第01讲 集合 (7大核心考点）【练透核心考点】-2025-2026学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版必修第一册）

第01讲 集合 目录 题型一：重点考查元素与集合的关系 1 题型二：重点考查集合元素的互异性的应用 3 题型三：重点考查集合的列举法和描述法 5 题型四：重点考查根据集合中元素的个数求参数 7 题型五：重点考查子集（真子集）的个数问题 9 题型六：重点考查根据集合包含关系求参数 11 题型七：重点考查根据集合的运算结果求集合或参数 14 题型一：重点考查元素与集合的关系 典型例题 例题1．已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 精练核心考点 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：重点考查集合元素的互异性的应用 典型例题 例题1．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 例题2．已知集合，，且，则集合 ． 精练核心考点 1．若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．设，已知，求x的值. 题型三：重点考查集合的列举法和描述法 典型例题 例题1．已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 例题2．用列举法表示集合 . 精练核心考点 1．能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 2．集合可用列举法表示为 . 3．已知，则集合用列举法表示为 . 题型四：重点考查根据集合中元素的个数求参数 典型例题 例题1．已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 例题2．已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 精练核心考点 1．若集合中只有一个元素，则 . 2．已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 3．若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围. 题型五：重点考查子集（真子集）的个数问题 典型例题 例题1．已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 精练核心考点 1．已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 2．（多选）已知集合，则（    ） A． B．A有16个真子集 C．A中有3个元素 D． 3．已知集合满足，则不同的集合的个数为 ． 题型六：重点考查根据集合包含关系求参数 典型例题 例题1．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 例题2．（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 精练核心考点 1．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 2．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 3．已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 题型七：重点考查根据集合的运算结果求集合或参数 典型例题 例题1．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 例题2．已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 例题3．已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 精练核心考点 1．集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 2．已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 3．设集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合 目录 题型一：重点考查元素与集合的关系 1 题型二：重点考查集合元素的互异性的应用 3 题型三：重点考查集合的列举法和描述法 5 题型四：重点考查根据集合中元素的个数求参数 7 题型五：重点考查子集（真子集）的个数问题 9 题型六：重点考查根据集合包含关系求参数 11 题型七：重点考查根据集合的运算结果求集合或参数 14 题型一：重点考查元素与集合的关系 典型例题 例题1．已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 例题2．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】（1）根据题目条件得到，，故；（2），故；（3）分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 精练核心考点 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 2．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出每项中、的对应的值后，检验其是否符合即可得解. 【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误； 对B：有，解得，由时，，故，故B正确； 对C：有，解得，由时，，故，故C错误； 对D：有，解得，由时，，故，故D错误. 故选：B. 3．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 题型二：重点考查集合元素的互异性的应用 典型例题 例题1．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 【答案】C 【分析】根据或，求出，保留符合元素互异性的值即可. 【详解】 若，即时，，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，即（舍去）或时，， 故. 故选：C. 例题2．已知集合，，且，则集合 ． 【答案】 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 精练核心考点 1．若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可. 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为. 故选：D 2．若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 3．设，已知，求x的值. 【答案】 【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】（i）若，解得， 则，此时，不成立； （ⅱ）若，整理得，解得或， ①当时，则，此时，符合题意； ②当时，则，此时，不成立； 综上所述：. 题型三：重点考查集合的列举法和描述法 典型例题 例题1．已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 例题2．用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据，对列举求解即可. 【详解】， ， ， 故答案为：. 精练核心考点 1．能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可. 【详解】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确， 故选：B. 2．集合可用列举法表示为 . 【答案】 【分析】求得方程的根据，结合和集合的表示方法，即可求解. 【详解】由方程，解得或， 因为，所以，即集合. 故答案为：. 3．已知，则集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据题中已知条件对的正负进行分类讨论即可得出结果. 【详解】由可得或， 当时， 若，则， 若，则； 当时， 若，则， 若，则； 根据集合元素的互异性可知，列举法表示为. 故答案为： 题型四：重点考查根据集合中元素的个数求参数 典型例题 例题1．已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】通过讨论和即可求解. 【详解】解:当时，易知， 当时，若集合为空集，则 故选：B 例题2．已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 精练核心考点 1．若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 2．已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 【答案】 【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解. 【详解】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 3．若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】． 【分析】分当时与当时讨论，当时相当于二次函数有解. 【详解】当时，,符合题意； 当时，要使集合中至少有一个元素， 则关于的方程有实数根，则，得,且. 综上所述，若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围为． 题型五：重点考查子集（真子集）的个数问题 典型例题 例题1．已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求出集合，由子集的定义可得. 【详解】由集合，所以的子集个数为个； 故选：D 例题2．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 【答案】15 【分析】根据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】是自然数集，，需要舍去， 所以满足“， 若，则”的集合是集合的非空子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， 所以将集合看作有4个元素，其非空子集个数为. 故答案为：15. 精练核心考点 1．已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 【答案】C 【分析】根据集合的性质，依次求出集合，即可求得答案. 【详解】由 又由，可得，即. 故的非空真子集的个数为. 故选：C. 2．（多选）已知集合，则（    ） A． B．A有16个真子集 C．A中有3个元素 D． 【答案】AD 【考查点】利用元素与集合，集合与集合之间的基本关系来作出判断即可． 【详解】由题得，则，故A正确； A有个真子集，故B错误． A中有4个元素，故C错误； ，故D正确； 故选：AD 3．已知集合满足，则不同的集合的个数为 ． 【答案】4 【分析】根据集合的包含关系列举出集合，即可得解. 【详解】由题知中必然含有元素，1，可能含有元素，2， 所以可能为，共4个． 故答案为：4 题型六：重点考查根据集合包含关系求参数 典型例题 例题1．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 例题2．（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①②讨论参数，根据集合中元素个数及一元二次方程判别式求参数； （2）讨论参数m，结合集合的包含关系求参数即可. 【详解】（1）①若，则，符合题意； 若，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得， 综上，实数的所有取值可能为：； ②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，则且 故的取值范围是； （2）.， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，， 若要，则或，解得或； 综上所述，实数的值是. 精练核心考点 1．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 2．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 3．已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 题型七：重点考查根据集合的运算结果求集合或参数 典型例题 例题1．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 例题2．已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据交集的概念计算即可； （2）根据集合的关系及补集运算，分类讨论计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 例题3．已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据补集的运算法则即可求解； （2）根据集合的包含关系，解不等式组即可求解； （3）由可得，分和两种情况讨论实数的取值范围，最后综合讨论结果即可求解. 【详解】（1）∵全集，集合， ∴或. （2）∵，，， ∴，解得，即实数的取值范围为. （3）∵，∴. 当，即时，，符合题意； 当时，，解得. 综上，，即实数的取值范围为. 精练核心考点 1．集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，从而解出的值，分别代入集合检验是否满足，从而确定的值； （2）由得，从而求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以，解得或． 当时，，，不合题意； 当时，，满足题设． 所以，实数的值为1． （2）集合， 集合， 因为，所以，从而，解得， 所以实数的取值范围为. 2．已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求集合，再求交集； （2）分集合和两种情况，列式求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又因为或，所以； （2）若， 当，即时，，满足； 当，即时，， 要满足，只需， 解得，又因为，所以. 综上可知，实数的取值范围为. 3．设集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）依题意可得，根据集合的包含关系，分类讨论求参数的取值范围. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数，得，求解即可. 【详解】（1），且，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得， 则实数的取值范围是. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数. 或，，要使中至少存在一个整数， 则，解得，则实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$