内蒙古全国名校联盟2026届高三上学期联合开学摸底考试数学试题

保密★启用前 准考证号 姓名 (在此卷上答题无效) 全国名校联盟2026届高三联合开学摸底考试 全国名校联皇 数学试题 2025.8 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上和本试卷上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若复数z满足i(z-1)=V3,则☑= A.V2 B.V3 C.2 D.3 2.设集合A={xx3=4x},B={-2,1,2},则A∩B= A.{-2,0,1,2} B.{-2,2} C.{2} D.{0,1} 3.在平行四边形ABCD中，设AB=a,AD=b,若CM=4MD,则AM= A写a+6 B.a+兮动 C. 3a-6 D.a- 4.若函数(x)=+是奇函数，则a= 35-1 A.-1 B.0 C.1 D.3 5.记Sn为等比数列{a,}的前n项和，若a,+a2=2,a,+a4=8,则S6= A.18 B.32 C.42 D.50 6.已知a,B均为锐角，ang-子sin(a-B)-高， .3 ”13则cosa= A.16 B. 3 c D. 号 数学试题第1页（共4页） 7.已知圆台的上、下底面圆周都在半径为2的球面上，圆台的上底面半径为1，下底面半径 为2，则圆台的体积为 A.73元 B.5V3π 3 C.73π D.5V万π 3 8.设函数f(x)=xVx,若关于x的不等式f(2x2+m)+16f(x)>0恒成立，则m的取值范围是 A.（0,2) B.（2,+o) C.(0,8) D.(8,+o) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 84 72 80 68 76 则下列结论正确的是 A.这5位同学成绩的中位数是80 B.这5位同学成绩的平均数是76 C.这5位同学成绩的极差为16 D.这5位同学成绩的第75百分位数是80 10.设函数/网=血，8=s如2x+受. 则下列结论正确的是 A.f(x)和g(x)有相同的值域 B.f(x)和g(x)有相同的最小正周期 C.f(x)的零点都是g(x)的极值点 D.g(x)的零点都是f(x)的极值点 11.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1，过F的直线与C交于A,B两点，D在准线上， 且DF⊥AB,则下列结论正确的是 A.I的方程为y=-1 B.以AB为直径的圆与y轴相切 C.设A在l上的射影为H,则△ADF≌△ADH D.直线AD与C有且仅有一个交点 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.某等差数列的前5项和为35，前13项和为39，则该数列的公差为 13.若正四棱锥的侧面均为正三角形，则其侧面与底面所成角的正弦值为 14. 已知椭圆c:二+=1(a>b>0)的右焦点为R,P,为C上关于原点对称的两点， b PF⊥2F,直线PF交C于另一点M,若直线M的斜率为- 3a2' 则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b=c+2 acosC (1)求A: ②若△4BC的周长为9，面积为3Y3,求Q 16.(15分) 已知函数f(x)=e-ax2-x. (1)当a=-1时，讨论f)的单调性： (2)若fx)在(0，+∞)单调递增，求a的取值范围. 17.（15分) 如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=VZ,2A正=EB,将△ADE沿DE翻折得到四棱 锥A'-BCDE,且二面角C-AE-D为直二面角. E (I)证明：EC⊥平面ADE: (2)求二面角B-AD-E的正切值. 数学试题第3页（共4页) 18.(17分) E知双曲线cS-片=1a>0,b>0)的-个焦点为5,0，点P(4W2,3)在cE (1)求C的方程： (2)己知点2(4V2,-3),A(2V万，0)，B为线段P2上一点，且直线AB交C于D,E两 点，证明：AD·BE=AE·BD. 19、(17分) 在整数1,2，，n(n≥5)中随机取出k(2≤k≤n)个数，记其中两数恰为相邻整数的 组数为X例如，取出的数为1,2,4,5时，X4=2:取出的数为1,3,8时，X,=0: 取出的数为5,6,7,8时，X%4=3. (1)求X3的分布列和数学期望； (2)(①求E(X.3): 回已知：对随机变量X,名，，X,有E(之X)-云EB(X求E(X 全国名校联盟2026届高三联合开学摸底考试 数学试题评分参考 2025.8 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 题号 1 2 3 5 7 8 答案 C B A C C B A D 8.