专题02 轻松破解对数及对数函数的十七大常考题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版2019必修第一册

专题02 轻松破解对数及对数函数的十七大常考题型 题型一：对数概念的理解 1 题型二：指数式与对数式的互化 2 题型三：利用对数式性质求值 3 题型四：利用对数运算性质求值 4 题型五：利用换底公式求值 5 题型六：利用换底公式解含参数的求值问题 6 题型七：解与对数有关的方程问题 7 题型八：对数型函数过定点问题 8 题型九：反函数的理解与简单应用 8 题型十：对数型函数定义域问题 9 题型十一：对数型函数单调性问题.................................................................................................................10 题型十二：利用对数型复合函数单调性求参数范围 11 题型十三：对数型函数图像问题 12 题型十四：与对数函数有关的不等式问题 13 题型十五：对数型函数的值域问题.........................................................................................................................14 题型十六：对数型函数的综合性问题 15 题型十七：对数运算性质之与实际应用 17 题型一：对数概念的理解 对数式成立的条件 在对数式中，必须注意：真数大于0，底数大于0且不等于1． 1.（24-25高一上·河北衡水·随堂练习）给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（24-25高一上·山东德州·阶段测试）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·陕西·单元检测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·辽宁·课后练习）使对数有意义的的取值范围为　　 A． 且 B． C．且 D． 题型二　指数式与对数式的互化 指数式与对数式的互化 关于指数式与对数式互化，主要是看清各个字母的位置及意义 5.（24-25高一上·全国·随堂练习）把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式: （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 6.（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式. （1） ； （2）； （3）． 7.（24-25高一上·全国·课堂练习）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型三　利用对数式性质求值 利用对数性质求值的两注意 一是要注意底数与真数之间的关系，以免用错性质； 二是要注意结合对数的定义. 8.（24-25高一上·福建·期中）①； ②； ③若，则； ④若，则． 其中正确的是（    ） A． ①③ B．②④ C．①② D．③④ 9.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·四川成都·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，则 ; 12.（24-25高一上·北京·课后作业）求下列各式中x的值： (1) x＝； (2)x＝log9； (3)logx8＝－3； (4)logx＝4. 13.（24-25高一上·江苏扬州·课后作业）计算下列各式： (1)log2(log93); (2) ++2log31-3log77+2ln 1； (3) 14．（24-25高一上·江苏南京·期末）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 题型四　利用对数运算性质求值 利用对数的运算性质对底数相同的对数式的化简和求值，具体策略有两种： (1)“收”，将同底的两数的和(差)收成积(商)的对数,即逆用对数的运算性质求解； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即正用对数的运算性质求解. 15.（24-25高三上·青海·期中）（    ） A． B．0 C．1 D．2 16.（24-25高一上·全国·课后练习）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 17.（24-25高一上·新疆和田·期末）计算： 题型五　利用换底公式求值 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 (1)原则：化异底为同底； (2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底； ②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值. 18.（24-25高一上·江苏南京·课后练习）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 19.（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 20.已知，则__________． 21.（24-25高一上·全国·阶段练习） 用表示下列各式： （1） ； （2）； （3）. 22. 已知lg2=m,lg3=n,求的值. 23.（24-25高一上·湖北武汉·课堂练习）已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 24.（24-25高一上·全国·课后练习）化简下列各式： （1）； （2）. 25.（25-26高三上·山东青岛·开学考试） 化简. 题型六　利用换底公式解含参数的求值问题 换底公式之解含参数的求值问题 （1）用换底公式统一底数； （2）整理为关于参数的方程或不等式； （3）结合整体思想转化求解，同时要注意参数的取值限制. 26.（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 27.（24-25高二下·山东德州·期末）已知，若，则（   ） A． B． C． D．36 28.已知，，则 29.（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 30.（24-25高二下·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 31.（多选） （24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 32.求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 33.设，求证：. 题型七　解与对数有关的方程问题 对数方程的类型及解法 名称 题型 解法 基本型 logaf(x)＝b 将对数式转化成指数式f(x)＝ab 同底型 logaf(x)＝logag(x) 转化成f(x)＝g(x)，需验根 需代换型 F(logax)＝0 换元，令t＝logax，转化成关于t 的方程 34.（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）方程=的解是　　　　.   35.（24-25高一上·陕西渭南·随堂练习）方程lg(2x－3)＝1的解为 . 36.（24-25高三上·浙江·开学考试）方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 37. 已知，是方程的两根，则等于（   ） A． B． C． D． 题型八　对数型函数过定点问题 关于定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). 38.（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 39.（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 40（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 题型九　反函数的理解与简单应用 反函数的求法： （1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay； （2）将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax； （3）由y＝ax或y＝logax的值域，写出y＝logax或y＝ax的定义域。 