第03讲 拓展一 集合与常用逻辑用语中的含参问题 (11大核心考点）【练透核心考点】-2025-2026学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版必修第一册）

第03讲 拓展一 集合与常用逻辑用语中的含参问题 目录 题型一：重点考查根据元素与集合的关系求参数 1 题型二：重点考查利用集合元素的互异性求参数 6 题型三：重点考查根据集合中元素的个数求参数 8 题型四：重点考查根据集合的包含关系求参数 12 题型五：重点考查根据两个集合相等求参数 16 题型六：重点考查根据交集结果求参数 19 题型七：重点考查根据并集结果求参数 24 题型八：重点考查根据补集结果求参数 28 题型九：重点考查根据并交补混合运算求参数 32 题型十：重点考查根据充分必要性求参数 37 题型十一：重点考查根据命题的真假求参数 41 题型一：重点考查根据元素与集合的关系求参数 典型例题 例题1．已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 例题2．若，则 . 例题3．已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 精练核心考点 1．已知集合，若，则 ． 2．设集合，，已知且，则的取值集合为 . 3．已知集合，若．求实数的值． 4．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 5．已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 题型二：重点考查利用集合元素的互异性求参数 典型例题 例题1．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 例题2．已知集合，，定义集合，则集合M中所有元素之和是 ． 精练核心考点 1．设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 2．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或 C． D．或 3．已知集合，，则 ． 题型三：重点考查根据集合中元素的个数求参数 典型例题 例题1．若集合中至少有2个整数元素，则实数a的取值范围为 例题2．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 精练核心考点 1．已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 4．若集合中只有一个元素，求实数a的值． 题型四：重点考查根据集合的包含关系求参数 典型例题 例题1．（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 例题2．已知集合，非空集合，若，求实数的值． 例题3．已知集合. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围. 精练核心考点 1．已知，若，则的取值范围为 . 2．（1）已知或.若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 3．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 4．设集合，． (1)当时，求A的非空真子集个数； (2)当时，求m的取值范围． 题型五：重点考查根据两个集合相等求参数 典型例题 例题1．设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题2．若集合，则 ． 例题3．设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 精练核心考点 1．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知函数，若，则 3．已知集合中有两个元素、，集合中的两个元素为0、，且，求实数的值． 题型六：重点考查根据交集结果求参数 典型例题 例题1．已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是 ． 例题2．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 例题3．已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 精练核心考点 1．设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 2．已知集合，. (1)求集合 (2)若，求实数m的取值范围. 3．设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型七：重点考查根据并集结果求参数 典型例题 例题1．已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 例题2．已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 例题3．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 精练核心考点 1．已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则的取值集合是 ． 3．设集合，若，求实数的取值范围. 4．设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数a的取值范围． 题型八：重点考查根据补集结果求参数 典型例题 例题1．已知全集，且，，，则集合       ． 例题2．已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 例题3．已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 精练核心考点 1．已知全集，集合． (1)若且，求实数的值； (2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值． 2．已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 3．设全集，集合． (1)求集合； (2)若，求集合． 题型九：重点考查根据并交补混合运算求参数 典型例题 例题1．已知集合，，若，则 ；若中有且只有2个整数，则a的取值范围为 ． 例题2．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 例题3．已知全集，，，且. (1)求实数，的值； (2)求. 例题4．已知全集，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求出集合的所有真子集. 精练核心考点 1．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 2．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 3．设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 4．已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型十：重点考查根据充分必要性求参数 典型例题 例题1．已知，，且是的充分条件，求实数的取值范围. 例题2．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 例题3．设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 精练核心考点 1．设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 2．设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 3．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 题型十一：重点考查根据命题的真假求参数 典型例题 例题1．已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 例题2．已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 例题3．已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且为假命题，求的取值范围． 精练核心考点 1．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 3．