14.3实数（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

14.3实数 （7大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 无理数的概念理解 题型二 实数的概念理解及分类 题型三 实数与数轴 题型四 实数的性质 题型五 实数的大小比较 题型六 估算无理数的大小 题型七 估算无理数的整数部分或小数部分 能力提升题 题型一 程序设计中的实数运算 题型二 新定义中的实数运算 题型一 无理数的概念理解 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：是无理数，故C符合题意； 0是整数，，是分数，属于有理数，故A，B，D不合题意； 故选：C． 2．在，0，，，，，，0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解： 0，，， 是有理数； ， ，，0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多个0）是无理数，共有个； 故选：D． 3．有理数在《几何原本》中进行了系统性论述，以下各数中，有理数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数，无理数；有限小数与无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，掌握这两个概念是解题的关键；根据有理数与无理数的概念判断即可． 【详解】解：是分数，是有理数，其他三个数中，中的是开方开不尽的数，与是无限不循环小数，它们都是无理数； 故选：A． 4．下列语句正确的是（   ） A．是无理数 B．无限小数不能转化为分数 C．无理数是无限循环小数 D．无限不循环小数就是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，掌握无理数的概念成为解题的关键． 根据无理数的概念、有理数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A．是有理数，此选项错误，故此选项不符合题意； B．无限小数中的循环小数是分数，是有理数，能写成分数；无限不循环小数是无理数，不能写成分数；此选项错误，故此选项不符合题意； C．无理数是无限不循环小数，此选项错误，故此选项不符合题意； D．无限不循环小数就是无理数，此选项正确，故此选项符合题意． 故选：D． 5．下列说法中：①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数；④无理数可以用数轴上的点来表示；⑤两个无理数的和还是无理数，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个2之间依次增加1个1）等． 根据无理数的定义、无理数的分类以及无理数和数轴上的点对应关系进行逐一判断即可． 【详解】解：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限不循环小数才是无理数，故①的说法错误； 无理数为无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，故②的说法正确； 无理数包括正无理数和负无理数，不包括0，故③的说法错误； 实数与数轴上的点是对应关系，所以无理数都可以用数轴上的点来表示，故④的说法正确． 两个无理数的和不一定是无理数，比如和都是无理数，但是和为0，为有理数，故⑤的说法错误； 综上所述正确的个数有2个， 故选：B． 6．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ①，②，③0，④，⑤，⑥（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）． 【答案】解：有理数：①③④⑤；无理数：②⑥． 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念辨析，解题的关键是掌握有理数（整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的定义特征． 根据有理数是有限小数或无限循环小数、无理数是无限不循环小数的定义，对每个数逐一进行判断，区分出有理数和无理数． 【详解】解：①是有限小数，属于有理数； ②是无限不循环小数，属于无理数； ③0是整数，属于有理数； ④是分数，属于有理数； ⑤是无限循环小数，属于有理数； ⑥（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数． 因此，有理数有①③④⑤，无理数有②⑥． 题型二 实数的概念理解及分类 7．下列说法错误的是（   ） A．有理数包括整数和分数 B．有理数和无理数统称实数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．两个无理数相乘的结果可能为零 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的相关知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据实数的相关知识解答即可． 【详解】解：A．有理数包括整数和分数，选项正确，不符合题意； B．有理数和无理数统称实数，选项正确，不符合题意； C．无理数一定是无限不循环小数，选项正确，不符合题意； D．因为无理数不为零，所以两个无理数相乘的结果一定不是零，选项错误，符合题意； 故选：D． 8．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 9．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【答案】C 【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案． 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项， 故选：C． 10．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和实数的定义来判断正误即可． 【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意； ②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意； ③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意； ④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意； ⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意； 错误选项有：②④⑤， 故选：C． 11．把下列各数填在相应的集合内． ，，，，（相邻两个之间依次多1个），，，，，． 正分数集合{                            }； 非负整数集合{                             }； 无理数集合{                              }； 有理数集合{                             }． 【答案】，，，；，；，（相邻两个之间依次多一个）；，，，，，，，． 【分析】本题考查了正分数、非负整数、无理数、有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正分数、非负整数、无理数、有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：正分数集合{，，，，}； 非负整数集合{ ，，}； 无理数集合{，（相邻两个之间依次多一个），}； 有理数集合{，，，，，，，，}； 故答案为：，，，；，；，（相邻两个之间依次多一个）；，，，，，，，． 12．将下列各数填入相应的括号里： （每两个1之间依次多一个0），． 负数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非正整数集合：{___________…}； 无理数集合：{___________…}． 【答案】； ； ； （每两个1之间依次多一个0 【分析】本题考查实数的分类，根据实数和有理数的分类方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：负数集合：{,...}； 分数集合：{，...}； 非正整数集合：{,...}； 无理数集合：{（每两个1之间依次多一个0),...．} 13．把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，， (1)有理数集合：{                    ⋯⋯}； (2)无理数集合：{                     ⋯⋯}； (3)负实数集合：{                     ⋯⋯}． 