41.（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 42.（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 43.（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）函数的反函数为， 则（     ） A．2 B．3 C．8 D．9 44. 求下列函数的反函数. (1)y＝10x； (2)y＝x； (3)y＝logx； (4)y＝log2x。 45.（2025高三·全国·专题练习）求函数的反函数. 题型十　对数型函数定义域问题 求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 注意：函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。 46.（2025高二下·湖南·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 47.（24-25高二下·浙江·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 48. 函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。 49.（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 50.（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 . 题型十一　　对数型函数单调性问题 求复合函数单调性的具体步骤 (1)求定义域； (2)拆分函数； (3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性； (4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． 51.函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 52.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 54． 已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 55.函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________. 56.求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间。 题型十二　　利用对数型复合函数单调性求参数范围 利用对数型复合函数单调性求参数范围 (1)本质还是复合函数单调性问题，需要注意帧数大于0，转化成内函数的单调性问题. (2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论． 57.（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 58.（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 59.（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 60.（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十三　　对数型函数图像问题 对数函数底数对图象的影响 其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象， 其大小关系为0<c<d<1<a<b. 　 61.如图所示,曲线是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,已知a取,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为(　　) A. B. C. D. 62. (多选)如图是三个对数函数的图象，则(　 　) A． B． C． D． 63.函数y=log2|x|的图象大致是(　 　) 64.作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象． 65.如图,曲线C1,C2,C3,C4分别是对数函数y=lox,y=lox,y=lox,y=lox的图象,你能指出a1,a2,a3,a4以及1的大小关系吗? 题型十四　　与对数函数有关的不等式问题 简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论． (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 66. 设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 67. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)，则满足不等式f(a－2a2)＋4>0的实数a的取值范围是________． 题型十五　　对数型函数的值域问题 关于值域问题 1.简单的对数函数求值域问题： 首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域． 2.与对数函数有关的复合函数值域： 一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)． 3.对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解． 68.（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 69.（24-25高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 70.（2025·湖北·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 71. 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 72. 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 73.（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 74.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 75.（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 76.（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 题型十六　　对数型函数的综合性问题 解决综合性问题的关注点 (1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提； (2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性． 77.（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 78.（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 79．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象恒过原点 B．若，则是增函数 C．若的定义域为，则的取值范围为 D．若的值域为，则的取值范围为 80．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 81．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数a的范围； (2)若函数的值域为，求实数a的范围； (3)若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围. 82.（2025高三·北京·专题练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若，且关于的方程在上有解，求的取值范围． 