第五章 一元一次方程 习题课件2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

第3课时　解一元一次方程(3)——去括号 1．解下列方程时，去括号正确的是( ) A．由2(x－1)＝x＋3，得2x－1＝x＋3 B．由－5(1－x)＝4，得－5－5x＝4 C．由3(2－4x)＝3，得6－12x＝3 D．由3＝4(1－x)，得－3＝4－4x 2．如果关于x的方程5(x＋b)－10＝bx＋4的解为x＝4，那么b的值为( ) A．6 B．－7 C．－6 D．7 3．如果3(x－2)与2(3－x)互为相反数，那么x的值是( ) A．1 B．0 C．2 D．3 5.[新定义]定义：若a－b＝m，则称a与b是关于m的关联数．例如：若a－b＝2，则称a与b是关于2的关联数．若3x＋1与2x－4是关于3的关联数，则x的值是( ) A．－1 B．－2 C．3 D．6 6．小颖按如图所示的程序输入一个正数x，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3x－15＝ 1－2x＋6 8.[新定义]定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我 们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x＝4和3x＋6＝0为 “兄弟方程”．若关于x的方程2x＋3m－2＝0和3x－5m＋4＝0是 “兄弟方程”，则m的值为__． 2 9.[新定义]定义新运算：x*y＝x＋y－xy，例如：2*(－3)＝2＋ (－3)－2×(－3)＝5，那么当[(－x)*(－2)]*2＝2x时，x＝____． －4 解：(1)3(2x＋6)＝－x－17， 去括号，得6x＋18＝－x－17， 移项，得6x＋x＝－18－17， 合并同类项，得7x＝－35， 系数化为1，得x＝－5； (2)4(x－2)－1＝3(x－1)， 去括号，得4x－8－1＝3x－3， 移项，得4x－3x＝8＋1－3， 合并同类项，得x＝6； (3)4(x＋1)－5(x－3)＝11， 去括号，得4x＋4－5x＋15＝11， 移项，得4x－5x＝11－15－4， 合并同类项，得－x＝－8， 系数化为1，得x＝8； (4)4(x－1)－ (2x＋6)＝11， 去括号，得4x－4－x－3＝11， 移项，得4x－x＝11＋3＋4， 合并同类项，得3x＝18， 系数化为1，得x＝6. 11．一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数，求这个两位数． 解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为7－x， 由题意列方程，得10x＋7－x＋45＝10(7－x)＋x， 解得x＝1， 则7－x＝7－1＝6， 答：这个两位数为16. 12．[2024·白云区期末]解方程：2(3－4x)＝1－3(2x－1)． 解：去括号，得6－4x＝1－6x－1，(第一步) 移项及合并同类项，得2x＝－6，(第二步) 系数化为1，得x＝－3.(第三步) 以上解方程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正 确的解答过程． 解：不正确，错在第一步．改正如下： 去括号，得6－8x＝1－6x＋3， 移项及合并同类项，得－2x＝－2， 系数化为1，得x＝1. 13．如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为－6，0，10，点C是数轴上一动点，其表示的数为x. (1)若点C到A，B两点的距离相等，点C表示的数是 ； (2)点C到点B的距离是点C到点A的距离的3倍，则点C对应的数是 ； (3)数轴上是否存在点C，使得点C到点A，点B的距离之和为25？若存在，直接写出x的值，若不存在，说明理由． 解：(1)因为在数轴上，点A，B在数轴上表示的数分别为－6，10，点C表示的数为x， 又因为点C到A，B两点的距离相等， AC＝x－(－6)，BC＝10－x， 所以x－(－6)＝10－x，解得x＝2， 所以点C表示的数是2； 故答案为：2； (2)因为在数轴上，点A，B在数轴上表示的数分别为－6，10，点C表示的数为x， 所以AC＝|－6－x|，BC＝|10－x|， 又因为点C到点B的距离是点C到点A的距离的3倍， 所以|10－x|＝3|－6－x|，所以10－x＝3(－6－x)或10－x＝－3(－6－x)， 当10－x＝3(－6－x)时，解得x＝－14， 当10－x＝－3(－6－x)时，解得x＝－2. 综上所述，点C到点B的距离是点C到点A的距离的3倍，则点C对应的数是－14或－2. 故答案为：－14或－2； (3)存在，x的值为－10.5或14.5，理由如下： 因为点A，B在数轴上表示的数分别为－6，10， 所以AB＝10－(－6)＝16， 所以当点C在点A，B之间时，CA＋CB＝16， 所以当点C在数轴上，且到点A，点B的距离之和为25时，有以下两种情况： ①当点C在点A的左边时，AC＝－6－x，BC＝10－x， 所以－6－x＋10－x＝25， 解得x＝－10.5； ②当点C在点B的右边时，AC＝x－(－6)，BC＝x－10， 所以x－(－6)＋x－10＝25， 解得x＝14.5， 综上所述，x的值为－10.5或14.5. 14．[2024·兴隆县期末]如图，数轴上两点A，B表示的数分别 为a，b，则A，B两点的距离为AB＝|a－b|. 【知识运用】已知数轴上A，B两点对应数分别为a和b，且(a＋ 2)2＋|b－6|＝0，P为数轴上的一个动点． (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)若点A，点B同时向左运动，点A的速度为1个单位长度/秒，点B的速度为3个单位长度/秒，则运动时间为 秒时，点B可以追上点A，此时点B表示的数为 ； (3)若点A，点B同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时，点P从数轴上表示－16的点处出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．设运动时间为t秒，则经过多长时间后，点A，点B，点P三点中，其中一点是另外两点的中点？ 解：(1)因为(a＋2)2≥0，|b－6|≥0，且(a＋2)2＋|b－6|＝0， 所以(a＋2)2＝0，|b－6|＝0， 所以a＋2＝0，b－6＝0， 所以a＝－2，b＝6， 故答案为：－2，6； (2)设经过x秒点B追上点A，则点A对应的数是－2－x，点B对应的数是6－3x， 根据题意，得－2－x＝6－3x，解得x＝4， 所以6－3x＝－6， 所以运动4秒时，点B追上点A，此时点B表示的数是－6， 故答案为：4，－6； (3)根据题意，得点A对应的数是－2－t，点B对应的数是6－t， 点P对应的数是－16＋2t， 所以AB＝6－t－(－2－t)＝8， 当点A是PB的中点时，则－2－t－(－16＋2t)＝8，解得t＝2； 当点P是AB的中点时，则(－16＋2t)－(－2－t)＝ ×8， 解得t＝6； 当点B是AP的中点时，则－16＋2t－(6－t)＝8，解得t＝10， 综上所述，经过2 s，6 s或10 s时，满足题意. 4.[新定义]将四个数a，b，c，d排列成eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))，并且规定eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))＝ad－bc，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x＋2,1－x,3,2)))的值为11，则x的值为( ) A．－2 B．5 C．－5 D．2 7．将15eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x－1))＝1－2(x－3)去括号后，方程转化为 ． 10．解方程 (1)3(2x＋6)＝－x－17； (2)4(x－2)－1＝3(x－1)； (3)4(x＋1)－5(x－3)＝11； (4)4(x－1)－eq \f(1,2)(2x＋6)＝11. eq \f(1,2) eq \f(1,2) $$第4课时解一元一次方程(4)—去分母 夯基础 12021~阅清具期末灯解方帮3-1，， 2 去分母正确的 是() A.3x+9-6=2x-8 B.3(x+3)-1=2(2x-4) C.3x+9-1=4x-8 D3(x+3)-6=2(2x-4) 2.[2024:曹县期末若；2x-)与。+3互为相反数，则×的值 为() A. 50 10 8 7 C. 1 D.-1 3.[2024·重庆期末]已知关于x的一元一次方程x-3x-x十3 6 2 一1的解是偶数，则符合条件的所有整数a的和为( 4-12 B.-14 C.-20 D.-32 4.[新定必[2024·合川区期末]定义一种新的运算：对于任意的有 理数a,b,都有ab= 2a+3b 3 a⊕b-a2b 2, 如a=3,b=1时， 2×3+3×1 a b= 3 8,ab=39X1 2 2 下列说法： ①若b=0,则6ab)+a®b) 9 ②若3x1=-[(x-6)⊕41，则x=一号 ③若a=6,则|ab十a⊕b的最小值为7.其中正确的个数 是() A.0个 B.1个 C2个 D.3个 屏折：因为a0b= g0b 2a+3b a-2b 2 所以当b=0时，6(aob)+(aeb)=6× 2a+3x0+80=4+ 3 19 2=2a 所以①的说法正确； 因为a0b= g6日 2a+3b b=日-2b 2 所以3x©1=-(x-6)⊕4， 即2x3x+3x1X-6-2×4 3 2 务稻x 所以②的说法错误； 2a+3b 2 所以当a=6时，|aob|+la©bl 2×6+3b =3 =|4+b1+13-b, 当b<-4时，|4+b+l3-b=-4-b+3-b=-1-2b>7, 当-4≤b≤3时，|4+bl+l3-b=4+b+3-b=7; 当b>3时，14+b+l3-b=4+b+b-3=2b+1>7, 所以若a=6,a⑧b+|a⊕b的最小值为7，所以③的说法正确， 综上所述，正确的是①③，共2个. 43 5.当x9时，式子2g5与+：的管互为相反数 6.新定义刘[2024·临漳县期木]符号“cd ” 称为“二阶行列 2 式”，规定它的运算法则为 ad-e,则2xgI 26 中x的值为5.第2课时　解一元一次方程(2)——移项 2．方程x－4＝3x＋5移项后正确的是( ) A．x－3x＝5＋4 B．x－3x＝－4＋5 C．x－3x＝5－4 D．x＋3x＝5＋4 3．[2024·长安区期末]关于x的方程3x＋1＝4与3x＋3m＝18的解相同，则m的值为( ) A．5 B．4 C．－4 D．－5 5.[新定义][2024·郑州期末改编]烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是其前4种化合物的分子结构模型，其中大球代表碳原子，小球代表氢原子． 