专题1.2 直线的方程重难点题型讲义（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

专题1.2 直线的方程重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的点斜式方程及辨析 题型二 直线两点式方程及辨析 题型三 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型四 直线的一般式方程及辨析 题型五 由一般式方程判断直线的平行 题型六 由一般式方程判断直线的垂直 题型七 由两条直线平行求方程 题型八 由两条直线垂直求方程 题型九 直线过定点问题 拓展训练一 直线方程及其应用 拓展训练二 根据方程判断直线位置关系 拓展训练三 根据直线的位置关系求方程 知识点一：直线方程的点斜式 1.直线的方程 一般地,如果一条直线l上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程. 2.直线方程的点斜式 (1)直线l经过点P(x0,y0),且斜率是k,则直线l的方程是y-y0=k(x-x0).这个方程是由直线上的一点和斜率(一个方向)所确定的,称为直线方程的点斜式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 【即时训练】 1．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）过点，倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般方程可得. 【详解】由题可得直线的斜率为， 所以直线方程为：， 化简可得：； 故选：B 2．（2023高三·全国·专题练习）经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的方程为 ； 【答案】或． 【分析】根据题意，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】由题意，可知所求直线的斜率为．又过点， 由点斜式得或． 故答案为：或 知识点二：直线方程的两点式 1.直线方程的两点式 经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程为,我们把这个方程称为直线方程的两点式. 2.平行于坐标轴的直线方程 (1)若x1=x2,y1≠y2,则P1P2与x轴垂直,此时直线l的方程为x=x1; (2)若y1=y2,x1≠x2,则P1P2与y轴垂直,此时直线l的方程为y=y1. 【知识剖析】 (1)两点式方程与这两个点的顺序无关． (2)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 (3)把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 【即时训练】 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程． 【详解】把坐标代入两条直线和,得 ,, , 过点,的直线的方程是：, ,则, ,, 所求直线方程为：． 故选 ：A. 2．（23-24高三上·四川雅安·期中）若直线l：经过直线在第一象限上的点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过l过定点，及直线与坐标轴的交点，求得斜率范围，即可求解. 【详解】因为直线与坐标轴交于点，，直线l恒过点，所以，所以． 故选：A 知识点三：直线方程的一般式 1.直线方程的一般式 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于x,y的二元一次方程. 我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线方程的一般式. 2.直线方程的一般式的书写格式 (1)对于直线方程的一般式,有如下约定:一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列;x项的系数一般为正;x项、y项的系数和常数项一般不出现分数. (2)直线方程的其他形式都可以化成一般式,因此在解题时,如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式. 【知识剖析】 (1) 方程Ax+By+C=0表示直线的条件是：A,B不同时为0,即A2+B2≠0. (2) 直线方程的一般式能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都不能表示与x轴垂直的直线. 【即时训练】 1．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据纵截距求解出的值，然后由直线方程求解出斜率. 【详解】因为的纵截距为，所以直线经过， 所以，所以， 所以斜率， 故选：D. 2．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为 . 【答案】 【分析】根据直线倾斜角得到，代入点坐标得到答案. 【详解】直线的倾斜角为，，则，， 直线的倾斜角为，，直线过点， 故直线方程为，即. 故答案为：. 【经典例题一 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与轴平行． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）首先直线倾斜角和斜率的关系，求解直线的斜率，再写出点斜式直线方程； （2）由题意判断斜率不存在，根据直线所过的定点，写出直线方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 直线的倾斜角为， 所求直线的倾斜角为，故其斜率为． 所求直线的点斜式方程为. （2）与轴平行的直线，其斜率不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为． 1．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 2．（24-25高二上·安徽·期中）已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式可得边的中点坐标为，可得边上的中线的斜率，由点斜式可得边上的中线所在直线的方程. 【详解】因为， 设边的中点为，则，即， 又，所以， 故边上的中线所在直线的方程为，即． 故选：D. 3．（24-25高二·全国·课后作业）直线过点，且与直线：的夹角为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】由题设可得直线的倾斜角为或，结合倾斜角与斜率关系及点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，直线斜率为，则其倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或，且过， 故直线的方程为或，即或. 故答案为：或 4．