精品解析：江苏省徐州市泉山区铜山区第一中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2026年铜山一中、邳州明德、睢宁一中三校 高三10月联考试卷 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数、对数以及充分、必要条件等知识确定正确选项. 【详解】， ， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 3. 下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】所有选项的定义域都是， 对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数， 的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图）， B正确； 对于C：，图象为 很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 4. 已知函数在区间内恰有一个极值点，则可能的取值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，再根据极值点的概念和正弦函数图象的性质可知且，由此即可求出结果. 【详解】因为，所以. 根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个极值点， 所以，又，所以. 故的取值范围为. 5. 在中，，D在BC边上，AD平分．若，则的最小值是（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质与基本不等式求最值，核心思路是“用面积相等法推导出AB与AC的倒数关系，再用1的代换结合基本不等式求最小值”，注意验证等号成立条件. 【详解】由面积相等法：. 计算各三角形面积：. . . 代入面积等式：. 得，即. 设，，则约束条件为 ， 用“1的代换”：. 展开得：. 由基本不等式：， 当且仅当 即时取等号. 代入得最小值：. 验证等号条件：当 时，代入 ，得 ， 解得，，即，， 满足三角形条件. 【点睛】角平分线问题优先用面积相等法导出边的关系，再用“1的代换”结合基本不等式求最值，关键是凑出定值并验证等号成立条件. 6. 已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性得到在上的单调性及，再分和讨论与的符号，求解乘积小于的区间. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，故，且图象关于轴对称， 已知在上单调递减，由对称性可得在上单调递增， 当时，单调递减，故，此时不等式等价于， 由于时单调递减，且，因此的解集为， 当时，单调递增，故，此时不等式等价于， 由于时单调递增，且，因此的解集为， 综上，不等式的解集为. 7. 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出函数的奇偶性，利用导数确定函数的单调性，由对数函数性质、指数函数性质比较对数、幂的大小后，由奇偶性、单调性得结论． 【详解】函数的定义域为，，故为偶函数， 当时，，令，则，即在上单调递增，故，所以，则在上单调递增， 由于，，，所以． 故选：B． 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为使得成立，通过求得导数和单调性，可得最值，再根据不等式成立，结合参数分离可得的范围． 【详解】，使得成立，等价为使得成立， 由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故 在成立， 当时，， 设，，则， 由，得， 所以在递减，所以， 则在递减，所以， 则，所以． 故选：A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多1项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 10. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 外接圆面积是4π B. 面积的最大值是 C. 周长的取值可以是12 D. 内切圆半径的最大值是1 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理求出，再结合外接圆面积公式求解；对于B，结合所给条件和基本不等式求出，再结合面积公式求解；对于C，设，求解周长最大值，证明取不到12；对于D，结合C选项，列出内切圆半径的表达式求解最大值. 【详解】由于锐角，则， 对于A，由正弦定理，外接圆面积为，故A正确； 对于B，，由，则当时可以取等，最大值为； 对于C，，设， 由得， 由得，则，故C错误； 对于D，， 则，故D正确. 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 有极小值为 B. 对于恒成立，则实数的取值范围是 C. 当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D. 若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求出极值判断A；探讨最小值并建立不等式求出a的范围判断B；求出过原点的曲线切线方程，再确定方程解的个数判断C；变形给定等式并构造函数，探讨函数性质求出实数a的范围判断D． 【详解】对于A，，，求导得， 当时，，当时，， 函数在处取得极大值为，无极小值，A错误； 对于B，由已知，， 当时，，当时，， 函数在递减，在上递增，， 由对于恒成立，得，解得，B正确； 对于C，，函数定义域为，求导得， 设切点坐标为， 则在处，的切线方程为：， 则， 化简得，当时，，此方程无解； 当时，，此方程无解； 当时，，满足要求， 因此方程只有这1个解， 即过原点有且仅有一条直线与相切，C错误； 对于D，由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 令函数，则，即为， 因为函数在上单调递增，则，即， 所以方程有两个不等实根， 由A选项知，，函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为从正数趋近于时，；时，，， 所以的值域为， 因此方程有两个不等实根，必有，解得， 所以a的取值范围为，D正确． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】（或） 【解析】 【详解】由，得． 当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即． 13. 已知，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查对数换元法与指数方程联立求解，核心思路是“先通过换元法将对数方程转化为二次方程求出 a、b 的倍数关系，再代入指数方程联立求解具体值”，最后计算 a-b. 【详解】设 ，因为 ，所以 .由换底公式，. 代入已知条件 ，得 . 得 ，整理为 . 得 或 . 因为 ，舍去 ，所以 ，即 ，因此 . ，将 代入右边，得 . 化为 . 因为底数 ，指数函数 单调递增，所以指数相等：. 联立 与 ，得 ，即 ，. 因为 ，所以 ，代入 得 . . 【点睛】对数差问题优先用换元法转化为二次方程求解，求出 a、b 的倍数关系后，再代入指数方程联立求出具体值，注意利用底数大于1时指数函数的单调性. 14. 