第1种化合物的分子结构模型如图①有1个碳原子，4个氢原子； 第2种化合物的分子结构模型如图②有2个碳原子，6个氢原子； 第3种化合物的分子结构模型如图③有3个碳原子，8个氢原子； …； 第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是202个，则n ＝____． 100 6．若关于x的一元一次方程kx＝x＋2的解为正整数，则整数k的 值为_____． 2或3 3 解：(1)移项，得5x－2x＝2＋1， 合并同类项，得3x＝3， 系数化为1，得x＝1； (2)移项，得x－2x＝7＋2， 合并同类项，得－x＝9， 系数化为1，得x＝－9； 9.[新定义][分类讨论][2024·沭阳县期末]定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程互为“友好方程”．例如：方程x＋2＝4和3x＋6＝0互为“友好方程”． (1)若关于x的方程2x＋m＝1与方程5x＋2＝2x＋14互为“友好方程”，求m的值； (2)若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为2n＋1，求n的值； (2)因为互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10， 又因为互为“友好方程”的两个方程的两个解的绝对值相同， 所以互为“友好方程”的两个方程的两个解互为相反数，且 一个为5，另一个为－5， 因为其中一个解为2n＋1， 所以有2n＋1＝5或2n＋1＝－5， 解得n＝2或n＝－3， 综上所述，n的值为2或－3； 因为m取任何有理数， 所以2a－6＝0，3b－12＝0， 解得a＝3，b＝4， 所以a＋b＝3＋4＝7； 综上所述，a＋b的值为－1或7. 10．[2024·峰峰矿区三模]已知在纸面上有一数轴(如图所示)． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数－1的点重合， 则此时表示数4的点与表示数 的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数－2的点重合， 回答下列问题： ①表示数9的点与表示数 的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间 的距离为10(点A在点B的左侧)，求A，B两点所表示的数分别是 多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x.当 PA＋PB＝12时，直接写出x的值． 11．如图，数轴上线段AB＝2，线段CD＝4，点A在数轴上表示的 数是－12，点C在数轴上表示的数是14.若线段AB以每秒2个单位 长度的速度向右匀速运动，同时线段CD以每秒1个单位长度的速 度向左匀速运动．设运动时间为t s. (1)当点B与点C相遇时，点A，D在数轴上表示的数分别为_____， ； (2)当t为何值时，点B刚好与线段CD的中点重合； (3)当运动到BC＝9时，求出此时点B在数轴上表示的数． 解：(1)因为点A表示的数为－12，AB＝2， 所以点B表示的数为－10. 当点B与点C相遇时，有 2t＋t＝14－(－10)， 解得t＝8， 此时点B，C表示的数为14－8＝6， 则点A表示的数是4，点D表示的数是10. 故答案为：4，10； (3)①当点B在点C的左侧时， 2t＋t＋9＝14－(－10)， 解得t＝5， 此时点B表示的数为－10＋2×5＝0； ②当点B在点C的右侧时， 2t＋t－9＝14－(－10)， 解得t＝11， 此时点B表示的数为－10＋2×11＝12. 综上所述，当BC＝9时，点B在数轴上表示的数是0或12. 1．下列选项中，方程的解不同于其他三个方程的是( ) A．3x－3＝6 B．2x－5＝1 C．4x＝5x－3 D.eq \f(x,2)＝3 4.[新定义][2024·和平区期末]现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b，a≥b，,a－2b，a<b.))如5*3＝2×5－3＝7，eq \f(1,2)*1＝eq \f(1,2)－2×1＝－eq \f(3,2)，若x*3＝5，则有理数x的值为( ) A．4 B．11 C．4或11 D．1或11 7.[新定义]一般情况下eq \f(m,2)－eq \f(n,3)＝eq \f(m－n,2－3)不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0.我们称使得eq \f(m,2)－eq \f(n,3)＝eq \f(m－n,2－3)成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为(m，n)．若(8，n)是“神奇数对”，且关于x的方程3x－6＝n与2x－1＝3k的解相等，则k的值为 ． 8．解方程：(1)5x－1＝2x＋2； (2)x－2＝2x＋7； (3)eq \f(3,2)x－1＝4x； (4)eq \f(7x,4)＝2－eq \f(3x,5). (3)移项，得eq \f(3,2)x－4x＝1， 合并同类项，得－eq \f(2,5)x＝1， 系数化为1，得x＝－eq \f(2,5)； (4)移项，得eq \f(7x,4)＋eq \f(3x,5)＝2， 合并同类项，得eq \f(47,20)x＝2， 系数化为1，得x＝eq \f(40,47). (3)若无论m取任何有理数，关于x的方程eq \f(2x＋ma,3)＝eq \f(b,2)＋m(a，b为常数)与关于y的方程y＋1＝2y－2都互为“友好方程”，求a＋b的值． 解：(1)因为关于x的方程2x＋m＝1与方程5x＋2＝2x＋14互为“友好方程”， 且方程2x＋m＝1的解为x＝eq \f(1－m,2)，方程5x＋2＝2x＋14的解为x＝4， 所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1－m,2)))＝|4|， 所以有eq \f(1－m,2)＝4或eq \f(1－m,2)＝－4， 解得m＝－7或m＝9， 所以m的值为－7或9； (3)方程y＋1＝2y－2的解为y＝3， 因为无论m取任何有理数，关于x的方程eq \f(2x＋ma,3)＝eq \f(b,2)＋m(a，b为常数)与关于y的方程y＋1＝2y－2都互为“友好方程”， 所以当x＝－3时，有eq \f(－6＋ma,3)＝eq \f(b,2)＋m， 整理，得(2a－6)m＝3b＋12， 因为m取任何有理数， 所以2a－6＝0，3b＋12＝0， 解得a＝3，b＝－4， 所以a＋b＝3＋(－4)＝－1； 当x＝3时，有eq \f(6＋ma,3)＝eq \f(b,2)＋m， 整理，得(2a－6)m＝3b－12， 解：(1)折叠纸面，使表示数1的点与表示数－1重合，折叠点对应的数为eq \f(－1＋1,2)＝0， 则表示4的点与表示－4的点重合； 故答案为：－4； (2)折叠纸面，使表示数6的点与表示数－2的点重合，折叠点对应的数为eq \f(－2＋6,2)＝2， ①设表示9的点与表示y的点重合，于是有eq \f(9＋y,2)＝2，解得y＝－5， 即表示9的点与表示－5的点重合； 故答案为：－5； ②点A表示的数为2－eq \f(10,2)＝－3，点B表示的数为2＋eq \f(10,2)＝7， 答：A点表示的数是－3，B点表示的数是7； ③当－3≤x≤7时，PA＋PB＝10≠12不符合题意； 当x<－3时，PA＝－3－x，PB＝7－x，所以－3－x＋7－x＝12，解得x＝－4； 当x>7时，PA＝x＋3，PB＝x－7，所以x＋3＋x－7＝12，解得x＝8， 综上所述，x的值为－4或8. (2)由题意，得线段CD的中点在数轴上表示的数是14＋eq \f(4,2)＝16. 当点B与线段CD的中点重合时， t＋2t＝16－(－10)， 解得t＝eq \f(26,3). 所以，当t＝eq \f(26,3)时，点B刚好与线段CD的中点重合； $$2　一元一次方程的解法 第1课时　解一元一次方程(1) ——等式的基本性质 1．[2024·历下区期末]若a＝b，则下列式子不正确的是( ) A．a＋1＝b＋1 B．a＋b＝0 C．－a＝－b D．ac＝bc 3．王老师在黑板上写了一个等式(m－3)x＝5(m－3)，小明说x＝5；小刚说不一定，当x≠5时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 解：小明的说法错误，小刚的说法正确， 理由：当m－3＝0时，x为任意数， 当m－3≠0时，x＝5. 2．[2024·曹县期末]下列等式变形正确的是( ) A．若2x－3＝5x＋8，则2x－5x＝8－3 B．若3(x－1)＝10，则3x－1＝10 C．若－2x＝3，则x＝－eq \f(2,3) D．若eq \f(x,3)＋eq \f(2x－1,2)＝1，则2x＋3(2x－1)＝6 4.[分类讨论]阅读材料： 已知|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,0，x＝0，,x，x>0.))故我们可以用这一结论来解含有绝对值的方程． 例如：解方程|x＋1|＋|2x－3|＝8时，令x＋1＝0和2x－3＝0，解得x＝－1和eq \f(3,2)(称－1和eq \f(3,2)分别为|x＋1|和|2x－3|的零点值)，在数轴上，零点值x＝－1和eq \f(3,2)可将数轴上的数分成不重复且不遗漏的如下3部分： ①x＜－1，②－1≤x<eq \f(3,2)，③x≥eq \f(3,2)，故解方程|x＋1|＋|2x－3|＝8可分下列三种情况： ①当x＜－1时，原方程可化为－(x＋1)－(2x－3)＝8， 解得x＝－2； ②当－1≤x<eq \f(3,2)时，原方程可化为(x＋1)－(2x－3)＝8， 解得x＝－4，但不符合－1≤x<eq \f(3,2)，故舍去； ③当x≥eq \f(3,2)时，原方程可化为(x＋1)＋(2x－3)＝8，解得x＝eq \f(10,3). 综上所述，方程|x＋1|＋|2x－3|＝8的解为x＝－2和x＝eq \f(10,3). 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出|x＋2|和|3x－1|的零点值； (2)解方程|x＋2|＋|3x－1|＝9. 解：(1)令x＋2＝0，解得x＝－2； 令3x－1＝0，解得x＝eq \f(1,3). 所以|x＋2|的零点值为－2，|3x－1|的零点值为eq \f(1,3)； (2)①当x＜－2时，原方程可化为－(x＋2)－(3x－1)＝9， 解得x＝－eq \f(5,2)； ②当－2≤x＜eq \f(1,3)时，原方程可化为(x＋2)－(3x－1)＝9， 解得x＝－3，但不符合－2≤x＜eq \f(1,3)，故舍去； ③当x≥eq \f(1,3)时，原方程可化为(x＋2)＋(3x－1)＝9， 解得x＝2. 综上所述，方程|x＋2|＋|3x－1|＝9的解为x＝－eq \f(5,2)和x＝2. $$第五章　章末能力突破 2．已知x＝2是关于x的方程3x＋a＝0的一个解，则a的值是( ) A．－6 B．