专题1.1 直线的倾斜角、斜率及其关系重难点题型讲义（2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

专题1.1 直线的倾斜角、斜率及其关系重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的倾斜角 题型二 斜率与倾斜角的变化关系 题型三 已知两点求斜率 题型四 斜率公式的应用 题型五 已知斜率求参数 题型六 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型七 直线方向向量的概念及辨析(平面中)) 题型八 求直线的方向向量(平面中) 拓展训练一 直线的倾斜角与斜率问题 拓展训练二 直线方向向量进阶 知识点一：直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义 （1）在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角. （2）当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为. 2.直线倾斜角的表示 直线的倾斜角通常用表示. 3.直线倾斜角的范围 直线的倾斜角可以是、锐角、直角、钝角，直线的倾斜角的范围是. 【知识剖析】 解读直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义中含有三个条件：（1）x轴的正方向;（2）绕着逆时针方向旋转；（3）小于平角的非负角 2.直线的倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线相对于x轴正方向的倾斜程度． 3.每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，且倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角．相同的倾斜角对应的直线并不唯一． 【即时训练】 1．（24-25高二上·云南文山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的倾斜角为，直线∥l，直线，则直线与的倾斜角分别是 . 知识点二：直线的斜率 1,直线斜率的定义 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3.过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【知识剖析】 1.斜率从“数”的方面刻画了直线相对于x轴（正方向）的倾斜程度. 2.倾斜角为的直线斜率不存在，因此它的倾斜程度不能用斜率来刻画. 【即时训练】 1．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为 ． 【经典例题一 直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 1．（24-25高二上·浙江台州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 2．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为 C．倾斜角为的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为，则 3．（23-24高二上·上海·期末）已知，若直线l：经过点，则直线l的倾斜角为 . 4．（23-24高二上·天津西青·阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，，求第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角？    【经典例题二 斜率与倾斜角的变化关系】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与向上的方向所成的角为，若的倾斜角为，求直线的斜率. 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（22-23高二·全国·课后作业）当 时，直线与直线的夹角为60°． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知直线，，的斜率分别为，，，试判断三条直线斜率的大小关系．    【经典例题三 已知两点求斜率】 【例1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点B且与线段相交．则直线l倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·甘肃武威·期中）已知坐标平面内两点. (1)当为何值时，直线的倾斜角为锐角？ (2)当为何值时，直线的倾斜角为钝角？ 1．（2024·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点的所有直线中，下列说法正确的（    ） A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点 2．（多选题）（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）在中，若直线的斜率为，则角大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·单元测试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥，共有10对拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距，均为16m，最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【经典例题四 斜率公式的应用】 【例1】（2022·北京石景山·模拟预测）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）    A．5 B．7 C．9 D．11 【例2】（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）若，又三点，，共线，求的值． 1．（23-24高二上·北京·阶段练习）三名同学相约在暑期进行了社会实践活动，同去某工厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名同学上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名同学下午的工作时间和加工的零件数，，记为第名同学在这一天平均每小时加工的产品个数，则中最大的（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，，不能构成三角形，则 ． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形，其中点为坐标原点，点、分别在轴和轴上，点在第一象限．求直线和的斜率，并讨论这两个斜率之间的关系． 【经典例题五 已知斜率求参数】 【例1】（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）经过两点的直线的斜率是12，则等于（    ） A． B． C．3 D．1 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 1．