专题02定义、命题与证明重难点题型专训（3个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题02定义、命题与证明重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 举反例 题型六 定理与证明 题型七写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型八 以代数为背景的推理与论证 题型九 逻辑推理与证明 题型十 三角形内角和定理的证明 题型十一 三角形的外角的定义及性质 拓展训练一 命题相关的判断问题 拓展训练二 三角形相关定义及证明 拓展训练三 证明相关综合问题 知识点一：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）下列语句中，不是命题的是（   ） A．延长线段 B．两点之间，线段最短 C．同位角相等 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A.“延长线段”是作法，而非陈述事实，无法判断真假，不是命题； B.“两点之间，线段最短”是陈述句，符合几何公理，为真命题； C.“同位角相等”是陈述句，在特定条件下可判断真假（如平行线中为真，否则为假），属于命题； D.“如果，那么”是条件陈述句，结论虽假（x可为），但仍可判断真假，属于命题， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列语句是真命题的有 （填序号）． ①若，则；②同旁内角互补，两直线平行；③等角的余角相等；④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种． 【答案】②③④ 【分析】本题考查判断命题的真假，根据有理数的乘方，余角的性质，平行线的判定和平面内两直线的位置关系逐一判断解答即可． 【详解】解：①若，则，大小不确定，原说法是假命题； ②同旁内角互补，两直线平行，是真命题； ③等角的余角相等，是真命题； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种，是真命题； 故答案为：②③④． 知识点二：逆命题、逆定理 1、逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 2、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 3.公理、定理 4、公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 5、定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 6.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，然后判断是否为真命题即可． 【详解】解：（1）对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； （2）全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； （3）如果，那么的逆命题是若，则，是假命题； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题； 因此以上命题的逆命题是真命题的有1个； 故选：A． 2．（23-24·八年级上·浙江湖州·阶段练习）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 ． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解．本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 知识点三：证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【即时训练】 1.（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 解：定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 2.（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；（2）见分析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 解：（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可求解，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意； 、垂线段最短是命题，该选项符合题意； 、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意； 、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意； 故选：． 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）给下列各题中的图形命名，并给出名称的定义． (1) (2) (3) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】结合图形对三角形，平行四边形，梯形进行定义即可． 【详解】（1）解：该图形为三角形，定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形； （2）解：该图形为平行四边形，定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四百年行； （3）解：该图形为梯形，定义：在同一平面内，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 【点睛】本题主要考查了命题与定义，熟知三角形，平行四边形，梯形的定义是解题的关键． 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是否为判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可． 【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【答案】B 【分析】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【详解】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句； B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句； C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句； D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句． 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列句子中哪些是命题? （1）动物都需要水；（2）猴子是动物的一种； （3）玫瑰花是动物；（4）美丽的天空； （5）相等的角是对顶角；（6）负数都小于零； （7）你的作业做完了吗?（8）所有的质数都是奇数； （9）过直线l外一点作l的平行线；（10）如果，，那么． 【答案】（1）（2）（3）（5）（6）（8）（10）是命题，（4）（7）（9）不是命题． 【分析】命题：对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一分析，从而可得答案. 【详解】解：命题：对一件事情作出判断的语句， （1）动物都需要水；对动物的需要作出了判断，是命题， （2）猴子是动物的一种；对猴子的种类作出了判断，是命题， （3）玫瑰花是动物；对玫瑰花的种类作出了判断，是命题， （5）相等的角是对顶角；给对顶角作出了判断，是命题， （6）负数都小于零；对负数的大小作出了判断，是命题， （8）所有的质数都是奇数；对质数作出了判断，是命题， （10）如果，，那么．对的数量关系作出了判断，是命题， （4）美丽的天空；没有对事情作出判断，不是命题， （7）你的作业做完了吗? 没有对事情作出判断，不是命题， （9）过直线l外一点作l的平行线；没有对事情作出判断，不是命题. 【点睛】本题考查的是命题的含义，判断语句是否是命题，掌握“命题的定义”是解题的关键. 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式： (1)全等三角形的对应角相等； (2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 【答案】(1)如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等； (2)如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形． 【分析】本题考查了改写命题.将命题改写成 “如果……，那么……” 形式，关键是准确区分命题的条件和结论，使改写后的语句逻辑清晰、表意明确． “如果” 后面接的是命题的条件，“那么” 后面接的是命题的结论．对于 (1)，条件是两个三角形全等，结论是对应角相等；对于 (2)，条件是等腰三角形有一个角为，结论是该三角形是等边三角形． 【详解】（1）将全等三角形的对应角相等改写成“如果……，那么……” 的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等； （2）将有一个角等于的等腰三角形是等边三角形改写成“如果……，那么……” 的形式：如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形． 1．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 【答案】C 【分析】本题考查命题，命题由条件和结论组成，通常形式为“如果条件，那么结论”，题目中的命题“两个锐角相等”可还原为“如果两个角是锐角，那么它们相等”，因此条件为“两个角是锐角”． 【详解】解：命题“两个锐角相等”的条件是两个角是锐角． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 4．（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式： (1)等角的补角相等； (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】(1)如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等（或如果两个角相等，那么这两个角的补角相等） (2)如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．根据命题的概念解答即可． 【详解】（1）如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等（或如果两个角相等，那么这两个角的补角相等）； （2）如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【经典例题三 判断命题真假】 【例1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D．在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 【答案】B 【分析】根据所学的数学知识，理解判定解答即可． 本题考查了命题的判定，正确判定命题是解题的关键． 【详解】A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，不符合题意； B. 一个直角三角形可以分成一个三角形和一个四边形，错误，符合题意； C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，正确，不符合题意； D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，正确，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 【答案】(1)假命题，反例见解析 (2)真命题 【分析】本题考查命题，关键是掌握补角，钝角的定义． （1）如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，由此即可判断； （2）由相交线的定义，即可判断． 【详解】（1）解：假命题， 反例：如果一个角是，则它的补角是，而的角不是钝角． （2）解：过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线是真命题． 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理、平行线性质、三角形的高及外角的性质。根据各选项的条件与结论逐一分析，结合相关定理判断其正确性。 【详解】解：A选项错误.平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在直线上，则无法作平行线，故A不成立. B选项错误．只有当两条直线平行时，被第三条直线所截的同旁内角才互补.若两直线不平行，同旁内角不满足互补关系，故B缺少前提条件． C选项错误．三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心），但高作为线段，在钝角三角形中三条高线段不会在形内相交，故C表述不严谨，应为三条高所在直线交于一点． D选项正确．三角形至少有两个内角为锐角，其对应的外角为钝角，因此三个外角中至少有两个钝角，故D为真命题． 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A．，则，，不是反例，故A不符合题意； B．，则，，是反例，故B符合题意． C．，则，，不是反例，故C不符合题意； D．，则，，不是反例，故D不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 【答案】乙 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 【详解】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 4．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，举反例，正确理解题意是解题的关键． （1）直角是90度的角，则直角都相等，据此可得答案； （2）当时，满足，当不满足，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵直角是90度的角， ∴直角都相等，原命题是真命题； （2）解；如果，那么，这是一个假命题， 例如当时，满足，但不满足，故原命题是假命题． 【经典例题四 举例说明假（真）命题】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则以及假命题的概念判断． 【详解】解：A．当时，，而，说明命题“若，则”为假命题，符合题意； B．当时，，而，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； C．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； D．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意； 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键： （1）根据不等式的性质，举出即可； （2）举出，但与不是对顶角，即可； （3）举出一个是同旁内角但是不互补的反例即可． 【详解】（1）解：当时，，说明“如果，则”是假命题； （2）解：如图，，但与不是对顶角； 说明“相等的两个角一定是对顶角”是假命题； （3）解：如图，与是同旁内角，但与不互补． 说明“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”是假命题． 1．（24-25七年级下·天津·开学考试）要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，且，满足命题，不符合题意； B、，且，不满足命题，符合题意； C、，且，满足命题，不符合题意； D、，不满足命题，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）对于命题“若，则”，能说明它是假命题的的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，根据实数的大小比较、实数的平方以及假命题的概念解答即可． 【详解】解：A、当时，，能说明命题“若，则”是假命题，符合题意； B、当时，，不能说明命题“如果，则”是假命题，不符合题意； C、当时，，不能说明命题“如果，则”是假命题，不符合题意； D、当时，，不能说明命题“如果，则”是假命题，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的大小比较、实数的平方、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，举反例，正确理解题意是解题的关键． （1）直角是90度的角，则直角都相等，据此可得答案； （2）当时，满足，当不满足，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵直角是90度的角， ∴直角都相等，原命题是真命题； （2）解；如果，那么，这是一个假命题， 例如当时，满足，当不满足，故原命题是假命题． 【经典例题五 举反例】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可． 【详解】解：当时，，而， ，是“若，则”的一个反例， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 【答案】(1)真命题； (2)假命题，反例见解析. 【分析】本题考查了判断命题的真假. （1）直接判断即可； （2）举出反例即可. 【详解】（1）解：两个钝角的和大于平角，是真命题； （2）解：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，反例如下： 如图，两条不平行直线被第三条直线所截，同位角不相等. 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举反例. 根据绝对值的性质、假命题的概念解答即可. 【详解】解：A、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； B、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； C、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； D、当时，，能说明命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了举反例说明命题为假命题，理解举反例的方法是解题的关键． 举例符合已知条件，但得出的结论与已知的结论矛盾，可说明原命题是假命题，据此逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.当，时，可得出，是反例，符合题意； B. 当，时，可得出，不符合题意； C. 当，时，可得出，不是反例，不符合题意； D. 当，时，可得出，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 【经典例题六 定理与证明】 【例1】（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形顶角的平分线与底边不垂直 C．等腰三角形有两条对称轴 D．每个定理都有逆定理 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及定理的定义分析判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，原说法正确，故该项符合题意； B、等腰三角形顶角的平分线与底边垂直，原说法错误，故该项不符合题意； C、等腰三角形有一条对称轴，原说法错误，故该项不符合题意； D、每个定理不一定都有逆定理，原说法错误，故该项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，定理的逆定理的定义，正确掌握各知识点是解题的关键． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 2．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理、命题的真假判断、逆命题的概念，解题的关键是掌握：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；定理是通过逻辑推理证明为真的命题或公式．据此判断即可． 【详解】解：A．命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B．真命题不一定是定理，故此选项不符合题意； C．真命题的逆命题不一定是真命题，故此选项不符合题意； D．假命题的逆命题不一定是假命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】B 【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意； B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 故选：B 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可． 【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程； （2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解； （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程； （4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义． 【经典例题七 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例1】（23-24八年级上·全国·课前预习）实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题中的证明举例，熟练掌握知识点是解题的关键． 