已知正实数，实数分别满足，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用函数的单调性探索，的关系，可求的值. 【详解】由. 设，因为，在上单调递增，所以在上单调递增. 又，， 所以，即. 代入得，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； （2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求值域； （3）在中，内角所对的边分别是且，若，求的面积． 【答案】（1）；． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调递增区间； （2）利用函数的定义域求出函数的值域； （3）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【小问1详解】 函数； 故函数的最小正周期为； 令， 整理得：， 故函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 由于，故，所以， 故，故函数． 【小问3详解】 由于，故，由于，故； 利用余弦定理：，故， 所以． 17. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在区间的最小值为7，求实数的值． 【答案】（1） 极小值为，无极大值. （2） . 【解析】 【分析】（1）代入的值后求导，判断单调性确定极小值点； （2）求导后分类讨论导函数零点与区间端点的位置关系，第一种情况下直接解出参数，第二种情况下构造新函数证明无解. 【小问1详解】 当时，，定义域.  ，令得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此仅在处取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 求导得. 因，导数符号由决定，分类讨论： ① 若，即，此时在恒成立，单调递增， 最小值为，令，解得，符合条件； ② 若，即，令，得 . 当  时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，即， 令 ，则， 故在上单调递增，又，故，无解. 综上，实数的值为. 18. 在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 （1）求B； （2）若，D为AC边上的一点，且，，求AC的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；  （2）由，得出，得出，结合余弦定理，利用基本不等式，即可求出结果. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，得 因为，所以，所以 因为，所以 因为，所以， 所以，因为，所以 因为，所以，所以，所以； 【小问2详解】 因为D为AC边上的一点，且，， 所以， 所以， 所以，即， 在中，由余弦定理， 得 因为，所以 所以 因为，所以，所以， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 所以AC的最大值为 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的值； （3）若，函数有两个零点、，求证：． 【答案】（1）时在单调递增；时在单调递减，在单调递增. （2） （3）当时，有两个零点、， 由可得，即， 零点、满足， 两式相减，两式相加得，即， 要证，即证，即证，即证， 设，由可得， 令，则，可得，则， 所以，，则. 所以即证，即证，其中， 因为，则，即证，其中， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）求导，分时两种情况进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）先化简不等式得，令，将所求不等式变形为，构造函数，可知对任意的恒成立，则，则函数在处取得极小值，则，求出的值，再结合函数的最值与导数的关系验证即可； （3）化简函数的解析式得，根据零点定义得出，将两式分别相加和相减变形得出，，设，令，将所证不等式变形为，其中，构造函数，其中，结合导数法证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得. 当时，对任意的，，此时函数在上单调递增； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时在单调递增； 当时在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 因为，由得， 整理为，即， 令，则不等式为. 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，故， 设，则对任意的恒成立，所以， 所以函数在处取得极小值， 求导得，则，解得，此时，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，符合题意. 综上所述，. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年铜山一中、邳州明德、睢宁一中三校 高三10月联考试卷 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间内恰有一个极值点，则可能的取值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 在中，，D在BC边上，AD平分．若，则的最小值是（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 6. 已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多1项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 10. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 外接圆面积是4π B. 面积的最大值是 C. 周长的取值可以是12 D. 内切圆半径的最大值是1 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 有极小值为 B. 对于恒成立，则实数的取值范围是 C. 当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D. 若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 已知，若，，则__________． 14. 已知正实数，实数分别满足，，则_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求值域； （3）在中，内角所对的边分别是且，若，求的面积． 17. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在区间的最小值为7，求实数的值． 18. 在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 （1）求B； （2）若，D为AC边上的一点，且，，求AC的最大值． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的值； （3）若，函数有两个零点、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $