第07讲 图形的轴对称 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（浙教版2024）

第07讲 图形的轴对称 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 轴对称图形的概念 （重点） 2 轴对称图形的性质 （重难点） 3 图形的轴对称 4 画已知图形的轴对称图形重点 题型巩固 一、轴对称图形的识别 二、成轴对称的两个图形的识别 三、根据成轴对称图形的特征进行判断 四、根据成轴对称图形的特征进行求解 五、求对称轴条数 六、画轴对称图形 七、设计轴对称图案 八、台球桌面上的轴对称问题 九、轴对称中的光线反射问题 十、折叠问题 十一、钟表的镜面对称 十二、线段问题(轴对称综合题) 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（7） 三、解答题（5） 知识梳理 知识点1 轴对称图形的概念 （重点） 1.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 注意 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段. （2）轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条. 2.常见的轴对称图形 名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数 角 角平分线所在直线 1 等腰梯形 上、下底的中点所在直线 1 长方形 对边中点所在直线 2 正方形 对边中点所在直线和 两条对角线所在直线 4 圆 过圆心的每一条直线 无数条 知识点2 轴对称图形的性质 （重难点） 性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点. 知识点3 图形的轴对称 1.图形的轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 2.图形的轴对称的性质： 性质 几何语言 图示 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 成轴对称的两个图形中，对应线段所在的直线平行或相交（交点在对称轴上）或重合 成轴对称的两个图形是全等图形. 对应边相等 对应角相等 知识点4 画已知图形的轴对称图形重点 画与已知图形成轴对称的图形的步骤 （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 画一个图形关于某条直线的对称图形，其实质就是已知图形上各关键点与对称轴，求作各关键点关于对称轴的对称点. 题型巩固 题型一、轴对称图形的识别 1．（24-25八年级上·浙江·期末）2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，故不符合题意； B中是轴对称图形，故不符合题意； C中是轴对称图形，故不符合题意； D中不是轴对称图形，故符合要求； 故选：D． 2．观察下列图形: 其中是轴对称图形的有 个. 【答案】3 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】（1）有三条对称轴，是轴对称图形，符合题意； （2）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意； （3）没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； （4）有对称轴，是轴对称图形，符合题意. ∴是轴对称图形的有3个. 故答案为3. 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）请在如图坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3) 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】（1）在坐标系内描出各点，顺次连接各点即可； （2）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出各点坐标即可； 【详解】（1）如图，△ABC为所求； （2）如图，△A'B'C'为所求；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3) 【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 题型二、成轴对称的两个图形的识别 4．环保理念深入人心，垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】根据轴对称图形的概念即可解决本题． 【详解】由轴对称图形概念，平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，能够判断出A为轴对称图形． 故答案为A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，难度系数不高，解题的关键在于正确理解轴对称图形的概念． 5．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 【答案】都是轴对称图形 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征． 【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形， 故答案为：都是轴对称图形． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征． 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于直线的对称点F，连接交于P，此时的值最小．    由对称性可知：， ∵， ∴， ∴最小时，点P应该满足，此时无法确定与，的大小关系，的度数． 故选：D． 7．已知点M(m,n)与点N(－2,－3)关于x轴对称，则m＋n＝ ． 【答案】1 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，据此求解． 【详解】由题意得，，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了成轴对称图形的特征，由题意得：，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故选：C． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 ．    【答案】11 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质可得，，进而得出，再根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵点A与点E关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：11． 10．如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路m上修建一个车站P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置． 【答案】见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称最短路线问题．作出点关于直线的对称点，连接交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． ． 题型五、求对称轴条数 11．下列四种图形中，对称轴条数最多的是（    ） A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形 【答案】B 【知识点】求对称轴条数 【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可． 