已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 拓展一 集合与常用逻辑用语中的含参问题 目录 题型一：重点考查根据元素与集合的关系求参数 1 题型二：重点考查利用集合元素的互异性求参数 6 题型三：重点考查根据集合中元素的个数求参数 8 题型四：重点考查根据集合的包含关系求参数 12 题型五：重点考查根据两个集合相等求参数 16 题型六：重点考查根据交集结果求参数 19 题型七：重点考查根据并集结果求参数 24 题型八：重点考查根据补集结果求参数 28 题型九：重点考查根据并交补混合运算求参数 32 题型十：重点考查根据充分必要性求参数 37 题型十一：重点考查根据命题的真假求参数 41 题型一：重点考查根据元素与集合的关系求参数 典型例题 例题1．已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用数量关系研究其周期性，可得答案. 【详解】由题意可得，，， ，则， . 故选：C. 例题2．若，则 . 【答案】 【分析】由已知可得或，求出值并验证互异性. 【详解】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为： 例题3．已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 精练核心考点 1．已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性分别讨论集合中三个元素分别为1时的值，再计算即可； 【详解】因为， 若时，，不符合元素的互异性； 若，即或2时： 当时，集合，不符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性； 若，即或2时： 当时，由以上可知不符合题意； 当时，，符合； 所以，所以， 故答案为：. 2．设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 3．已知集合，若．求实数的值． 【答案】或 【分析】分与讨论，同时也需要验证是否满足互异性，从而解得． 【详解】解：若，则， 此时，，成立； 若，则； 此时，，故成立； 故实数或． 4．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 【答案】(1)证明见解析 (2)否，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意，若，则， 则， 若，则， 所以集合A中还有另外两个元素和. （2）否，理由如下： 由题意，若（且），则， 则， 若，则， 所以集合A中应包含，，，而， 所以集合的元素个数为3的倍数， 故集合A不是只含有两个元素的集合. （3）由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数， 因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以集合的元素个数为6，其中一个元素为， 由结合已知条件可得，， 由， 解得或或， 所以. 5．已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 【答案】（1）不 是集合中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据集合元素的属性判断； （2）根据，由化简，由集合元素的属性判断； （3）根据，由化简判断. 【详解】（1）因为， 此时：，不满足， 所以不是集合中元素. （2）因为，则， ， ， 因为都是整数， 所以. （3）因为， 所以， ， 因为，所以为偶数即为偶数. 题型二：重点考查利用集合元素的互异性求参数 典型例题 例题1．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】分和两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到答案. 【详解】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 例题2．已知集合，，定义集合，则集合M中所有元素之和是 ． 【答案】6 【分析】根据集合M的定义列举出M的元素，再求它们的和即可. 【详解】由题设，时，； 时，； 时，； 时，； ∴，故集合M中所有元素之和是6. 故答案为：6 精练核心考点 1．设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案. 【详解】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时； 所以或. 故选：C 2．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】C 【分析】由题可知或，即求. 【详解】∵， ∴或， ∴或， 经检验得. 故选：C. 3．已知集合，，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定的元素与集合关系列式，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由集合，，得或， 当时，，此时，不符合题意，； 当时，显然，解得，集合，符合题意， 所以. 故答案为：1 题型三：重点考查根据集合中元素的个数求参数 典型例题 例题1．若集合中至少有2个整数元素，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】由集合的元素特征可得，再由至少有2个整数元素可得，列出不等式求解即得. 【详解】依题意，，解得，又，即集合的两个端点值关于1对称， 则，而集合中至少有2个整数元素，于是，因此，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 例题2．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 精练核心考点 1．已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 2．（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，可知，所以依次讨论为时，集合中的元素个数． A选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； B选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素； C选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； D选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素． 故选：AC. 3．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 4．若集合中只有一个元素，求实数a的值． 【答案】0或 【分析】一元二次方程二次项系数含参数，对a是否为0进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意有：当时，原方程为一元一次方程，有一个解； 当时，原方程为一元二次方程，需有两个相同的实数根， 则，解得． 综上可知，的值为0或． 题型四：重点考查根据集合的包含关系求参数 典型例题 例题1．（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABD 【分析】先求出集合，分和两种情况结合包含关系求解即可. 【详解】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 例题2．已知集合，非空集合，若，求实数的值． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的知识对集合中的方程求出解集，然后根据子集的定义求出的值. 【详解】因为，所以．由题知， 当时，，即，解得或． 若，则，所以，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 综上所述，实数的值为2． 例题3．已知集合. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分为空集和不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可； (2)，则是的子集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）①若，则，即，此时； ②若，则，解得. 综合①②，得实数的取值范围是. （2）（2）若，则，解得， 所以实数的取值范围是. 精练核心考点 1．已知，若，则的取值范围为 . 【答案】或 【分析】分为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得解. 【详解】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集. 