题型十七　　对数运算性质之与实际应用 对数函数模型在实际问题中的应用解题步骤： (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 83.（24-25高三上·北京·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，） A． B． C． D． 84.（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预瞥，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为（注：）（   ） A．2级 B．3级 C．4级 D．5级 85.（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 86.（24-25高一上·全国·课后作业）人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：，其中t表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了t年后剩余的质量．为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．的半衰期大约是5730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其的衰减速度为4.09个/（），而新砍伐树木烧成的木炭中的衰减速度为6.68个/（）．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．（参考数据：） 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 轻松破解对数及对数函数的十七大常考题型 题型一：对数概念的理解 1 题型二：指数式与对数式的互化 3 题型三：利用对数式性质求值 5 题型四：利用对数运算性质求值 7 题型五：利用换底公式求值 8 题型六：利用换底公式解含参数的求值问题 11 题型七：解与对数有关的方程问题 14 题型八：对数型函数过定点问题 15 题型九：反函数的理解与简单应用 16 题型十：对数型函数定义域问题 18 题型十一：对数型函数单调性问题. 19 题型十二：利用对数型复合函数单调性求参数范围 21 题型十三：对数型函数图像问题 23 题型十四：与对数函数有关的不等式问题 26 题型十五：对数型函数的值域问题 27 题型十六：对数型函数的综合性问题 31 题型十七：对数运算性质之与实际应用 35 题型一：对数概念的理解 对数式成立的条件 在对数式中，必须注意：真数大于0，底数大于0且不等于1． 1.（24-25高一上·河北衡水·随堂练习）给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】零和负数没有对数，命题①正确； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确； 以为底的对数叫作自然对数，命题④正确； 故正确命题是①③④， 故选：C. 2.（24-25高一上·山东德州·阶段测试）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 3.（24-25高一上·陕西·单元检测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 4.（24-25高一上·辽宁·课后练习）使对数有意义的的取值范围为　　 A． 且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】根据对数成立的条件，建立不等式即可得到结论． 【详解】要使对数有意义，则，解得， 故选：B． 题型二　指数式与对数式的互化 指数式与对数式的互化 关于指数式与对数式互化，主要是看清各个字母的位置及意义 5.（24-25高一上·全国·随堂练习）把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式: （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【解析】（1）因为，则. （2）因为，则. （3）因为，则. （4）因为，则. （5）因为，则. （6）因为，则. （7）解：因为，则. （8）因为，则. 6.（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式. （1） ； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】直接利用指数和对数的关系实现对指互化. 【详解】（1）由可得； （2）由得； （3）由可得． 7.（24-25高一上·全国·课堂练习）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：因为，, 所以． （2）因为，所以． （3）因为，所以． （4）因为，所以． 题型三　利用对数式性质求值 利用对数性质求值的两注意 一是要注意底数与真数之间的关系，以免用错性质； 二是要注意结合对数的定义. 8.（24-25高一上·福建·期中）①； ②； ③若，则； ④若，则． 其中正确的是（    ） A． ①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质计算逐一判断可得选项. 【详解】解：对于①，，故①正确； 对于②，，故②正确； 对于③，若，则，故③不正确； 对于④，若，则，故④不正确． 故选：C. 9.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数运算性质求出，再代入计算即可. 【详解】由条件知，所以，即， 所以． 故选：C. 10．（24-25高一上·四川成都·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据指、对数运算求解即可. 【详解】由题意可得：原式. 故选：C. 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，则 ; 【答案】 【详解】因为函数， 所以， 故答案为:. 12.（24-25高一上·北京·课后作业）求下列各式中x的值： (1) x＝； (2)x＝log9； (3)logx8＝－3； (4)logx＝4. 【详解】(1)由x＝，得＝4， 所以＝22，－＝2，x＝－4. (2)由x＝log9，可得9x＝，即32x＝所以2x＝，x＝. (3)由已知得x－3＝8，即＝23，＝2，x＝. (4)由已知得x＝＝. 13.（24-25高一上·江苏扬州·课后作业）计算下列各式： (1)log2(log93); (2) ++2log31-3log77+2ln 1； (3) 【详解】(1)设log93=x,则 9x=3,即32x=3,∴x=. 设log2=y,则2y==2-1, ∴y=-1.∴log2(log93)=-1. (2)+2log31-3lg 10+3ln 1=3+0-3+0=0. (3) ＝＝＝2. 14．（24-25高一上·江苏南京·期末）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 题型四　利用对数运算性质求值 利用对数的运算性质对底数相同的对数式的化简和求值，具体策略有两种： (1)“收”，将同底的两数的和(差)收成积(商)的对数,即逆用对数的运算性质求解； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)，即正用对数的运算性质求解. 15.（24-25高三上·青海·期中）（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用对数运算法则计算可求值. 【详解】． 故选：B. 16.（24-25高一上·全国·课后练习）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【详解】（1）； （2）； （3）. 17.（24-25高一上·新疆和田·期末）计算： 【分析】根据对数的运算法则进行化简求解. 【详解】. 题型五　利用换底公式求值 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 (1)原则：化异底为同底； (2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底； ②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值. 18.（24-25高一上·江苏南京·课后练习）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：B. 19.