－3 C．－4 D．－5 3．解方程－2(x－5)＋3(x－1)＝0时，去括号正确的是( ) A．－2x－10＋3x－3＝0 B．－2x＋10＋3x－3＝0 C．－2x＋10＋3x－1＝0 D．－2x＋5＋3x－3＝0 4．某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若每人3张，则多24张，若每人4张，则少26张，这个班共展出邮票张数是( ) A．164 B．174 C．168 D．178 5．[2024·义乌期末]某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排x名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是( ) A．11x＝23(45－x) B．11(45－x)＝23x C．2×11x＝23(45－x) D．11x＝2×23(45－x) 6.[2024·宜昌期中]如图，用黑白两种颜色的平行四边形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图形，若第n个图案中有2 020个白色纸片，则n的值为( ) A．671 B．672 C．673 D．674 7．若a，b表示非零常数，整式ax＋b的值随x的取值而发生变化，如表，则关于x的一元一次方程－ax－b＝－3的解为( ) A. x＝－3 B．x＝－1 C．x＝0 D．x＝3 x －3 －1 0 1 3 … ax＋b －3 1 3 5 9 … 8.[中华传统文化]九宫图(如图1)源于我国古代夏禹时期的洛书，它是世界上最早的矩阵，又称幻方．如图2是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则x－y的值为( ) A．－1 B．2 C．4 D．－6 9．如图，跑道由两个半圆部分AB，CD和两条直跑道AD，BC组成， 两个半圆跑道的长都是115 m，两条直跑道的长都是85 m．小彬 站在A处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步，小彬每秒 跑4 m，小强每秒跑6 m．当小强第一次追上小彬时，他们的位 置在( ) A．半圆跑道AB上 B．直跑道BC上 C．半圆跑道CD上 D．直跑道AD上 二、填空题 10．写出一个解为－8的，x的系数是3的一元一次方程_________ ______________． 11．某工厂有工人60名，每人每天可以生成14个螺栓或20个螺 母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好 配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？若设安排x名工 人生产螺栓，则可列方程为__________________. 3x＋24＝ 0(答案不唯一) 20(60－x)＝2×14x y＝－4 13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数 学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其 中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载： “今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几 何？”译文：“有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了 十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱 买鸡？”设有x个人共同买鸡，根据题意列一 元一次方程：_______________． 9x－11＝6x＋16 15.[中华传统文化]《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫(读fú，指野鸭)起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞(两者的飞行路线相同)，问经过多少天相遇？ 16．某社区超市第一次用6 000元购进甲、乙两种商品，其中乙 商品的件数比甲商品件数的 倍多15件，甲、乙两种商品的进 价和售价如表：(注：获利＝售价－进价) 甲 乙 进价(元/件) 22 30 售价(元/件) 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 17．【阅读理解】 在解形如3|x－2|＝|x－2|＋4这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分x<2和x≥2两种情况讨论： 当x<2时，原方程可化为－3(x－2)＝－(x－2)＋4，解得x＝0，符合x<2. 当x≥2时，原方程可化为3(x－2)＝(x－2)＋4，解得x＝4，符合x≥2. 所以原方程的解为x＝0或x＝4. 【解题回顾】 本题中，2为(x－2)的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x<2和x≥2两部分，所以分x<2和x≥2两种情况讨论． 【尝试应用】 (1)仿照上面方法解方程：|x－3|＋8＝3|x－3|； 【迁移拓展】 (2)运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：|x－3|－3|x＋2|＝x－9. (提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？) 解：(1)分两种情况： 当x<3时，原方程可化为3－x＋8＝3(3－x)，解得x＝－1，符合x<3， 当x≥3时，原方程可化为x－3＋8＝3(x－3)，解得x＝7，符合x≥3， 所以原方程的解为x＝－1或x＝7； 18.[新定义]如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB， AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍， 则称点C是线段AB的“巧点”． (1)①一条线段的中点______这条线段的“巧点”；(填“是”或 “不是”) ②若线段AB＝m，点C是线段AB的“巧点”，则BC＝ ； (用含m的代数式表示出所有可能的结果) (2)如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－40，点B所表示的数为20.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B匀速移动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的“巧点”． (2)如图， 由题意知，AB＝60，AP＝2t，BQ＝3t， AQ＝60－3t，BP＝60－2t，QP＝60－(60－3t)－(60－2t) ＝5t－60. 当点Q恰好是线段AP的“巧点”时，可分AQ＝2PQ或AP＝ 2AQ或PQ＝2AQ三种情况分类讨论， 一、选择题 1．下列方程是一元一次方程的为( ) A．y＋3＝0 B．x＋2y＝3 C．x2＝2 D．y＋eq \f(1,y)＝2 12．若关于x的一元一次方程eq \f(1,2 025)x＋3＝2x＋b的解为x＝－3，则关于y的一元一次方程eq \f(1,2 025)(y＋1)＋3＝2(y＋1)＋b的解 为 ． 三、解答题 14．[2025·芝罘区期中]解方程： (1)2(x－3)－3(4x＋2)＝－10； (2)eq \f(2x＋1,3)－eq \f(5x－1,6)＝1； (3)eq \f(x,0.2)－1＝eq \f(2x－0.8,0.3). 解：(1)2(x－3)－3(4x＋2)＝－10， 去括号，得2x－6－12x－6＝－10， 移项、合并同类项，得－10x＝2， 将系数化为1，得x＝－eq \f(1,5)； (2)eq \f(2x＋1,3)－eq \f(5x－1,6)＝1， 去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6， 去括号，得4x＋2－5x＋1＝6， 移项、合并同类项，得－x＝3， 将系数化为1，得x＝－3； (3)eq \f(x,0.2)－1＝eq \f(2x－0.8,0.3)， 整理，得eq \f(10x,2)－1＝eq \f(20x－8,3)， 去分母，得30x－6＝2(20x－8)， 去括号，得30x－6＝40x－16， 移项、合并同类项，得－10x＝－10， 将系数化为1，得x＝1. 解：设经过x天相遇， 根据题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)＋\f(1,9)))x＝1， 解得x＝eq \f(63,16). 答：经过eq \f(63,16)天相遇． eq \f(1,2) 解：(1)设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋15))件， 根据题意，得22x＋30eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋15))＝6 000， 解得x＝150，所以eq \f(1,2)x＋15＝90. 答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件； (2)(29－22)×150＋(40－30)×90＝1 950(元)． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1 950元； (3)设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意，得(29－22)×150＋(40×eq \f(y,10)－30)×90×3＝1 950＋180， 解得y＝8.5. 答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售． (2)分三种情况讨论： 当x<－2时，原方程可化为3－x＋3(x＋2)＝x－9，解得x＝－18，符合x<－2， 当－2≤x<3时，原方程可化为3－x－3(x＋2)＝x－9，解得x＝eq \f(6,5)，符合－2≤x<3， 当x≥3时，原方程可化为x－3－3(x＋2)＝x－9，解得x＝0，不符合x≥3， 所以原方程的解为x＝－18或x＝eq \f(6,5). 解：(1)①若点C是AB中点时，有AB＝2AC＝2BC成立，满足“巧点”定义， 所以线段的中点是这条线段的“巧点”． 故答案为：是； ②当点C是线段AB的“巧点”时，AB＝m， 可能有BC＝2AC，AC＝2BC，AB＝2AC＝2BC三种情况： ⅰ.BC＝2AC时，BC＝eq \f(2,3)AB＝eq \f(2,3)m； ⅱ.AC＝2BC时，BC＝eq \f(1,3)AB＝eq \f(1,3)m； ⅲ.AB＝2AC＝2BC时，BC＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)m. 