【答案】(1)，，，，， (2)，， (3)，， 【分析】本题考查实数的分类，根据有理数和无理数的定义分类即可得． （1）整数和分数统称为有理数，包含有限小数，无限循环小数，据此求解即可； （2）无限不循环小数是无理数，常见形式：开方开不尽的数，含的式子等，据此求解即可； （3）小于的实数为负实数，据此求解即可． 【详解】（1）解：，故是分数，是有理数； ，故是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； 故有理数集合：{，，，，，}． （2）解：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数； 中是无限不循环小数，故是无限不循环小数，是无理数； ，是开方开不尽的数，故是无限不循环小数，是无理数； 故无理数集合：{，，}． （3）解：∵，故是负实数； ∵，故是负实数； ∵，故是负实数； 故负实数集合：{，，}． 题型三 实数与数轴 14．如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，由数轴知：，逐一判断即可． 【详解】解：由数轴知：， ∵正数大于负数， ∴，故A错误； ∴，故B错误； ∵ ∴，故C正确； ∴，故D错误； 故选：C． 15．如图，顺顺借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，观察数轴可知：数轴上的一个单位长度在刻度尺上表示，然后在刻度尺上观察点A到表示0的点的距离，再列出算式计算数轴上点A距离0表示的数的点是几个单位长度，从而求出答案． 【详解】解：观察数轴可知：数轴上一个单位表示， 表示3个单位， 点A表示的数是， 故选：A 16．如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个． 【详解】解：A选项：，∴，即在和之间，故A选项不符合题意； B选项：，∴在和之间，故B选项符合题意； C选项：，在和之间，故C选项不符合题意； D选项：，∴在和之间，故D选项不符合题意． 故选：B． 17．如图，数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴．给定某一分数，在数轴上找到该点所在的区间，分析该分数的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴在2和3之间． 故选：B． 18．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，根据点在数轴上的位置，得到，再进行判断即可． 【详解】解：由题图可知， ∴． 故选 C． 19．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键．先计算的长，再根据对称的性质得到，即可求得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是2和， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴， ∴点C表示的数是， 故选：B． 20．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C是线段的中点，可得，用C点表示的数减去的距离，可得A点表示的数． 【详解】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 21．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离，先得到点C表示的数，然后分情况求出长解答即可． 【详解】解：由题意可知点C表示的数为或， 或．   故选：D． 22．如图，数轴上点与点表示的数互为相反数，若点表示的数是，用圆规以点为圆心，长为半径在数轴上确定一点，则点对应的实数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据相反数的定义可得点B表示的数为，据此可求出，由作图方法可得，则由数轴上两点距离计算公式可得答案． 【详解】解：∵数轴上点与点表示的数互为相反数，点表示的数是， ∴点B表示的数为， ∴， 由作图方法可得， ∴点对应的实数是， 故选：C． 23．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点的左侧，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数， ∴C点表示的数为； （3）解：， ， ∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为． 因为表示的数是， ， ， ，即， ∴ P在点的左侧． 24． 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 题型四 实数的性质 25．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的相反数，一般地，数的相反数是．根据相反数的意义即可求得结果． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：A． 26．的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的绝对值是， 故选：B． 27．下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，相反数和负数，根据绝对值，相反数和负数的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：A. 当时，实数是正数，原说法错误； B. 实数的相反数是a，说法正确； C. 当时，实数的绝对值是，原说法错误； D. 一定是非负数，原说法错误； 故选：B． 28．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 【答案】(1)；0；1； (2)1 【分析】本题考查了实数的运算，实数的有关概念，解题的关键是∶ （1）根据已知可求得a、b、c、d的值； （2）根据（1）中的值代入即可． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵b是绝对值最小的数， ∴， ∵c是倒数是它本身的正数， ∴， ∵d是9的负平方根． ∴， 故答案为：；0；1；； （2）解∶ 由（1）知：；；；； ∴ ． 29．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，， (2)，， (3)，， 【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案； （3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案． 本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义． 【详解】（1）的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 30．已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1)题设：与互为相反数；结论：与互为相反数；真命题； (2)． 【分析】本题考查实数的性质，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义，立方根的定义，是解题的关键： （1）根据“如果”引导的部分是题设，“那么”引导的部分是结论，进行作答即可； （2）根据（1）中结论，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：题设：与互为相反数； 结论：与互为相反数；此命题为真命题； ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 即：与互为相反数； （2）由（1）可知：与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 31．（1）________________________________；（用“>”“<”或“=”填空） （2）由（1）可知： ①________； ②________； ③________；（结果保留根号） （3）计算：．（结果保留根号） 【答案】（1）<；<；<；<；（2）①；②；③；（3） 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算． （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：<；<；<；<； （2）∵， ∴，，， ∴①； ②； ③， 故答案为：①；②；③； （3） ． 题型五 实数的大小比较 32．比较2，，的大小，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数大小的比较，掌握实数比较大小的方法是解决本题的关键．先把2写成，再比较被开方数得结论． 【详解】解：， ，即 故选：A． 33．下列各数中比4大比5小的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是实数的大小比较，逐一判断各选项的数的范围即可得到答案． 【详解】解：， 所给的各数中比4大比5小的实数是． 故选C． 34．若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的算术平方根，结合题意，举出例子进行分析，即可作答． 【详解】解：∵m为小于1的正数， ∴ ∴， ∴ 故选：C． 35．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较．熟练掌握无理数大小的估算，实数的大小比较法则，是解题的关键． 根据无理数的估算方法以及被开方数的大小逐项进行分析即可得． 【详解】A．∵， ∴，A正确，故该选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，即，B不正确，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴，C正确，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 即，D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 36．将用＜连接起来为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】为了把平方根和立方根根号去掉，可以对这三个数同时6次方，比较6次方后的数的大小，从而可判断原来的无理数的大小．本题考查无理数的大小估算和大小比较，同时6次方把根号去掉是解题关键． 【详解】，，， ∵， ∴， 故选：D． 37．比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、 ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，原式错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，即，正确，不符合题意； D、∵，，且， ∴，正确，不符合题意． 故选：B． 38．在数轴上表示下列各数，0，，，，并用“”连接起来． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查数轴及实数的大小比较，熟练掌握数轴上数的表示及实数的大小比较是解题的关键． 分别根据去绝对值、算术平方根、乘方和立方根，计算出各数，再根据所得的数在数轴上表示出来即可．根据数轴将各数按从小到大排列即可 【详解】解：，，，， 各数在数轴上表示如下： 按从小到大排序为： ． 39．比较大小： (1) 与4； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法即可得解． （1）通过比较两个数的平方大小来比较这两个数即可 （2）根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解； 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，， ， ∴． 40．用估算法比较下列各组数的大小： (1)与． (2)与6． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握估算法比较无理数大小是解题的关键． （1）求出，通过比较和即可解答； （2）根据，通过比较和即可解答． 【详解】（1）解：因为， ∴， ∵， ∴， 即． （2）解：因为， ∴． 41．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可； （2）采取（1）中相同的方法解答即可． 【详解】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 题型六 估算无理数的大小 42．若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． 利用夹逼法估算的大小，即可作答． 【详解】解：， ， 在和之间， 故选：C． 43．如图，在量子物理研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．若，，则该微观粒子的能量的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】先把，代入公式求出的表达式，再估算的取值范围．本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算规则和无理数估算方法（夹逼法）是解题的关键． 【详解】解：当，时， ， ，即 故选：C ． 44．估计的值在哪两个整数之间（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先整理得，再根据可得答案． 【详解】解：， ， ， 在4和5之间． 故选：C． 45．满足的整数m的值可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查估算无理数的大小．先估算无理数的大小，进而得到的大小即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 而， ∴的整数m的值可以是3，不可能是2，1，0， 故选：A． 46．估计的值在（   ） A．15和16之间 B．16和17之间 C．17和18之间 D．18和19之间 【答案】D 【分析】此题考查无理数的估算，先确定，再利用不等式的性质得到即可 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 故选：D 47．估计的值在（    ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，由夹逼法先确定的范围，进而即可确定的范围，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即的值在到之间， 故选：B． 题型七 估算无理数的整数部分或小数部分 48．的整数部分为，的小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键． 直接估算出的取值范围，可求出a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵，的整数部分为， ∴， ∵的小数部分为， ∴， ∴． 故选：A 49．无理数的小数部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数大小判断和估算是解题关键． 判断的范围，求出其整数部分，从而可得的整数部分，用减去整数部分即可得到其小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴无理数的整数部分是6， 小数部分是， 故选：D． 50．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 51．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 52．通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（   ） A．m，n均为有理数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较．熟练掌握实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较是解题的关键． 首先根据点在数轴上的位置确定其整数部分和小数部分，然后再分别对各个选项进行分析判断． 【详解】解：由数轴可知，点在4和5之间。因为其整数部分为，小数部分为，所以， 又因为一个数等于它的整数部分加上小数部分，那么，即是点所表示的数减去4，所以是一个大于0小于1的无理数． A：由前面可知是有理数，是无理数，所以m，n不都是有理数，故该选项错误； B：已知，那么，所以是错误的，故该选项错误； C：因为，，那么，所以，故该选项错误； D：因为，，那么，故该选项正确； 故选：D． 53．若整数是80的算术平方根的整数部分，则（ ） A．9 B．8 C．6 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了求无理数的整数部分．找到两个相邻的整数，使其平方分别小于和大于80即可 【详解】解：∵， ∴， 即． ∴的整数部分为8． 因此，整数m的值为8， 故选：B． 54．在和之间的整数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 首先确定和的近似值，再找出两者之间的所有整数即可． 