专题03全等三角形重难点题型专训（3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题03全等三角形重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念 题型三 全等三角形的性质 题型四 利用已知图形分割成几个全等图形 题型五 利用全等三角形的性质求值 题型六 网格中的全等三角形问题 题型七 全等三角形的简单动点问题 拓展训练一 全等图形（三角形）综合应用 拓展训练二 全等三角形的性质综合 知识点一：全等图形 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【要点说明】全等图形具有以下两个性质特征 形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 如图1，两幅图形形状、大小完全相同，这两幅图形就是全等图形。 图1 【即时训练】 1.（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 知识点二：全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1.（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 2.（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    知识点三：知识点（三）全等三角形的性质 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 数学语言： （已知） （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） 【要点说明】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【即时训练】 1.（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图， ，E是延长线上一点，平分，若， ，则 ．（用含的式子表示） 【经典例题一 图形的全等】 【例1】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 【例2】（2024八年级上·江苏·专题练习）玩具店有三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与图中的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？    1．（24-25六年级下·上海·开学考试）在下列四个选项中，哪个图形和下图完全一致？（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·周测）下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，四边形四边形，若，，，则 4．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东德州·期中）在的正方形网格中（小正方形的边长1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，请画出四种符合条件的三角形． 1．（22-23七年级上·山东泰安·阶段练习）下列语句：①形状相同的三角形是全等三角形；②任意两边对应相等的两个直角三角形全等；③两个等边三角形一定全等；④有两角一边对应相等的两个三角形全等．其中错误的说法个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 4．（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点，，均落在格点上．请利用一把无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中作一条线段，使这条线段与平行； (2)在图2中作一个不与，，三点共点的三角形，使这个三角形全等于． 【经典例题三 全等三角形的性质】 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，，．若这两个三角形全等，求的值． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是对应点，下列结论错误的是（    ） A．和是对应角 B．和是对应角 C．和是对应边 D．和是对应边 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知与全等，那么 ． 4．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数． 【经典例题四 利用已知图形分割成几个全等图形】 【例1】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【例2】（23-24七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 1.（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 3．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 4．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求值】 【例1】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F． （1）若的周长为，，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【例2】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F． （1）若的周长为，，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 1．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，已知，若，，则的长为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ． 4.（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F． （1）若的周长为，，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【经典例题六 网格中的全等三角形问题】 【例1】（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中画，使（点D不与点A重合）； (2)在图②中画，使，其中点E在边上 ； (3)在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 1．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，在的网格中，点都在格点（网格线的交点）上．若，则点与点 重合．（填“”“”或“”） 4．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格纸中，有和直线，点A，B，C均在小正方形的顶点（网格点）上．（保留作图痕迹，不写做法）    (1)在方格纸中画出关于直线对称的； (2)在方格纸的网格点中找一点E，使得． 【经典例题七 全等三角形的简单动点问题】 【例1】．如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(   ) A．3 B．5 C．9 D．3或9 【例2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 1.（22-23八年级上·河北承德·期中）如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动（　　）秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．（注意：两个直角三角形中，如果有斜边和直角边对应相等，两个直角三角形也是全等的）    A．3 B．6 C．6或12 D．0或6或12或18 2．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 3．如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 4．如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 【拓展训练一 全等图形（三角形）综合应用】 【例1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）在和中，，，，已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知和是对应角，，，，，．求： (1)及的长． (2)的度数． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，E是线段上一点，交于点F．下列与的度数相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为 ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【拓展训练二 全等三角形的性质综合】 【例1】如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【例2】如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 1．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 2．