第2章 有理数（复习课件）数学苏科版2024七年级上册

单元复习课件 第二章 有理数 苏科版2024 ·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 知道有理数、负数、数轴、绝对值、相反数、倒数的相关概念；会比较有理数的大小；知道有理数的分类； 3.能熟练利用有理数的运算解决简单的实际问题。 2.能熟练利用有理数的加、减、乘、除、乘方等运算法则进行运算及混合运算，能选用合适的运算律进行简便计算； 科学记数法的概念。 单元学习目标 数轴 有理数 按定义分类 相反数 分类 按正负分类 运算 加、减、乘除、乘方运算法则 运算律 应用 概念 绝对值 整数 分数 混合运算 科学记数法 单元知识图谱 考点一、有理数的概念、分类 1.有理数的概念： 和 统称为有理数。 注意：分数有真分数、假分数、百分数、带分数、有限小数、无限循环小数等不同形式，以上几种形式都属于分数。 整数 分数 2.有理数的四种常见形式： （1）整数；（2）分数；（3）有限小数；（4）无限循环小数。 考点串讲 考点二、数轴、有理数的大小比较 3.数轴构三要素是： ， ， 4.一般地，数轴上原点右边的点表示 ，左边的点表示 ；零用 表示． 单位长度 原点 正方向 正数 负数 原点 5.有理数的大小比较： （1）在数轴上表示的两个数， 比 大； （2）正数 0，负数都 0，正数 负数。 右边的数 左边的数 大于 小于 大于 6.有理数 a，b，下列三种关系有且只有一种成立: a>b ; a=b ; a<b , 7.有理数的大小具有传递性： 若a>b ,b>c ,则a c;若a<b ,b<c ,则a c; > < 考点串讲 考点三、绝对值的概念及性质 8.绝对值概念：数轴上表示数a的点与 的 叫做数a的绝对值； 表示方法|a| 9.绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是 ； （2）一个负数的绝对值是它的 ； （3）0的绝对值是 ． 单位长度 原点 距离 , 它本身 相反数 0 10.绝对值的几何意义：表示这个数的点到 的 。 原点 距离 考点串讲 考点四、相反数的概念和性质 11.相反数的概念：只有 不同的两个数互为相反数； 0的相反数是 ，即： 不同， 相同的两个数互为相反数； 相反数的表示方法： 的相反数为 符号 , 0 符号 绝对值 12.相反数的性质： （1）和的关系：若两数互为相反数，则；反之，若，则两数互为相反数。 （2）位置关系：表示相反数的点分别位于原点的两旁，且到原点的距离相等. 考点串讲 考点五、有理数的运算——加法 1. 有理数的加法：（分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取 的符号，并把 相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用较 的 减去较 的 ． 互为相反数的两个数相加得 ； （3）一个数同0相加，仍得 ． 相同 绝对值 绝对值较大 大 绝对值 小 绝对值 0 这个数 2.有理数的加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 考点串讲 考点六、有理数的运算——减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的 ， 即有：; 将减法转化为加法时，注意“两变”： 一变是 ；二变是把 ． 相反数 减号变加号 减数变为它的相反数 考点串讲 考点七、有理数的运算——乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘， 得正， 得负，并把 相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 同号 异号 绝对值 2.有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律： ． （2）乘法结合律：． （3）乘法分配律： ． 考点串讲 考点八、有理数的运算——除法 1.倒数的概念： 是1的两个数互为倒数． 乘积 2.有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ， 即 。 法则2：两数相除， ，并把 相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 倒数 同号得正，异号得负 绝对值 考点串讲 考点九、有理数的运算——乘方 1.乘方的定义：求 的 的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 ． 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是 ； （2）负数的 幂是负数，负数的 幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是 ． 相同因数 积 幂 正数 奇次 偶次 非负数 3.科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成 的形式（其中l≤| |＜10， 是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 考点串讲 考点十、有理数的运算——混合运算 1. 有理数的混合运算顺序：（三原则） (1)先 ，再 ，最后 ； (2)同级运算，从 到 进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 乘方 乘除 加减 左 右 考点串讲 题型一、相反数、绝对值的概念 例1：下列两个数中，互为相反数的是 ( ) A.|+2|和(2) B.| 4|和|4| C. 2和 D.