第4章 06 思想方法练4(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数运算与对数函数，围绕方程、数形结合、转化与化归、分类讨论四种思想展开专题练习，通过地震能量计算等实际问题导入，衔接指数函数知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题情境培养数学眼光，借助函数图象分析发展数学思维，通过规范推导强化数学语言。如用方程思想解决地震能量倍数问题，数形结合分析方程根的分布，帮助学生提升复杂问题解决能力，为教师提供系统的思想方法教学资源。

第四章 对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 思想方法练4 第1讲　描述运动的基本概念 一、方程思想在对数函数中的应用 1.[2025江苏连云港期中]经过研究,地震发生时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关 系为lg E=4.8+1.5M.若甲地发生里氏4.5级地震,乙地发生里氏8.0级地震,则乙地地震释放出的能量是甲 地地震释放出的能量的 ( ) A.5.25倍　    B.5.2倍　    C.105.25倍　    D.105.2倍     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设甲地发生的里氏4.5级地震释放出的能量为E1焦耳,乙地发生的里氏8.0级地震释放出的能量 为E2焦耳,则lg E1=4.8+1.5×4.5,lg E2=4.8+1.5×8.0, 根据题意列出关于E1,E2的对数方程,体现了方程思想. 即E1=104.8+1.5×4.5,E2=104.8+1.5×8.0, 所以 = =105.25, 即乙地地震释放出的能量是甲地地震释放出的能量的105.25倍. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖北武汉月考]已知函数f(x)=lg  ,f(1)=0,当x>0时,恒有f(x)-f  =lg x. (1)求f(x)的解析式及定义域; (2)若方程f(x)=lg t有解,求实数t的取值范围; (3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为⌀,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)根据题意列出对数方程,通过对数的运算性质得到关于a,b的方程,体现了方程思想. 由题得当x>0时,lg  -lg  =lg x,即lg  -lg  =lg x,即lg  ·  =lg x,∴ · = x, 整理得(a-b)x2-(a-b)x=0,∴a=b, 又f(1)=0,即lg  =0,∴a+b=2,从而a=b=1, ∴f(x)=lg  . 令 >0,得x<-1或x>0,∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞). (2)方程f(x)=lg t有解,即lg  =lg t有解, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴t= =2- ≠2,∴x(2-t)=t,∴x= , 结合(1)知 <-1或 >0,解得t>2或0<t<2, ∴实数t的取值范围是(0,2)∪(2,+∞). (3)方程f(x)=lg(8x+m)即lg  =lg(8x+m),∴ =8x+m,即8x2+(6+m)x+m=0. 方程的解集为⌀,有两种情况: ①方程8x2+(6+m)x+m=0无解,即Δ=(6+m)2-32m<0,解得2<m<18; ②方程8x2+(6+m)x+m=0有解,且根均在[-1,0]内,令g(x)=8x2+(6+m)x+m, 则 解得0≤m≤2. 综上所述,实数m的取值范围是[0,18). 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　在对数函数问题中,利用条件得到等式,运用代数手段构造方程,通过方程的知识结合对数 的相关知识解决问题,是最基本的方法之一. 第1讲　描述运动的基本概念 二、数形结合思想在对数函数中的应用 3.[2026江西南昌第二中学月考]设关于x的方程 =|log2x|有两个不相等的实数根a,b,且a<b,则下列结 论正确的是 ( ) A.0<a< 　    B.1<b<  C.ab>1　     D.logab<-1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　画出y= 和y=|log2x|的函数图象,如图:   通过画出y= 和y=|log2x|的图象,由图象的直观性得出相应结论. 