先写出已知，求证，再证明即可． 【详解】解：已知：是两个连续的自然数． 求证：是偶数． 证明：当n是奇数时，就是偶数，所以是偶数． 当n是偶数时，是偶数． 综上所述，是偶数． 即两个连续自然数的积是偶数． 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 3．（23-24八年级上·广东广州·期末）求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等． （解题要求：补全已知、求证，写出证明） 已知：如图，在中，是边上的中线，________． 求证：________． 证明： 【答案】分别过点作的垂线，交和的延长线于点、；；证明见解析． 【分析】根据题意，写出已知和求证，再根据全等三角形的判定与性质，求证即可． 【详解】已知：如图，在中，是边上的中线，分别过点作的垂线，交和的延长线于点、． 求证：． 证明：由题意可得：， ∵是边上的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴ 故答案为：分别过点作的垂线，交和的延长线于点、；． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，命题的已知和求证，解题的关键是理解题意，正确写出已知和求证，并掌握全等三角形的判定方法与性质． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）证明：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．（提示：先画出图形，写出“已知”，“求证”，再证明） 【答案】见解析 【分析】利用证明得，结合中线的定义可得，再利用可证明． 【详解】解： 已知：如图，在和中，，，与分别为与边上的中线，而且； 求证：． 证明：，，， ， ． 与分别为与边上的中线， 点和点分别是与的中点， ，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，利用证明△是解题的关键． 【经典例题八 以代数为背景的推理与论证】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了 ． 【答案】 【分析】本题考查逻辑推理与周期性问题，按照规则将前面几位同学所报数写出，可以发现从第位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为；由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，即可得出结论． 【详解】解：按照规则将前面几位同学所报数写出：，，，, , , , , , , , , , , …可以发现从第5位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为； 由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，是把前一位同学报的数加上了， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 2．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … 队 16 13 队 16 13 队 16 13 队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛队得5分，队一场未负得3分，队胜队，队胜队，则哪两队会被降级？为什么？ 【答案】(1)①甲队胜13场，平3场；②能，乙队胜13场、平1场、负13场，其负场数多于甲队 (2)B、D两队被降级，见解析 【分析】本题考查二元一次方程组解实际问题和代数推理，找等量关系并列出方程组是解题的关键． （1）①根据积分问题列出二元一次方程组，求解即可； ②根据积分问题列出三元一次方程组，求解即可； （2）根据积分问题进行推理即可； 【详解】（1）①设此时甲队胜场，平场，根据题意，得 ， 解得 答：此时甲队胜13场，平3场． ②此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，理由如下： 设此时乙队胜场、平场、负场．根据题意，得 ①-②，得：，即， 若，则，即， ，即， ， 为非负整数，． 将代入①、②可得：； 此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，即乙队胜13场、平1场、负13场． （2）B、D两队被降级，理由如下： 根据最后3场比赛队得5分可知，队的比赛结果是1胜，2平； 根据最后3场比赛队一场未负得3分可知，队的比赛结果是3平； 队胜队， 队平队，队平队， 队胜队，队平队，队负队， 队得4分， 队平队，队平队，队负队， 队得2分， 队得分队得分队得分队得分， 两队被降级． 或用列表法： 各队得分 平 胜 平 队得5分 平 平 平 队得3分 负 平 胜 队得4分 平 平 负 队得2分 队得分队得分队得分队得分， 两队被降级． 4．（24-25九年级下·北京·阶段练习）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要 分钟． （2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟． 【答案】 7 12 【分析】本题考查了推理论证，实际问题的方案设计，事件的统筹安排，有理数的混合运算，尽可能让①和②在同一时段进行时解此题的关键． （1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，由此计算即可得解； （2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，画出流程图，结合流程图即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，为（分钟）， 故答案为：7； （2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图： ， 由流程图可得，将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟， 故答案为：12． 【经典例题九 逻辑推理与证明】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局． 【详解】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过， 所以与D赛过的是A、C、E、F四人； 与C赛过的是B、D、E、F四人； 又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局， 所以与A赛过的是D、B、F； 而与B赛过的是A、C、F； 所以F共赛了4局． 故选：D． 【例2】（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）电视剧《天才基本法》中出现基于巴什博奕的取子游戏，请你也来玩一玩这样的游戏：如果现在桌上放着2025个棋子，甲、乙两人轮流从中取走棋子，每次可取走1个或2个棋子，甲先取，谁先取到最后一个棋子谁获胜．问谁有获胜策略？他应该怎样操作？ 【答案】乙有获胜策略，见解析 【分析】此题考查了推理与论证，因2025是3的倍数，当甲每次取走1个或2棋子后，余下棋子数必不是3的倍数，乙取棋子数恰等于甲余下棋子数除以3余数，这样下去最后剩下3个棋子必轮到甲取，当甲取走1个或2个后，余下2个或1个，乙可全部取走，从而乙获胜． 【详解】解：乙有获胜策略．当甲每次取走1个或2棋子后，乙取棋子数恰等于甲余下棋子数除以3的余数，即可获胜． 1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【逻辑推理】警察抓住了4个偷东西的嫌疑人，其中一个人是主谋．在审问时，丁说：甲是主谋．丙说：我不是主谋．乙说：丁是主谋．甲说：我不是主谋．这四个人中只有一个人说了真话．真正的主谋是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查推理与论证．假设甲说的是真话，甲不是主谋．据此进行推理即可得到答案． 【详解】解：假设甲说的是真话，甲不是主谋． 乙说的是假话，丁不是主谋， 丙说的是假话，丙是主谋， 丁说的是假话，甲不是主谋， 即丙是主谋，合理， 故选：C． 2．（25-26七年级上·广东深圳·开学考试）A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查代数推理，根据单循环赛制，每人最多赛5盘．通过逐步分析各选手的对阵情况，确定F的已赛场数． 【详解】1．A赛过5盘，在6人单循环赛中，说明A与其余所有人（B、C、D、E、F）都赛了一盘． 2．E赛过1盘，由第1点可知，E的这一盘对手必然是A．因此，E没有与B、C、D、F比赛． 3．B赛过4盘，已知B与A赛过一盘，且B没有与E比赛，所以B的另外三盘是与C、D、F赛的． 4．D赛过2盘，已知D与A赛过一盘，且D没有与E比赛．由第3点可知，B与D赛过一盘，因此D的2盘对手分别是A和B． 5．C赛过3盘，已知C与A赛过（由第1点），与B赛过（由第3点），且C没有与E、D比赛（由第2、4点），因此C的第三盘对手是F． 综上，F的对手有：A（来自第1点）、B（来自第3点）、C（来自第5点）．所以F一共赛了3盘． 故选：C． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）甲，乙，丙三人进行羽毛球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行，半天训练结束时，发现甲共当裁判11局，乙，丙分别进行了18局，16局比赛，在这半天的训练中，甲，乙，丙三人共进行了 局比赛． 【答案】 【分析】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题．先确定了乙与丙打了局，甲与丙打了局，乙与甲打了局，进而确定三人一共打的局数． 【详解】解：甲当了局裁判， 乙、丙之间打了局， 又乙、丙分别进行了局、局比赛， 乙与甲打了局，丙与甲打了局， 甲、乙、丙三人共打了局， 故答案为：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知：正整数能被整除，也能被整除．求证：能被整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整除的性质，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据题意得到是的因数，也是的因数，进而求解即可． 【详解】证明：因为正整数能被整除，也能被整除， 所以是的因数，也是的因数， 所以是的因数， 所以能被整除． 【经典例题十 三角形内角和定理的证明】 【例1】（23-24八年级上·广西河池·期中）已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 【例2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】 （1），两直线平行，内错角相等， （2） （3） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即 （3）如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； （2）证明： ， ， 即． 