（24-25高二上·重庆·期中）在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的坐标，由题意可得出，利用斜率公式可求出实数的值； （2）求出线段的中点的坐标，可求出直线的方程，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】（1）由题意，直线的中点为，则， 因为，则，即，解得. （2）由（1）知点，线段的中点为，所以，， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即. 【经典例题二 直线两点式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【答案】答案见解析 【分析】结合题意利用两点式方程求出三边所在直线方程即可. 【详解】因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 因为直线过点，， 所以直线方程为，即; 因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 另解: 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 则边所在直线的方程为，整理得. 1．（23-24高二·全国·课后作业）若直线过点和，且点在直线上，则的值为（     ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 【答案】A 【分析】根据直线过点和，由直线的两点式方程化简得，然后将点代入方程，求解得出的值. 【详解】解：因为直线过点和， 由直线的两点式方程，得直线的方程为， 化简得：， 由于点在直线上，将点代入方程， 得， 解得：. 故选：A. 【点睛】本题考查直线的两点式方程的求法和应用，属于基础题. 2．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两直线的一般式中的常数项均变为，验证，的坐标是否均满足该直线的方程即可判断. 【详解】直线：，直线：， 两式相减可得. 因为点，的坐标都满足该直线的方程，故点，都在该直线上. 所以直线的方程为. 故选：. 【点睛】本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力. 3．（23-24高一下·广西钦州·期末）已知三个顶点的直角坐标为分别为，，，则边上的中线所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】由中点坐标公式求得的中点的坐标，结合的坐标写出边上的中线所在直线的两点式，化为一般式得答案． 【详解】，， 的中点的坐标为，又， 由直线方程的两点式得边上的中线所在直线方程为． 整理为一般式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了中点坐标公式的应用，直线方程的两点式，训练了两点式与一般式的互化，是基础题． 4．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知的三个顶点. （1）求边上高（为垂足)所在直线的方程； （2）求边上的中线 (为的中点)所在直线方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求直线的斜率，再结合直线垂直于直线得的斜率，最后根据点斜式求方程； （2）根据中点坐标公式求点的坐标，再根据两点式求方程即可； 【详解】解：（1）因为，直线垂直于直线， 所以， 所以所在直线的方程为，整理得， 所以边上高（为垂足)所在直线的方程为. （2）由中点坐标公式得， 所以根据两点式方程得中线的方程为：，整理得. 所以边上的中线 (为的中点)所在直线方程为. 【经典例题三 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例1】（23-24高一下·湖南长沙·期末）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】由题意设直线的方程为，然后求出直线与坐标轴的交点坐标，再由直线与两坐标轴相交所得三角形面积为1，列方程可求出的值，从而可得直线的条数 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为， 令，解得；令，解得. ， 化为，即①，②， 由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解. 因此直线共有2条. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据直线过点，再由斜率公式计算即可； （2）根据直线，设直线方程为，再计算直线与轴的交点坐标，然后根据面积求解即可. 【详解】（1）易知直线过点， 则直线的斜率为， 解得． （2）由题可知直线的斜率为2， 故设直线的方程为． 易知直线与轴的交点坐标分别为，， 则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 解得． 所以直线的方程为或． 1．（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 所以，直线交轴于点，交轴于点. 由题意可得，即. ①当时，可得，即，； ②当时，可得，即，. 综上所述，符合条件的直线有条. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 2．（2024高三·全国·专题练习）直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，可得；令，可得，可得，，解出即可． 【详解】解：令，可得；令，可得， ，， 解得，且． 故选：． 【点睛】本题考查了直线的截距意义、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 3．（24-25高二·全国·课后作业）已知直线l过点，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程. 【详解】设直线的方程为, 因为点在直线上， 所以①， 因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为10， 所以②， 由①②可解得或， 故直线的方程为或， 即或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题. 4．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据两直线垂直斜率关系求参； （2）先求出直线在坐标轴的截距，再结合面积公式应用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）由已知得的斜率为， 因为与直线垂直，所以， 解得． （2）令，得，令，得， 由且，解得． 所以与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 令，则，所以， 所以 当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小 此时的方程为 ，即． 【经典例题四 直线的一般式方程及辨析】 【例1】（2024·全国·高考真题）如果，，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解. 【详解】由，得， 又，， 则符号相反，符号相反， 所以符号相同， 所以直线的斜率，在轴上的截距， 所以直线不通过第三象限. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点O对称. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得的斜率，从而得到边上高所在直线的斜率，进而求得边上的高所在直线的方程. （2）先判断出直线l经过边AC的中点，进而求得直线的方程. 【详解】（1）因为B，C关于原点O对称，所以，， 所以边上高所在直线的斜率为， 因为，所以BC边上高所在直线的方程为， 所以BC边上高所在直线的一般式方程为. （2）因为过点的直线平分的面积， 所以直线l经过边AC的中点， 又，所以直线l的方程 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程. 【详解】由直线PA的方程为， 当时，；当时，，所以， ∵， ∴点在线段的垂直平分线，即直线上， ∴， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为，即． 故选：A. 2．（多选题）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率以及 轴截距判断即可； 【详解】因为，,所以 所以， 令 所以直线经过一三四象限. 故选：ACD. 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程 ． 【答案】 【分析】根据，得出所求直线方程. 【详解】因为直线和直线都过点， 所以，. 由上式可得点和点都在直线上， 即过点和点的直线方程为. 故答案为： 4．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先确定直线过定点，再根据条件，求斜率的取值范围； （2）首先分别求直线与坐标轴的交点，并表示的面积，即可求直线的斜率和方程. 【详解】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 【经典例题五 由一般式方程判断直线的平行】 【例1】（23-24高二·全国·单元测试）已知，直线与直线平行 ，则（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】将两条直线中的系数化为相同，根据条件则的系数相等，常数不同. 【详解】与直线可以化为 而直线可化为 直线与直线平行 所以且. 故选：B 【点睛】本题考查两直线平行的条件的探索，属于基础题. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）方程在a取不同实数时，对应不同的直线，这些不同的直线的位置关系如何？在平面直角坐标系中，分别作出时方程表示的直线． 【答案】这些不同的直线的位置关系为平行，图像见解析. 【分析】依据两直线平行判定充要条件即可解决. 【详解】a取不同实数时，方程对应不同的直线， 这些不同的直线斜率相同，均为，y轴截距不同，为. 故这些不同的直线的位置关系为平行. 时方程表示的直线如下图所示：    1．（23-24高一下·山东淄博·期末）已知直线与平行，则实数（    ） A． B． C．或 D．2或 【答案】B 【分析】由两直线平行斜率与截距之间的关系求解即可 【详解】显然 或 时两条直线不平行， 由题意可得 ，解得 ， 故选：B 2．(多选题)（22-23高二上·甘肃兰州·期中）（多选题）下列直线中，一定与直线平行的是（    ） A． B． C．（） D．（） 【答案】AD 【分析】利用直线平行的条件进行判定. 【详解】即； 即； （）即； （）即. 令，解得,令,得,无解. 当两直线方程中的系数对应相等时，两直线平行的充分必要条件是其常数项不相等， 故AD中的直线与已知直线平行，C中的直线可能与已知直线重合， B中的直线与已知直线的对应不成比例，故而不平行. 故选：AD. 3．（24-25高二上·全国·课前预习）若直线和直线的位置关系为 . 【答案】平行 【分析】将直线方程化为斜截式，利用两直线平行的判定判断即可. 【详解】直线即，直线即， 显然两直线斜率相等，纵截距不等， 故直线和直线的位置关系为平行. 故答案为：平行 4．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，得到，即可求解； （2）由，求得，再结合两平行线间的距离公式，求得的值即可求解. 【详解】（1）由题意，直线，， 因为，可得，解得. （2）由直线，， 因为，可得，可得， 此时直线， 又由间的距离为， 根据两平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以直线的斜截式方程为或. 【经典例题六 由一般式方程判断直线的垂直】 【例1】（2024高二·江苏·专题练习）直线和直线的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不确定 【答案】A 【分析】根据和分类讨论即可． 【详解】解：当时， 当时，，， 则，则． 综上，知， 故选：A． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【答案】(1)两直线互相垂直. (2)两直线不互相垂直. 【分析】以两直线垂直充要条件去判断两直线是否垂直即可解决. 【详解】（1） ，故两直线互相垂直. （2） ，故两直线不互相垂直. 1．（23-24高二上·浙江温州·期末）下列直线中与直线垂直的一条是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论. 【详解】解：已知直线的斜率为， 而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积等于，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A满足条件； 而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B不满足条件； 而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C不满足条件； 而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D不满足条件， 故选：A. 【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题. 2．（多选题）（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线（ ） A．直线与直线平行 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线垂直 【答案】AD 【分析】由直线平行和垂直的判定依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，与斜率相同，但截距不同，与平行，A正确； 对于B，，与不平行，B错误； 对于C，，与不垂直，C错误； 对于D，，与垂直，D正确. 故选：AD. 3．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）若直线与直线垂直，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据两直线垂直列方程，求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，解得， 故答案为：. 