【详解】解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质． 12．“线段、角、圆、正方形、等边三角形”这五个图形中，对称轴最多的图形是 ． 【答案】圆 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查轴对称图形的定义：一个图形沿着某条直线折叠后直线两边的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；写出每个图形的对称轴的数量即可得解. 【详解】线段有2条对称轴； 角有1条对称轴； 圆有无数条对称轴； 正方形有4条对称轴； 等边三角形有3条对称轴； 故答案为：圆. 题型六、画轴对称图形 13．（24-25八年级上·浙江·期中）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称图形，根据题意作出图形是解答本题的关键． 根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示：与成轴对称的格点三角形一共4个， 故选：B． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)直线l把线段______； (3)求的面积； (4)在直线l上找一点P，使得的长最小． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分； (3)3； (4)见解析． 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握轴对称性质，割补法求三角形面积，轴对称路径最短，是解题的关键． （1）取点A、B、C关于直线l的对称点，连接，即得； （2）根据点C、关于直线l对称，得直线l垂直平分； （3）的矩形面积减去周围3个三角形的面积即得； （4）根据点C、关于直线l对称，得，得，最小， 【详解】（1）取点A、B、C关于直线l的对称点，连接， 得到即为所求作． （2）∵点C、关于直线l对称， ∴直线l垂直平分． 故答案为：垂直平分． （3）． （4）连接交l于点P，点P即为所求作． 题型七、设计轴对称图案 15．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，点和点都在正方形网格的格点上，则能与点组成轴对称图形的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题考查构造轴对称图形，根据轴对称图形的定义，画出相应的图形，进行判断即可． 【详解】解：如图，点四个点满足题意； 故选C． 16．如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 种． 【答案】2 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题主要考查了利用轴对称的定义设计图案，正确掌握轴对称图形的定义(如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形)是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质分析解答即可． 【详解】解：如图：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1或2处涂黑，都是符合题意的图形． 故答案为：2． 17．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用3种不同的方法） 【答案】见解析 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此设计图案即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 题型八、台球桌面上的轴对称问题 18．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】利用轴对称画图可得答案. 【详解】解：如图所示， 球最后落入的球袋是2号袋， 故选：B. 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形. 19．如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 ． 【答案】6 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴M′H=M′N′， ∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， ∵AB=，∠BAC=45°， ∴BH=AH ∴ ∴BH=6． ∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6． 故答案为6． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 20．台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量． 问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断． 问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？ 请用尺规作图在图（2）中作出这一点． 问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次． 考点：作图—应用与设计作图． 【答案】问题1 BC∥PA；问题2见解析；问题3比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次． 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【详解】试题分析：（1）类似于光线的反射问题，可通过计算同旁内角互补，得出平行的结论； （2）入射角等于反射角，找出E点关于AB的对称点E1，连接E1F交AB于H根据对称图形的特点及对顶角相等得出∠BHF=∠E1HA=∠EHA，求出E1N及NF的长运用勾股定理求出E1F的长，因对应边EH=E1H，E1H即为所求； （3）根据当AB=4，AD=3时的例图及弹子的运行规律：每一条运行轨迹都是一个正方形的对角线，画出图形，即可得出结论． 解：（1）如图， ∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°﹣∠PAD﹣∠BAE， ∴∠PAB=180°﹣2∠BAE． 同理，∠ABC=180°﹣2∠ABE． ∵∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠PAB+∠ABC=360°﹣2（∠BAE+∠ABE）=180°． ∴BC∥PA． （2）可作点E关于直线AB的对称点E1，连接E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF， 过点F作AB的平行线交E1E的延长线于点N， ； （3）如图， 母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入B（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了5次； 设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B点为（99﹣k）格，距离A点为（k+1）格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为（k+1）格，距离D点为[99﹣（K+1）]格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位置距离D点为[99﹣（k+1）]格，距离C点为100﹣[99﹣（K+1）]=K+2格再撞击BC边的位置距离C点为k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次． 题型九、轴对称中的光线反射问题 21．