【详解】解：，， 比大的最小整数是，比小的最大整数是， 因此，区间内的整数为，共4个， 故选：C． 55．若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 56．若，则的整数部分是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算及估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．利用实数的运算法则计算得出，估算出x范围即可求得结果． 【详解】解：， 又，即， 则的整数部分是3， 故选：B． 57．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（），；（）；（）或 【分析】（）由 得，即得的整数部分，然后把减去它的整数部分得到的小数部分； （）同理（）求出的值，然后把、的值代入计算即可； （）仿照小慧的做法解答即可； 本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， ， 的整数部分为，小数部分为； 故答案为：，； （）， ， 的整数部分为，小数部分为，即； ， ， 的整数部分为，即， ； （）， ， ，是有理数，为无理数， 且， 解得，， 当时，； 当时，， 综上所述，的值为或． 58．化简求值： (1)已知a是的整数部分，，求的平方根． (2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先估算出的取值范围，求出a的值；由于，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求平方根即可． （2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）由数轴可得：， 则， 则 ． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，以及估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 59．设的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定以及代数式求值，解题的关键是先确定与的整数部分和小数部分． 先估算的范围，进而确定与的整数部分和小数部分，得到、的值，再代入代数式计算． 【详解】解：， ， ， ， ， 的整数部分为a， ， ， ， ， ， 的整数部分为3， 的小数部分为b， 原式 ． ． 题型一 程序设计中的实数运算 60．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 61．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求算术平方根， 根据无理数生成器的计算流程可得输出值为的输入值，即可判断①；再将16输入按要求得出答案并判断②；然后以输出值为例说明③；随后将正整数1输入说明④即可. 【详解】解：当输入3时，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入9时，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入81时，取算术平方根为9，不是无理数，再输入9，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输出值为时，输入值为3或9或81或， 所以①不正确； 当输入16时，取算术平方根为4，不是无理数，再输入4，取算术平方根为2，不是无理数，再输入2，取算术平方根为，是无理数输出. 所以②正确； 当输入，取算术平方根为，是无理数，输出，但是不是正整数. 所以③不正确； 当输入正整数1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值. 所以④正确. 则不正确的有①③. 故选：D. 62．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 63．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据平方根，算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，当输入x的值为16时， ， ， 把4再次输入数值转换器， ， ， 把2再次输入数值转换器， ． 故选：C． 64．有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数：再取算术平方根为， 最后输出，即可求出的值． 【详解】解：的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为， 是无理数， 则输出， 的值是． 故选：A． 65．如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据运行程序，第一次运算结果大于，列出不等式，然后求解即可，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 题型二 新定义中的实数运算 66．定义一种运算：当时，；当时，．如，．根据定义求不等式的解，其正确的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解不等式，分若，即和若，即两种情况分析即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：若，即恒成立， ∴， ， 若，即， ∴， ∴无解， 综上可得：， 故选：． 67．对于两个不相等的实数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程的解为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中进行分类讨论．根据新定义可得：若 ，则， 若，则，分别求出，即可． 【详解】解：根据新定义可得： 若 ，即，则， ∴， 解得 ， ∵ ， ∴不符合题意，舍去； 若，即，则， ∴， 解得， 经检验为分式方程的解， ∵ ， ∴符合题意； 故选：B． 68．定义新运算“” ，，则（    ） A．9 B．10 C．14 D．6 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，根据新运算的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选D． 69．定义一种新运算“”为：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查新定义运算和解分式方程，根据新运算列出方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 去分母得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故选：A． 70．阅读以下材料： 对于三个数a．b．c．用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 请解答下列问题： (1) ； (2)若，求x的范围； (3)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)x的值为1 【分析】本题考查了新定义、实数的大小比较、求不等式组的解集，理解新定义是解题的关键． （1）先比较的大小关系，再根据新定义即可求解； （2）根据，可得，求解不等式组即可得出答案； （3）根据新定义可得，则，得出关于的不等式组，求解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴x的范围为； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为1． 71．已知a是的平方根，b是的平方根，c的立方根是，d的算术平方根为 (1)求a、b、c的值； (2)d的另外一个平方根落在图中的______（填“段①”、“段②”、“段③”或“段④”） 【答案】(1)，， (2)段① 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a的值，根据平方根的定义求出b的值，根据立方根的定义求出c的值即可； （2）先求出d的另一个平方根，再利用夹逼法判断的取值范围即可作出判断． 【详解】（1）解：是的平方根， ， 是的平方根， ， 的立方根是， ； （2）解：的算术平方根为， ， 的另一个平方根是， ， ， ， 落在图中的段①， 故答案为：段①． 72．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)0 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）根据点B在数轴上的位置可知，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：； （2）解：由数轴可知：， ，， 原式 ； （3）解：与互为相反数， ， ，， ，， ，， ， ∵8的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、实数的性质、相反数的定义、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 73．【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】（1）；； （2）． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题目给出的规律解答； 归纳：根据，则，满足的数量关系为则； （2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值． 【详解】解：（1）， 故答案为：， 归纳：若，则，满足的数量关系为则； 故答案为：； （2）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得， 代入中， 解得，， ∴． 74．阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时，； 当时，；     当时，； 综上，． 75．阅读下面的材料，并完成相应的任务． 【概念理解】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即： 例如：比较与2的大小． 又则 ，． 【完成任务】请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________． （2）比较大小：________； 【迁移应用】（3）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】（1）；；（2）；（3）方案二 【分析】本题考查了无理数的整数部分、小数部分求解以及作差法比较大小的应用，解题的关键是熟练运用作差法和无理数的估算方法． （1）先通过无理数的范围确定的整数部分，再根据整数部分求的小数部分； （2）用作差法比较与的大小，计算差值并判断正负； （3）设1块型钢板的面积为，1块型钢板的面积为，其中， 分别表示出两种方案的用料面积，再用作差法比较大小，判断哪种方案省料． 【详解】（1）∵， ， ， 那么的整数部分是，的小数部分是， 故答案为：；； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）设1块型钢板的面积为，1块型钢板的面积为， 其中， 则方案一中钢板的总面积为，方案二中钢板的总面积为， 那么， 则从省料的角度考虑，应该选方案二． 76．阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为． 【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即， 设，其中， 如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得， 较小， 忽略，得：，解得，． 【探究问题】 （1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； 【思维拓展】 （3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？ （4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01） 【答案】（1）5，；（2）12.21；（3）1；（4）14.93． 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】解：（1）， 的整数部分为5，小数部分为． 故答案为：5，； （2）解：当正方形面积为149，则它的边长为． ， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ． （3）解：， ， ， ，， ，． ∴； （4）， ， ， ，， 如图，作边长为的正方形， 由图得：， ， 较小， 忽略，得：， 解得：， ， ，，，， ． 故答案为：14.93． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3实数 （7大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 无理数的概念理解 题型二 实数的概念理解及分类 题型三 实数与数轴 题型四 实数的性质 题型五 实数的大小比较 题型六 估算无理数的大小 题型七 估算无理数的整数部分或小数部分 能力提升题 题型一 程序设计中的实数运算 题型二 新定义中的实数运算 题型一 无理数的概念理解 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．0 2．在，0，，，，，，0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．有理数在《几何原本》中进行了系统性论述，以下各数中，有理数为（   ） A． B． C． D． 4．下列语句正确的是（   ） A．是无理数 B．无限小数不能转化为分数 C．无理数是无限循环小数 D．无限不循环小数就是无理数 5．下列说法中：①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数；④无理数可以用数轴上的点来表示；⑤两个无理数的和还是无理数，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ①，②，③0，④，⑤，⑥（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）． 题型二 实数的概念理解及分类 7．下列说法错误的是（   ） A．有理数包括整数和分数 B．有理数和无理数统称实数 C．无理数一定是无限不循环小数 D．两个无理数相乘的结果可能为零 8．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 10．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．把下列各数填在相应的集合内． ，，，，（相邻两个之间依次多1个），，，，，． 正分数集合{                            }； 非负整数集合{                             }； 无理数集合{                              }； 有理数集合{                             }． 12．将下列各数填入相应的括号里： （每两个1之间依次多一个0），． 负数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非正整数集合：{___________…}； 无理数集合：{___________…}． 13．把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，， (1)有理数集合：{                    ⋯⋯}； (2)无理数集合：{                     ⋯⋯}； (3)负实数集合：{                     ⋯⋯}． 题型三 实数与数轴 14．如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则（   ） A． B． C． D． 15．如图，顺顺借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为（    ） A． B． C． D．3 16．如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（   ） A．表示的点 B．表示的点 C．表示的点 D．表示的点 17．如图，数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点P B．点Q C．点R D．点S 18．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 19．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 20．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 21．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或B．或 C．或 D．或 22．如图，数轴上点与点表示的数互为相反数，若点表示的数是，用圆规以点为圆心，长为半径在数轴上确定一点，则点对应的实数是（   ）． A． B． C． D． 23．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 24． 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 题型四 实数的性质 25．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 26．的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 27．下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 28．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数是它本身的正数，d是9的负平方根． (1) ， ， ， ． (2)求的值． 29．求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1)； (2)； (3)． 30．已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 31．（1）________________________________；（用“>”“<”或“=”填空） （2）由（1）可知： ①________； ②________； ③________；（结果保留根号） （3）计算：．（结果保留根号） 题型五 实数的大小比较 32．比较2，，的大小，正确的是（ ） A． B． C． D． 33．下列各数中比4大比5小的实数是（   ） A． B． C． D． 34．若m为小于1的正数，则m与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 35．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 36．将用＜连接起来为（    ） A． B． C． D． 37．比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 38．在数轴上表示下列各数，0，，，，并用“”连接起来． 39．比较大小： (1) 与4； (2)与． 40．用估算法比较下列各组数的大小： (1)与． (2)与6． 41．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 题型六 估算无理数的大小 42．若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 43．如图，在量子物理研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．若，，则该微观粒子的能量的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 44．估计的值在哪两个整数之间（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 45．满足的整数m的值可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 46．估计的值在（   ） A．15和16之间 B．16和17之间 C．17和18之间 D．18和19之间 47．估计的值在（    ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 题型七 估算无理数的整数部分或小数部分 48．的整数部分为，的小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 49．无理数的小数部分可表示为（    ） A． B． C． D． 50．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 51．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 52．通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（   ） A．m，n均为有理数 B． C． D． 53．若整数是80的算术平方根的整数部分，则（ ） A．9 B．8 C．6 D．2 54．在和之间的整数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 55．若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 56．若，则的整数部分是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 57．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 58．化简求值： (1)已知a是的整数部分，，求的平方根． (2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 59．设的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． ． 题型一 程序设计中的实数运算 60．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 61．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 62．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 63．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 64．有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B．2 C． D． 65．如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二 新定义中的实数运算 66．定义一种运算：当时，；当时，．如，．根据定义求不等式的解，其正确的解是（　　） A． B． C． D． 67．对于两个不相等的实数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程的解为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 68．定义新运算“” ，，则（    ） A．9 B．10 C．14 D．6 69．定义一种新运算“”为：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 70．阅读以下材料： 对于三个数a．b．c．用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 请解答下列问题： (1) ； (2)若，求x的范围； (3)如果，求x的值． 71．已知a是的平方根，b是的平方根，c的立方根是，d的算术平方根为 (1)求a、b、c的值； (2)d的另外一个平方根落在图中的______（填“段①”、“段②”、“段③”或“段④”） 72．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 73．【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 74．阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 75．阅读下面的材料，并完成相应的任务． 【概念理解】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即： 例如：比较与2的大小． 又则 ，． 【完成任务】请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________． （2）比较大小：________； 【迁移应用】（3）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 76．阅读材料，完成下列任务： 【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为． 【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值： ，，即， 设，其中， 如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得， 较小， 忽略，得：，解得，． 【探究问题】 （1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）； 【思维拓展】 （3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？ （4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$