如图，在中，，分别是，上的点，，，且，，交于点．若，则的度数是 ． 3．如图，三角形ABC中，BD平分，若，则 ． 4．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列命题中，其中不正确的是（    ） A．两个图形是否全等，只取决于图形形状是否一样 B．两个图形是否全等，还决定于它们的位置是否合适 C．边长相等的两个正三角形是全等图形 D．“”式子的意义为“2小于或等于3”，它是个真命题 2．（23-24八年级上·浙江·专题练习）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 4．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，C，D是对应顶点．下列结论错误的是（   ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 7．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．全等三角形的对应边相等 D．对顶角相等 10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 11．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 12．（2024八年级上·安徽淮南·竞赛）如图，，则的度数为 ． 13．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 14．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知，且垂足为G，延长交于点F，若，，则 ． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 16．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，若已知每一个小正方形的边长为，的顶点、、都在小正方形的顶点上． (1)的面积为______； (2)在方格纸上画出一个格点三角形，使其与全等且有一个公共顶点； (3)画，使它与关于l对称． 17．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，，其中点A，B，C，D在同一条直线上． (1)若，，求的大小； (2)若，，求的长． 18． （24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，．若这两个三角形全等，求的值． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？ 20．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03全等三角形重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念 题型三 全等三角形的性质 题型四 利用已知图形分割成几个全等图形 题型五 利用全等三角形的性质求值 题型六 网格中的全等三角形问题 题型七 全等三角形的简单动点问题 拓展训练一 全等图形（三角形）综合应用 拓展训练二 全等三角形的性质综合 知识点一：全等图形 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【要点说明】全等图形具有以下两个性质特征 形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 如图1，两幅图形形状、大小完全相同，这两幅图形就是全等图形。 图1 【即时训练】 1.（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 2.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 知识点二：全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1.（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 2.（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 知识点三：知识点（三）全等三角形的性质 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 数学语言： （已知） （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） 【要点说明】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【即时训练】 1.（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 解：， ， ， ， 平分，， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 解得：， ； 故选：B 2.（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图， ，E是延长线上一点，平分，若， ，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、角平分线的性质和三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质； 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为： 【经典例题一 图形的全等】 【例1】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 【答案】B 【分析】通过分别将正方形方格放在不同位置，依据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形全等 ），判断直线分割后两部分是否全等．本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形能够完全重合的性质是解题的关键． 【详解】解：方格放在①位置，此时观察图形，直线分割后，两部分的正方形分布和数量无法完全重合． 放在②位置后，直线将图形分割，两侧的正方形数量、排列可完全重合． 放在③位置，直线分割后的两侧图形，正方形的组成和布局可完全重合． 放在④位置，直线分割后，两侧图形的正方形数量与排列无法重合． 综上，方格可放的位置为②或③， 故选： ． 【例2】（2024八年级上·江苏·专题练习）玩具店有三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与图中的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？    【答案】选用A型材料最省钱，要用36元 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，方案选择问题，全选A型板时，要与的正方形全等，需满足所选A型板中小正方形的总数与的正方形中小正方形的总数相等． 【详解】解：拼成的正方形全等的图案： 用A型板12块，每块3元，花费（元）， 用B型板12块，每块4元，花费（元）， 用C型板9块，每块5元，花费（元）． 所以，选用A型材料最省钱，要用36元． 1．（24-25六年级下·上海·开学考试）在下列四个选项中，哪个图形和下图完全一致？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等形的识别，通过旋转找出原图与选项中的图形重合是解题的关键． 根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【详解】解：大矩形的对角线和小矩形没有交点，排除选项A、C， D选项没有对角线，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·周测）下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的概念，正确理解全等图形的概念是解题的关键．根据全等图形的概念判断即可． 【详解】解：根据全等图形的概念可得：选项C的图形是全等形． 故选：C． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，四边形四边形，若，，，则 【答案】 【分析】本题考查全等图形，四边形的内角和，根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得的度数，进一步可得的度数．解题的关键是掌握全等图形的性质：全等图形的对应边相等，对应角相等． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等图形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 或 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·山东德州·期中）在的正方形网格中（小正方形的边长1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，请画出四种符合条件的三角形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了网格作图，根据题干要求，逐个作图，即可作答． 【详解】解：∵要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等， ∴如下图所示： 1．（22-23七年级上·山东泰安·阶段练习）下列语句：①形状相同的三角形是全等三角形；②任意两边对应相等的两个直角三角形全等；③两个等边三角形一定全等；④有两角一边对应相等的两个三角形全等．其中错误的说法个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】严格按照三角形全等的判定进行判断． 【详解】解：①形状相同，但是大小不同的三角形不是全等三角形，故本项错误； ②任意两边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本项正确； ③两个等边三角形不一定全等，故本项错误； ④有两角一边对应相等的两个三角形全等，说法正确，故本项正确； 综上可得说法错误的有①③，共2个． 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL，此题难度不大，是一道基础题． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据镜面合同三角形的定义判断即可． 【详解】根据真正合同三角形的定义可知，选项A，C，D是真正合同三角形，选项B是镜面合同三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查几何变换的类型，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 4．（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，的顶点，，均落在格点上．请利用一把无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中作一条线段，使这条线段与平行； (2)在图2中作一个不与，，三点共点的三角形，使这个三角形全等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，全等三角形的概念； （1）根据网格的特点将平移至，即可求解； （2）根据平移的方法作出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，（答案不唯一） （2）解：如图所示，即为所求，（答案不唯一）； 【经典例题三 全等三角形的性质】 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，，．若这两个三角形全等，求的值． 【答案】的值是8或9 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，代数式求值，分两种情况讨论：当时和当时，分别求出x、y的值，再代入代数式，求出结果即可． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①当时， 解得， ； ②当时， 解得， ． 综上所述，的值是8或9． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键； 根据全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】∵，，是对应顶点， ∴对应角为与，与，与；对应边为与，与，与． A．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； B．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； C．与是对应边，不是，错误，故本选项符合题意； D．与是对应边，正确，故本选项不符合题意； 故选C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是对应点，下列结论错误的是（    ） A．和是对应角 B．和是对应角 C．和是对应边 D．和是对应边 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的性质，由得出对应边及对应角相等，逐项验证即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，故选项A错误，符合题意； ∴和是对应角，故选项B正确，不符合题意； ∴和是对应边，故选项C正确，不符合题意； ∴和是对应边，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知与全等，那么 ． 【答案】72 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 4．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质． （1）利用全等三角形对应边相等，先得出，再结合已知的长度求出，进而得到； （2）利用全等三角形对应角相等求出，再结合已知角求出，最后根据三角形外角性质求出． 【详解】（1）解∶∵， ， ， ； （2）解∶∵， ， ， ， 。 【经典例题四 利用已知图形分割成几个全等图形】 【例1】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【答案】见分析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 解：如图所示： 【例2】（23-24七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点拨】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 1.（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 2．用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 3．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 4．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【答案】见解析 【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形．    【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求值】 【例1】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F． （1）若的周长为，，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，，可得，根据，计算求解即可； （2）由，，可得，，则，由，可求，进而可求． 解：（1）解：∵，， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【例2】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F． （1）若的周长为，，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，，可得，根据，计算求解即可； （2）由，，可得，，则，由，可求，进而可求． 解：（1）解：∵，， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 1．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键． 根据全等三角形的性质得到，由即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D ． 2．如图，已知，若，，则的长为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 3．如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 4.（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F． （1）若的周长为，，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，，可得，根据，计算求解即可； （2）由，，可得，，则，由，可求，进而可求． 解：（1）解：∵，， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题六 网格中的全等三角形问题】 【例1】（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 【例2】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中画，使（点D不与点A重合）； (2)在图②中画，使，其中点E在边上 ； (3)在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点作图，作全等三角形，三角形中线的性质． （1）取格点，连接，使得即可； （2）上取格点，取格点，连接，使得即可； （3）根据三角形中线的性质取中点为M，连接即可． 【详解】（1）解：如图①所示，为所求； （2）解：如图②所示，为所求； （3）解：如图③所示，射线为所求． 1．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 2．在如图所示的网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的定义画出图形，即可判断． 【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．    3．如图，在的网格中，点都在格点（网格线的交点）上．若，则点与点 重合．（填“”“”或“”） 【答案】F 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准全等三角形的对应点．根据全等三角形的性质得到，然后在网格中与点P对应的位置进行比对即可． 【详解】解：，， ， 如图， 在网格中与点P对应的点为F的位置， 故点P与点F重合， 故答案为：F． 4．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格纸中，有和直线，点A，B，C均在小正方形的顶点（网格点）上．（保留作图痕迹，不写做法）    (1)在方格纸中画出关于直线对称的； (2)在方格纸的网格点中找一点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了作图——轴对称变换，全等三角形的性质． （1）利用网格特点和轴对称的性质作出各顶点关于直线的对称点，，，依次连接即可解答； （2）是直角边长分别为5和3的直角三角形的斜边，由此通过网格特点构造与之全等的三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求．    （2）解：如图，点E为所求．    【经典例题七 全等三角形的简单动点问题】 【例1】．如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(   ) A．3 B．5 C．9 D．3或9 【答案】D 【分析】根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解． 【详解】解：如图甲所示，当时，， 即，解得， 如图甲所示，当时， 即，解得， 故选：D． 图甲                                  图乙 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应情况分类讨论是解题关键． 【例2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 1.（22-23八年级上·河北承德·期中）如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动（　　）秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．（注意：两个直角三角形中，如果有斜边和直角边对应相等，两个直角三角形也是全等的）    A．3 B．6 C．6或12 D．0或6或12或18 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 解：①当P在线段上时，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ②当P在线段上时，时，， 则，， ∴时间为0秒， ③当P在上，时，， ∵， ， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ④当P在上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ∴点P的运动时间为0或6或12或18秒， 故选：D． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或秒． 3．如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点在上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点在上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①点在上时，如图， ， ， 运动秒； ②点在上时，如图， ， ， ， 的运动路程为： ， ， 运动秒； 运动或秒； 故答案为：或． 4．如图；在四边形中，，动点从点向点运动，速度为3，同时点从点沿射线方向运动，当和全等时，求点运动速度． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意，分类讨论：当，，时；当，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示， 当，，时，， ∴， ∴点运动的时间为， ∴点运动的速度为； 如图所示， 当，时，， ∴， ∴点运动的时间为， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 【拓展训练一 全等图形（三角形）综合应用】 【例1】（24-25七年级上·山东烟台·期末）在和中，，，，已知，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 分两种情况讨论，一是作于点，于点，点在点右侧，点在点右侧，可根据“”证明，得，再根据“HL”证明，则；二是作，交的延长线于点，则点在点左侧，延长到点，使，连接，则，所以，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：分两种情况讨论： （1）如图1，作于点，于点，点在点右侧，点在点右侧， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）如图2，作，交的延长线于点，则点在点左侧， 延长到点，使，连接， 垂直平分， ， ， ， 由得:， ， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知和是对应角，，，，，．求： (1)及的长． (2)的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质； （1）由全等三角形的性质可得，再进一步求解即可； （2）由全等三角形的性质可得，再进一步利用三角形的外角的性质求解即可. 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， . 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，E是线段上一点，交于点F．下列与的度数相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由可得，，由对顶角相等可知则有，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度计算出a，c边的夹角，再根据全等三角形对应角相等，即可求解． 【详解】解：在第一个图中，边b对应的角为：， 由图中的两个三角形全等，根据对应角相等可知， 故选C． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，由可得，进而求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ，，，， ， 故答案为：．. 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 【拓展训练二 全等三角形的性质综合】 【例1】如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 【例2】如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 1．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．110° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题． 【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．    ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE＝∠AB′E， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′＝∠AB′E， ∴∠ABE＝∠AHC′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′＝∠ACD， ∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD， ∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC， ∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°， ∴∠C′AH＝120°， ∴∠C′＋∠AHC′＝60°， ∴∠BFC＝60°＋40°＝100°， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2．如图，在中，，分别是，上的点，，，且，，交于点．若，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了全等三角形．添加辅助线，熟练掌握全等三角形性质，平行线性质，三角形外角性质，是解题的关键， 延长交于点，交于点．根据全等三角形性质，得，，得，得．根据平行线性质得， 得．根据三角形外角性质得 ． 【详解】提示：如图，延长交于点，交于点． ， ，， ， ． ， ， ， ， ． ， ， 故答案为． 3．如图，三角形ABC中，BD平分，若，则 ． 【答案】8 【分析】延长AD交BC与点E，证可得，由可得，进而即可求解； 【详解】解：如图，延长AD交BC与点E， ∵BD平分 ∴ ∵BD=BD ∴ ∴AB=BE ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AD=DE， ∴ ∴ 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论； （3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论． 【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到 ∴（）， ∴，,即 ∵是边上的中线， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴ ，即， ∴； 故答案为； （2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到 ∴（）， ∴， ∵ ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转 ∴△DCF≌△BCH， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴点A、B、H三点共线 ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键. 