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（    ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动 【答案】B 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物关于镜面OC对称，形状大小，平移的速度相同，方向直线O点． 【详解】根据镜面对称的性质，在平面镜中的小球与现实中的小球关于镜面对称， ∵∠AOC=45， ∴∠BOC=45°， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°， 则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动，故B正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查镜面对称，解题关键是熟练掌握镜面对称的性质． 22．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 23．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 题型十、折叠问题 24．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点是边上一点，将沿翻折得到，与交于点，当时，求的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选：D． 25．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使与重合，，相交于，已知，设的面积为，的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换和三角形的面积公式，由折叠性质可得，过作于，交的延长线于，由三角形面积公式得，得，， 然后由三角形的和差倍分可得答案． 【详解】由折叠可知 过作于，交的延长线于 得， 故答案为：． 26．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【知识点】折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、三角形面积等知识： （1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，得出，再计算出，由三角形面积公式可得结论． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， 又， ， 即； （2）解：由折叠，得， ． 题型十一、钟表的镜面对称 27．如图，图中显示的是从镜子中看到背的电子钟读数，由此你推断这时的实际时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为； 故选：D． 28．小明在镜子中看到的时钟的指针如图所示,那么此时时间为 ． 【答案】11:35 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，可以利用12点与6点连线作对称轴读表针的对称图形几点的方法． 【详解】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称， 图中显示的时间11:35 ∴实际时间是11:35，故填：11:35. 【点睛】本题需要牢记平面镜成像特点，根据平面镜所成的像与物体关于平面镜对称来分析实际问题，认真观察，注意技巧，解答此类题也可以把纸翻过来看． 题型十二、线段问题(轴对称综合题) 29．如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】线段问题(轴对称综合题) 【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可． 【详解】将关于对称至点，连接 ， ∴， ∴， ∴， ∵，，，且， ∴是中点， ∴． ∴ 故选：B 【点睛】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短． 30．如图，在锐角中，平分，点，分别是和上的动点．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，作关于的对称点，由平分，，得到点一定在上，过作于，交于，连接，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：如图所示， 作关于的对称点， 平分， 点一定在上， 过作于，交于，连接， 则此时，的值最小，的最小值， 过作于， 的面积为，长为， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是， 故答案是：． 分层强化 一、单选题 1．下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可． 【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称， 故选：． 2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 3．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 4．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 5．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可得在镜子里看到的“号码”是： ， 故选：C． 6．如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义及性质求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为3条即正三角形的三条高所在的直线． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义及性质．掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 7．如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】利用轴对称变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．如图，直线表示一条河．表示两个村庄，欲在上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如下图四种铺设管道的方案．图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称性，最短路径的计算，掌握轴对称图形的性质，两点之间线段最短是解题的关键． 根据作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，由两点直线线段最短得到点即为所求点的位置，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，点关于直线的对称点，连接，交直线于点， ∴点即为所求点的位置， ∴所需管道最短的方案是D， 故选：D ． 9．如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， 点与点对应， ，，， 点是直线上的点， ，， A，B，C正确，而D错误， 故选：D． 10．在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】由折叠的性质得到，继而得到，根据题意，据此判断①错误；由折叠的性质得到DC=DE，BE=BC=6，求得的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，可判断②；设点D到AB的距离为h，根据三角形面积公式得到，可判断③；设点B到AC的距离为m，根据三角形面积公式得到，可判断④． 