故答案为：eq \f(2,3)m或eq \f(1,3)m或eq \f(1,2)m； ①AQ＝2PQ时，60－3t＝2(5t－60)，解得t＝eq \f(180,13)； ②AP＝2AQ时，2t＝2(60－3t)，解得t＝15； ③PQ＝2AQ时，5t－60＝2(60－3t)，解得t＝eq \f(180,11). 综上所述，当t＝eq \f(180,13)或15或eq \f(180,11)秒时，点Q恰好是线段AP的 “巧点”． $$第2课时　古代数学与营销问题 1．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、 物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一 元一次方程，正确的是( ) 4．[2024·徐水区期末]某商店有两件进价不同的运动衫均以160元卖出，其中一件盈利60%，一件亏损20%，则卖这两件运动衫，该商店总的盈亏情况是( ) A．不盈不亏 B．亏损20元 C．盈利10元 D．盈利20元 5．我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索 量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子 却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳 索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去 量竿，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程 为______________． 6．[2025·南安期中]商场为了促销某种商品，将其价格先提 高20%，并在此基础上执行第二件半价，小明同学购买了两件 该商品，经过计算实际到手价格平均为18元/件，则该商品的 原价是___元/件． 20 7．[2024·华阴期末]增强青少年体质，是关系国家和民族未来的大事，学校体育是教育的重要组成部分，是促进青少年健康成长、全面发展、终身发展的奠基性工程．某中学为了增强学生的体质，计划从商场购买一些篮球和足球，商场的价格为篮球每个80元，足球每个60元． (1)若第一次购买篮球的总费用和购买足球的总费用相同，且购买篮球和足球共70个，求第一次购买篮球和足球各多少个？ (2)第二次购买时，适逢商场促销，篮球打八折，足球每个便宜10元钱．经统计，该校购买篮球的个数比购买足球的个数少50个，共花费了8 200元，则第二次购买篮球和足球各多少个？ 解：(1)设第一次购买x个篮球，则购买(70－x)个足球， 根据题意，得80x＝60(70－x)， 解得x＝30， 70－30＝40(个)． 答：第一次购进30个篮球，40个足球； (2)设第二次购买y个足球，则购买(y－50)个篮球， 根据题意，得80×0.8(y－50)＋(60－10)y＝8 200，　 解得y＝100， 100－50＝50(个)． 答：第二次购买100个足球，50个篮球． 8．[2024·南平期末]我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程求解：该店有客房多少间？有多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更划算？说明理由． 解：(1)设该店有客房x间， 由题意，得7x＋7＝9(x－1)， 解得x＝8， 7×8＋7＝63(人)， 答：该店有客房8间，房客63人； (2)若每间客房住4人，则63名房客至少需要16间房，至少需要付25×16×0.9＝360(钱)， 若一次性订客房20间以上(含20间)，则至少需要付20×25×0.7＝350(钱)， 因为350<360， 所以诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房20间更划算． 9．综合与实践． 【主题】探索神奇的幻方． 【阅读】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图1)．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络的图案，它以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图2)．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字(1至9，数字不重复使用)安排在三行三列的正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等． 【实践】 (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； 【提升】 (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方(如图3)，且每行、每列和每条对角线上的数字和仍都相等，请补全这个新的三阶幻方； 【拓展延伸】 (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”． 将－11，－9，－7，－5，－3，－1，2，4，6，8，10，12这12 个数填入恰当的位置(数字不重复使用)，使每个正方形的4个顶 点处的“○”中的数的和都为2.请求出mn的值． 解：(1)因为每行、每列和每条对角线上的数字和都相等， 所以x＋5＋1＝2＋7＋6，4＋y＋8＝2＋7＋6， 解得x＝9，y＝3， 补充三阶幻方如图： (2)由(1)知，每行、每列和每条对角线上的数字和为15， 所以a＝15－2－7＝6，b＝15－9－1＝5，c＝15－3－8＝4， 补充三阶幻方如图： (3)如图： 因为正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2， 所以m＝2－(4＋2－3)＝－1， k＝2－(8－7－5)＝6， 因为12－9＋t＋n＝2，所以t＋n＝－1， 因为填入的数字不重复， 所以t＝－11，n＝10或t＝10，n＝－11， 所以mn＝－1×10＝－10或mn＝－1×(－11)＝11； 所以mn的值为－10或11. A.eq \f(x－3,8)＝eq \f(x＋4,7) B.eq \f(x＋3,8)＝eq \f(x－4,7) C.eq \f(x－4,8)＝eq \f(x＋3,7) D.eq \f(x＋4,8)＝eq \f(x－3,7) 2．[2024·中原区期末]《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是x元，则可列方程为( ) A．8x＋3＝7x＋4 B．8x－3＝7x＋4 C.eq \f(x－3,8)＝eq \f(x＋4,7) D.eq \f(x＋3,8)＝eq \f(x－4,7) 3．[2024·新都区期末]《算法统宗》中给出一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏，有多少个牧童，多少个杏？若设共有x个牧童，则依据题意可列方程为( ) A.eq \f(x,3)·5＋10＝eq \f(x,4)·8＋2 B.eq \f(x,3)·5－10＝eq \f(x,4)·8＋2 C.eq \f(x,3)·5＋10＝eq \f(x,4)·8－2 D.eq \f(x,3)·5－10＝eq \f(x,4)·8－2 eq \f(1,2)(x＋5)＝x－5 $$第五章综合测试卷 3．已知x＝2是关于x的方程2x＋3a＝－5的解，则a的值是( ) A．－2 B．－3 C．－4 D．3 6．若3a－1与1－2a互为相反数，则a的值为( ) A．0 B．－1 C．1 D．2 7．若x＝－2是关于x的方程2x－a＋2b＝0的解，则代数式2a－4b＋1的值为( ) A．－7 B．7 C．－9 D．9 8．[2024·市北区期末]编一个实际应用题，要求所列的方程是15x＋45x＝180，则下列不符合要求的是( ) A．两块宽度相同的铁皮，一块长为15厘米，另一块长为45厘米，如果两块铁皮的总面积为180平方厘米，问铁皮的宽度为多少？ B．现甲、乙两人一起加工180个零件，甲一天能做15个，乙一天能做45个，如果两人同时加工，问需要多少天完成任务？ C．两辆车从甲、乙两地同时出发，同向而行，慢车车速为15公里/时，快车车速为45公里/时，甲、乙两地相距180公里，慢车在快车的前面，问快车经过多长时间追上慢车？ D．张老师到文具店去买笔袋，其中甲型笔袋的单价是45元，乙型笔袋的单价是15元，张老师买两种笔袋共花了180元，且买两种笔袋的数量是相同的，问两种笔袋各买了几个？ 9.[中华传统文化]《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，根据题意所列方程正确的是( ) A．4(x＋1)＝3x＋9 B．4(x－1)＝3x＋9 C．4x＋1＝3x＋9 D．4x＋1＝3x－9 10．[2024·临海期末]有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上，如表记录了相邻两张卡片上的数的和： 卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤ 两数的和 52 64 57 69 46 则写有最大数卡片的编号是( ) A．② B．③ C．④ D．⑤ 二、填空题(每题3分，共18分) 11．已知x＝4是方程ax－7＝20＋a的解，则a＝__． 12．若单项式－2xm－1y2与单项式2x2yn＋1的和为0，则m＋n＝__. 13．一件夹克衫先按成本价提高70%标价，再将标价打8折出售， 获利36元，则这件夹克衫的成本价是____元． 9 4 100 14．若方程(k＋2)x|k＋1|＋6＝0是关于x的一元一次方程，则k＋ 2 025＝______． 15.[分类讨论]已知点A，B在数轴上，点A表示的数为－5，点B表 示的数为15.动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴 正方向匀速移动，则点P移动______秒后，PA＝3PB. 2 025 5或10 16.[新运算][2025·合肥期中]对于整数a，b，定义一种新运算 “⊗”：当a＋b为偶数时，规定f(a)⊗f(b)＝2|a＋b|＋|a－b|； 当a＋b为奇数时，规定f(a)⊗f(b)＝2|a＋b|－|a－b|. 请解答下列问题： (1)当a＝－1，b＝5时，f(a)⊗f(b)＝___； (2)若f(m)⊗f(3)＝9，则m的值为________． 14 2或－18 解：(1)移项，得－3y－5y＝5－9， 合并同类项，得－8y＝－4， 系数化为1，得y＝0.5； (2)去分母，得3(x＋2)－2(2x－3)＝12， 去括号，得3x＋6－4x＋6＝12， 移项，得3x－4x＝12－6－6， 合并同类项，得－x＝0， 系数化为1，得x＝0. 