设函数f(x)=|x,若关于x的不等式f(2x2+m)+16f(x)>0恒成立，则m的取值 范围是 A.(0,2) B.(2,+o) C.(0,8) D.(8+∞) 解析：：f(x)是奇函数，故f(2x2+m)+16f(x)>0等价于f(2x2+m)>16f(-x). 又“16=8i,16-x)=f-8).而fx)是增函数，故2x2+8x+m>0恒成立， ∴.△=82-8m<0,m>8,故选D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 BCD AC CD 11.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与C交于A,B两点，D在 准线上，且DF⊥AB,则下列结论正确的是 A.1的方程为y=-1 B.以AB为直径的圆与y轴相切 C.设A在l上的射影为H,则△ADF≌△ADH D.直线AD与C有且仅有一个交点 解析：(1)考查选项A:由C的方程知p=2,故1的方程为x=-巳=-1，故选项A错误： (2)考查选项B:设M为AB中点，则xw=+2_,+)++-1=lM811, 2 2 2 故圆M与y轴相交，故选项B错误： (3)考查选项C:由|AFI=|AH|,IAD|=|AD|知△ADF≌△ADH(HL),故选 项c正确： 全图名饮辈夏 2G+1,故直 （4)考查选项D:不妨设A,2),1>0,则直线4F的方程为x= 线DF的方程为y=-小，0-分，直线0的架丰为方 而2√Lw=,直线D与C相切，故述项D正确， 综上所述，应选CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-1: 13. V6 3 14.3-1. 14.i 已知椭圆C:子+ 京=1(a>b>0)的右焦点为F,P,2为C上关于原点对称的两点， b2 PF⊥F,直线PF交C于另一点M,若直线QM的斜率为- a,则C的离心率 为 解：不妨设P(x,y),(-x,-)，M(x,乃)， 则kox=-丛×+n--Xa--a- 2 b2 名-xx+0x2-02 x2-x02 6 kg=-6w=V5,0r0=30. b2 设F为C的左焦点，连接2R,则∠FOF=90°， .IOFEc,I2F3c,.OF+1F(3+1)c=2a, :C的离心率e=2=5-1. √3+1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15,(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b=c+2 acosC. (1)求A: (2②)若△ABC的周长为9，面积为3 ,求a… 解：(1)由正弦定理得2sinB=sinC+2 sin AcosC, …1分 食国名收额里 .sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C, .'2sin B=2sin AcosC+2cos Asin C=sinC+2sin AcosC, .'2cos AsinC=sin C, …4分 又：sinC≠0，“cosA= 2' :A∈0，)，A=买 …6分 3 (2)由题可得Sauc=besin=3 ,整理得bc=3, …7分 4 又a+b+c=9,则b+c=9-a, 在△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2 bccosA=(b+c)2-2bc-2 bccosA, …10分 将bc=3和b+c=9-a代入上式得a2=(9-a)2-9, 解得a=4. …13分 16.（15分) 已知函数f(x)=e"-ax2-x. (1)当a=-1时，讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)在(0，+o)单调递增，求a的取值范围. 解：(1)当a=-1时，f(x)=e+x2-x,则'(x)=e*+2x-1,…2分 f"(x)在R上单调递增，且(0)=0，∴当x<0时，f"(x)<0,f(x)单调递减：当 x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增， ∴.f(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增.