4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的作法，平行线的性质，及平角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）平移过点A，画即可； （2）利用平行线的性质，推出，，再利用平角的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）证明：， ，， ， ， 即． 【经典例题十一 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，，，平分交于点D，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 1．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，，则与相邻的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此可解． 【详解】解：在中，， 与相邻的外角的度数是． 故选C． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，直接利用三角形的外角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·周测）如下图，D，E，F分别是三边延长线上的点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，通过角度的和差关系与代数运算是解题的关键． 首先根据三角形外角的性质，建立等式关系，将的三个角分别用含有的关系式表达出来，再根据三角形内角和为，得到，代入含有的关系式，进行化简运算即可． 【详解】解：， ． ， ， ． 故的度数为： 【拓展训练一 命题相关的判断问题】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果，那么 C．三角形三条中线不一定交于一点 D．所有合数都是偶数 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，根据平行线的性质、不等式的性质、偶数和三角形中线判断即可． 【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，故此选项是真命题，符合题意； B．如果，那么或，故此选项是假命题，不符合题意； C．三角形三条中线一定交于一点，故此选项是假命题，不符合题意； D．合数不一定是偶数，如9，故此选项是假命题，不符合题意； 故选A． 【例2】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分． (1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接） (2)证明（1）中的结论． 【答案】(1)①②④⇒③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的性质和判定、角平分线的定义． （1）根据命题的概念写出一个命题，任意三个选项为题设，另一个为结论即为真命题； （2）根据角平分线的定义、平行线的性质和判断分别证明结论． 【详解】（1）解：如果，平分，平分，那么； 即①②④③， 同理这个命题可以是①②③④，①③④②，②③④①， 故答案为：①②④⇒③（答案不唯一）； （2）解：①②④③是真命题，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ． ①②③④是真命题，理由如下： ， ， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∴平分． ①③④②是真命题，理由如下： ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∴平分． ②③④①是真命题，理由如下： 平分，平分， ，， ， ∴ ， ∴． 1．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）下列命题中，其中命题成立有（   ）个． ①同旁内角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数学基本定义和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，实数的性质，角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：①错误，因为同旁内角互补，两直线才平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等，正确； ③错误，因为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等或互为相反数； ④错误，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个角互余，那么它们的余角也互余 C．若，则 D．两边及夹角分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，涉及平行线的性质、互余的性质、二次根式的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关数学知识并逐一分析各命题的正确性． 根据各选项涉及的数学知识，分别判断命题的真假，找出假命题． 【详解】A．“两直线平行，内错角相等”是平行线的性质定理，是真命题． B．设两个角为和，且（互余）．它们的余角分别为和，其和为，故这两个余角互余，是真命题． C．由，可知，且左边右边即．此时x可能等于也可能等于（如时，等式成立但故该命题是假命题． D．“两边及夹角分别相等的两个三角形全等”是全等三角形判定定理中的“”，是真命题． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．该命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 【答案】 两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题是真假性． 【详解】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【答案】(1)一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么 (2)见解析 【分析】本题考查了命题的含义，平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）根据命题的定义与组成部分写出命题的题设与结论即可； （2）根据平行线的性质或判定进行证明即可. 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么 ； （2）解：如果，，那么， 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴． 如果，，那么； 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么 ； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 【拓展训练二 三角形相关定义及证明】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用： (1)如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． (3)如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 【答案】(1)见解析 (2)有3个，分别是 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质和对顶角相等的综合运用，解题的关键是掌握三角形的内角和定理,外角的性质. （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解决. （2）根据题中的“8”字的概念解答即可. （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可. 【详解】（1）证明：， ，， ． （2）解：有3个，分别是． （3）平分，平分， ． 由（1），同理可证得， ， ， ． 【例2】（23-24七年级下·福建福州·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】此题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】∵，的平分线交于点O， 1．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）如图，和分别是和的平分线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义、三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．如图，延长到F．由和分别是和的平分线，推出平分，设，，构建方程组证明即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到F． ∵和分别是和的平分线， ∴平分， 设，， ∴， 可得， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将图抽象成图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点，若，，的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，由平行得，再由三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（   ）（用含有和的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，延长、交于点，由三角形内角和定理可得，由题意可得平分，平分，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长、交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得：平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ； 故选：C． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出． 【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F． ∵， ∴，， ∵ ∴，， ∴, ∵， ∴． 【拓展训练三 证明相关综合问题】 【例1】（2025·湖南长沙·一模）有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8，将这三张牌按任意左右顺序排列，再根据下列步骤操作： 第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动； 第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动； 第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动． 