（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得. 【详解】 . 故选：C. 20. 已知，则__________． 【答案】 【解析】∵，∴，∴． 21.（24-25高一上·全国·阶段练习） 用表示下列各式： （1） ； （2）； （3）. 【详解】(1)； (1)； (3). 22. 已知lg2=m,lg3=n,求的值. 【分析】 将对数式lg2=m,lg3=n分别转化为指数式. 【解析】∵lg2=m,lg3=n, ∴. ∴ 23.（24-25高一上·湖北武汉·课堂练习）已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【详解】， （1）. （2） （3）. （4）. 24.（24-25高一上·全国·课后练习）化简下列各式： （1）； （2）. 【详解】（1）根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简可得 （2）根据对数的运算性质,化简可得 25.（25-26高三上·山东青岛·开学考试） 化简. 【详解】 题型六　利用换底公式解含参数的求值问题 换底公式之解含参数的求值问题 （1）用换底公式统一底数； （2）整理为关于参数的方程或不等式； （3）结合整体思想转化求解，同时要注意参数的取值限制. 26.（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 27.（24-25高二下·山东德州·期末）已知，若，则（   ） A． B． C． D．36 【答案】B 【分析】利用指数、对数运算法则计算即可得出结果. 【详解】由可得, 由可得； 所以. 故选：B 28.已知，，则 【答案】-1 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 29. 设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知. 故选：C 30.（24-25高二下·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值. 【详解】由题意得：， 所以或，即或， 因为，所以， 即， 取等号条件为，此时， 故选: D 31.（多选） （24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，可得，，， ，故A正确； ，故B正确； ，，所以，得， 又，所以，得，所以，，故C不正确； ，故D正确； 故选：ABD 32.求满足下列条件的各式的值： （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【详解】解：（1）， ； （2），. 【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题. 33. 设，求证：. 【详解】证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 题型七　解有关的方程 对数方程的类型及解法 名称 题型 解法 基本型 logaf(x)＝b 将对数式转化成指数式f(x)＝ab 同底型 logaf(x)＝logag(x) 转化成f(x)＝g(x)，需验根 需代换型 F(logax)＝0 换元，令t＝logax，转化成关于t 的方程 34.（24-25高三上·浙江·开学考试）方程的实数解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由换底公式变形解对数方程即可. 【详解】，所以或， 所以或， 所以方程的实数解有2个. 故选：C. 35.（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知，是方程的两根，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数关系、对数运算求得正确答案. 【详解】方程的判别式， 则， 所以. 故选：D 36.（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）方程=的解是　　　　.   [解析] ∵==3-3,∴log2x=-3,∴x=2-3=. 37.（24-25高一上·陕西渭南·随堂练习）方程lg(2x－3)＝1的解为 . 【答案】 【分析】将对数式转为指数式即可求出解. 【详解】由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝. 故答案为: . 题型八　对数型函数过定点问题 关于定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). 38.（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】D 【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果. 【详解】函数的图象恒过定点， 又点在的图象上， ，即， 故选：D. 39.（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 【分析】由题意建立方程求解即可． 【解答】解：因为函数y＝loga（4﹣x）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，2）， 所以2＝loga4，解得a＝2， 所以函数的解析式为：y＝log2（4﹣x）． 故答案为：y＝log2（4﹣x）． 40（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 【分析】（1）根据待定系数法求出解析式，再求值即可； （2）求出表达式，根据对数函数的性质得到真数为正，构造不等式组计算即可． 【详解】（1）由题意可得，可得，故，故； （2）， 其中，解得， 此时函数的定义域为． 题型九　反函数的理解与简单应用 反函数的求法： （1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay； （2）将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax； （3）由y＝ax或y＝logax的值域，写出y＝logax或y＝ax的定义域。 41. 求下列函数的反函数. (1)y＝10x； (2)y＝x； (3)y＝logx； (4)y＝log2x。 【详解】 (1)由y＝10x，得x＝lg y，∴其反函数为y＝lg x； (2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx； (3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x； (4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x. 42.（2025高三·全国·专题练习）求函数的反函数. 【分析】由反函数的定义求解即可. 【详解】由题意令，解得. 43.（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用反函数的定义求得，可求的值. 【详解】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，所以． 故选：B． 44.（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抓住关于直线对称的点为即可求解. 【详解】因为关于直线对称的点为，则的对称点为， 又在函数的图象上，故，解得， 故选：. 45.（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）函数的反函数为， 则（     ） A．2 B．3 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求出函数的反函数，再将代入反函数计算. 【详解】因为原函数为，根据反函数的定义，对数函数与指数函数互为反函数， 所以其反函数为，所以. 故选：D. 题型十　对数型函数定义域问题 求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 注意：函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。 46.（2025高二下·湖南·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零列不等式即可求解. 【详解】由，解得. 故选：B. 47.