显然0<a<1,b>1,  =-log2a= a, =log2b, 第1讲　描述运动的基本概念 由于 = ,  =1,故 <  , 结合图象知a> ,故 <a<1,A错误; 由于 = < ,log2 >log2 = ,故log2 > ,结合图象知1<b< ,B正确;  =-log2a, =log2b,两式相减得log2b+log2a= - <0, 故log2(ab)<0,则0<ab<1,C错误; 由C知0<ab<1,故b< ,又 <a<1,所以y=logax在(0,+∞)上单调递减, 故logab>loga =-1,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026福建莆田三中月考]已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)-a=0有实根,分别 记为x1,x2,x3,…,xn,且x1<x2<…<xn,则下列结论正确的是 ( ) A.a≥0 B.当n=4时,a的取值范围为[1,2) C.当n=4时,x1+x2+x3+x4的取值范围为  D.任意直线y=kx+b(k≠0)都与函数f(x)的图象有交点     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　方程f(x)-a=0的实根即为y=f(x)的图象与直线y=a交点的横坐标, 在同一坐标系内作出函数f(x)的图象及直线y=a,如图,   作出分段函数的图象,通过数形结合分析出变量的取值范围. 对于A,a≥0,A正确; 对于B,当n=4时,直线y=a与函数y=f(x)的图象有4个交点, 结合图象知a的取值范围为[1,2),B正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于C,当n=4时,x1+x2=0,x4-1=2a∈[2,4), 由|log2(x3-1)|=|log2(x4-1)|,得(x3-1)(x4-1)=1,则x3= +1, 因此x1+x2+x3+x4=x3+x4= +1+x4= +(x4-1)+2, 令x4-1=t,t∈[2,4),函数y= +t在[2,4)上单调递增,则 +(x4-1)+2∈ ,C正确; 对于D,如图,过点(1,2), 作直线,与函数y=f(x)的图象没有交点,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025湖北黄冈中学月考]设a,b分别是方程log2x+x+2=0与2x+x+2=0的根,则a+b=_______. 　-2     解析　由log2x+x+2=0可得log2x=-x-2,由2x+x+2=0可得2x=-x-2, 所以a是y=log2x的图象与直线y=-x-2的交点的横坐标, b是y=2x的图象与直线y=-x-2的交点的横坐标, 画出函数y=log2x,y=2x的图象及直线y=-x-2,将方程的根转化为图象交点的横坐标,体现了数形结合的思 想. 在同一平面直角坐标系内画出函数y=log2x,y=2x的图象及直线y=-x-2. 易知函数y=2x与y=log2x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,故它们与 直线y=-x-2的交点也关于直线y=x对称. 联立 解得x=-1,故a+b=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　与对数函数有关的方程的根的问题,常通过画出相应函数的图象,将方程的根转化为函数图 象交点的横坐标,进而解决问题,这是数形结合思想在本章中的重要体现.利用数形结合思想解决函数 问题时应注意以下几点:①准确画出函数图象,注意函数的定义域;②科学设置参数,并建立参数之间的 关系,将数与形进行合理转换;③掌握数学曲线中的代数特征,掌握参数的取值对曲线形状和位置的影 响. 第1讲　描述运动的基本概念 三、转化与化归思想在对数函数中的应用 6.若实数a,b,c满足6a=12ac=3,3b-ab=5a-ab,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.a>b>c　    B.b>c>a　     C.c>a>b　    D.c>b>a     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　∵6a=3,∴a=log63,∵12ac=3,∴ac=log123, 则c= =log126,1-a=log62, 又3b-ab=5a-ab,∴ =5a-ab,  = ,∴61-a= , ∴ -1=log561-a=(1-a)log56=log62×log56=log52, ∴ =log510,即b=lg 5, 将a,b,c通过换底公式转换成自然对数的形式,再比较大小. 则a=log6 =1-log62=1- , b=lg  =1-lg 2=1- , 第1讲　描述运动的基本概念 c=log12 =1-log122=1- , ∵- <- <- ,∴a<b<c. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025吉林省实验中学月考]若函数f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a),a>0且a≠1. (1)若f(4a)=3,求a的值; (2)当a= 时,若方程f(x)=lo (p-x)在(2,3)上有解,求实数p的取值范围; (3)当a>1时,是否存在实数a,使得f(x)≤2在[a+3,a+4]上恒成立?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请 说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意,f(4a)=loga(2a)+logaa=loga2+logaa+1=loga2+2=3,即loga2=1,所以a=2. (2)当a= 时,f(x)= (x-1)+lo  =lo  (x-1)  ,其定义域为 . 方程f(x)= (p-x)中,p-x>0,即p> , 由对数函数y=lo x在(0,+∞)上单调递减,可知(x-1)· =p-x,即x2- x+ -p=0, 令g(x)=x2- x+ -p= + -p,显然g(x)在(2,3)上单调递增, 将方程f(x)=lo (p-x)在(2,3)上有解转化为函数g(x)的图象在(2,3)上与x轴有交点. 由方程f(x)= (p-x)在(2,3)上有解,得g(x)的图象在(2,3)上与x轴有交点, 因此 即  第1讲　描述运动的基本概念 解得 <p<6, 所以实数p的取值范围为 . (3)当a>1时,可知函数f(x)的定义域为(3a,+∞), f(x)=loga[(x-2a)(x-3a)]=loga(x2-5ax+6a2), 假设存在实数a>1,使得f(x)≤2在[a+3,a+4]上恒成立, 将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题. 由[a+3,a+4]⊆(3a,+∞),得a+3>3a,解得a< ,则1<a< . 函数y=x2-5ax+6a2= - ,其图象开口向上,对称轴为直线x= a,由a+3- =3- >0,即a+3> ,知函 数y=x2-5ax+6a2在区间[a+3,a+4]上单调递增, 第1讲　描述运动的基本概念 又函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在[a+3,a+4]上单调递增, 则函数f(x)在[a+3,a+4]上的最大值为f(a+4)=loga(2a2-12a+16), 依题意,loga(2a2-12a+16)≤2,则2a2-12a+16≤a2,即a2-12a+16≤0, 解得6-2 ≤a≤6+2 , 而6-2 > , 所以不存在满足题意的a. 思想方法　在对数的运算中,常通过换底公式将不同底的对数转化为同底的对数,方便进行运算;在对 数函数问题中,常将不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题,这些都是转化与化归思想在本章 中的应用. 第1讲　描述运动的基本概念 四、分类讨论思想在对数函数中的应用 8.[2026安徽马鞍山二中月考]已知函数f(x)= -alog2x2,x∈ . (1)当a=1时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)的最小值为-2,求实数a的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)= -alog2x2= -2alog2x,x∈ , 令t=log2x,因为x∈ ,所以t∈[-1,2],令y=t2-2at, 当a=1时,y=t2-2t,其图象开口向上,对称轴方程为t=1,所以y=t2-2t在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增, 当t=1时,ymin=-1,当t=-1时,ymax=3, 则f(x)min=ymin=-1,f(x)max=ymax=3, 故函数f(x)的值域为[-1,3]. (2)同(1),令t=log2x,x∈ ,y=t2-2at,t∈[-1,2],易得y=t2-2at的图象的对称轴方程为t=a, 二次函数图象的对称轴与定义域的关系的讨论. 若a<-1,则y=t2-2at在[-1,2]上单调递增, 第1讲　描述运动的基本概念 当t=-1时,ymin=2a+1=-2,得a=- ,符合题意; 若-1≤a≤2,则y=t2-2at在[-1,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增, 当t=a时,ymin=-a2=-2,得a= (a=- 舍去),符合题意; 若a>2,则y=t2-2at在[-1,2]上单调递减, 当t=2时,ymin=4-4a=-2,得a= ,与a>2矛盾,舍去. 综上,a=- 或a= . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河北唐山一中月考]已知函数f(x)=lo (ax2+4x+a-3)(a∈R). (1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (2)若f(x)的值域为R,求a的取值范围; (3)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知ax2+4x+a-3>0对任意的x∈R恒成立, f(x)的真数必须大于0,但真数中二次项系数a不确定,故需对a与0的大小关系分类讨论. 当a=0时,4x-3>0,解得x> ,不符合题意; 当a≠0时, 解得a>4. 综上,a的取值范围是(4,+∞). (2)若f(x)的值域为R,则函数u=ax2+4x+a-3的值域包含(0,+∞), 函数u=ax2+4x+a-3中的二次项系数a不确定,故需对a是不是0分类讨论,从而确定其值域是否包含(0,+ ∞). 当a=0时,u=4x-3,符合题意; 当a≠0时,得 解得0<a≤4. 第1讲　描述运动的基本概念 综上所述,若f(x)的值域为R,则a的取值范围为[0,4]. (3)f(x)= (ax2+4x+a-3)(a∈R)由y= t和t=ax2+4x+a-3复合而成, 显然y= t在定义域上单调递减,所以要使f(x)在区间[1,2]上单调递减, 则t=ax2+4x+a-3在区间[1,2]上单调递增,且t=ax2+4x+a-3>0在区间[1,2]上恒成立, 函数t=ax2+4x+a-3中的二次项系数a不确定,故需对a是不是0分类讨论,从而确定其单调性. 当a=0时,函数t=4x-3在区间[1,2]上单调递增,且t=4x-3>4×1-3=1>0,符合题意; 当a>0时,由题意知 所以a>0; 当a<0时,由题意知 所以- <a<0. 综上,a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏苏州联考]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=loga(a2x+1)-bx,其中a>0且a≠1,b∈R. (1)求实数b的值; (2)若函数g(x)=af(x)+x-2m·ax,x∈{x|x(x-loga3)≤0},是否存在实数m,使得函数g(x)的最小值为-2?若存在,求出 m的值;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),即loga(a2x+1)-bx=loga(a-2x+1)+bx, 则loga =2bx,即loga =loga =logaa2x=2bx,则2bx=2x对任意的x∈R都成立, 故2b=2,解得b=1, 此时f(x)=loga(a2x+1)-x,其定义域为R,且f(-x)=loga(a-2x+1)+x=loga +x=loga(a2x+1)-2x+x=loga(a2x+1)-x=f (x), 所以函数f(x)是偶函数,符合题意,故b=1. (2)存在. 对于不等式x(x-loga3)≤0,令x(x-loga3)=0,解得x=0或x=loga3. 对数式loga3的底数中含有参数a,其范围会影响不等式的解集,故可分0<a<1和a>1两种情况讨论,借助对 数函数的单调性得到loga3与0的大小关系. 第1讲　描述运动的基本概念 若a>1,则loga3>0,故不等式的解集为[0,loga3],此时ax∈[1,3]; 若0<a<1,则loga3<0,故不等式的解集为[loga3,0],此时ax∈[1,3]. 由(1)知,f(x)=loga(a2x+1)-x, 又g(x)=af(x)+x-2m·ax,x∈{x|x(x-loga3)≤0}, 故g(x)= -2max=a2x-2max+1, 令ax=t,则t∈[1,3],函数g(x)=a2x-2max+1等价为函数h(t)=t2-2mt+1,t∈[1,3],则g(x)min =h(t)min , 易知二次函数y=t2-2mt+1,t∈R的图象开口向上,对称轴为直线t=m, 抛物线的对称轴方程t=m中含有参数m,故需对m与区间[1,3]的关系进行分类讨论. ①当m≤1时,函数h(t)在[1,3]上单调递增,故h(t)min =h(1)=2-2m, 令2-2m=-2,解得m=2,不满足m≤1,故舍去; ②当1<m<3时,函数h(t)在[1,m)上单调递减,在(m,3]上单调递增,故h(t)min =h(m)=-m2+1, 第1讲　描述运动的基本概念 令-m2+1=-2,解得m=± , 又1<m<3,故m= 满足题意; ③当m≥3时,函数h(t)在[1,3]上单调递减,故h(t)min =h(3)=10-6m, 令10-6m=-2,解得m=2,不满足m≥3,故舍去. 综上所述,存在实数m= ,使得函数h(t)在区间[1,3]上的最小值为-2, 即存在实数m= ,使得函数g(x)的最小值为-2. 思想方法　在对数(型)函数问题中,底数对函数的图象和性质有影响,当底数的值不确定时要注意对底 数进行分类讨论;与对数函数有关的复合函数问题中,判断单调性时,可根据同增异减的原则确定分类 标准,然后分类求解.这些都是分类讨论思想在本章中的重要体现. 第1讲　描述运动的基本概念 $