因为， 所以，若为空集，则，解得； 若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； 若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得 综上所述，的取值范围为或. 故答案为：或. 2．（1）已知或.若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得.    综上所述，的取值范围为或. （2）即的范围小于的范围. 要使，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图2得或， 解得.又因为，所以.    综上所述，的取值范围为. 3．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 4．设集合，． (1)当时，求A的非空真子集个数； (2)当时，求m的取值范围． 【答案】(1)62 (2) 【分析】（1）由条件确定集合A中元素，即可求解； （2）由，分类讨论，建立不等式求解即可. 【详解】（1）（1）∵， ∴， ∴A的非空真子集的个数为． （2）分两种情况讨论：①当时，，则； ②当时，解得． 综上可得，m的取值范围为． 题型五：重点考查根据两个集合相等求参数 典型例题 例题1．设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令或分类讨论即可． 【分析】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 故选：C． 例题2．若集合，则 ． 【答案】或 【分析】由题意，方程有唯一根，分两种情况讨论，列出等量关系求解即可. 【详解】集合，即方程有唯一根， 所以或， 解得或， 所以或. 故答案为：或. 例题3．设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【答案】a，b，c的值分别为1，，2 【分析】根据，求出、和，求出的值. 【详解】因为，所以， 解得，所以的值分别为. 精练核心考点 1．已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 2．已知函数，若，则 【答案】 【分析】根据可得函数有两个相等的实数根，再根据判别式求解即可. 【详解】因为，故函数，即有两个相等的实数根. 故，解得，故. 故答案为： 3．已知集合中有两个元素、，集合中的两个元素为0、，且，求实数的值． 【答案】 【分析】由集合相等条件求解即可. 【详解】由，，可知，，解得：． 题型六：重点考查根据交集结果求参数 典型例题 例题1．已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得方程在上只有1个解，据此可得答案. 【详解】因只有一个元素，则在上只有1个解. . 若判别式等于0，则或. 当时，易得方程解为，不满足题意； 当时，方程解为，满足题意. 若判别式大于0，得或. 由韦达定理，两根之积为2，两根之和为，要使方程在上只有1个解， 则满足题意，且. 综上实数m的取值范围是. 故答案为： 例题2．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3)． 【分析】（1）由集合的交并补运算即可求解； （2）由题意得，进一步列不等式即可求解； （3）由题意得，对是否是空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 例题3．已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先根据，分别得出集合，进而应用交集，并集，补集定义计算求解； （2）分和求出集合，再由得，列方程求解即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）当时，，满足，所以成立； 当时，，可得且且， 得，且，且， 因为满足，所以， 所以或，得或或（舍去）， 所以或； 综上，或或； 精练核心考点 1．设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可； （3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以，， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以，． （3）因为，所以，又， 所以或或或， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解， 综上，的范围为． 2．已知集合，. (1)求集合 (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由补集的运算，可得答案； （2）由交集的结果可得集合之间的包含关系，利用分类讨论，分别建立不等式组，可得答案. 【详解】（1），或. （2）由，则， ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，可得，解得； 故m的取值范围是. 3．设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2). 【分析】（1）根据两个集合交、并、补的定义即可计算求解； （2）根据集合的包含关系，分和两种情况列式求解即可. 【详解】（1）若，则， 所以， ， 故或. （2）因为，所以. ①当时，，解得，满足题意； ②当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 题型七：重点考查根据并集结果求参数 典型例题 例题1．已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 例题2．已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解. （2）由（1）求出集合D，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解. 【详解】（1）由，得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，符合题意， 所以. （2）由（1）得，，由，得， ①若，此时，即，符合题意； ②若，由，则，解得：， 所以实数的取值范围是. 例题3．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）先考虑当时，求出实数的取值范围，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围，再利用补集思想可得出当时实数的取值范围. 【详解】（1）由可知，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． （2）考虑当时，实数的取值范围，则， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，解得， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. 精练核心考点 1．已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 2．已知集合，，若，则的取值集合是 ． 【答案】 【分析】由题意可知，根据包含关系列式求解，并结合集合的互异性运算求解. 【详解】因为，则， 若，可得或， 当，则集合，，符合题意； 当，则集合，，符合题意； 若，可得，不满足互异性，不符合题意； 综上所述：的取值集合是. 故答案为：. 3．设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意就判别式的正负分情况依次求解. 【详解】，由题设可得为的子集. 当时，解得. 当时， 若，即时， 此时的解为， 即，符合题意. 若，即时， ①，即时，此时， 即，解得，即，不符合题意. ②，即时，由此时集合. 则，解得， 与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 4．设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）先求出集合B，再根据交集和并集的定义计算即可； （2）由题设得，分和两种情况分析计算即可得解. 【详解】（1）若，则， 所以，. （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则. 综上，实数a的取值范围为. 题型八：重点考查根据补集结果求参数 典型例题 例题1．已知全集，且，，，则集合       ． 【答案】 【分析】由已知补集交集的运算结果，得到集合A与集合B，再求补集与交集的运算. 【详解】全集， ，则，， 所以. 故答案为：. 例题2．