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列命题中，其中不正确的是（    ） A．两个图形是否全等，只取决于图形形状是否一样 B．两个图形是否全等，还决定于它们的位置是否合适 C．边长相等的两个正三角形是全等图形 D．“”式子的意义为“2小于或等于3”，它是个真命题 【答案】B 【分析】此题主要考查了命题的概念，全等图形定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定．根据全等图形的定义可对选项A，B进行判断；根据等边三角形的性质及全等三角形的判定可对选项C进行判断，根据不等式的意义可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵两个图形的形状一样，大小一样时， ∴两个图形是否全等，只取决于图形形状； ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵两个图形是否全等，与它们的位置是无关， ∴选项B说法不正确，符合题意； ∵等边三角形的三边都相等， ∴边长相等的两个正三角形是全等图形， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵“”式子的意义为“2小于或等于3”， ∴选项D说法正确，不符合题意， 故选：B． 2．（23-24八年级上·浙江·专题练习）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断． 【详解】解：可知将选项A中的图形顺时针旋转180°，即可与选项B中的图形重合， 将选项B中的图形顺时针旋转90°，即可得到选项D中的图形， 故A、B、D中的三个图形全等， 分析C中图片人物，结合四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等的概念是解本题的关键． 3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据三角形全等得到，，由此求出即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角即可得到答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 观察图像可知： 和中 ∴光线b与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角． 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，C，D是对应顶点．下列结论错误的是（   ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键，根据全等三角形的性质直接得出结论即可． 【详解】解：， 与是对应角，与是对应角，与是对应边，与是对应边， 则与是对应边是错误的， 故选：C． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，； 当时， ∴， ∴， 解得，． 综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对． 故选：B． 7．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和和全等三角形的性质，根据三角形的内角和求出的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，阴影的面积的面积．由全等三角形的性质推出，，得到，求出的面积，得到阴影的面积的面积 【详解】解：， ，， 的面积， 的面积的面积， 阴影的面积的面积 故选：A． 9．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．全等三角形的对应边相等 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题与逆命题，分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可，能够写出各个命题的逆命题是解题的关键． 【详解】、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意． 、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题，符合题意； 故选：． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 11．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【答案】66 【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 12．（2024八年级上·安徽淮南·竞赛）如图，，则的度数为 ． 【答案】95 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先由全等三角形的性质：全等三角形对应角相等得，再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：95． 13．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：20． 14．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知，且垂足为G，延长交于点F，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，，由垂线的定义可得，求出，再结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵垂足为G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，设，，则，由，则，，所以，根据三角形内角和定理可得，求出，最后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，若已知每一个小正方形的边长为，的顶点、、都在小正方形的顶点上． (1)的面积为______； (2)在方格纸上画出一个格点三角形，使其与全等且有一个公共顶点； (3)画，使它与关于l对称． 【答案】(1) (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题主要考查了格点的特点，旋转的性质，轴对称图形的性质， （1）根据格点的特点可得，点到的高为，根据三角形面积的计算方法即可求解； （2）根据旋转的性质作图即可求解； （3）根据轴对称图形的性质作图即可求解． 【详解】（1）解：已知每个小正方形的边长为,的顶点、、都在小正方形的顶点上， ∴，点到的高为， ∴的面积为， 故答案为：． （2）解：将绕点顺时针旋转得，如图所示， （3）解：根据轴对称图形的性质作图如下， 17．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，，其中点A，B，C，D在同一条直线上． (1)若，，求的大小； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查三角形全等的性质，垂直的定义，正确理解图形中的对应关系是解题的关键. （1）根据垂直的定义及全等三角形的性质得到，即可求出的大小； （2）利用推出，再根据已知得出，即可求出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴，即. ∵，， ∴， ∴. 18．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，．若这两个三角形全等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：两个三角形全等， ，， ． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？ 【答案】点P运动了或或 【分析】本题主要考查动点与几何图形的变换．根据点的运动规律，设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分类讨论，①如图1，在上，在上，则，；②如图2，在上，在上，则，；③如图3所示，当都在上时；④当到点停止，在上时，；⑤和都在上的情况；图形结合，根据三角形全等的判定方法即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，在上，在上，则，，    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ②如图2，在上，在上，则，，    由①知：， ∴， ∴； ∵此时， ∴此种情况不符合题意； ③当都在上时，如图3，   ， ∴； ④当到点停止，在上时，， ∴时，解得； ⑤∵的速度是每秒，的速度是每秒， ∴，， ∵， ∴和都在上的情况不存在； 综上所述，点P运动了或或时，与全等． 20．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 【答案】与全等时，点运动的时间为秒 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，设点、的运动时间为，表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边， ②与是对应边两种情况，列方程求解即可. 【详解】解：∵，， 点为的中点， ， 设点、的运动时间为， 则， ， ∴， ①、是对应边时， ∵与全等，， ∴， ， ∴且，解得； ②与是对应边时， ， ∵与全等， ∴，， ∴且， 解得 且(相互矛盾，则舍去) ， 综上所述，与全等时，点运动的时间为秒． 学科网（北京）股份有限公司 $$