【详解】解：沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处， 不垂直AB，故①错误； 由折叠的性质可知DC=DE，BE=BC=6 的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，故②正确； 设点D到AB的距离为h， ，故③正确； 设点B到AC的距离为m， ，故④错误， 故选：Ｂ． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形周长的求法、三角形的面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 11．下列图形中，是轴对称图形的有 ． ①角 ②线段 ③等腰三角形 ④平行四边形⑤圆 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：①角，②线段，③等腰三角形，⑤圆能找到到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； ④平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故答案为：①②③⑤． 12．如图，镜子右边是计算器显示屏上的数字“2”，则它在镜子中显示出的数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是利用轴对称的性质作图，作出对称图形是解题的关键．先得到数字“2”的轴对称图形，根据图形即可求解． 【详解】解∶如图， 根据轴对称图形的定义可知，数字“2”的轴对称图形是数字5． 故答案为∶5． 13．如图，在的正方形网格中，有2个小正方形已经涂上阴影．若在图中剩余的小正方形网格中再选择一个涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，则共有 种涂法． 【答案】5/五 【分析】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】如图，小正方形有5种涂法， 故答案为：5． 14．将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，点，点分别在上，得图形2，若，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得到，由周长的计算即可求解． 【详解】解：将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∵的周长为 ， 故答案为：8 ． 15．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 16．如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是 【答案】 【分析】本题考查成轴对称的性质，垂线段最短．连接，根据对称性得到，，三点共线，进而得到，根据垂线段最短，得到时，最小，利用等积法进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点和点M关于对称，点和点M关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点M是上一点， ∴时，最小， 此时：， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，已知点关于y轴对称的点为.从点发出一条光线，经过y轴反射后穿过点，此光线在y轴上的入射点的坐标是 . 【答案】 【分析】据题意作出有关图形，然后在图中标示出相关点，最后据题意找出各个相应点坐标即可． 【详解】如图所示： ∵点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（-m，n）， ∴点B（-2，0）关于y轴对称的点的坐标为（2，0）， ∵反射后经过点B′，则在y轴上的入射点应在0与4的中点， ∴点在（0，2）． 故答案是：(0,2). 【点睛】考查了学生根据题意构建数学模型的能力，学生需要掌握坐标轴的反射对称性质，同时也应注意与坐标知识在不同情境中与其他数学知识的结合应用． 三、解答题 18．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 【答案】第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形，对称轴见解析． 【分析】根据轴对称图形的定义确定是轴对称图形，然后画出对称轴即可． 【详解】解：第（1）（2）（3）（5）是轴对称图形， 对称轴如下： ． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，主要利用了轴对称图形的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键． 19．如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质，对称轴是对应点连线的垂直平分线以及根据两点之间线段最短，可知最短． 【详解】解：如图，M、N即为所求， 20．如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）    【答案】图见解析 【分析】本题考查了利用轴对称图形的定义设计图案，熟知概念是解题的关键．根据网格结构分别确定不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可． 【详解】解：如图，即为所求作：    21．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 22．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用轴对称求最短路径； （1）根据轴对称的性质分别得出、、的对应点、、的位置，顺次连接即可； （2）根据利用轴对称求最短路径的方法，连接与交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图，连接与交于点，点即为所求， 连接， 点和点关于对称， ， ， ， 点、、共线时，小， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 图形的轴对称 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1 轴对称图形的概念 （重点） 2 轴对称图形的性质 （重难点） 3 图形的轴对称 4 画已知图形的轴对称图形重点 题型巩固 一、轴对称图形的识别 二、成轴对称的两个图形的识别 三、根据成轴对称图形的特征进行判断 四、根据成轴对称图形的特征进行求解 五、求对称轴条数 六、画轴对称图形 七、设计轴对称图案 八、台球桌面上的轴对称问题 九、轴对称中的光线反射问题 十、折叠问题 十一、钟表的镜面对称 十二、线段问题(轴对称综合题) 分层强化 一、单选题（10） 二、填空题（7） 三、解答题（5） 知识梳理 知识点1 轴对称图形的概念 （重点） 1.轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 注意 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段. （2）轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条. 2.常见的轴对称图形 名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数 角 角平分线所在直线 1 等腰梯形 上、下底的中点所在直线 1 长方形 对边中点所在直线 2 正方形 对边中点所在直线和 两条对角线所在直线 4 圆 过圆心的每一条直线 无数条 知识点2 轴对称图形的性质 （重难点） 性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点. 知识点3 图形的轴对称 1.图形的轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 2.