+(2)和(2) 【解析】： A、|+2|=2， (2)=2，故|+2|和(2)不互为相反数，该选项不符合题意； B、| 4|=4，|4|=4，故| 4|和|4|不互为相反数，该选项不符合题意； C、 2和不互为相反数，该选项不符合题意； D、+(2)= 2， (2)=2，故+(2)和(2)互为相反数，该选项符合题意； 故选：D． D 题型剖析 题型一、相反数、绝对值的概念 变式：下列各组数中，结果互为相反数的是 ( ) A. (+6)与 B. | 7|与|1 8| C. (5)与| 5| D.+(9)与|9| 【解析】： A． (+6)= 6与，两数不互为相反数，不符合题意； B． | 7|= 7与|1 8|=7，两数互为相反数，符合题意； C． (5)=5与| 5|=5，两数相等，不符合题意； D．+(9)= 9与|9|= 9，两数相等，不符合题意， 故选：B． B 题型剖析 题型二、利用数轴比较有理数的大小 例2： a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a， a，b， b，按照从小到大的顺序排列，正确的是 ( ) A. b< a<a<b B. a< b<a<b C. b<a< a<b D.b< a<a< b 【解析】：根据图示，可得0<a<1，b<-1， ∴ 1< a<0， b>1， ∴b< a<a< b． 故选：D． D 题型剖析 题型二、利用数轴比较有理数的大小 变式： a，有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系正确的是 ( ) A.a< a<1 B. a<a<1 C.a<1< a D.1< a<a 【解析】：由数轴可知， a <0<1，| a |>1， ∴ a >1， ∴ a <1< a ， 故选：C． C 题型剖析 题型三、有理数的分类 例3：把下列各数填在相应的大括号里(将各数用逗号隔开)： 5,0, 3.14, (6),0.32． (1)正分数：{                    ⋯}； (2)负数：{                     ⋯}； (3)整数：{                     ⋯}； (4)正整数：{           ⋯}； (5)有理数：{                    ⋯}． 0.32 5 3.14 5 (6) +2024 (6) +2024 5,0, 3.14, (6),0.32 题型剖析 题型三、有理数的分类 变式：把下列各数对应序号填在相应的集合内： ①；②0.5；③ 23，④0，⑤ (4)，⑥，⑦ 5.2，⑧π． 正数集合{_________________⋯}； 负分数集合{_________________⋯}； 非负整数集合{_________________⋯}； 有理数集合{_________________⋯}． ②⑤⑥⑧ 题型剖析 题型四、数轴上整数点的覆盖问题 例4：若在单位长度1cm的数轴上随意画出一条长100cm的线段AB，则线段AB盖住的整数点至少有 ( ) A.9个 B.10个 C.100个 D.101个 【解析】 (1)当线段的两端点是整数点时，一条长100cm的线段AB，则被线段AB盖住的整数有101个， (2)当线段的两端点不是整数点时，一条长100cm的线段AB，则被线段AB盖住的整数有100个， ∴线段AB盖住的整数点至少有100个 故选：C． C 题型剖析 题型四、数轴上整数点的覆盖问题 变式：若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点有 ( ) A.8个或9个 B.9个或10个 C.10个或11个 D.11个或12个 【解析】 解：依题意得：①当线段AB的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段AB的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． C 题型剖析 题型五、有理数的加减及运算律 例5：计算： 【解析】： (1).+ (2). (1).+ =+ = =1 (2). = = =1 题型剖析 题型五、有理数的加减及运算律 变式：计算： (1)； (2)； (3)； (4) ． 解析： (1)； (2)； (3)； (4) 题型剖析 题型六、有理数的乘除运算 例6：计算： (1)； (2)； (3)； 解析： (1)； (2)= 36； (3)= ； 题型剖析 题型六、有理数的乘除运算 变式：阅读下面解题过程并解答问题． 计算：． 解：原式=(15)÷()×6(第一步) =(15)÷() (第二步) = ．(第三步) (1)上面解题过程中错误的步骤是 ； (2)请你写出正确的解题过程． 【解析】(1)上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； (2)解：原式=(15)÷()×6 =(15) = ． 题型剖析 题型七、有理数的乘方运算 例7：计算： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)． 【解析】 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型剖析 题型七、有理数的乘方运算 变式：计算： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5) ； (6) ． 【解析】 (1)； (2)； (3)； (4) ； (5) ； (6) ． 题型剖析 题型八、科学记数法 例8：现有5000张A4纸，每张厚度为0.1毫米，若将每张纸对折3次，则对折后的5000张纸的厚度为 (用科学记数法表示)毫米． 【解析】5000×0.1×2³=4000=4×10³mm； 题型剖析 题型八、科学记数法 变式：青藏高原的面积约为2500000平方千米．将2500000用科学记数法表示应为 平方千米．． 【解析】2500000=； 题型剖析 例9：计算 ; 题型九、有理数的混合运算 【解析】 【解析】 ( ) 题型剖析 例9：计算 ; 题型九、有理数的混合运算 【解析】 【解析】 = = 题型剖析 变式：计算 ; 题型九、有理数的混合运算 【解析】 【解析】 () 题型剖析 变式：计算 ; 题型九、有理数的混合运算 【解析】 【解析】 4 题型剖析 例10：对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“a★b”．