…6分 (2)令g(x)=f'(x)=e-2ax-1, 则g'(x)=e*-2a,g'(x)在(0，+o)上单调递增， …8分 当a≤时，g'()>g'(0)=1-2a≥0，∴g)在(0，+o上单调递增， .g(x)>g(0)=0,即f"(x)>0,.f(x)在(0，+∞)上单调递增，符合题意，…11分 当a>时，◆gc侧-0，得x=lh2a).在@n2o上，ge<0,g树在0h2a》 单调递减，g(x)<g(0)=0, ∴.f(x)在(0，ln(2)单调递减，不符合题意，…14分 综上所述，a的取值范围为(-，宁· …15分 17.（15分) 如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=√2,2AE=EB,将△ADE沿DE翻折得到 四棱锥A'-BCDE,且二面角C-A'E-D为直二面角. (1)证明：EC⊥平面A'DE: (2)求二面角B-A'D-E的正切值. 解：(1)·A'D⊥AE,平面A'DE∩平面EC=A'E,平面ADE⊥平面A'EC, AD⊥平面EC,…, ……2分 ECC平面AEC,.AD⊥EC,… …3分 :AD=V2,AE=1,BE=2,BC=√2， .AD BE AE=B,由相似可知，DE LEC，T …5分 .DEc平面ADE,A'DC平面ADE,DE∩A'D=D, EC⊥平面DE.…7分 (2)解法一：设EC交BD于F点，连接A'F, A 由(1)得，EF⊥平面A'DE, 'DC平面DE,.EF⊥D,…8分 D⊥平面A'EC,.AD⊥AF,AD⊥AE,…9分 设平面ADB与平面ADE夹角为日，则tan0=tan∠EA'F,…11分 CDIIBE.CD=3.BE=2,EF=2EC=2BC+BE=26 5 5 ∴tang= EF 2V6 …14分 AE 5 ,二面角B-A'D-E的的正切值为 6. …15分 解法二：以E为坐标原点，EC的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 E-xyz· D 由s设及A.099.2520,c6a0叭，D00, 3’3 3， …10分 平面A'DE的一个法向量为EC=(N6,0,0),… …11分 设平面ADB的一个法向量为n=(x,y,z), n·A'D=0, 25y-5 由 得 32-0 n.BD=0, 25550令y=25,得m=6,25,4,…1分 3 3=0 一x+ 3 设二面角B-AD-E的大小为0，则cos日=，n~元-56= InEC 6x7 7 ,…14分 二面角B-4"D-E的正弦值为sin0=-c0s6=26, 7, ·二面角B-ArD-E的正切值为sin8=25 …15分 Cos0 5 18.（17分) 已知双曲线C:二-=@>0，b>0)的-个焦点为5,0，点P4W2.3)在C上 细名收鞭复 (1)求C的方程； (2)已知点2(4N2,-3),A(22,0),B为线段P9上一点，且直线AB交C于D,E两 点，证明：IADI|BEI=|AEBDI. 解：(1)由已知得c=√a2+b2=5,…2分 P42,3)在C上，：32-9 2b23分 解得a=4,b=3,C的方程为兰-上 =1. ……5分 169 (2)设B(4N2,t),D(x,y),E(x2,y2), 直线8：y=2石-20. 由 275-2 x_y_ 得(9-22)x2+8V22x-1612-144=0,…9分 =1, 169 直线AB交C于D,E两点， )2-49-22-16-144)20,解得-3<1<3， 9-212≠0， 8V22 16t2+144 x+x2= 22-9’= ……10分 22-9 当1t 3Y5时，D,E在A的异侧，在B的同侧：当 <t川<3时，D,E在A的 2 同侧，在B的异侧，故总有|ADBE引-|AE川BD1=DA.EB-DB.AE，12分 DA.EB-DB.AE=(2W2-x,-y)-(45-x2,t-y2)-(45-x1l-y)(2-25,y2) =2x2+2yy2-6V2(x+x)-1(y+2)+32 -2+专%-9r+64+0+2 _4+80+9》_43+24+42+32 2t2-9 22-9 =0 ∴.IAD|lBEl=|AE BD|.… …17分 19.（17分) 在整数1,2，…，n(n≥5)中随机取出k(2≤k≤n)个数，记其中两数恰为相邻整数的