经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（   ） A．红心A B．红心2 C．红心8 D．红心A、红心2、红心8都有可能 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，三张牌的所有排列组合共有6种：A， 2， 8，A， 8， 2，2， A， 8，2， 8， A，8， A， 2，8， 2， A，据此分6种情况分别求出三步操作后最右边的牌即可得到答案． 【详解】解：首先，三张牌的所有排列组合共有6种： A， 2， 8， A， 8， 2， 2， A， 8， 2， 8， A， 8， A， 2， 8， 2， A， 第一种初始排列：A，2，8， 第一步：红心2的位置是中间，左边是A．所以红心2与左边的A互换位置，变为2， A， 8， 第二步：处理红心8的位置，此时排列是2，A，8．红心8在最右边，所以不动． 第三步：处理红心A，此时红心A在中间位置，左边是2，所以A与左边的2互换位置，得到A，2，8．，所以第三步结束后的排列是A，2，8．所以最右边是8． 第二种初始排列：A，8，2， 第一步：红心2的位置是右边第三位，即最右边，所以红心2在初始排列的最右边，左边是8．所以第一步需要把红心2和左边的8互换位置，得到A，2，8． 第二步处理红心8的位置．此时排列是A，2，8，红心8在最右边，所以不动． 第三步处理红心A，此时红心A在第一位，已经是最左边，所以不动．最终排列还是A，2，8，最右边是8． 第三种初始排列：2，A，8， 第一步：红心2已经在最左边，所以不动，排列还是2，A，8， 第二步：红心8在最右边，所以不动，排列还是2，A，8， 第三步：红心A在中间位置，左边是2，所以红心A与2互换位置，得到A，2，8．最右边还是8． 第四种初始排列：2，8，A， 第一步：红心2在第一位，不动，排列保持2，8，A， 第二步：红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换位置，得到2， A，8， 第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换，得到A，2，8．最右边是8． 第五种初始排列：8，A，2， 第一步：红心2在最右边，所以需要将红心2与左边的A互换位置，得到8，2，A， 第二步：处理红心8的位置，此时红心8在第一位，左边没有牌，右边是2．但红心8的操作是与右边的牌互换．所以红心8现在在第一位，右边是2．将红心8与右边的2互换，得到2，8，A， 第三步：处理红心A的位置，此时排列是2，8，A．红心A在最右边，左边是8．所以需要将A与左边的8互换位置，得到2 ，A，8．最右边是8． 第六种初始排列：8，2，A， 第一步：红心2在中间位置，左边是8．所以将红心2与左边的8互换，得到2，8，A， 第二步：处理红心8的位置，此时红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换，得到2，A，8， 第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换后得到A， 2， 8．最右边是8． 综上所述，经过以上三步操作后，请问最右边的牌是红心8， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）将2，3，…，n（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得，求n的最小值． 【答案】n的最小值为 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题时通过列举法表示符合条件的数据，也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值．可假设将这些数分成两组A，B，由于，，所以A组不存在数a，b，c，使得，这样可设2在A组，这样可得出在A组，在B组，这样8放在A，B中任意一个，都有，这便说明这样的n的最小值为． 【详解】解：当时，把2，3，…，n分成如下两个数组：和…，， 在A组…，中，由于，， 所以其中不存在数a，b，c，使得， 在B组…，中，由于， 所以其中不存在数a，b，c，使得， 所以，， 下面证明当时，满足题设条件． 不妨设2在A组，若也在A组，则结论已经成立． 故不妨设在B组． 同理可设在A组，在B组． 此时考虑数，如果8在A组，我们取，，，此时； 如果8在B组，我们取，，，此时， 综上，满足题设条件． 所以，n的最小值为 ． 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）用表示正整数n的各位数字之和．如果不相等的正整数a，b满足，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了奇数与偶数，学生的理解能力，根据题目给的新定义去求解，而找到字母之间的关系是解题的关键．首先说明a，b中至少有一个为三位数，根据奇偶性可证不妨设a是三位数．当b也是三位数时，；当b是两位数时，可得，88，89，91，92，…，，一一试验即可求解． 【详解】解：首先说明a，b中至少有一个为三位数． 否则可设，，其中c，d，e，f是中的数字（当c或e为0时，a或b是一位数）， 此时，条件变为，从而c，e的奇偶性相同． 若，则，，矛盾！ 故可不妨设，这样，，矛盾！ 不妨设a是三位数． 当b也是三位数时，； 当b是两位数时，由于此时， 故，88，89，91，92，…，， 一一试验知，当，时，最小，为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·北京·期末）本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ． 【答案】 15 甲 【分析】本题考查推理与论证，解题的关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． 先确定了乙与丙打了8局，乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局，进而确定三人一共打的局数， 根据甲当了8局裁判员，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，由此能求出结果． 【详解】甲当了裁判8局， 乙、丙之间打了8局， 又乙、丙分别进行了12局、11局比赛， 乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局， 甲、乙、丙三人共进行了局比赛， 又甲当了8局裁判，而从1到15共8个奇数，7个偶数， 甲当裁判的局为奇数局， 最后一局比赛的裁判是：甲， 故答案为：15；甲． 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．判断命题的真假需要证明 B．举反例是一种证明的方法 C．证明假命题举一个反例即可 D．证明真命题举一个成立的例子即可 【答案】D 【详解】本题考查命题的真假判断及证明方法，需逐一分析各选项的正确性，熟练掌握命题相关知识点是解此题的关键． 【分析】解：A、判断命题的真假需要证明：无论是真命题还是假命题，均需通过逻辑推理或举反例进行验证，而举反例本身属于证明方法的一种，故原说法正确，不符合题意； B、举反例是一种证明的方法：举反例是证明命题为假的常用方法，属于反证法的一种形式，故原说法正确，不符合题意； C、证明假命题举一个反例即可：若命题为假，存在至少一个反例，举出即可证明其不成立，故原说法正确，不符合题意； D、证明真命题举一个成立的例子即可：真命题需满足所有情况均成立，仅举一个特例无法保证普遍性，例如，命题“所有偶数都是4的倍数”中，4和8符合条件，但2不符合，说明单举例子不能证明命题为真，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 【答案】D 【详解】此题考查了命题的定义， 根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．需逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假． 【分析】A．“画”是祈使句，描述动作而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题． B．“三条直线两两相交，有几个交点呢？”是疑问句，未陈述事实，无法判断真假，故不是命题． C．“今天真冷呀！”是感叹句，且“冷”是主观感受，无法客观判断真假，故不是命题． D．“天水是中国历史文化名城”是陈述句，且天水确为中国历史文化名城（事实为真），可明确判断真假，因此是命题． 故选：D． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是(   ) A．如果，那么点是的中点 B．三条线段分别为，，，如果，那么这三条线段一定能组成三角形 C．三角形的内角和等于 D．如果，那么 【答案】C 【分析】该题主要考查了真、假命题及其判断问题；根据线段的中点，三角形的三边关系，三角形内角和定理，绝对值的意义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、 如果点在线段上，且，那么点是的中点，故该选项是假命题，不符合题意； B、三条线段分别为，，，当，，时，满足，但不能构成三角形；如果，那么这三条线段一定能组成三角形，故该选项是假命题，不符合题意； C、 三角形的内角和等于，故该选项是真命题，符合题意； D、如果，那么或，故该选项是假命题，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级上·湖南永州·期中）下列语句中，是命题的是（　　） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线外一点，作直线 D．与相交，则与也相交 【答案】B 【分析】根据命题的定义进行判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内两条直线不平行就相交，不是命题，故选项不符合题意； B、邻补角的角平分线互相垂直，是命题，故选项符合题意； C、过直线外一点，作直线，不是命题，故选项不符合题意； D、与相交，则与也相交，不是命题，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了命题，熟练掌握“表示判断的语句叫做命题”是解题的关键． 5．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可得结论． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∴这一方向与方向的夹角的度数为． 故选：B． 6．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）数独是一款风靡全球的逻辑推理填数游戏，起源于18世纪瑞士数学家莱昂哈德•欧拉研究的“拉丁方块”．其玩法规则是在一个的方格网格中，用数字1到9填满整个网格，这个网格又被划分为9个的小宫格，要求每一行、每一列、每一个的小宫格都必须包含数字1到9，且不能重复．如图，在下面的数独游戏中，◆的位置应该填的数字是（   ） A．3 B．6 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了“拉丁方块”，逻辑推理与论证，观察规律，理解其玩法规则是解题的关键．观察发现第一列的6出现在第一个小宫格，第二列的6出现在第二个小宫格，第三列的6可以出现在第三个小宫格的◆的位置和的位置，通过观察可以发现，所在的行已有6出现，那么6只能在◆的位置． 【详解】解：根据题意，要求每一行、每一列、每一个的小宫格都必须包含数字1到9，且不重复，那么每一列都要出现一个6，第一列的6出现在第一个小宫格，第二列的6出现在第二个小宫格，第三列的6可以出现在第三个小宫格的◆的位置和的位置，通过观察可以发现，所在的行已有6出现，那么6只能在◆的位置． 故选：B． 7．（2025·河北邢台·三模）为了验证如图所示的四边形中与所在直线的夹角是否为，如下方案， 方案一：测量出和的度数； 方案二：测量出和的度数． 下列判断正确的是（    ） A．方案一正确、方案二正确 B．方案一不正确、方案二正确 C．方案一正确、方案二不正确 D．方案一不正确、方案二不正确 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．延长交于点，方案一，根据三角形内角和定理即可解答；方案二，根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，则与所在直线的夹角为， 方案一：测量出和的度数，则与所在直线的夹角，故方案一正确； 方案二：测量出和的度数，可得，则与所在直线的夹角，故方案二正确； 故选：A． 8．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）以下4位老师分别任教语文、数学、英语和科学．张老师说：我不是语文老师：王老师说：我不教数学；李老师说：我是英语老师：赵老师说：我不是数学老师，也不是科学老师．下面说法不正确的是（   ） A．张老师教科学 B．王老师教科学 C．李老师教英语 D．赵老师教语文 【答案】A 【分析】本题主要考查了逻辑推理应用题，解题方法是由确定项开始用排除法，逐个推论确定各自的正确选项，最终解决问题．根据四位老师的陈述，逐一确定各自所教学科，再判断选项的正确性． 【详解】解：李老师明确表示自己是英语老师，因此确定李老师教英语． 赵老师说“我不是数学老师，也不是科学老师”，因此赵老师只能教剩下的语文． 王老师说“我不教数学”，结合赵老师已教语文，王老师只能教科学． 张老师说“我不是语文老师”，剩下的数学由张老师任教． 验证选项： A． 张老师教科学：错误，张老师实际教数学． B． 王老师教科学：正确． C． 李老师教英语：正确． D． 赵老师教语文：正确． 综上，不正确的选项是A 故选：A． 9．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）问题“如图，，，求的度数．”的解法有如下两种方法，下列说法正确的是（    ） 方法Ⅰ ①如图，延长交于点E． ②计算得的值． ③计算即可．    方法Ⅱ ①如图，连接． ②计算得的值． ③计算得的值． ④计算即可．    A．只有Ⅰ对 B．只有Ⅱ对 C．Ⅰ，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对 【答案】C 【分析】方法Ⅰ：延长交于点．先根据三角形的外角性质求出的值，再根据三角形的外角性质求解即可得；方法Ⅱ：先根据三角形的内角和定理求出和，再根据角的和差即可得． 【详解】解：方法Ⅰ：如图，延长交于点．   ， ， ， ． 方法Ⅱ：如图，连接，   ， ， ， ， 又， ， 综上，Ⅰ，Ⅱ都对， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的外角性质、三角形的内角和定理是解题关键． 10．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）下列说法正确的是(    ) A．三角形的角平分线将三角形的面积平分 B．三角形的外角一定大于它的任意一个内角 C．在中，若，则这个三角形是直角三角形 D．若线段垂直平分线段，则线段必垂直平分线段 【答案】C 【分析】根据角平分线性质、外角定义、直角三角形判定、垂直平分线定义及性质逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、三角形的中线将三角形面积平分，该说法错误，不符合题意； B、对于钝角三角形，钝角的外角是一个锐角，从而确定三角形的外角不一定大于它的任意一个内角，该说法错误，不符合题意； C、根据三角形内角和定理，结合在中，若，则这个三角形是直角三角形，该说法正确，符合题意； D、根据垂直平分线定义及性质，线段垂直平分线段，不一定有线段必垂直平分线段，该说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查命题真假判断，熟练掌握角平分线性质、外角定义、直角三角形判定、垂直平分线定义及性质是解决问题的关键． 11．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，有两条直线m、n与直线a相交，已知，根据图形，以a、m、n的两个可能关系分别为条件、结论，写出一个正确的命题如下： ，又 ， ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查命题与定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．由图形，写出一个真命题． 【详解】解：第一种情况：， 又， ． 第二种情况：， 又， ． 故答案为：①或，②或． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）根据下面的条件，写出一个结论，使之成为一个真命题． （1）内错角相等， ． （2）如果，那么 ． 【答案】 两直线平行 【分析】本题考查了真命题，按照条件补充完整结论即可，熟知正确的命题是真命题是解题的关键． 【详解】解：（1）内错角相等，两直线平行，是真命题 ； （2）如果，那么，是真命题， 故答案为：两直线平行；． 13．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）有16位选手参加象棋晋级赛．每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．如果和棋，每人各积分．比赛全部结束后，积分不少于10分者可以晋级．则本次比赛最多有 名晋级者． 【答案】 【分析】本题是一道推理填空题，考查了逻辑推理能力，解答此题的关键是利用假设推理的方法确定比赛晋级最多的选手．16名参赛选手所有的比赛一共有场，而且不论胜败，每场比赛总分为1分，所以比赛总分为120分，最理想的结果是人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分，但这种情况不可能出现那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手，高手之间的比赛全平，每人得分，高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级． 【详解】解：16名参赛选手所有的比赛一共有场， 而且不论胜败，每场比赛总分为1分， 所以比赛总分为分， 最理想的结果是人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分， 但这种情况不可能出现那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分， 那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手， 高手之间的比赛全平，每人得分， 高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级． 综上所述：最多11人晋级； 故答案为：． 14．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，，交于点M，交于点N，点P在的延长线上，的平分线与的平分线交于点O，则 ． 【答案】2 【分析】利用平行线的性质，三角形外角性质，解答即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设与交于点F， ∵， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 15．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，点在线段上，分别交，于点，点在线段上，于点，的角平分线与的角平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟知平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．延长交于点，令的度数为，用分别表示出和，据此得出的度数，再结合求出的值，进一步得出的度数，据此求出的度数即可． 【详解】解：延长交于点， 令的度数为， ． 平分， ． ， ，． ， ∴， ， ． 平分， ， ． ， ． ， ∴， ． ， ． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先在下面方框中画出相应的图形（标注好所需要的字母），并判断此命题是__________命题（填“真”或“假”） ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，若，求的度数． 【答案】（1）①见解析，真命题；②见解析；（2）． 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）①根据题意、结合图形写出已知和求证，再进行判断； ②根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明． （2）根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】解：（1）①如图， 命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题， 故答案为：真命题； ②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴该命题是真命题． （2）解：， ． ， ． 又，可解得． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）， 又，可解得 ． 17．（23-24八年级上·全国·课后作业）判断下列命题的真假，并说明理由． (1)若，则． (2)三角形的三条高线相交于三角形内一点． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据当时，，即可判断命题真假； （2）根据三角形垂线的性质即可判断命题真假． 【详解】（1）解：假命题，利用如下： ∵当时，，当时，， ∴若，则或， ∴该命题是假命题； （2）解：∵锐角三角形的三条高线交于三角形内一点，直角三角形的三条高线交于直角顶点；钝角三角形的三条高线交于三角形外一点， ∴命题三角形的三条高线相交于三角形内一点是假命题． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，三角形垂心的性质，熟知相关知识是解题的关键． 18．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，把按如图的方式进行折叠使点A落到上，． (1)连接，与的位置关系是___________； (2)___________°； (3)计算的度数． 