（22-23高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标为（    ）． A．或 B．或 C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）经过两点的直线的倾斜角为．若点在直线上，求的值． 【经典例题六 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段相交，求实数的取值范围． 1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知点， 若直线与线段 相交，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一下·重庆沙坪坝·期末）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（    ） A．－8 B．－5 C．3 D．4 3．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与线段（或）的延长线相交，其中，，求直线斜率的取值范围． 【经典例题七 直线方向向量的概念及辨析(平面中))】 【例1】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）倾斜角为45°的直线方向向量是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行? (2)直线的方向向量的坐标为． (3)直线的倾斜角为? 1．（23-24高二上·广东广州·期中）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二上·全国·课后作业）（多选题）已知经过坐标平面内，两点的直线的方向向量为，则实数m的值可以为（　　） A． B．0 C．2 D．3 3．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知经过、两点的直线l的方向向量为，则实数a的值为 ． 4．（23-24高二上·辽宁朝阳·阶段练习）根据下列条件，求直线的倾斜角； (1)斜率为； (2)经过两点； (3)一个方向向量为． 【经典例题八 求直线的方向向量(平面中)】 【例1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知直线的倾斜角为，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求直线的全体方向向量. 1．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（多选题）（24-25高二上·北京顺义·期中）直线的一个方向向量（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知直线经过，，则直线的一个方向向量为 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）求直线的全体方向向量． 【拓展训练一 直线的倾斜角与斜率问题】 【例1】（23-24高二上·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点，求直线的斜率的取值范围． 1．（23-24高二下·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【拓展训练二 直线方向向量进阶】 【例1】（23-24高二上·山西运城·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 1．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知经过点和点的直线的方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（多选题）（22-23高二上·辽宁大连·期中）已知直线：，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个法向量为 D．直线的一个方向向量为 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线过点. (1)当为何值时，直线的斜率是? (2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量． 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·期中）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 7．（多选题）（23-24高二上·安徽黄山·期中）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 9．（多选题）（24-25高二上·江苏南京·期中）直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 10．（多选题）（24-25高二上·广西百色·阶段练习）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 12．（24-25高一上·上海·期末）直线的倾斜角为 . 13．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）已知点，若点在线段上，则的取值范围为 . 14．（24-25高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 15．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为 . 16．（22-23高二·全国·课堂例题）已知平面直角坐标系中的四条直线如图所示，设它们的倾斜角分别为，而且斜率分别为．分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列．    17．（23-24高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线所表示的一次函数的解析式，并判断其倾斜角是锐角还是钝角： (1)，； (2)，． 18．（23-24高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 19．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围． 20．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线过点. (1)当为何值时，直线的斜率是? (2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 直线的倾斜角、斜率及其关系重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的倾斜角 题型二 斜率与倾斜角的变化关系 题型三 已知两点求斜率 题型四 斜率公式的应用 题型五 已知斜率求参数 题型六 直线与线段的相交关系求斜率范围 题型七 直线方向向量的概念及辨析(平面中)) 题型八 求直线的方向向量(平面中) 拓展训练一 直线的倾斜角与斜率问题 拓展训练二 直线方向向量进阶 知识点一：直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义 （1）在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角. （2）当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为. 2.直线倾斜角的表示 直线的倾斜角通常用表示. 3.直线倾斜角的范围 直线的倾斜角可以是、锐角、直角、钝角，直线的倾斜角的范围是. 【知识剖析】 解读直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义中含有三个条件：（1）x轴的正方向;（2）绕着逆时针方向旋转；（3）小于平角的非负角 2.直线的倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线相对于x轴正方向的倾斜程度． 3.每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，且倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角．相同的倾斜角对应的直线并不唯一． 【即时训练】 1．（24-25高二上·云南文山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】由题意直线的斜率为，因此倾斜角为． 故选：C． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的倾斜角为，直线∥l，直线，则直线与的倾斜角分别是 . 【答案】20°，110° 【分析】根据平行直线与垂直直线的位置关系得到倾斜角的关系，即可求解 【详解】因为∥l，所以的倾斜角为. 因为，所以的倾斜角为 故答案为：； 知识点二：直线的斜率 1,直线斜率的定义 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3.过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【知识剖析】 1.斜率从“数”的方面刻画了直线相对于x轴（正方向）的倾斜程度. 2.倾斜角为的直线斜率不存在，因此它的倾斜程度不能用斜率来刻画. 【即时训练】 1．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的斜率为，求解即可. 【详解】由题意，直线的斜率为, 故选：C. 2．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据直线的移动方式求得直线的斜率. 【详解】依题意，直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后， 仍在该直线l上，如下图所示， 所以直线的斜率为. 故答案为： 【经典例题一 直线的倾斜角】 【例1】（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到动直线的定点，由动直线与线段有，结合图形判断出倾斜角的范围. 【详解】将代入得， 将代入得， 所以，不在直线上， 又∵， 所以点在线段上， 直线的方程为：， 直线过定点且斜率一定存在，    故由数形结合可知：或 故倾斜角， 故选：D 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，求的倾斜角. 【答案】 【分析】利用直线的倾斜角的范围是，分类讨论即可得出. 【详解】若，则的倾斜角范围，倾斜角为； 若，则的倾斜角范围，倾斜角为. ∴的倾斜角为. 1．（24-25高二上·浙江台州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为 C．倾斜角为的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】AC 【分析】直接根据倾斜角的定义依次判断得到AC正确，B错误，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：任意一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对选项B：倾斜角的范围是，不可能为负，错误； 对选项C：倾斜角为的直线有无数条，它们都垂直于y轴，正确； 对选项D：当时，；当时，，错误. 故选：AC 3．（23-24高二上·上海·期末）已知，若直线l：经过点，则直线l的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据题意，将点代入直线方程，即可得到结果. 【详解】将代入，可得，解得，所以直线方程为， 设直线l的倾斜角为，则，且，则. 故答案为： 4．（23-24高二上·天津西青·阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，，求第三颗小星的一条边所在直线的倾斜角？    【答案】 【分析】根据5颗星的位置情况知，过作轴的平行线并确定的大小，即可知所在直线的倾斜角. 【详解】都为五角星的中心点， 平分第三颗小星的一个角， 又五角星的内角为知：， 过作轴的平行线，如下图，则，    直线的倾斜角为. 【经典例题二 斜率与倾斜角的变化关系】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合正切图像直接求解即可. 【详解】因为直线的斜率，所以， 又，则，故直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与向上的方向所成的角为，若的倾斜角为，求直线的斜率. 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，斜率为，确定，计算斜率即可. 【详解】如图，设直线的倾斜角为，斜率为，则， 故. 故直线的斜率为. 1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）直线（为常数）的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率的取值范围，根据直线斜率与倾斜角的关系可得出该直线倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 直线的斜率为， 当时，则； 当时，则. 综上所述，该直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 3．（22-23高二·全国·课后作业）当 时，直线与直线的夹角为60°． 【答案】0或 【分析】首先确定已知直线的倾斜角为，再结合直线夹角大小确定含参直线的倾斜角，即可得参数值. 【详解】由的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或，故或. 故答案为：0或 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知直线，，的斜率分别为，，，试判断三条直线斜率的大小关系．    【答案】 【分析】根据题意，由斜率与倾斜角的关系，结合图像即可判断. 【详解】由图可知，的倾斜角小于，的倾斜角大于， 所以，，， 且的倾斜角大于的倾斜角，即， 所以. 【经典例题三 已知两点求斜率】 【例1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点B且与线段相交．则直线l倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合斜率和倾斜角的关系利用数形结合即可求解. 【详解】根据题意，画出图象如图所示;    直线的斜率，则直线的倾斜角为； 直线的斜率，则直线的倾斜角为， 结合图象由条件可得直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 【例2】（22-23高二上·甘肃武威·期中）已知坐标平面内两点. (1)当为何值时，直线的倾斜角为锐角？ (2)当为何值时，直线的倾斜角为钝角？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据斜率公式即可化简求解. 【详解】（1）若倾斜角为锐角，则斜率大于0， 即，解得. （2）若倾斜角为钝角，则斜率小于0， 即，解得. 1．（2024·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点的所有直线中，下列说法正确的（    ） A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点 【答案】C 【分析】分析斜率不存在的直线和斜率为0的直线上的有理点的个数，再在斜率存在且不为0的直线上假设有两个有理点，利用直线的斜率公式推导出矛盾，从而判断各选项． 【详解】显然直线过点且此直线上有无数个有理点，选项D错误； 直线上的所有点都不是有理点， 其它过点斜率存在且不为0的直线上假如有两个有理点，都是有理数， 则此直线的斜率为为有理数，又为无理数，显然，矛盾， 因此此类直线上不可能有两个或以上的有理点．所以AB均错，C正确． 故选：C． 2．（多选题）（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）在中，若直线的斜率为，则角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先计算直线的斜率，然后利用角与直线、的倾斜角的关系，求出角的正切值，最后得到角的取值即可. 【详解】由题可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，则，所以或 故选：BC 3．（24-25高二上·全国·单元测试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥，共有10对拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距，均为16m，最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，即可求解点的坐标，由斜率公式即可求解. 【详解】以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 根据题意，最短拉索的锚，满足，，且均为4.4m， 均为16m，则，即点， 同理，又，即点， 所以，， 即最长拉索所在直线的斜率为． 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】． 【分析】根据角度关系得，再根据两点斜率公式即可求出的坐标，则得到直线倾斜角. 【详解】设．．． 又， ，即． 又，垂直于轴． 直线的倾斜角为． 【经典例题四 斜率公式的应用】 【例1】（2022·北京石景山·模拟预测）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）    A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】观察图象判定斜率大小即可. 【详解】 若果树前n年的总产量与n在图中对应点 则前n年的年平均产量，即为直线OP的斜率， 由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大. 即前9年的年平均产量最高. 故选：C. 【例2】（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）若，又三点，，共线，求的值． 【答案】 【分析】将三点共线转化为以三点确定的两条直线重合，其斜率相同，利用两点的斜率公式列出方程求出. 【详解】试题分析： ∵、、三点共线，∴直线、的斜率相等， ∴， 解之得：． 1．（23-24高二上·北京·阶段练习）三名同学相约在暑期进行了社会实践活动，同去某工厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名同学上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名同学下午的工作时间和加工的零件数，，记为第名同学在这一天平均每小时加工的产品个数，则中最大的（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意，可将均值问题转化为对应线段中点与原点的斜率问题，通过数形结合即可比较大小 【详解】设,， 根据题意可知表示第名同学早上的工作时间，表示第名同学早上的加工零件数； 同理，表示第名同学下午的工作时间，表示第名同学下午的加工零件数. 所以， 因此，可理解为线段中点与原点连线的斜率（如图） 因此，由图可以看出最大 故选：B 2．（多选题）（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，，不能构成三角形，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形，其中点为坐标原点，点、分别在轴和轴上，点在第一象限．求直线和的斜率，并讨论这两个斜率之间的关系． 【答案】 【分析】根据已知建系，先根据两点求斜率公式求出斜率，最后找到斜率关系即可. 【详解】   如图建系， 【经典例题五 已知斜率求参数】 【例1】（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）经过两点的直线的斜率是12，则等于（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】由斜率公式可得答案. 【详解】由题可得，由斜率公式， . 故选：A 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）根据直线斜率与直线倾斜角的关系，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由直线的斜率，可得，即． （2）当时，直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当时，； 当时，， 又直线的倾斜角为，则有或， 所以直线的倾斜角的取值范围是或． 故直线的倾斜角的最小值为． 1．（22-23高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标为（    ）． A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】设出点的坐标，根据过两点直线的斜率公式即可求出答案. 【详解】设或，∴或， 即或，解得或， ∴点的坐标为或. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意设点B的坐标为或，根据斜率公式计算即可． 【详解】当点B在轴上时，设，由，可得，解得，， 当点B在轴上时，设，由，可得，解得， ， 所以点B坐标为或. 故选：BC. 3．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 【答案】 【分析】利用倾斜角和斜率的关系、斜率公式计算即可得解. 【详解】解：由题意，直线的斜率为， ∵为直线上的点， ∴由斜率公式得， 解得：. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）经过两点的直线的倾斜角为．若点在直线上，求的值． 【答案】， 【分析】由求得，然后由列式求解. 【详解】，解得，所以． 