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，直线，且，求m的值． 【答案】6或-1 【分析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以， 即，解得或. 【经典例题七 由两条直线平行求方程】 【例1】（24-25高二上·四川眉山·期末）过点，且与直线平行的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由设所求直线方程是，再根据所求直线过点求解. 【详解】解：因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线方程是， 又因为所求直线过点， 代入直线方程得：， 所以所求直线方程为， 故选：D 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知点不在直线上，直线过点，且，证明：直线的方程可以写成． 【答案】证明见解析 【分析】根据两点斜率公式，结合直线平行满足的斜率关系即可求解. 【详解】证明:直线的斜率为． 设点是直线上除点之外的任意一点，所以，化简得． 显然点也满足此方程，所以直线的方程可以写成．故得证． 1．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用待定系数法求解即得. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 于是，解得， 所以所求方程为. 故选：C 3．（22-23高三·全国·对口高考）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据平行关系可设直线为，计算与两坐标交点，根据面积公式求即可. 【详解】    由题意可设方程为：， 令，得， 令，得， 由题意知：， 得， 故直线方程为：， 故答案为： 4．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 【经典例题八 由两条直线垂直求方程】 【例1】（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知直线l的方程为，则过点且与l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直设所求直线方程为，代入已知点坐标求得参数即得． 【详解】设所求直线方程为， 又直线过点，所以，， 所以直线方程为， 故选：C． 【例2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标. (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】（1）边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程;， 即与联立，， 解得：，顶点的坐标为； （2）所在直线方程为，设点， 是中点，，， 在所在直线方程为上， ,解得：,， 的方程为：，即. 1．（24-25高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【详解】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 2．（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由直线与直线垂直，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：B 3．（23-24高一·全国·课后作业）经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为 ． 【答案】x-2y=0 【分析】解法1：根据已知条件可以求出与之垂直的直线的斜率，然后代入点斜式求出直线方程，解法2：根据两直线位置关系，直接设出直线方程，代入经过点坐标即可求出结果. 【详解】解法1：已知直线的斜率=-2， 所求直线与已知直线垂直， 故所求直线的斜率， 根据点斜式得所求直线的方程是，即 解法2：因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点 A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是， 故答案为： 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. (1)与直线：垂直； (2)两坐标轴上截距相反. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由两条直线垂直求出所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程即可； （2）分截距为零和截距不为零两大类进行讨论求解即可. 【详解】（1）因为，，所以， 则直线的方程为，即. （2）当两坐标轴上截距为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得， ∴，即. 当两坐标轴上截距不为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得，∴，即. 综上，直线的方程为或. 【经典例题九 直线过定点问题】 【例1】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为，据此可得定点坐标. 【详解】， 令，解得，则所过定点为. 故选：C 【例2】（2023高二上·全国·专题练习）若，且a，b不同时为0，求证：直线必过一个定点. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合条件，代入直线方程计算，即可证明直线过定点. 【详解】证明：因为，且不同时为0， 不妨设，则. 代入直线方程，得， 即， 此方程可视为过直线与的交点的直线系方程(不包括直线). 解方程组，解得， 即两条直线的交点的坐标为. 故直线必过定点. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 2．（23-24高二上·北京昌平·期中）已知直线， 则下述论断正确的是（    ） A．直线不可能经过坐标原点 B．直线的斜率可能为0 C．直线的倾斜角不可能是 D．直线恒过定点 【答案】D 【分析】当时，经过坐标原点；若，由斜率判断B；当，斜率不存在，从而判断C；将点代入直线方程判断D. 【详解】当时，经过坐标原点，故A错误； 若，直线的斜率存在，且斜率，不可能为0，故B错误； 若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角是，故C错误； 将点代入直线方程得：，即直线恒过定点，故D正确； 故选：D 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线的斜率k与直线在y轴上的截距b相等，则该直线一定经过的点是 . 【答案】 【分析】设直线方程为，由得直线恒过定点. 【详解】设直线方程为，， ，当时，， ∴直线一定经过点. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不过定点，证明见解析 【分析】（1）先令，的系数同时为时得到，即得时方程表示一条直线； （2）由（1）知时的系数为，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果； （3）分别求出斜率不存在和斜率为时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点. 【详解】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 【拓展训练一 直线方程及其应用】 【例1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，，则直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知的两点求出直线的方程，将代入直线方程即可求解轴上的截距. 【详解】因为直线经过两点和，则直线方程为，化简得， 令，则直线在轴上的截距为. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线经过点和. (1)求的一般式方程； (2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据两点式方程可得； （2）先求中点的坐标，再根据得的斜率，进而可得的斜截式方程. 【详解】（1）由题意得的两点式方程为， 化为一般式方程为. （2）设，的斜率分别为，. 由题意得中点的坐标为， 由，得，则. 因为，所以，得. 故的斜截式方程为. 1．（23-24高二·全国·课后作业）下列不可以表示与轴垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表示与轴垂直的直线方程的特征和点斜式方程的适用范围进行求解即可. 【详解】对于A，即表示与轴垂直的直线，故A不符合题意； 对于B，表示轴，与轴垂直，故B不符合题意； 对于C，即表示与轴垂直的直线，故C不符合题意； 对于D，对于斜率不存在的直线，其方程不能用点斜式表示，故D符合题意. 故选：D 2．（多选题）（24-25高二上·海南·期中）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】由图像逐项判断即可. 【详解】对于A：由图像判断，符合，正确； 对于B：，在轴上的截距为1，图像不符合；错误； 对于C：由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为，结合图像可得：，图像符合；正确； 对于D: 由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为， 结合图像可知：，即，此时的图像矛盾，错误； 故选：AC 3．（23-24高二下·上海·课后作业）若直线经过点，且与向量垂直，则的点方向式方程为 ． 【答案】 【分析】由直线经过点，且与向量垂直，结合向量的垂直的条件，即可求解. 【详解】由题意，直线经过点，且与向量垂直， 则其方程为，即， 所以的点方向式方程为. 【点睛】本题主要考查了直线的点方向式方程，其中解答中掌握直线的点方向式方程是解答的关键，着重考查计算能力. 4．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知的顶点分别为． (1)求边的中线所在直线的方程； (2)求边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由点斜式可得直线方程； （2）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由垂直可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程； 【详解】（1）设中点的坐标为，则，，所以， 边的中线过点两点， 所以， 所以所在直线方程为， 即； （2）因为的斜率， 所以的垂直平分线的斜率， 所以的垂直平分线所在直线的方程为， 即． 【拓展训练二 根据方程判断直线位置关系】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知直线，动直线 ，则下列结论中正确的是（    ） ①存在，使得的倾斜角为90° ②对任意的，与都有公共点 ③对任意的，与都不重合 ④对任意的，与都不垂直 A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②④ 【答案】A 【解析】根据直线一般式方程下的位置关系判断标准依次判断即可得答案. 【详解】解：对于动直线，当时，斜率不存在，倾斜角为，故①正确； 由方程组可得，对任意的，此方程有解，可得与有交点，故②正确； 因为当时，成立，此与重合，故③错误； 由于直线的斜率为1，动直线l2的斜率为，故对任意的，与都不垂直，故④正确． 故选：A. 【点睛】对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）； 当直线时，等价于； 当直线时，等价于； 【例2】（23-24高二上·上海金山·阶段练习）已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 【答案】答案见解析. 【分析】以是否为0判断两条直线相交或不相交，注意考虑垂直的情况；当时，判断两直线平行或重合. 【详解】令，解得，所以当时，与相交； 当时，与互相垂直； 令，解得； 当时，的方程为，的方程为，与重合； 当时，的方程为，的方程为，此时； 所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当时，． 1．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【答案】D 【分析】根据直线方程及直线平行的判定判断两直线的位置关系. 【详解】当时，直线与重合； 当时，直线与平行； 所以，题设两直线重合或平行. 故选：D 2．（多选题）（24-25高二·全国·课后作业），是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况说法错误的是（    ） A．无论k，，如何，总是无解 B．无论k，，如何，总有唯一解 C．存在k，，使，是方程组的一组解 D．存在k，，使之有无穷多解 【答案】ACD 【分析】利用代入法，结合直线斜率的公式，直线与直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】由题意则， 因为直线的斜率存在，所以，， 因此直线不平行， 所以方程组总有唯一解．故A，D错误，B正确． 若是方程组的一组解，则 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，这两条直线不是同一条直线， 所以不可能是方程组的一组解，C错误． 故选：ACD 3．（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，若，则实数 ． 【答案】或 【分析】由直线的一般式方程及两条直线垂直的条件可列出方程，解方程得到的值. 【详解】因为直线，所以，解得或． 故答案为：或 4．（23-24高二·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)与垂直； (2)与垂直； (3)与不垂直； (4)与不垂直. 【分析】（1）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可； （2）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可； （3）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可； （4）根据方程可得与平行. 【详解】（1）因为，， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直， （2）因为，， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直， （3）因为，， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与不垂直， （4）因为，， 所以与平行，不垂直. 【拓展训练三 根据直线的位置关系求方程】 【例1】（24-25高三上·四川·期中）已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，边所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意且关于对称，设结合已知求点坐标，进而求参数，即可得直线方程. 【详解】由题意知，可设且， 又对角线的交点为，关于对称，则， 由点在直线上，故， 所以. 故选：A 【例2】（24-25高二上·贵州黔西·期中）根据下列条件，求直线方程： (1)过点，且与直线垂直； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线垂直得出斜率，点斜式即可求解； （2）分类讨论利用截距相等求解. 【详解】（1）直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线方程为， ②当直线不过原点时，斜率为，所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知定直线及其外一点，则方程表示直线（    ） A．过P且与定直线相交 B．过P且与定直线垂直 C．过P且与定直线平行 D．可能不过P点 【答案】C 【分析】利用方程思想可判断两直线斜率相同，截距不同，且经过点P，即可作出判断. 【详解】由定直线及其外一点，可知， 又因为把点代入方程可得： ，即点代入方程的直线上， 因为，所以直线方程与直线方程不相同， 所以它们的斜率相同，截距不同，即两直线相互平行. 故选：C. 2．（多选题）（22-23高二上·黑龙江鸡西·阶段练习）过点引直线，使它与两点距离相等，则此直线方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】按所求的直线平行于或过线段的中点分类讨论求解作答. 【详解】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点， 由，，得直线的斜率， 因此过点且与平行的直线为：，即； 由，，得线段的中点为， 因此过点及点的直线的方程为：，即， 所以这条直线的方程是：或，AD错误，BC正确. 故选：BC 3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线系方程的性质，两直线垂直的条件求解. 【详解】过点且与直线（其中不全为零）垂直的直线方程可以写成． 由题意，过点和垂直的直线可写作，即. 故答案为： 4．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)求BC边上的高的直线方程； (2)求平分的面积且过点C的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用高线与BC边垂直，求得斜率，又高线过点，点斜式求直线方程； （2）所求直线即为边AB的中线所在的直线，由线段AB的中点坐标和点坐标求直线方程. 【详解】（1）由题意可得：直线BC的斜率， 则BC边上的高所在直线的斜率，又这条直线过点， 所以直线方程为，即． （2）由题意可知：所求直线即为边AB的中线所在的直线， 则线段AB的中点为，可得直线CD的斜率， 所以直线CD的方程为，即． 1．（2024高二·全国·专题练习）对于直线l：，下列说法不正确的是（ ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 【答案】C 【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可. 【详解】对A,直线方程为，斜率为，一定存在，故A正确； 对B，，所以直线过点，故B正确； 对C，时斜率为，倾斜角为，故C错误； 对D，时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故D正确. 故选：C． 2．（2024·陕西西安·二模）直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求出斜率，再由斜率得出倾斜角即可. 【详解】由可得，， 所以直线斜率， 又，所以， 故选：A 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小. 【详解】由题知直线斜率为，若直线的倾斜角为，则， ∵，∴， 故选：D． 4．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图象即可得解. 【详解】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， ， 因为直线与线段有公共点， 结合图象可得直线斜率的取值范围为. 故选：A. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案. 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 6．（多选题）（24-25高二上·江苏连云港·期中）设直线过两点和，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为 【答案】BC 【分析】先根据条件表示出直线方程，然后逐一分析每个选项. 【详解】根据斜率公式，，故A错误， 设直线倾斜角为，由倾斜角的定义，，且，则，B正确， 根据点斜式方程，直线的方程可写作，即， 令，则，令，则， 故直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，C正确，D错误. 故选：BC 7．（多选题）（22-23高二上·广东广州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若直线斜率为，则它的倾斜角为 B．若，，则直线的倾斜角为 C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点 【答案】ABC 【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除D. 【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确； 对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即， 易知，故直线必过，故C正确； 对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误． 