并按照此运算写出了一些式子： 2★3=5， (-2)★3=-5， 2★(-3)=-5， (-2)★(-3)=5， (-2)★(-2)=4，2★(-2)=-4， 2★0=2， (-2)★0=2，⋯⋯ (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；一个数与0相“乘加”等于 ； (2)根据法则计算：(-4)★2= ；(-★(-3)= ； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：[6★(-1)]★[(-1)★ ] 题型十、有理数与新定义运算问题 题型剖析 【解析】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， (2)解：(-4)★2=-(|-4|+|2|)=-6， (- )★(-3)=|- |+|-3|=3 ， 故答案为：-6，3(1)/(3)； (3)解：[6★(-1)]★[(-1)★ ] =[-(|6|+|-1|)]★[-(|-1|+| |)] =(-7)★(-1 ) =|-7|+|-1 | =8 ． 题型十、有理数与新定义运算问题 题型剖析 变式：对于有理数a、b定义一种新运算“▲”，规定：a▲b=． 例如：(-1)▲2 ． (1)填空：2▲3= ，3▲3= ，(-2)▲(-3)= ； (2)判断“▲”运算是否满足交换律并说明理由． 题型十、有理数与新定义运算问题 【解析】(1)解：∵有理数a、b定义一种新运算“▲”，规定：a▲b= ， ∴2▲3= =2；3▲3= =3；(-2)▲(-3)= =-3； 题型剖析 题型十、有理数与新定义运算问题 【解析 (2)解：“▲”运算满足交换律，理由如下： 当a>b时，a▲b= =b，b▲a= =b，此时，a▲b=b▲a； 当a=b，a▲b= = =a=b，b▲a= = =a=b， 此时：a▲b=b▲a； 当a<b时，a▲b==a，b▲a= =a， 此时：a▲b=b▲a； 综上所述：a▲b=b▲a， ∴“▲”运算满足交换律． 题型剖析 1. -2024的相反数的绝对值是 ( ) A.-2024 B.2024 C. D. 【解析】： -2024的相反数是2024， 则-2024的相反数的绝对值是|2024|=2024． 故选：B． B 针对训练 2.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0．若AB=6，则点B表示的数为 ( ) A.-9 B.-3 C.0 D.3 D 【解析】 ∵点A、B分别表示数a、b，且a+b=0， ∴a、b互为相反数， ∵AB=6， ∴A，B两点到原点的距离为3， ∵B点位于数轴上正半轴， ∴B点表示的数为3， 故选：D． 针对训练 3.有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且a+b>0，下列推断正确的是 ( ) A.原点一定在点A左侧 B.原点一定在点A右侧 C.原点一定在AB中点左侧 D.原点一定在AB中点右侧 C 【解析】 ∵a+b>0，且从数轴得a<b， ∴>0，b>0， ∴原点一定在AB中点左侧， 故选：C． 针对训练 4．下列计算正确的是 ( ) A.=4 B.1 (3)=2 C.19 3²÷2=5 D.1÷()×3= 9 D 【解析】 A．(1)+(3)= 4≠4，故此选项不符合题意； B．1 (3)=4≠2，故此选项不符合题意； C．19 3²÷2=14.5≠5，故此选项不符合题意； D．1÷( )×3= 9，故此选项符合题意． 故选：D． 针对训练 5．小勤设计了一个计算程序(如图)，如果输入的数是4，那么输出的结果是 ( ) A.-6 B.6 C.-9 D.9 【解析】由题意得4×(-3)÷2=-6<0， -6×(-3)÷2=9>0， 输出结果为9 故选：D． 针对训练 6．若m与|互为相反数．则m的值为 ． 【解析】 | = ， ∵m与|互为相反数，即m与相反数 ∴m= ． 故答案为： ． 针对训练 7．大于-1.5且小于2.5的所有整数的和是 ． 【解析】大于-1.5且小于2.5的所有整数为： -1，0，1，2， 则-1+0+1+2=2 故答案为：2． 针对训练 8．已知|a-1|=6,b=-2²，且|a+b|=|a|+|b|，则a-b= ． 【解析】 ∵|a-1|=6，b=-2²， ∴a-1=±6，b=-4， ∴a=7或a=-5， ∵|a+b|=|a|+|b|， ∴a、b同号或a=0、b=0， ∴a=-5，b=-4， ∴a-b=-5-(-4)=-5+4=-1． 故答案为：-1． 针对训练 9．计算： (1). (2)． (3) (4)． 【解析】 (1)解：20+(7) | 2|， =20 7 2， =11； (2)解：原式= ； 针对训练 9．计算： (1). (2)． (3) (4)． 【解析】 (3)解： ， = ， =； (4)解：原式 = ； 针对训练 10．某地气象站测得某天的四个时刻气温分别为：早晨6时为零下3℃，中午12时为零上1℃，下午4时为0℃，晚上12时为零下9℃． (1)用正数或负数表示这四个不同时刻的温度； (2)早晨6时比晚上12时高多少？ (3)下午4时比中午12时低多少？ 【解析】(1)解：规定零上为“正”、零下为“负”，早晨6点温度为3℃，中午12点温度为+1℃，下午4点为0℃，晚上12点为9℃． (2)早晨6点为3℃，晚上12点为9℃， 3 (9)=6(℃)， 所以早晨6点比晚上12点高6℃； (3)下午4点为0℃，中午12点为+1℃， 1 0=1(℃)， 答：下午4点比中午12点低1℃． 针对训练 ✅ 知识构建：有理数 有理数的相关概念→有理数的运算→应用 ✅ 思想方法： 分类讨论的数学思想方法 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $$