，，， ， ． 题型四 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系 45．（24-25八年级上·全国·期末）在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N． (1)如图1，若，，则＝ ； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数； (4)通过以上的探索过程，直接写出的度数与，的关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论． （1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数； （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，即可求出的度数； （3）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，即可求出的度数； （4）由（2）（3）即可总结得出结论． 【详解】（1）解：垂直平分， ． ． 同理， ． ， ． （2）解：垂直平分， ． ． 同理， ． ． （3）解：垂直平分， ． ． 同理， ． ． （4）解：由（2）知当时， ． 由（3）知时， ， 综上，． 46．（21-22八年级上·福建龙岩·阶段练习）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，．    (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，，若平分，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含t的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作轴于点H，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，则可得出答案； （2）作轴于点E，并延长交的延长线于点F，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，则可得出答案； （3）连接，作于点M，于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，由折叠的性质得出，证得，则可求出答案． 【详解】（1）解：如图1中，    作轴于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 则； （2）解：如图2中，作轴于点，并延长交的延长线于点，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中，   ， ， ， 又， ， 点的纵坐标为； （3）解：如图3中，连接，作于点，于点，    ∵点E在的平分线上，平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，   ， ， 由折叠可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 47．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．      (1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：______． (2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，，请直接写出线段AF的长． 【答案】(1)（1） (2)结论：，证明见详解 (3)的长为或1 【分析】（1）结论：．利用线段的垂直平分线的性质证明即可． （2）结论：如图2中，过点作交的延长线于，连接．证明，推出，，再证明，可得结论． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．构建方程求解即可． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1中，   ，， 垂直平分， ． （2）结论：． 理由：如图2中，过点作交的延长线于，连接．   ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （3）如图中，当点在线段上时，设，则． ，， ， ， ， ， ． 如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．   ，， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 48．（21-22八年级下·陕西宝鸡·期中）将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将绕A点按逆时针方向旋转．如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)若是等腰三角形，则旋转角的度数为______． (2)在旋转过程中，连接AP，CE，求证：AP所在的直线是线段CE的垂直平分线． (3)在旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由． 【答案】(1)60°或15° (2)证明见解析 (3)能，或 【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据旋转的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠的度数；当∠CPN=90°时，由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠A NF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠的度数． 【详解】（1）解：当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形； ∵∠BAC=90°， ∴=90°-30°=60°， 当AM=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形， ∵∠C=30°， ∴∠CAM=∠AMC=75°， ∵∠BAC=90°， ∴=15°， 综上所述，当旋转角=60°或15°时，△AMC是等腰三角形， 故答案为：60°或15°； （2）证明：由题意可知，，，，， ∵现将绕A点按逆时针方向旋转， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点P在CE的垂直平分线上， ∵， ∴点A在CE的垂直平分线上， ∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线． （3）如图1所示：当时． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 如图2所示：当时． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$