又三点共线，所以，所以． 即，. 【经典例题六 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出直线的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，则直线的斜率，直线的斜率，    因为直线过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段相交，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据给定条件，利用公式求出，结合的取值情况求出范围. 【详解】设直线与线段相交于点， 当P不与重合时，由，得，解得或， 当直线过点时，，即；当直线过点时，，即， 所以实数的取值范围是. 1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知点， 若直线与线段 相交，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得直线过定点，求得，，数形结合可求的取值范围. 【详解】由直线方程，可知直线过定点， ，， 作出示意图如图所示：直线与线段相交，    则可得或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高一下·重庆沙坪坝·期末）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（    ） A．－8 B．－5 C．3 D．4 【答案】AD 【分析】根据题意，做出图形，分析直线斜率可知，再利用斜率公式求解，即可. 【详解】解：由于直线l过点且斜率为k，与连接两点，的线段有公共点，则，，由图可知， 时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合． 故选：AD． 3．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式求出，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围. 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示，    因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与线段（或）的延长线相交，其中，，求直线斜率的取值范围． 【答案】 【分析】解法1：数形结合，根据直线的倾斜角与斜率的变化关系求斜率的取值范围. 解法2：先求直线与线段有公共点时斜率的取值范围，再求其补集即可. 解法3：根据，在直线的两侧，列不等式求解. 【详解】解法1：直线过定点， 如图，因为直线与线段（或）的延长线相交，所以或．    因为， 所以或． 即. 解法2 ：当直线与线段相交时，或，即或； 当直线与线段平行时，． 所以当直线与线段（或）的延长线相交时，且． 即. 解法3：因为直线： 设 由于直线不与线段相交，故， 即，即，解得．且. 即. 【经典例题七 直线方向向量的概念及辨析(平面中))】 【例1】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）倾斜角为45°的直线方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到直线的斜率为，由直线的方向向量的定义，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为45°，可得直线的斜率为， 对于A中，若直线的方向向量为，都可直线的斜率为，所以A不符合题意； 对于B中，若直线的方向向量为，都可直线的斜率为，所以B不符合题意； 对于C中，若直线的方向向量为，都可直线的斜率为，所以C不符合题意； 对于D中，若直线的方向向量为，都可直线的斜率为，所以D符合题意. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行? (2)直线的方向向量的坐标为． (3)直线的倾斜角为? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用斜率公式及直线的方向向量的概念求解． 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以． （2）直线的方向向量的坐标为，故，即，解得． （3）由题意可知，直线的斜率，即，解得． 1．（23-24高二上·广东广州·期中）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即得. 【详解】由直线的方向向量，得直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2．（多选题）（22-23高二上·全国·课后作业）（多选题）已知经过坐标平面内，两点的直线的方向向量为，则实数m的值可以为（　　） A． B．0 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率，构造不等式求出参数的取值范围即可. 【详解】由题意知直线的斜率一定存在，设直线的斜率为， 由，两点知, 由直线的方向向量为，可得过点、直线的斜率为， ∵，∴ ，即 解得， 则实数m的值可以为0，2，3， 故选：BCD. 3．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知经过、两点的直线l的方向向量为，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】由已知得出，进而根据已知条件、结合向量共线列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又直线l的方向向量为， 所以，与共线， 所以有，解得. 故答案为：. 4．（23-24高二上·辽宁朝阳·阶段练习）根据下列条件，求直线的倾斜角； (1)斜率为； (2)经过两点； (3)一个方向向量为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由斜率和倾斜角的关系求倾斜角； （2）由直线的斜率公式求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角； （3）由方向向量的定义求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角. 【详解】（1）设直线的倾斜角为， ∵直线的斜率为，∴， 又∵，∴； （2）由已知得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， ∵，∴； （3）由直线的一个方向向量为，可得斜率， ∵，∴. 【经典例题八 求直线的方向向量(平面中)】 【例1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知直线的倾斜角为，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的方向向量求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的一个方向向量为， 与其共线的有， 故选：B 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求直线的全体方向向量. 【答案】的非零实数倍 【分析】根据直线方向向量的概念求解即可. 【详解】直线上任意两点，的坐标满足 ，即. 方向向量， 其中可以取任意非零实数. 所以斜率为k的直线的方向向量为的非零实数倍. 