18．(9分)某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价 40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为____元，乙种商品每件的利润为____元， 利润率为%； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为 2 100元，求购进甲、乙两种商品各多少件． (2)设甲种商品购进y件，则乙种商品购进(50－y)件． 由题意，得40y＋50(50－y)＝2 100， 解得y＝40， 50－40＝10(件)． 答：购进甲种商品40件，乙种商品10件． 19．(10分)某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个(每人每天只能生产一种零件)，一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 解：(1)设该工厂有x个工人生产A零件，共生产A零件15x个，则有(24－x)个工人生产B零件，共生产B零件10(24－x)个，由题意，得 10(24－x)＝2×15x， 解得x＝6， 所以该工厂有6个工人生产A零件； (2)由(1)得，生产B零件的有工人24－6＝18(个)， 因为每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元， 所以8×15×6＋5×10×18＝1 620(元)， 答：该工厂每日生产的零件总获利1 620元． 20．(10分)[2024·滦南县期末]以下是两张不同类型火车 (“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁)的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁 (填“相 向”或“同向”)而行，该列动车比高铁发车早 h； (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200 km/h，300 km/h， 两列火车的长度不计，高铁比动车早到1 h，求A，B两地之间的 距离； (3)在(2)的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距100 km? 解：(1)因为两张票均是A地→B地，所以该列动车和高铁同向 而行； 因为动车20：00发车，高铁21：00发车， 所以该列动车比高铁发车早1 h. 故答案为：同向，1； (3)设高铁出发y小时后两车相距100 km， 当高铁还未追上动车时，200(y＋1)－300y＝100，解得y＝1； 当高铁追上动车后，300y－200(y＋1)＝100，解得y＝3； 当高铁到达B地后，200(y＋1)＝1 200－100，解得y＝4.5. 答：当高铁出发1或3或4.5 h后两车相距100 km. 21．(11分)根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”. 素材2 第一阶梯(用水量≤14吨)：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯(14吨＜用水量≤21吨)：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯(用水量＞21吨)：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨. 水费、用水量是多少？ 素材3 如某用户2月份用水15吨，则各种费用如下： 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用 水量 如果该用户5，6月份共用水42吨(6月份用水量超过5月份用水量)，共缴水费210元，则该用户5，6月份各用水多少吨？ 解：任务1：设该用户12月份的用水量为x吨，则该用户12月份需缴污水处理费x元． 因为14×3＝42(元)，14×3＋(21－14)×5＝77(元)，42<67<77，所以14<x<21. 根据题意，得14×3＋5(x－14)＝67， 解得x＝19. 答：该用户12月份需缴污水处理费19元； 22．(12分)在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、幸福、团圆、美满等美好的祝愿．劳动课上，王老师带领同学们编中国结．已知编一个大中国结比编一个小中国结需要多用 1 m 的绳．王老师编3个大中国结和7个小中国结，共计用绳33 m. (1)求王老师编一个大中国结和一个小中国结各需用绳多少？ (2)按照王老师的方法，701班40位同学快速行动起来，其中男生编小中国结，女生编大中国结，每位男生一节课可以编3个小中国结，每位女生一节课可以编2个大中国结，全班编完后发现小中国结的数量是大中国结的2.5倍．求701班男生、女生各有多少人？ (3)王老师打算在七年级开展“编中国结献爱心”的活动．计划号召七年级同学们编500个中国结，其中大中国结m个，并按照1个大中国结配2个流苏，1个小中国结配1个流苏的方式，配好后进行义卖．将义卖的收入全部捐献给山区的孩子们．王老师去某商店采购绳子和流苏，其中绳子1元/米，流苏0.5元/个．店老板给出两种优惠方案： 方案一：超过1 000元减220元． 方案二：一次性购物达到1 000元，全场打九折． 请帮王老师分析该如何选择优惠方案． 解：(1)设王老师编一个小中国结需用绳 x m，则编一个大中国 结需用绳(x＋1)m， 根据题意，得3(x＋1)＋7x＝33， 解得x＝3， 所以3＋1＝4(m)． 答：王老师编一个大中国结需用绳4 m，一个小中国结需用绳3 m； (2)设701班男生有y人，则女生有(40－y)人， 根据题意，得3y＝2.5×2(40－y)， 解得y＝25， 所以40－25＝15(人)． 答：701班男生有25人，女生有15人； (3)选择方案一所需费用为(1×4＋0.5×2)m＋(1×3＋0.5×1) (500－m)－220＝(1.5m＋1 530)元； 选择方案二所需费用为(1×4＋0.5×2)×0.9m＋(1×3＋0.5×1) ×0.9(500－m)＝(1.35m＋1 575)元． 当1.5m＋1 530＝1.35m＋1 575时，m＝300. 所以当0≤m<300时，选择方案一更实惠；当m＝300时，选择两 方案所需费用相同；当300<m≤500时，选择方案二更实惠． 23．(12分)[2024·东西湖区期末]如图1，将两块直角三角板(一块含有30°，60°角，另一块含45°角)摆放在直线MN上，三角板ODC绕点O以每秒15°的速度逆时针旋转．当OD第一次与射线OM重合时三角板ODC停止转动，设旋转时间为t秒． 解：(1)当t＝2秒时，∠BOC＝180°－45°－15°×2＝105°； ∠AOD＝180°－30°－15°×2＝120°； ∠AOC＝180°－30°－45°－15°×2＝75°. 故答案为：105，120，75； 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列方程中，是一元一次方程的是( ) A．x＋y＝5 B．eq \f(2,x－1)＝0 C．x－2＝0 D．3x2＝4 2．[2024·市中区期末]下列利用等式的基本性质变形，错误的 是( ) A．如果－2x＝－2y，那么x＝y B．如果x2＝5x，那么x＝5 C．如果a＝b，那么a－6＝b－6 D．如果eq \f(a,c2＋1)＝eq \f(b,c2＋1)，那么a＝b 4．在解方程eq \f(x－1,2)－eq \f(2x＋1,3)＝2时，去分母正确的是( ) A．3(x－1)－2(2x＋1)＝2 B．3x－1－2(2x＋1)＝12 C．3(x－1)－4x＋1＝12 D．3(x－1)－2(2x＋1)＝12 5．下列解方程的步骤中，正确的是( ) A．4x－5＝3x＋2变形得4x－3x＝－2＋5 B．3(x－1)＝2(x＋3)变形得3x－1＝2x＋6 C.eq \f(2,3)x－1＝eq \f(1,2)x＋3变形得4x－6＝3x＋18 D．3x＝2变形得x＝eq \f(3,2) 解析：(1)当a＝－1，b＝5时，a＋b＝4为偶数， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))⊗feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋5\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋))－1－5))＝2×4＋6＝14； (2)①当3＋m为偶数时，则m为奇数，f(m)⊗f(3)＝2|m＋3|＋ |m－3|＝9， 当m>3时，2(m＋3)＋m－3＝9， 解得m＝2(舍) 当－3≤m≤3时，2(m＋3)＋3－m＝9， 解得m＝0(舍)， 当m<－3时，－2(m＋3)＋3－m＝9， 解得m＝－4(舍)； ②当3＋m为奇数时，则m为偶数，f(m)⊗f(3)＝2|m＋3|－|m－3|＝9， 当m>3时，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－3))＝9， 解得m＝0(舍)； 当－3≤m≤3时，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋3))＋m－3＝9， 解得m＝2； 当m<－3时，－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋3))＋m－3＝9， 解得m＝－18； 所以m＝2或－18. 三、解答题(共72分) 17．(8分)解方程： (1)9－3y＝5y＋5； (2)eq \f(x＋2,4)－eq \f(2x－3,6)＝1. 解：(1)甲种商品每件售价为40×(1＋50%)＝40×150%＝60(元)， 乙商品每件的利润为80－50＝30(元)， 乙商品的利润率为eq \f(80－50,50)×100%＝60%. 故答案为：60，30，60； (2)设A，B两地之间的距离为x km， 根据题意，得eq \f(x,200)－eq \f(x,300)＝1＋1， 解得x＝1 200. 答：A，B两地之间的距离为1 200 km； 任务2：根据题意，得当0<a≤14时，应缴水费4a元； 当14<a≤21时，应缴水费14×4＋6(a－14)＝(6a－28)元； 当a>21时，应缴水费14×4＋(21－14)×6＋11(a－21) ＝(11a－133)元． 答：应缴水费为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4a（0<a≤14），,6a－28（14<a≤21），,11a－133（a>21）；))) 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则该用户6月份的用水量为(42－y)吨， 当0<y≤14时，4y＋11(42－y)－133＝210，解得y＝17(舍去)， 当14<y≤21时，6y－28＋11(42－y)－133＝210，解得y＝eq \f(91,5)， 所以42－y＝42－eq \f(91,5)＝eq \f(119,5)(吨)． 