（24-25高二下·浙江·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 48. 函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。 【详解】 由2－3x>0，得x<， 所以，f(x)的定义域是. 49.（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 50.（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据具体函数定义域的求法直接可得解. 【详解】由已知，则， 解得或， 即函数的定义域为， 故答案为：. 题型十一　　对数型函数单调性问题 求复合函数单调性的具体步骤 (1)求定义域； (2)拆分函数； (3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性； (4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． 51. 函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4， 结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则， 可得函数的单调增区间为(4，＋∞)， 故选D. 52．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 53．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复合函数单调性可得，再解不等式组即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且大于零恒成立， 则，解得. 故选：B. 54．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数及对数函数的单调性，结合充分条件、必要条件的概念求解. 【详解】取时，满足，但无意义，故不成立； 若，根据对数函数的单调性可知，再由幂函数的单调性可得； 故“”是“”的必要充分条件. 故选：B 55. 函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________. 【详解】由x2－1>0，得x>1，或x<－1． 令u＝x2－1，则u在(－∞，－1)上递减，在(1，＋∞)上递增，又y＝log2a是增函数， 则y＝log2(x2－1)的递增区间是(1，＋∞). 56.求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间。 【详解】由3－2x>0，解得x<，设t＝3－2x，x∈， ∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数， ∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数， 即函数y＝log0.3(3－2x)的单调递增区间是，没有单调递减区间. 题型十二　　利用对数型复合函数单调性求参数范围 利用对数型复合函数单调性求参数范围 (1)本质还是复合函数单调性问题，需要注意帧数大于0，转化成内函数的单调性问题. (2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论． 57.（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性，结合定义域列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，且恒有， 因此且，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 58.（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的底数大于0，可得内函数为增函数，结合复合函数的单调性可得，再由对于恒成立，可得的取值范围，再求交集即可. 【详解】是由，复合而成， 由题意知：，在区间上单调递增， 若函数（其中且）在区间上单调递减， 所以单调递减，可得： , 又对于恒成立， 所以，解得：， 综上所述：. 故选：A 59.（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 60.（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围. 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 题型十三　　对数型函数图像问题 对数函数底数对图象的影响 其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象， 其大小关系为0<c<d<1<a<b. 61.如图所示,曲线是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,已知a取,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 作直线y=1与四条曲线分别交于四点, 由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数), 所以横坐标小的底数小, 所以C1,C2,C3,C4对应的a值分别为. 故选：A. 62.（21-22高一下·湖南·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 63.函数y=log2|x|的图象大致是(　 　) 【答案】A 【详解】函数y=log2|x|为偶函数,且x>0时,y=log2x, 故选A. 64.作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象． 【详解】第一步：作出函数y＝log2x的图象(如图①)； 第二步：将y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象(如图②)； 第三步：将函数y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图③)． 65.如图,曲线C1,C2,C3,C4分别是对数函数y=lox,y=lox,y=lox,y=lox的图象,你能指出a1,a2,a3,a4以及1的大小关系吗? 【详解】作直线y=1(图略),它与各曲线C1,C2,C3,C4的交点的横坐标就是各对数函数的底数, 由此可判断出各底数的大小,则a4>a3>1>a2>a1>0. 题型十四　　与对数函数有关的不等式问题 简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论． (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 66. 设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 【答案】C 【详解】　由题意得或 解得a＞1或－1＜a＜0.故选C. 故选：C. 67.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)，则满足不等式f(a－2a2)＋4>0的实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)， 则f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，且f(15)＝log2(15＋1)＝4. 又函数f(x)为奇函数，且函数f(x)是R上的连续函数， 则f(x)在R上为增函数． 因为f(a－2a2)＋4>0，即f(a－2a2)>－4， 所以f(a－2a2)>f(－15)，即a－2a2>－15，解得－<a<3. 题型十五　　对数型函数的值域问题 关于值域问题 1.简单的对数函数求值域问题： 首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域． 2.与对数函数有关的复合函数值域： 一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)． 3.对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解． 68.（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出指数函数、对数函数值域，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 69.