图形的轴对称的性质： 性质 几何语言 图示 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 成轴对称的两个图形中，对应线段所在的直线平行或相交（交点在对称轴上）或重合 成轴对称的两个图形是全等图形. 对应边相等 对应角相等 知识点4 画已知图形的轴对称图形重点 画与已知图形成轴对称的图形的步骤 （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 画一个图形关于某条直线的对称图形，其实质就是已知图形上各关键点与对称轴，求作各关键点关于对称轴的对称点. 题型巩固 题型一、轴对称图形的识别 1．（24-25八年级上·浙江·期末）2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．观察下列图形: 其中是轴对称图形的有 个. 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）请在如图坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。 题型二、成轴对称的两个图形的识别 4．环保理念深入人心，垃圾分类的标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是： ．（写出1个即可） 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，点D在边上，过D作交于点E，P为上的一个动点，连接，若最小，则点P应该满足（   ）      A． B． C． D． 7．已知点M(m,n)与点N(－2,－3)关于x轴对称，则m＋n＝ ． 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 ．    10．如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路m上修建一个车站P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置． 题型五、求对称轴条数 11．下列四种图形中，对称轴条数最多的是（    ） A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形 12．“线段、角、圆、正方形、等边三角形”这五个图形中，对称轴最多的图形是 ． 题型六、画轴对称图形 13．（24-25八年级上·浙江·期中）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)直线l把线段______； (3)求的面积； (4)在直线l上找一点P，使得的长最小． 题型七、设计轴对称图案 15．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，点和点都在正方形网格的格点上，则能与点组成轴对称图形的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 种． 17．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用3种不同的方法） 题型八、台球桌面上的轴对称问题 18．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 19．如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 ． 20．台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量． 问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断． 问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？ 请用尺规作图在图（2）中作出这一点． 问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次． 考点：作图—应用与设计作图． 题型九、轴对称中的光线反射问题 21．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（    ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动 22．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    23．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 题型十、折叠问题 24．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点是边上一点，将沿翻折得到，与交于点，当时，求的比值为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使与重合，，相交于，已知，设的面积为，的面积为，的面积为，则的值为 ． 26．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 题型十一、钟表的镜面对称 27．如图，图中显示的是从镜子中看到背的电子钟读数，由此你推断这时的实际时间是（　　） A． B． C． D． 28．小明在镜子中看到的时钟的指针如图所示,那么此时时间为 ． 题型十二、线段问题(轴对称综合题) 29．如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．如图，在锐角中，平分，点，分别是和上的动点．若，，则的最小值为 ． 分层强化 一、单选题 1．下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 4．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 6．如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 8．如图，直线表示一条河．表示两个村庄，欲在上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如下图四种铺设管道的方案．图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 二、填空题 11．下列图形中，是轴对称图形的有 ． ①角 ②线段 ③等腰三角形 ④平行四边形⑤圆 12．如图，镜子右边是计算器显示屏上的数字“2”，则它在镜子中显示出的数字是 ． 13．如图，在的正方形网格中，有2个小正方形已经涂上阴影．若在图中剩余的小正方形网格中再选择一个涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，则共有 种涂法． 14．将图1中的折叠，使点与点重合，折痕为，点，点分别在上，得图形2，若，则的周长是 ． 15．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 16．如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是 17．在平面直角坐标系中，已知点关于y轴对称的点为.从点发出一条光线，经过y轴反射后穿过点，此光线在y轴上的入射点的坐标是 . 三、解答题 18．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 19．如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 20．如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形．请你分别在下列每张图中画出一个以、、为顶点的格点三角形，使它与关于某条直线对称．（所画的4个图形不能重复）      21．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 22．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点，使最小. 学科网（北京）股份有限公司 $$