辽宁省铁岭市2025年高中数学竞赛试题

2025年铁岭市高中数学竞赛试题 考试时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（每题中只有一个选项符合题目要求，请把正确选项填写在答题卡上 相应的空格内)（每题6分，共30分） 1.若函数f(x)=lna+ +b是奇函数，则 () A.a=-,b=In2 B.a=-1,6=In2 2 2 C.a=7,b=-In2 D.a=-2.6=-In2 2.已知复数，32,3,2，满足|户+323+2，=4且+224=0，则 |3124-2223= ()》 A.4 B.6 c.5 D.2W5 3.已知sin2a三，则an（a+5的值为 () tan(a-15) A.9 B.10 C.11 D 3 4.在△4BC中，a2+b2+c2=25 SabsinC,则cos1cos子 osS的值为() B 2 2 A35 &55 5W5 3w5 8 16 8 16 5已知F为椭圆后+片=a>b>0的右焦点，O为坐标原点.过F的直线4C + 与椭圆相交于A,C两点，且AF=2FC,|OA曰OF,则该椭圆的离心率是() B.5-1 c. D. 5 2 3 3 二、填空题：（本题共5道题，每题6分，共30分） 6.已知a,b,e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为石，向量b满 足b2-8eb+15=0.则a-b1的最小值为 7.曲线y=5-x2与y=-的交点构成的△4BC的外接圆方程为 112 8.已知数列{a,}满足a1=3×2”-a,其前2025项的和为2226，则a2m1= 9.若函数f(x)=ln(er-6+)-x的图象关于x=3对称，则f(x)的值域为 8 10.已知正数x,y满足。 3 =3,则y的最小值为 (3x+2y)x(x+2y)y 三、解答题（本题共4道题，每题15分，共60分） 11.(本题2个小题：(1)题7分：(2)题8分) (1)在△MBC中，已知cosC=sin4+cosA=sinB+cosB,求cosC的值. 2 (2)已知面积为√5的三角形ABC,角AB、C对应的边长分别为a、bc, 且os4_osB-osC,M为平面ABC内一点，求M-(WE+MC)的最小值. b c 12.已知实数不24为满足：中2+2=(1+5：+2=+4： 4x6+6):4以+26+4)： 求证：x+x2=4. 13.已知平面内一动圆过点P(2,0),且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆心的 轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程： (2)梯形ABCD的四个顶点均在曲线E上，AB∥CD,对角线AC与BD交 于点T(2,)· ①求直线AB的斜率： ②证明：直线AD与BC交于定点. 14.对任意正实数a、b证明： a b 9ab 后+a人+ a2-ab+6213 + 212 2025年铁岭市高中数学竞赛试题答案 一、选择题 1.B2.A 3.C4.A 5.D 二、填空题 6.答案：1 7.答案：x2+x+y2-4y=5 8.答案： 22m-1+2 9.答案：[n2-3,+∞) 10.答案： 5-6 三、解答题（本题共4道题，每题15分，共60分） 11.(本题2个小题：(1)题7分：(2)题8分) (1)在A4BC中，已知cosC=sinA+cos4_sinB+cosB 2 -2 求cosC的值. 【解法】由已知sinA-sinB+cosA-cosB=0 2cos4+sin 4-B2sin 4sin 4-B0 2 2 2 sin 2 即25n48(cos44B-n4 2(cos 2 29=0 :Sin4,B=0时，A=B:此时cosC=-cos2A=im4+cosA 2 2 …3分 -2(cos2 A-sin2 )=sin +cos A..sin A+cos>0 则eos4-5nA=-即sm24-2sn4osA+ecos24= 4 sin Acos4 sin4+co 2 故cosC=2 …7分 (2)己知面积为√5的三角形ABC,角A、B、C对应的边长分别为a、bc,且 cosA_cosB_osC,M为平面ABC内一点，求MA:(MB+MC)的最小值. a b 【解法】 1曲os4_osB,即bx公+c2-d-ax+c-b ,即b2=a2,.b=a a b 2be 2ac 同理可得b=c,即△MBC为正三角形 …2分 又w0x9-5.a0=2 2 …4分 如图，设BC中点为P,则MB+MC=2MP 连接AP则|AP=√5.