答：该用户5，6月份各用水eq \f(91,5)，eq \f(119,5)吨． (1)当t＝2秒时，∠BOC＝ °，∠AOD＝ °， ∠AOC＝ °； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板OAB以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转，当OA第一次与射线ON重合时三角板OAB立即停止转动． ①射线OA和射线OD重合前，当∠AOD＝eq \f(3,2)∠BOC时，求出相应的t的值； ②整个旋转过程中，当满足|∠AOD－∠BOC|＝5°时，直接写出相应的t的值 ． (2)180°÷15°＝12(秒)，(180°－30°)÷20°＝eq \f(15,2)(秒)， (180°－30°)÷(15°＋20°)＝eq \f(30,7)(秒)，(180°－45°)÷ (15°＋20°)＝eq \f(27,7)(秒)． ①当0≤t<eq \f(30,7)时，∠AOD＝180°－30°－(15°＋20°)t＝ (150－35t)°，∠BOC＝|180°－45°－(15°＋20°)t|＝|135－35t|°， 所以150－35t＝eq \f(3,2)|135－35t|， 即150－35t＝eq \f(3,2)(135－35t)或150－35t＝eq \f(3,2)(35t－135)， 解得t＝3或t＝eq \f(141,35). 答：t的值为3或eq \f(141,35)； ②当0≤t≤eq \f(27,7)时，∠AOD＝180°－30°－(15°＋20°)t＝(150－35t)°，∠BOC＝180°－45°－(15°＋20°)t＝(135－35t)°， 所以|(150－35t)°－(135－35t)°|＝15°≠5°，舍去； 当eq \f(27,7)<t≤eq \f(30,7)时，∠AOD＝180°－30°－(15°＋20°)t＝(150－35t)°， ∠BOC＝|180°－45°－(15°＋20°)t|＝(35t－135)°， 所以|(150－35t)°－(35t－135)°|＝5°， 即285－70t＝5或70t－285＝5，解得t＝4或t＝eq \f(29,7)； 当eq \f(30,7)<t≤eq \f(15,2)时，∠AOD＝|180°－30°－(15°＋20°)t|＝(35t－150)°，∠BOC＝|180°－45°－(15°＋20°)t|＝(35t－135)°， 所以|(35t－150)°－(35t－135)°|＝15°≠5°，舍去； 当eq \f(15,2)<t≤11时，∠AOD＝15t°，∠BOC＝45°＋15t°－30° ＝(15t＋15)°， 所以|15t°－(15t＋15)°|＝15°≠5°，舍去． 当11<t≤12时，∠AOD＝15t°，∠BOC＝(345－15t)°， 所以|15t°－(345－15t)°|＝5°， 即30t－345＝5或30t－345＝－5， 解得t＝eq \f(35,3)或t＝eq \f(34,3). 综上所述，t的值为4或eq \f(29,7)或eq \f(35,3)或eq \f(34,3). 故答案为：4或eq \f(29,7)或eq \f(35,3)或eq \f(34,3). $$第3课时　行程及年龄问题 2．今年儿子8岁，父亲32岁，a年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，根据题意可得方程为( ) A．32＝3(8＋a) B．32＋a＝3×8＋a C．32＋a＝3(8＋a) D．32＝3×8＋a 3．甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么两人首次相遇时，经过( ) A．208秒 B．204秒 C．200秒 D．196秒 4．小明和他父亲的年龄之和为54，又知父亲年龄是小明年龄的3倍少2岁，则他父亲的年龄为( ) A．44岁 B．40岁 C．41岁 D．37岁 6．一列火车要穿过一条长1 000米的隧道，火车的速度为20米/秒，测得该列火车从开始进隧道到完全通过共用1分钟，则火车的长度为( ) A．100米 B．200米 C．280米 D．400米 7．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头 返回甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知水流的速度是3 km/h， 则船在静水中的速度是( ) A．30 km/h B．27 km/h C．3 km/h D．24 km/h 300或150 9．[2024·海港区期末]哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，那么弟弟的年龄是多大？ 解：设弟弟的年龄为x岁，则有16x＋8＝4x＋32， 嘉嘉同学的解法： 移项，得16x－4x＝32－8， 合并同类项，得12x＝24， 系数化为1，得x＝2， 琪琪同学的解法： 移项，得16x－32＝4x－8， 16(x－2)＝4(x－2)， 两边同除以4(x－2)，得4＝1. (1)弟弟的年龄是 岁； (2)琪琪得出错误的结论的原因是 ． 解：(1)2； (2)只有当x－2≠0时，两边才能同除以4(x－2)； 所以琪琪得出错误的结论的原因是：忽略了x－2＝0. 故答案为：忽略了x－2＝0. 10．如图，甲沿周长为300 m的环形跑道按逆时针方向跑步，速度为 a m/s，与此同时在甲后面 100 m 的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步，速度为3 m/s.设运动时间为t s. (1)若a＝5，则甲、乙两人经过 s第1次相遇； (2)当t＝50时，甲、乙两人第1次相遇． ①求a的值； ②若a>3，甲、乙两人第1次相遇前，当两人 相距120 m时，求t的值． 解：(1)(300－100)÷(5－3)＝100. 故答案为：100； (2)①根据题意， 得50(a－3)＝300－100或50(3－a)＝100， 解得a＝7或a＝1， 所以a的值是7或1； ②由①得a＝7， 则(7－3)t＝120－100或(7－3)t＝300－100－120， 解得t＝5或t＝20， 所以t的值是5或20. 11．[2024·德清县期末]已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足|m－10|＋(n＋2)2＝0. (1)填空：m＝ ，n＝ ； (2)①问题探究：将一根木棒AB如图所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m；当点B移动到点A时，点A所对应的数为n，由此可得这根木棒的长为 个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄． 解：(1)因为|m－10|＋(n＋2)2＝0， 所以m－10＝0，n＋2＝0， 所以m＝10，n＝－2； 故答案为：10，－2； ②设爷爷与小明年龄差为x岁， 则3x＝116－(－34)，解得x＝50， 116－50＝66(岁)， 所以爷爷的年龄是66岁． 12．综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴．按下列要求折叠纸面 【问题解决】 (1)若折叠后数1对应的点与数－1对应的点重合，则此时数－8 对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 (2)若折叠后数－4对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对 应的点与数_______对应的点重合； 【问题拓展】 (3)若如(2)这样折叠后，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为14(点B在点A的右侧)，则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (4)在(3)的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒(t>0)． ①若动点P从B点向右出发，t为何值时，P，A两点之间的距离为18个单位长度； ②若动点P从B点向左出发，P，A两点之间的距离为2个单位长度时，求出此时t的值． 解：(1)因为折叠后数1对应的点与数－1对应的点重合， 所以折痕点表示的数是0， 所以数－8对应的点与数8对应的点重合， 故答案为：8； (4)根据题意，得xA＝－6，xB＝8， 根据动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动， 设运动时间为t秒(t>0)，得到PB＝2t. ①根据题意，得AB＋PB＝18， 所以14＋2t＝18， 解得t＝2； ②根据题意，得到点P表示的数为8－2t，根据P，A两点之间的距离为2个单位长度， 得|8－2t－(－6)|＝2， 解得t＝6或t＝8. 1．某学生从家到学校时，每小时行5千米；按原路返回家时，每小时行4千米，结果返回的时间比去学校的时间多花10分钟，设去学校所用时间为x小时，则可列方程得( ) A．5x＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,6))) B．5x＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,6))) C．5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,6)))＝4x D．5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,6)))＝4x 5．一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40 km/h的速度前进，6号队员突然以50 km/h的速度独自行进，行进15 km后掉转车头，仍以50 km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合．设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了x h，则x为( ) A.eq \f(3,2) B．eq \f(3,4) C.eq \f(1,3) D．eq \f(1,2) 8．小明和小强分别从同一直线上的A，B两地同时出发，同向而行．小明每分钟走80 m，小强的速度是小明的eq \f(3,4)，经过10分钟两人之间的距离恰好等于A，B两地之间距离的eq \f(1,3)，则A，B两地相 距 m. (2)①由(1)知，MN＝10－(－2)＝12， 根据题意，得AB＝eq \f(1,3)MN＝4， 即这根木棒的长为4个单位长度； 故答案为：4； (2)因为折叠后数－4对应的点与数6对应的点重合， 所以折痕点表示的数为eq \f(－4＋6,2)＝1， 设折叠后与0重合的数为x， 由此得到eq \f(0＋x,2)＝1， 解得x＝2， 故答案为：2； (3)根据折叠后数－4对应的点与数6对应的点重合， 所以折痕点表示的数为eq \f(－4＋6,2)＝1， 设点A表示的数是xA，点B表示的数是xB， 根据折叠的性质，得1－xA＝xB－1＝eq \f(14,2)＝7， 解得xA＝－6，xB＝8， 故答案为：－6，8； $$3　一元一次方程的应用 第1课时　几何图形与数字问题 1．[2024·崂山区期末]已知一个四位数，千位数字是个位数字的两倍，若交换千位和个位数字，得到的新四位数比原数小2997，则原数的个位数字是( ) A．2 B．3 C．5 D．6 2．一个密封的瓶子里装着一些水(如图所示)，已知瓶子的底面 积为10 cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是( ) A．80 cm3 B．70 cm3 C．60 cm3 D．50 cm3 3．日历中蕴藏着有趣的数学规律，图1是2024年11月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的5个数．若在日历中用笔框中的五个数分别表示为a，b，c，d，m(如图2)，且a＋b＋c＋d＝76，则m的值为( ) A．12 B．13 C．19 D．15 4．把一个铁丝围成的长为8，宽为6的长方形改成一个正方形，则这个正方形与原来的长方形相比( ) A．面积与周长都不变 B．面积相等但周长发生变化 C．周长相等但面积发生变化 D．面积与周长都发生变化 5．用一根长为12厘米的细绳围成一个长方形，如果它的长比宽多2厘米，则这个长方形的面积为( ) A．4平方厘米 B．6平方厘米 C．8平方厘米 D．12平方厘米 7．如图，一个棱长为10 cm的立方块固定在一个长、宽、高分别为20 cm，20 cm，30 cm的长方体容器的底部，现将一个底面直径为20 cm，高为20 cm的圆柱形容器盛满水倒入长方体容器内，则此时长方体容器内水面的高度约为(不计耗损，π取3)( ) A．15 cm B．17.5 cm C．22.5 cm D．30 cm 8．把一块长方体钢坯熔铸成一个底面直径为12 dm的圆锥形钢件，这个钢件的高是(π取3.14)( ) A．2 dm B．6 dm C．1.5 dm D．1 dm 9．用A，B两种长方形(如图1)无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为40 cm的正方形，已知长方形A的宽为1 cm，则长方形B的面积是( ) A．12 cm2 B．14 cm2 C．21 cm2 D．28 cm2 10．如图所示，若在左边水桶中放入15个球，水桶中的水位升 高到66 cm，则放入大球的数量是___个． 10 11．如图，用一根长为18米的篱笆靠墙围成一个长方形的空地 用于绿化，且平行墙的一边为长，墙的长为12米． (1)若长方形的长比宽多1.5米，此时长，宽各是多少？ (2)若在与墙平行的一边开设一个宽为1米的门(用其他材料)， 使长方形的长比宽多4米，此时所围成的长方形的面积是多少？ 解：(1)设长方形的宽为x米，则长为(x＋1.5)米．依题意，得(x＋1.5)＋2x＝18，解得x＝5.5， 当x＝5.5时，x＋1.5＝7， 答：此时长方形的长为7米，宽为5.5米； (2)设长方形的宽为y米．依题意，得y＋4＋2y＝18＋1，解得y＝5， 当y＝5时，y＋4＝9，5×9＝45(平方米)， 答：此时它所围成的长方形的面积是45平方米． 12．[2024·玄武区期末]图1是我国古代传说中的“洛书”，图2是“洛 书”的数字表示．相传，大禹时，洛阳洛宁县洛河中浮出神龟，背驮 “洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此 定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》． 《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．“洛书”是一 个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中．使每一横行、 每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3中，若D＝－7t ＋a，E＝a，G＝3t＋2，H＝t，则常数a的值为( ) 13．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形 容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管 子在10 cm高度处连通(即管子底部离容器底10 cm)，现三个容 器中，只有乙中有水，水位高4 cm，如图所示．若每分钟同时 向甲和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，甲的水位上升3 cm. 则开始注入______分钟水量后， 甲的水位比乙高1 cm. 解：甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器(容器足够高)，底 面半径之比为1∶2∶1，注水1分钟，甲的水位上升3 cm，丙的 水位上升3 cm， 设开始注入x分钟的水量后，甲的水位比乙高1 cm， 14．[2024·市南区期末]如图，一个酒瓶的容积为500毫升，瓶 子内还剩有一些黄酒．当瓶子正放时，瓶内黄酒的高度为12厘米， 倒放时，空余部分的高度为8厘米，则瓶子的底面积为___平方 厘米．(1毫升＝1立方厘米) 25 15．如图，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板①，一块长5厘 米、宽2厘米的长方形纸板②与一块正方形纸板③以及另两块长 方形纸板④和⑤，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积 是___平方厘米． 36 16．用一元一次方程解决下列问题： 如图，在同一水平桌面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为60 dm2，高为8 dm；容器乙的底面积为40 dm2，高为12 dm.已知容器甲中盛满了水，而容器乙中目前的水位高度为2 dm.现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水20 dm3. (1)甲、乙两个容器中水位的高度相等？ (2)甲、乙两个容器中水位的高度相差 2 dm? 6．[2024·海沧区期末]英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸草书，这是古代埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作，它于公元前1700年左右写成．这部书中，记载着这样一个数学问题：“一个数，它的全部，加上它的七分之一，其和等于19”．若设这个数是x，则可以列一元一次方程表示为( ) A．7＋x＝19 B．7x＋x＝19 C．x＋eq \f(1,7)＝19 D．x＋eq \f(1,7)x＝19 A．－eq \f(2,3) B．1 C.eq \f(2,3) D．eq \f(4,3) 解：根据题意，得F＝3E－E－D＝3a－a－(－7t＋a)＝7t＋a， I＝3E－G－H＝3a－(3t＋2)－t＝3a－4t－2， 因为C＋E＋G＝C＋F＋I， 所以E＋G＝F＋I， 即a＋3t＋2＝7t＋a＋3a－4t－2， 所以a＋2＝4a－2， 解得a＝eq \f(4,3). eq \f(5,3)或eq \f(20,3) ①甲的水位达到4＋1＝5 cm，乙不变时，由题意，得3x＝5， 解得x＝eq \f(5,3)； ②甲、丙的水位到达管子底部10 cm，乙的水位上升到10－1＝9(cm)时，eq \f(3,4)(x－eq \f(10,3))×2＝9－4，解得x＝eq \f(20,3). 综上所述，开始注入eq \f(5,3)或eq \f(20,3)分钟水量后，甲的水位比乙高1 cm. 解：(1)设经过x分钟，甲、乙两个容器中水位的高度相等，根据题意，得8－eq \f(20,60)x＝2＋eq \f(20,40)x，解得x＝eq \f(36,5). 答：经过eq \f(36,5)分钟，甲、乙两个容器中水位的高度相等； (2)设经过y分钟，甲、乙两个容器中水位的高度相差2 dm，根据题意，得8－eq \f(20,60)y＝2＋eq \f(20,40)y＋2或8－eq \f(20,60)y＝2＋eq \f(20,40)y－2，解得y＝eq \f(24,5)或y＝eq \f(48,5). 答：经过eq \f(24,5)或eq \f(48,5)分钟，甲、乙两个容器中水位的高度相差2 dm. $$第4课时　配套和工程调配问题 1．[2024·历下区期末]某班在一次美化校园的劳动中，先安排35人打扫卫生，15人拔草，后又增派10人去支援，结果打扫卫生的人数是拔草人数的2倍，若设支援打扫卫生的同学有x人，则下列方程正确的是( ) A．35＋x＝2×10 B．35＋x＝2(15＋10－x) C．35＋x＝2(15－x) D．35＋x＝2×15 2．[2024·合川区期末]一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．某车间有29名工人，平均每人每天生产A部件8个或B部件5个，为使仪器刚好配套，设生产A部件的工人有x人，则下列方程正确的是( ) A．3×8(29－x)＝5x B．3×8x＝5(29－x) C．3×5(29－x)＝8x D．3×5x＝8(29－x) 3．制作一张桌子需要1个桌面和4条桌腿，1 m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有6 m3木材可用来制作桌子，设用x m3木材制作桌面，根据制成的桌面与桌腿恰好配套，则可列方程为( ) A．4×20x＝400(6－x) B．20x＝400(6－x) C．x＝4(6－x) D．20x＝4×400(6－x) 4．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1 m3钢材做40个A部件或240个B部件．现要用6 m3钢材制作这种仪器，恰好配成若干套仪器，则下列说法正确的是( ) A．用4 m3钢材做B部件 B．用2 m3做A部件 C．配成仪器480套 D．配成仪器160套 5．[2024·泗县期末]一项工作，甲单独做需12天完成，乙单独 做需15天完成，如果两人合作几天后，余下的工作再由甲单独做 3天完成，则甲、乙两人合作了__天． 6．服装厂要生产一批某型号校服，已知每3米长的布料可做上衣 2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的 这种布料生产校服，共能生产____套． 5 240 7．某工程公司有甲、乙两个工程队，现接到城区富民路翻修改造工程．若甲队单独修需要50天完成，若乙队单独修需要75天完成． (1)甲、乙两队合作需要多少天完成？ (2)若甲队先修25天，剩下部分由两队合作，还需要多少天完成？ 8．用一元一次方程解决问题： 山东淄博陶瓷生产史已逾万年，享有“淄博陶瓷，当代国窑”的美誉．某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 解：设用x千克瓷泥做茶壶，则用(6－x)千克瓷泥做茶杯， 根据题意，得6×3x＝9(6－x)，解得x＝2. 答：用2千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套． 9．为迎接新春蛇年的到来，重庆某工厂决定打造新春限定的2025蛇年布鲁克玩具盲盒系列．该工厂将这批新春限定盲盒分为A，B两种包装，工厂共有800名工人．请用一元一次方程解答下列问题： (1)若该工厂生产A种盲盒的人数比生产B种盲盒的人数的2倍少100人，分别求出该工厂生产A种盲盒和B种盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产新春限定盲盒大礼包，该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产A种盲盒，多少名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 解：(1)设该工厂生产A种盲盒的工人有x名，则生产B种盲盒的工人有(800－x)名， 根据题意，得2(800－x)－x＝100， 解得x＝500， 所以800－x＝800－500＝300. 答：该工厂生产A种盲盒的工人有500名，生产B种盲盒的工人有300名； 10.[项目式学习][2024·深圳期末] 【项目主题】帆布包和小熊外衣的制作与营销． 【项目背景】文创社准备筹集资金为学校对西藏林芝市察隅县的“温暖传递，共筑梦想”的帮扶活动捐款．现购入一批长方形帆布，准备制作出帆布包和小熊进行义卖，同学们针对制作和营销推广，开展了以下研究： 环节一：制作 素材1 共有900张帆布，一张长方形帆布(规格：长100厘米，宽80厘米)有两种剪裁方式． 方式1：如图1，四角剪去四个相同的小正方形，则可缝制成底面周长为104厘米的长方体无盖帆布包； 方式2：如图2，沿虚线剪成8个相同的长方形，每个小长方形可配给图1的帆布包做盖子． 环节一：制作 素材2 1.所有帆布都要剪裁，且每张帆布只能选择一种剪裁方式； 2．接缝处所需布料忽略不计；由于设计问题，图2中每个小长方形宽度需要比图1底面长方形的宽度更宽一些； 3．图1和图2中的阴影部分为余料，图1中的余料用来为小熊制作外衣. 问题解决 问题1 研究帆 布包形状 按方式1剪下的正方形边长为 厘米. 问题2 如何配套 若全部做成有盖帆布包．设其中按方式1剪裁的帆布有x张，请你求出x的值. 问题3 总结制 作规律 若同时制作有盖和无盖帆布包，设有盖帆布包有m个，则按方式2剪裁的帆布有 张，按方式1剪裁的帆布有 张，无盖包的数量有 个(均用含m的代数式表示). 环节二：营销推广 素材1 销售价格 环节二：营销推广 素材2 团购优惠方案 文创活动场面火爆，为减少排队时间、增加销量，现推出两个团购优惠方案： 素材3 团购优惠 如何使用 (1)两个团购优惠方案只能选择一种. (2)为了节省排队时间，一个班级只能使用一次优惠. (3)“团购优惠1”示例： A班：共需要4个有盖包，5个无盖包，13个小熊. 费用为50×4＋40×5＋20×(13－1－1－1)＝600元； B班：共需要30个小熊，通过享受两次“买10送1”， 费用为20×10×2＋20×(10－1－1)＝560元. 问题解决 任务1 小深班同学共买了10个有盖包，10个无盖包，15个小熊，若不使用团购优惠，则共应付 元. 任务2 在任务1的条件下，若小深班选择团购优惠，请你帮忙为小深班同学们选择一个最优惠的购买方案．(需通过计算说明) 任务3 另有小圳班也参加团购，已知他们购买了12个有盖包和10个无盖包，且实际共获得的小熊的数量介于30和40个之间(包括30和40)．他们经过计算发现，两种团购优惠方案的价格相等．则小圳班实际共获得了 个小熊. 任务1：共应付款：50×10＋40×10＋20×15＝500＋400＋300＝ 1 200(元)， 故答案为：1 200； 任务2：团购优惠1：50×10＋40×10＋20×(15－2－2－1)＝500＋ 400＋200＝1 100(元)， 团购优惠2：50×10＋40×10＋20×15＝500＋400＋300＝1 200(元)， 500＋90%×(1200－500)＝1 130(元)， 因为1 100<1 130，所以应选择团购优惠1； 任务3：设共获得m个小熊(30≤m≤40)， 当30≤m＜37时，团购优惠1：50×12＋40×10＋20×(m－3－ 2－2)＝20m＋860， 团购优惠2：500＋900＋80%(50×12＋40×10＋20m－1 500)＝ 16m＋1 000， 所以20m＋860＝16m＋1 000，解得m＝35，符合题意； 当38≤m≤40时，团购优惠1：50×12＋40×10＋20×(m－3－2 －3)＝20m＋840， 团购优惠2：500＋900＋80% (50×12＋40×10＋20m－1 500) ＝16m＋1 000， 所以20m＋840＝16m＋1 000，解得m＝40，符合题意； 综上所述，小圳班实际共获得了35或40个小熊， 故答案为：35或40. 解：(1)设甲、乙两队合作需要x天完成； 根据题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,50)＋\f(1,75)))x＝1，解得x＝30， 答：甲、乙两队合作需要30天完成； (2)设还需要y天完成， 根据题意，得eq \f(25＋y,50)＋eq \f(y,75)＝1，解得y＝15， 答：还需要15天完成． (2)设该工厂安排y名工人生产A种盲盒，则安排(800－y)名工人生产B种盲盒， 根据题意，得eq \f(20y,2)＝eq \f(10（800－y）,3)， 解得y＝200， 所以800－y＝800－200＝600. 答：该工厂应该安排200名工人生产A种盲盒，600名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． 解：问题1：设小正方形边长为a cm， 则(100－2a)＋(80－2a)＝eq \f(1,2)×104， 解得a＝32，故答案为：32； 问题2：因为按方式1剪裁的帆布有x张， 所以按方式2剪裁的帆布有(900－x)张， 所以x＝8(900－x)，解得x＝800； 问题3：因为有盖帆布包有m个， 所以按方式2剪裁的帆布有eq \f(m,8)张，按方式1剪裁的帆布有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(900－\f(m,8)))张， 所以无盖包的数量为900－m－eq \f(m,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(900－\f(9,8)m))个， 故答案为：eq \f(m,8)；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(900－\f(m,8)))；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(900－\f(9,8)m))； $$第五章 一元一次方程 1　认识方程 1．[2024·永年区期末]在式子①2－5　②1＋7x＝－8y＋3　 ③x＝6　④3x＝2x－9　⑤2x>7中，方程共有( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 3．[2024·临渭区期末]已知关于x的方程(m－1)x＝3x－m＋2的解是x＝－2，则m的值为( ) A．－4 B．6 C．－2 D．2 4．[2024·齐齐哈尔期末]方程(a－2)x|a|－1＋3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝( ) A．2 B．±1 C．－2 D．±2 5．[2024·海淀区期末]当x取不同值时对应的多项式4mx＋3n的值如表所示，则关于x的方程4mx＋3n＋2＝0的解是( ) A. x＝14 B．x＝2 C．x＝10 D．x＝6 x －2 －1 0 1 2 3 4mx＋3n 14 10 6 2 －2 －6 6．某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每 组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若 设共有x名学生，可列方程为________． 7．若(|a|－1)x2＋(a－1)x＋2＝0是关于x的一元一次方程， 则a＝____． －1 8．若(a－1)x|a|－3＝0是关于x的一元一次方程． (1)a＝ ； (2)求－4a2－2[a－(2a2－a＋2)]的值． 解：(1)因为方程(a－1)x|a|－3＝0是关于x的一元一次方程， 所以|a|＝1且a－1≠0. 解得a＝－1. 故答案为：－1； (2)原式＝－4a2－2(a－2a2＋a－2)＝－4a2－2(－2a2＋2a－2) ＝－4a2＋4a2－4a＋4＝－4a＋4， 将a＝－1代入上式， 得－4a＋4＝－4×(－1)＋4＝4＋4＝8. 9．阅读下列材料： 关于x的方程x3＋x＝13＋1的解是x＝1； x3＋x＝23＋2的解是x＝2； x3＋x＝(－2)3＋(－2)的解是x＝－2. 根据以上材料，解答下列问题： (1)观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于x的方程x3＋x＝43＋4的解为 ； (2)比较关于x的方程x3＋x＝a3＋a与上面各方程的关系，猜想它的解是 ； (3)请验证第(2)问猜想的结论． 解：(1)因为关于x的方程x3＋x＝13＋1的解是x＝1； x3＋x＝23＋2的解是x＝2； x3＋x＝(－2)3＋(－2)的解是x＝－2； 所以关于x的方程x3＋x＝43＋4的解是x＝4， 故答案为：x＝4； (2)因为关于x的方程x3＋x＝13＋1的解是x＝1； x3＋x＝23＋2的解是x＝2； x3＋x＝(－2)3＋(－2)的解是x＝－2； 所以关于x的方程x3＋x＝a3＋a的解为：x＝a， 故答案为：x＝a； (3)证明：把x＝a代入x3＋x＝a3＋a， 左边＝a3＋a，右边＝a3＋a， 因为左边＝右边， 所以x＝a是关于x的方程x3＋x＝a3＋a的解. 2．在方程x2－1＝0，y＝x－7，eq \f(x,3)－5＝x，eq \f(2,x－1)＝1，eq \f(x－1,2)＝1，x＝2，2(x＋1)＝6＋2x中，是一元一次方程的有( ) A．2个 B．4个 C．3个 D．以上答案都不对 eq \f(x,8)＋2＝eq \f(x,6) $$