【答案】(1) (2)50 (3) 【分析】本题考查了折叠，三角形外角的性质，解题的关键是： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质求解即可； （3）根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意知：A、D关于对称， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知：A、D关于对称，， ∴， 故答案为：50； （3）解：∵，， ∴ ， 又，， ∴． 19．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如果四边形总在其任意一条边所在直线的同一侧，那么这样的四边形叫做凸四边形，如果四边形不在任意一条边所在直线的同一侧，这样的四边形我们称之为凹四边形．下图为凹四边形． (1)求证：； (2)如果点在线段的另一侧，又会有怎样的结论呢？（只写出结论） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质，熟练三角形的外角性质是解答的关键． （1）连接并延长到E，利用三角形的外角性质求解即可； （2）画出凸四边形，连接，利用三角形的内角和定理即可． 【详解】（1）证明：连接并延长到E， ∵，， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 即． 20．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是两块学生用的三角尺，其中，，．小明在探究角度关系时，把两块三角尺按如图所示方式放置，使得恰好平分，边与边，分别相交于点，，边与边相交于点，求的大小． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：，， ． 又平分， ， ， ． 又， ． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02定义、命题与证明重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 举反例 题型六 定理与证明 题型七写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型八 以代数为背景的推理与论证 题型九 逻辑推理与证明 题型十 三角形内角和定理的证明 题型十一 三角形的外角的定义及性质 拓展训练一 命题相关的判断问题 拓展训练二 三角形相关定义及证明 拓展训练三 证明相关综合问题 知识点一：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）下列语句中，不是命题的是（   ） A．延长线段 B．两点之间，线段最短 C．同位角相等 D．如果，那么 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列语句是真命题的有 （填序号）． ①若，则；②同旁内角互补，两直线平行；③等角的余角相等；④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交与平行两种． 知识点二：逆命题、逆定理 1、逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 2、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 3.公理、定理 4、公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 5、定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 6.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． （23-24·八年级上·浙江湖州·阶段练习）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 ． 知识点三：证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【即时训练】 1.（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 2.（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）给下列各题中的图形命名，并给出名称的定义． (1) (2) (3) 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列句子中哪些是命题? （1）动物都需要水；（2）猴子是动物的一种； （3）玫瑰花是动物；（4）美丽的天空； （5）相等的角是对顶角；（6）负数都小于零； （7）你的作业做完了吗?（8）所有的质数都是奇数； （9）过直线l外一点作l的平行线；（10）如果，，那么． 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式： (1)全等三角形的对应角相等； (2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 1．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 3．（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 4．（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式： (1)等角的补角相等； (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【经典例题三 判断命题真假】 【例1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D．在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 4．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 【经典例题四 举例说明假（真）命题】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 1．（24-25七年级下·天津·开学考试）要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）对于命题“若，则”，能说明它是假命题的的值可以是（   ） A． B． C． D．0 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ． 4．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么． 【经典例题五 举反例】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： (1)两个钝角的和大于平角； (2)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为 ． 4．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【经典例题六 定理与证明】 【例1】（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【例2】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形顶角的平分线与底边不垂直 C．等腰三角形有两条对称轴 D．每个定理都有逆定理 1．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 2．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 【经典例题七 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例1】（23-24八年级上·全国·课前预习）实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 3．（23-24八年级上·广东广州·期末）求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等． （解题要求：补全已知、求证，写出证明） 已知：如图，在中，是边上的中线，________． 求证：________． 证明： 3． （23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）证明：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．（提示：先画出图形，写出“已知”，“求证”，再证明） 【经典例题八 以代数为背景的推理与论证】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【例2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了 ． 1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 2．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … 队 16 13 队 16 13 队 16 13 队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2) 在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛队得5分，队一场未负得3分，队胜队，队胜队，则哪两队会被降级？为什么？ 4．（24-25九年级下·北京·阶段练习）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要 分钟． （2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟． 【经典例题九 逻辑推理与证明】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）电视剧《天才基本法》中出现基于巴什博奕的取子游戏，请你也来玩一玩这样的游戏：如果现在桌上放着2025个棋子，甲、乙两人轮流从中取走棋子，每次可取走1个或2个棋子，甲先取，谁先取到最后一个棋子谁获胜．问谁有获胜策略？他应该怎样操作？ 1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【逻辑推理】警察抓住了4个偷东西的嫌疑人，其中一个人是主谋．在审问时，丁说：甲是主谋．丙说：我不是主谋．乙说：丁是主谋．甲说：我不是主谋．这四个人中只有一个人说了真话．真正的主谋是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26七年级上·广东深圳·开学考试）A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）甲，乙，丙三人进行羽毛球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行，半天训练结束时，发现甲共当裁判11局，乙，丙分别进行了18局，16局比赛，在这半天的训练中，甲，乙，丙三人共进行了 局比赛． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知：正整数能被整除，也能被整除．求证：能被整除． 【经典例题十 三角形内角和定理的证明】 【例1】（23-24八年级上·广西河池·期中）已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【例2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 、2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 、3．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 【经典例题十一 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 、 【例2】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，，，平分交于点D，求的度数． 1．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，，则与相邻的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图， ． 4．（25-26八年级上·全国·周测）如下图，D，E，F分别是三边延长线上的点，．求的度数． 【拓展训练一 命题相关的判断问题】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果，那么 C．三角形三条中线不一定交于一点 D．所有合数都是偶数 【例2】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分． (1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接） (2)证明（1）中的结论． 1．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）下列命题中，其中命题成立有（   ）个． ①同旁内角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个角互余，那么它们的余角也互余 C．若，则 D．两边及夹角分别相等的两个三角形全等 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．该命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【拓展训练二 三角形相关定义及证明】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用： (1)如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． (3)如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 【例2】（23-24七年级下·福建福州·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 1．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）如图，和分别是和的平分线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将图抽象成图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点，若，，的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（   ）（用含有和的代数式表示） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【拓展训练三 证明相关综合问题】 【例1】（2025·湖南长沙·一模）有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8，将这三张牌按任意左右顺序排列，再根据下列步骤操作： 第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动； 第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动； 第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动． 经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（   ） A．红心A B．红心2 C．红心8 D．红心A、红心2、红心8都有可能 【例2】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）将2，3，…，n（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得，求n的最小值． 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）用表示正整数n的各位数字之和．如果不相等的正整数a，b满足，那么的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·北京·期末）本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ． 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．判断命题的真假需要证明 B．举反例是一种证明的方法 C．证明假命题举一个反例即可 D．证明真命题举一个成立的例子即可 2．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是(   ) A．如果，那么点是的中点 B．三条线段分别为，，，如果，那么这三条线段一定能组成三角形 C．三角形的内角和等于 D．如果，那么 4．（23-24八年级上·湖南永州·期中）下列语句中，是命题的是（　　） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线外一点，作直线 D．与相交，则与也相交 5．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）数独是一款风靡全球的逻辑推理填数游戏，起源于18世纪瑞士数学家莱昂哈德•欧拉研究的“拉丁方块”．其玩法规则是在一个的方格网格中，用数字1到9填满整个网格，这个网格又被划分为9个的小宫格，要求每一行、每一列、每一个的小宫格都必须包含数字1到9，且不能重复．如图，在下面的数独游戏中，◆的位置应该填的数字是（   ） A．3 B．6 C．4 D．7 7．（2025·河北邢台·三模）为了验证如图所示的四边形中与所在直线的夹角是否为，如下方案， 方案一：测量出和的度数； 方案二：测量出和的度数． 下列判断正确的是（    ） A．方案一正确、方案二正确 B．方案一不正确、方案二正确 C．方案一正确、方案二不正确 D．方案一不正确、方案二不正确 8．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）以下4位老师分别任教语文、数学、英语和科学．张老师说：我不是语文老师：王老师说：我不教数学；李老师说：我是英语老师：赵老师说：我不是数学老师，也不是科学老师．下面说法不正确的是（   ） A．张老师教科学 B．王老师教科学 C．李老师教英语 D．赵老师教语文 9．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）问题“如图，，，求的度数．”的解法有如下两种方法，下列说法正确的是（    ） 方法Ⅰ ①如图，延长交于点E． ②计算得的值． ③计算即可．    方法Ⅱ ①如图，连接． ②计算得的值． ③计算得的值． ④计算即可．    A．只有Ⅰ对 B．只有Ⅱ对 C．Ⅰ，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对 10．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）下列说法正确的是(    ) A．三角形的角平分线将三角形的面积平分 B．三角形的外角一定大于它的任意一个内角 C．在中，若，则这个三角形是直角三角形 D．若线段垂直平分线段，则线段必垂直平分线段 11．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，有两条直线m、n与直线a相交，已知，根据图形，以a、m、n的两个可能关系分别为条件、结论，写出一个正确的命题如下： ，又 ， ． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）根据下面的条件，写出一个结论，使之成为一个真命题． （1）内错角相等， ． （2）如果，那么 ． 13．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）有16位选手参加象棋晋级赛．每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．如果和棋，每人各积分．比赛全部结束后，积分不少于10分者可以晋级．则本次比赛最多有 名晋级者． 14．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，，交于点M，交于点N，点P在的延长线上，的平分线与的平分线交于点O，则 ． 15．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，点在线段上，分别交，于点，点在线段上，于点，的角平分线与的角平分线交于点，若，则的度数是 ． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先在下面方框中画出相应的图形（标注好所需要的字母），并判断此命题是__________命题（填“真”或“假”） ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，若，求的度数． 17．（23-24八年级上·全国·课后作业）判断下列命题的真假，并说明理由． (1)若，则． (2)三角形的三条高线相交于三角形内一点． 18．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，把按如图的方式进行折叠使点A落到上，． (1)连接，与的位置关系是___________； (2)___________°； (3)计算的度数． 19．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如果四边形总在其任意一条边所在直线的同一侧，那么这样的四边形叫做凸四边形，如果四边形不在任意一条边所在直线的同一侧，这样的四边形我们称之为凹四边形．下图为凹四边形． (1)求证：； (2)如果点在线段的另一侧，又会有怎样的结论呢？（只写出结论） 20．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是两块学生用的三角尺，其中，，．小明在探究角度关系时，把两块三角尺按如图所示方式放置，使得恰好平分，边与边，分别相交于点，，边与边相交于点，求的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$