1．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线倾斜角与斜率关系和方向向量与斜率关系求出即可； 【详解】由直线的倾斜角为可得直线的斜率为， 又方向向量，即，解得. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高二上·北京顺义·期中）直线的一个方向向量（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】若直线斜率为，则为直线的一个方向向量，同时与向量平行的非零向量都是直线的方向向量，由此可确定选项. 【详解】由直线方程可得直线斜率，故直线的一个方向向量为. 由向量与向量平行，可知也是直线的方向向量. 故选：CD. 3．（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知直线经过，，则直线的一个方向向量为 . 【答案】（或的共线向量均可） 【分析】由直线方向向量的定义求解即可. 【详解】解：因为直线经过， 所以直线的一个方向向量为. 故答案为：（或的共线向量均可） 4．（23-24高二上·全国·课后作业）求直线的全体方向向量． 【答案】，其中为任意非零实数 【分析】根据方向向量与直线斜率的关系即可得到答案. 【详解】（方法一）直线方程化为斜截式，得，其斜率． 因此直线的全体方向向量为，其中为任意非零实数． 即，其中为任意非零实数. （方法二）直线上任意两点，的坐标满足等式 ，① ．② ②①得．③ 将③式的左边写成数量积的形式，得 ．④ 当P，Q两点不重合时， 代表了直线的全体方向向量， 由④式可知，与向量垂直，因此这条直线与向量垂直． 由得到向量与向量垂直， 因此是直线的一个方向向量， 直线的全体方向向量为，其中为任意非零实数． 【拓展训练一 直线的倾斜角与斜率问题】 【例1】（23-24高二上·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角的正切值为斜率，结合正切函数的图像即可求出倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，其中，可得， 因为，即， 结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角． 故选：A. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点，求直线的斜率的取值范围． 【答案】或． 【分析】法1，根据给定条件，利用斜率坐标公式，结合几何图形求出范围；法2，设出过点的直线方程，由及建立不等关系求解. 【详解】法1，如图1，由直线与线段有公共点，得的位于直线与直线形成的区域内． 当的倾斜角小于时，；当的倾斜角大于时，， 由点，得， 所以的取值范围是或. 法2，定理：已知点、及不过点的直线， 且直线与交于点，则. 设，由，得，则， 而，则，解得， 当点在线段（不含端点）时，； 当点在线段的延长线时，； 当点在线段的延长线时，； 若点与点重合，则；若点与点重合，则；若点趋于无穷远处，则． 依题意，设过点的直线方程为，而， 因此，即，解得或， 当直线过点时，，过点时，， 所以的取值范围是或. 1．（23-24高二下·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】由于点满足关系式，且， 可知在线段上移动，且 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A.    2．（多选题）（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】CD 【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错； B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对； D：过，两点的斜率为：，对. 故选：CD. 3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 【答案】/ 【分析】根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由直线l经过，两点， 则直线的斜率， 所以直线的斜率， 由，所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 【拓展训练二 直线方向向量进阶】 【例1】（23-24高二上·山西运城·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率建立方程求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，故. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 【答案】(1)答案见解析． (2) 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 1．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知经过点和点的直线的方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据已知条件、结合向量共线列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由题过点和点的直线的方向向量为， 所以. 故选：D 2．（多选题）（22-23高二上·辽宁大连·期中）已知直线：，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个法向量为 D．直线的一个方向向量为 【答案】BD 【分析】将直线方程化简为一般式得到，截距为，的一个方向向量为，D正确，计算得到C错误，得到答案. 【详解】直线：，则，，，故，A错误， 直线在轴上的截距为，B正确. ，故直线的一个方向向量为，D正确； ，C错误. 故选：BD. 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为 【答案】 【分析】根据直线方向向量的概念和向量共线的坐标表示列方程组求解即可. 【详解】由题意可得， 因为直线的一个方向向量坐标为， 所以，即，解得， 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线过点. (1)当为何值时，直线的斜率是? (2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量． 【答案】(1) (2)，此时直线的一个方向向量为 【分析】（1）根据两点求斜率的公式列方程，从而求得. （2）根据倾斜角为列方程求得，再根据方向向量的知识求得直线的一个方向向量. 【详解】（1）由，解得， 所以当时，直线的斜率是. （2）若直线的倾斜角为，则， 此时直线的方程为，与轴平行， 所以直线的一个方向向量为. 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率的取值范围求倾斜角的范围. 【详解】设直线的斜率为，则， 故，而，故， 故选：C. 2．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 3．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，再数形结合分析得解. 【详解】 由题得，， 因为直线与连接，两点的线段总有公共点， 结合图可知，. 故选：C 4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得答案. 【详解】因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则 ， 所以 ， 故选：D 5．（24-25高二上·重庆·期中）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向向量可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设倾斜角为， 因为直线的方向向量是，则直线的斜率， 故倾斜角的正切值为， 且，所以的倾斜角为. 故选：A. 6．（多选题）（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ACD 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解. 【详解】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确； 对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误； 对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确； 对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确； 故选：ACD. 7．（多选题）（23-24高二上·安徽黄山·期中）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论. 【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，， 由倾斜角定义知，，，，故C正确； 由，知，，，，故B正确； 故选：BC 8．（多选题）（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【分析】先作出直线与线段的延长线，再结合图像观察即可得解. 【详解】由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点， 则， 又， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：ABC. 9．（多选题）（24-25高二上·江苏南京·期中）直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 【答案】ABD 【分析】分别计算出直线过点,时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】已知，，根据直线斜率公式，可得. 已知，，根据直线斜率公式，可得. 根据题意，直线与线段有交点，则. 故选：ABD. 10．（多选题）（24-25高二上·广西百色·阶段练习）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由直线方程求出其斜率，写出直线的全体方向向量的表示式，逐一验证选项即得. 【详解】由，可得，直线的斜率为， 则直线的方向向量可表示为，， 当时，可得直线的方向向量为，故B正确，A错误； 当时，可得直线的方向向量为，故C正确，D错误. 故选：BC. 11．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合，观察倾斜角的变化情况确定斜率的变化情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·期末）直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）已知点，若点在线段上，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据的几何意义，作图分析可知. 【详解】表示过点和点的直线斜率， 如图， 因为，结合图形可知或， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．（24-25高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 15．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为 . 【答案】/ 【分析】由方向向量得斜率，从而得倾斜角． 【详解】由题意直线的一个方向向量是， 则直线的斜率为，因此倾斜角为. 故答案为：． 16．（22-23高二·全国·课堂例题）已知平面直角坐标系中的四条直线如图所示，设它们的倾斜角分别为，而且斜率分别为．分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列．    【答案】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，结合直线的图象，可得， 因为， 又因为正切函数在递增且函数值大于0，在递增且函数值小于0， 所以． 17．（23-24高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线所表示的一次函数的解析式，并判断其倾斜角是锐角还是钝角： (1)，； (2)，． 【答案】(1)；倾斜角是锐角. (2)；倾斜角是钝角. 【分析】（1）根据题意，设函数式为，然后代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设函数式为，然后代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）设函数式为，则，解得， 所以函数式为，因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角. （2）设函数式为，则，解得， 所以函数式为，因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为钝角. 18．（23-24高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 19．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）已知两点，过点的直线与线段有公共点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，从而可求得答案； （2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）因为，， 所以 因为直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以直线的斜率的取值范围是．    （2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是， 所以的取值范围是． 20．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线过点. (1)当为何值时，直线的斜率是? (2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量． 【答案】(1) (2)，此时直线的一个方向向量为. 【分析】（1）根据直线的斜率列方程，从而求得. （2）根据直线的倾斜角列方程，由此求得，并求得此时直线的一个方向向量. 【详解】（1）依题意，且，解得. （2）若直线的倾斜角为，则， 此时直线的方程为，与轴平行， 所以此时直线的一个方向向量为. 学科网（北京）股份有限公司 $$