（24-25高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，求出其值域，化简集合 ，利用并集运算即可求解. 【详解】因为指数函数是上的增函数， 所以由,得,则, 因为对数函数是上的减函数， 所以由, 得,则 故. 故选：C 70.（2025·湖北·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为对数函数是上的减函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的增函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 71. 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 72. 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 【答案】A 【详解】∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)． 故选：A. 73.（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 74.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 75.（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 【答案】 【分析】先得到二次函数的值域，再结合对数函数的单调性，即可得到结果. 【详解】对于，对称轴为， 所以， 又在上单调递增，其中， 所以当时，取得最小值，即， 所以，即函数的值域为. 故答案为： 76.（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 题型十六　　对数型函数的值域问题 解决综合性问题的关注点 (1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提； (2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性． 77.（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在上的值域与在上的值域的并集为R，据此可得答案. 【详解】在上单调递增，则在上的值域为. 若时，函数在上单调递减， 值域为，与并集不是R，故不满足题意； 若时，函数在上单调递增， 值域为，要使与并集为R，则， 即满足题意. 故选：B 78.（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质分析可知的值域为，结合题意可得，结合对数函数性质列式求解即可. 【详解】设的值域分别为， 当时，则，可得； 因为的值域为，可知， 则，且，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 79．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象恒过原点 B．若，则是增函数 C．若的定义域为，则的取值范围为 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】对于A：直接代入运算即可；对于B：举反例说明即可；对于C：分析可知对任意恒成立，结合判别式分析运算；对于D：分析可知的值域包含，结合判别式分析运算. 【详解】因为函数， 对于选项A：因为，所以的图象恒过原点，故A正确； 对于选项B：若，则， 因为，可知不是增函数，故B错误； 对于选项C：若的定义域为，则对任意恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则的值域包含， 则，解得或， 所以的取值范围为，故D错误； 故选：AC. 80．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【分析】（1）定义域为，说明真数恒大于0，列式求解； （2）值域为，说明真数能取遍，列式求解. 【详解】定义域为即真数恒大于0，则或，得 所以的取值范围是． （2）值域为即真数能取遍 当时，成立， 当，解得， 所以的取值范围是 故答案为：； 81．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数a的范围； (2)若函数的值域为，求实数a的范围； (3)若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围. 【详解】（1）∵函数的定义域为，∴时，恒成立， ①当时，，∴与相矛盾，故不符合题意；- ②当时，则，∴ 综上所述：实数a的范围为. （2）∵函数的值域为，∴要取遍所有正数， ①当时，，符合题意； ②当时，则，∴ 综上所述：：实数a的范围为：. （3）∵单调递减，且函数在区间上是增函数， ∴在上单调递减，且恒成立. ①当时，，且，∴在上单调递减，且恒成立，符合题意； ②当时，则，∴. ③当时，则，∴，∴. 综上所述：实数a的范围为：. 82．（2025高三·北京·专题练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若，且关于的方程在上有解，求的取值范围． 【分析】（1）令对数的真数大于零，求解可得结果； （2）分离出参数， 使得在上有解，令，根据单调性求出的范围，可得结果. 【详解】（1），，解得：． 所以函数的定义域为； （2）由题设知，关于的方程在上有解， 令， 由于在上单调递增， 故在上单调递减，而，则， 所以，即. 题型十七　　对数运算性质之与实际应用 对数函数模型在实际问题中的应用解题步骤： (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 83.（24-25高三上·北京·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，） A． B． C． D． 【分析】由已知可列方程，结合指对数的转化公式化简求值. 【详解】设经过天“进步者”是“退步者”的倍， 即， 即， 化简可得， 故选：A. 84.（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预瞥，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为（注：）（   ） A．2级 B．3级 C．4级 D．5级 【答案】D 【分析】代入,根据指对互化即可求解. 【详解】将代入公式得， 所以，即该地区此次大风的风力等级约为5级， 故选:D． 85.（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】C 【分析】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案. 【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 86.（24-25高一上·全国·课后作业）人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：，其中t表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了t年后剩余的质量．为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．的半衰期大约是5730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其的衰减速度为4.09个/（），而新砍伐树木烧成的木炭中的衰减速度为6.68个/（）．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．（参考数据：） 【分析】首先由衰减规律得，从而，进一步由题意得，即，解指数方程即可进一步求解. 【详解】因为的半衰期大约是5730年，所以由衰减规律，得． 解得．因此的衰减规律服从指数型函数． 设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时（1950年），该木炭已衰减了年． 因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，所以， 于是． 两边取以2为底的对数，得． 解得． 所以该木炭已衰减了约4055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$