由极化恒等式得： MA-(MB+MC)=2M-MP=2x MA+MPP-PA'MA+MPP-3.3 当且仅当所+亚：0时.M(丽+©取最小价为- …8分 12.已知实数个2为满足：华+2=+42：4+2=+4： 华+=2x《+)小：以，6+) 求证：x+x2=4. 【解法】曲4F分化+0)胸字，务-2 同理可得 =丛 2½+1-2 同理：6=1-，1 格 24+43-21- +1- -6-- -62-- 12+14-2 52+14-2 :点+点=-飞-2业-2到+丛=4+26+2%，4+丛=2. 22 5+14-2 52+1-2 故x+x2=4. …15分 (其它证法酌情给分) 13.已知平面内一动圆过点P(2,0),且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆 心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程： (2)梯形ABCD的四个顶点均在曲线E上，AB∥CD,对角线AC与BD交 于点T(2,) ①求直线AB的斜率： ②证明：直线AD与BC交于定点. 【解法】(1)设圆心E(x,y),由已知可得： x2+4=(x-2)2+y2 即y2=4x…3分 @令4传小等 c4小答 4 由AB∥CD得：kB=ko即kB= 同理k=, 4+2 +14 44 即+42=+14 …… ① 由AT、C三点共线得 -2 5-2 4 4 即%+8=汤=1 - 同理，由B、T、D三点共线得：14+8=2+4 即4=1-7 代入①武可得：1+5=2-，7-7 4-162-1 6+w-2f石-l-可小-。 T不在4B上，即上专会1,4+8+4 生-2-2 4 4 7 ÷4--)+70即1+6-4-可*0. 所以4+42-2=0，即1+2=2. 则可得问题O:k。=,4=2,故直线AB的斜率2. …9分 4+2 (3)设直线AD与BC交于点M(x,) 由AD、M三点共线得： -必=4- 4 即4+4x。=%(+14) ② 同理，由B、C、M三点共线得：4+4=%(2+)……③ 由②+③得：t4+1243+8x=4y%…… ④ 由(6+2)43+t4)=4得： (4+)+(4+124)=4. 由4+8=4+4 24+8=42+14 得43+12l4+16=4,即4+124=-12 ∴4+24-12=4 ⑤ 3 由④、⑤可得问题②答案： 8x=-12 即、 2 4y%=4 %=1 故直线AD与BC交于定点 …15分 14.对任意正实数a、b证明： （8*将g+}as 9ab 【解法一1：a2-ab+b2≥ab>0, a2+ab+b223ab>0 :.(a'-ab+bYa2+ab+bYz9a'b -(a+bYa-b)(a2-ab+b2Ya2+ab+b2)z9a'b(a+bX-bY =(@'+bYa'-bYz9a'b(a+bYa2-ab+b2-ab) =9a2ba2+b）-9ab(a+b) →(a+b%a-a2b+b-a2b）29aba3+b）-9ab(a+b) →a+b≥10a3b3(a3+b)-9ab(a+b) →a2+b+9ab(a+b)≥10ab(a3+b3) →(a3+b}+9ab(a+b)213a2b(a2+b） =+x+b+9aba+b213 a'b ab2 a+b 9ab a-ab+6213 当且仅当a=b时等号成立. …15分 (其它证法酌情给分) 【解法二】 证明：后+的后+均+=号+ +器+2+ 9 -后+9哈+92-3+g站+2， 设t=号+号-1，因为a,b均为正实数，所以t之2层日-1=1， 所以g+9呢+-引+克+2 =t+10[t+12-3]+-2 =t3+32+号 2133.(e23.白9=13， 当且仅当t=1,即a=b时，等号成立. 命题得证 …15分 证明：令=x ,a2b、 +X 9ab a2-ab+b2 1 =(x+x2+马+ 1 9 x+1一 1 9 +2+ x+2-1 =c+0+旷-30e+-0-1+,9 x+ =(+-1y+30x+1-12+ 9 1 x+二-1 …15分 x+- =13