已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求额吉；或. （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 例题3．已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的概念求出答案； （2）选①②③均可得到，从而得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）时，， 故； （2）选①，，则， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选②，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选③，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是. 精练核心考点 1．已知全集，集合． (1)若且，求实数的值； (2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先化简集合，得到，根据可得到的值，并用进行检验即可； （2）分和两种情况进行分类讨论，即可得到答案 【详解】（1）由题意，，所以， 若，则或，解得或， 又，所以； （2）因为， 当时，，此时集合共有1个真子集，不符合题意； 当即时，，此时集合共有3个真子集，符合题意， 综上所述， 2．已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 3．设全集，集合． (1)求集合； (2)若，求集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程可得答案；． （2）根据可得代入可得答案. 【详解】（1）． （2），， ，∴解得， ． 题型九：重点考查根据并交补混合运算求参数 典型例题 例题1．已知集合，，若，则 ；若中有且只有2个整数，则a的取值范围为 ． 【答案】 －2 【分析】利用集合的交集运算即可求解参数，利用补集运算结合题意即可求参数范围． 【详解】由题可得，． 因为，所以，解得； 因为， 由有且只有2个整数，可知这两个整数为 所以，解得，所以实数a的取值范围为． 故答案为：；. 例题2．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，0或 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【详解】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 例题3．已知全集，，，且. (1)求实数，的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合的混合运算集结果求得，进而得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用（1）中结论，结合集合的交并补运算即可得解. 【详解】（1）因为全集，且， 所以，则， 又，， 所以，解得. （2）由（1）可知，， ， 所以，故. 例题4．已知全集，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再结合并集的定义即可求解； （2）分析可得，，进而得到，即可求出，进而根据真子集的定义写出所有的真子集即可. 【详解】（1）因为，， 则， 又，， 所以. （2）由题意，，，， 则，，即， 所以，此时， 所以集合的真子集为：. 精练核心考点 1．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且，+ 解得，所以实数m的取值范围是． 2．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 3．设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数，得，求解即得. 【详解】（1），且，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得， 则实数的取值范围是. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数. 或，，要使中至少存在一个整数， 则，解得，则实数的取值范围是. 4．已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 题型十：重点考查根据充分必要性求参数 典型例题 例题1．已知，，且是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由题意得.根据集合的包含关系，分和两类讨论即可求解. 【详解】由题意得. 当，即时，解得，满足题意； 当，要使，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 例题2．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 例题3．设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，再由集合并集运算即可； （2）由题意得到，构造不等式求解即可； 【详解】（1）由题设，，当时，所以； （2）由题设，，且，若P是q的必要不充分条件，则 又a为正实数，即，解得， 故a的取值范围为. 精练核心考点 1．设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空集构造不等式求解即可； （2）由条件确定集合是集合的真子集，再构造不等式求解即可； 【详解】（1）因为集合是空集，所以， 解得，所以的取值范围为． （2）． 集合不是空集，则，解得． “”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集， 则，等号不同时取到，解得， 故的取值范围为． 2．设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据集合的基本运算可得结果. （2）把条件转化为⫋，利用集合间的基本关系可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，或， ∴，或. （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， ∴（等号不同时成立），解得， ∴实数a的取值范围为. 3．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用并集与补集定义计算即可得； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集，再分与计算即可得. 【详解】（1）由题意可知， 若，则， 故，则或； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集， 当时，，解得， 当时，则有，解得， 且（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 题型十一：重点考查根据命题的真假求参数 典型例题 例题1．已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到或，求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为或， 所以，或； （2）因为“，都有”是真命题，所以， 因为集合，集合或， 所以或， 即或，所以实数的取值范围. 例题2．已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，再由集合间的包含关系求解即可； （2）由条件得到，再由集合间的包含关系求解即可； 【详解】（1）由于命题是真命题， 所以，所以， 解得， （2）q为真，则，因为，所以. 所以， 解得. 例题3．已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且为假命题，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）由集合的交并补运算可得解； （2）转化条件为，对是否为空集讨论即可得解. 【详解】（1）由或，则， 又，则或， 故或； （2）∵为假命题， ∴为真命题，即， 又，， 当时，，即，； 当时，由可得， ，或， 解得， 综上，m的取值范围为. 精练核心考点 1．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 2．已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先将命题为假命题转化为其否定为真命题，进而可得. 【详解】由题意可知，，使得，为真命题， 故. 故答案为： 3．已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 学科网（北京）股份有限公司 $$