故选：ABC. 8．（多选题）（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l过点，，则（    ） A．直线l的倾斜角为150° B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的截距式方程为 【答案】ABD 【分析】先求出直线l的斜率，由直线的倾斜角和斜率及直线的方向向量间的关系可判断A，C；由直线的两点式、截距式可判断B，D. 【详解】因为直线l过点，，所以直线l的斜率为，倾斜角为150°，故A正确，C不正确； 直线l的两点式方程为，整理易得截距式方程为，所以B，D正确． 故选：ABD. 9．（多选题）（24-25高二上·四川巴中·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 【答案】ABC 【分析】对于A：根据直线方向向量的定义分析判断；对于B：根据斜率公式分析判断；对于C：整理可得，根据直线过定点分析求解；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为直线的斜率不存在， 所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以，，三点共线，故B正确； 对于选项C：直线即为， 令，解得， 所以直线（其中）必过定点，故C正确； 对于选项D：例如，可知不存在，故D错误； 故选：ABC. 10．（多选题）（24-25高二上·吉林长春·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点A，B不重合），则的面积的值可以是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】AB 【分析】求出两条直线的动点，对进行分类讨论，当，直接可求出三角形面积， 当时，两条直线互相垂直，即可求得面积的最大值. 【详解】动直线过定点，直线化简为 ，则，则直线过定点， 当时，两条直线分别为，交点， ； 当时，两条直线的斜率分别为：，所以两条直线互相垂直， ， 当且仅当时，面积达到最大值， 则的面积的值可以是或，不可以是, 故选：AB 11．（23-24高二上·江苏·阶段练习）过点，斜率是直线的斜率的的直线方程为 . 【答案】 【分析】代入点斜式直线方程形式求解即可. 【详解】因为所求直线的斜率是直线的斜率的，所以所求直线的斜率为， 又直线过点，所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 12．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 ． （2）若直线经过点且在两坐标轴上的截距和为4，则该直线的方程为 ． 【答案】 或 【分析】（1）根据直线l过点，分若直线l经过原点和不经过原点求解； （2）设直线的方程为，将点代入和在两坐标轴上的截距和为4求解. 【详解】解：（1）若直线l经过原点，则其斜率为，故其方程为，即； 若直线l不经过原点，设其方程为，又其过点，则， 解得，故直线l方程为，整理可得； 综上所述，满足题意的直线方程为或. （2）设所求直线的方程为，由题意得，解得， 所以直线方程为，即. 故答案为：或; 13．（24-25高二上·四川成都·期中）过定点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【分析】设直线方程，再结合定点坐标即可求解. 【详解】设直线方程为， 由在直线上，可得：， 得：， 所以直线方程为， 故答案为： 14．（24-25高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为： 15．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【分析】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【详解】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 16．（24-25高二上·全国·课前预习）直线上给定一个点和斜率，求直线的方程． 【答案】 【分析】利用点斜式计算可得. 【详解】经过点，斜率的直线的点斜式方程是， 化简得，即直线的方程为. 17．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点分别为、、. (1)求直线的一般式方程； (2)求边上的高线所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出直线的两点式方程，然后化为一般方程即可； （2）求出直线的斜率，可得出边上的高线所在直线的斜率，可得出边上的高线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可. 【详解】（1）解：因为点、， 所以，直线的方程为，整理得， 即直线的一般式方程为. （2）解：因为点、，则， 所以，边上的高线所在直线的斜率为， 又，所以，边上的高线所在直线的方程为，即， 即边上的高线所在直线的斜截式方程为. 18．（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）  设直线l的方程为，根据下列条件分别求m的值． (1)直线l在x轴上的截距为2； (2)直线l的斜率为1． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得直线l在x轴上的截距的表达式，令其为2并检验可得答案； （2）由题可得直线l的斜率表达式，令其为1并检验可得答案. 【详解】（1）令，， 由题；将代入直线方程满足题意，则； （2） ，令 得或. 当时，直线l的方程为：，不满足题意； 当，直线l的方程为：，满足题意.则. 19．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在平面直角坐标系中的两点，． (1)求线段的中垂线的方程； (2)若直线l经过点A，且在两个坐标轴上的截距相等，求直线l的方程， 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两点坐标可得其斜率及其中点坐标，利用两直线垂直可得中垂线斜率，由点斜式方程即可求出中垂线方程； （2）设出直线的点斜式方程，根据在两坐标轴上截距相等建立方程求出斜率得解. 【详解】（1）由中点坐标公式求得线段中点坐标为，， 所以线段中垂线的斜率为， 由直线点斜式方程可得中垂线方程为， 即. （2）根据题意，设直线的斜率为，则其方程为， 令，解得，令，解得， 因为直线在两坐标轴上的截距相等， 所以，解得或， 直线的方程为或. 20．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可； （2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可. （3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可. 【详解】（1）由题意， 整理得，所以不管取何值时， 直线恒过定点的坐标满足方程组，解得， 即 （2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时， 此时直线是，显然满足题意； 当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时， 则纵截距小于或等于零即可，令，则， 即 ，解得； 综上所述： （3）设直线方程为，则， 由直线恒过定点，得， 由整理得：， 解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意， 则直线方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 直线的方程重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的点斜式方程及辨析 题型二 直线两点式方程及辨析 题型三 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型四 直线的一般式方程及辨析 题型五 由一般式方程判断直线的平行 题型六 由一般式方程判断直线的垂直 题型七 由两条直线平行求方程 题型八 由两条直线垂直求方程 题型九 直线过定点问题 拓展训练一 直线方程及其应用 拓展训练二 根据方程判断直线位置关系 拓展训练三 根据直线的位置关系求方程 知识点一：直线方程的点斜式 1.直线的方程 一般地,如果一条直线l上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程. 2.直线方程的点斜式 (1)直线l经过点P(x0,y0),且斜率是k,则直线l的方程是y-y0=k(x-x0).这个方程是由直线上的一点和斜率(一个方向)所确定的,称为直线方程的点斜式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 【即时训练】 1．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）过点，倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的方程为 ； 知识点二：直线方程的两点式 1.直线方程的两点式 经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程为,我们把这个方程称为直线方程的两点式. 2.平行于坐标轴的直线方程 (1)若x1=x2,y1≠y2,则P1P2与x轴垂直,此时直线l的方程为x=x1; (2)若y1=y2,x1≠x2,则P1P2与y轴垂直,此时直线l的方程为y=y1. 【知识剖析】 (1)两点式方程与这两个点的顺序无关． (2)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 (3)把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 【即时训练】 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川雅安·期中）若直线l：经过直线在第一象限上的点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点三：直线方程的一般式 1.直线方程的一般式 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于x,y的二元一次方程. 我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线方程的一般式. 2.直线方程的一般式的书写格式 (1)对于直线方程的一般式,有如下约定:一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列;x项的系数一般为正;x项、y项的系数和常数项一般不出现分数. (2)直线方程的其他形式都可以化成一般式,因此在解题时,如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式. 【知识剖析】 (1) 方程Ax+By+C=0表示直线的条件是：A,B不同时为0,即A2+B2≠0. (2) 直线方程的一般式能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都不能表示与x轴垂直的直线. 【即时训练】 1．（23-24高二上·山东烟台·期中）若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为 . 【经典例题一 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与轴平行． 1．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期中）已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·全国·课后作业）直线过点，且与直线：的夹角为，则直线的方程为 ． 4．（24-25高二上·重庆·期中）在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 【经典例题二 直线两点式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 1．（23-24高二·全国·课后作业）若直线过点和，且点在直线上，则的值为（     ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 2．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广西钦州·期末）已知三个顶点的直角坐标为分别为，，，则边上的中线所在的直线方程为 . 4．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知的三个顶点. （1）求边上高（为垂足)所在直线的方程； （2）求边上的中线 (为的中点)所在直线方程. 【经典例题三 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例1】（23-24高一下·湖南长沙·期末）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 1．（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（    ）条 A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．（24-25高二·全国·课后作业）已知直线l过点，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，则直线l的方程为 . 4．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 【经典例题四 直线的一般式方程及辨析】 【例1】（2024·全国·高考真题）如果，，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点O对称. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程 ． 4．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【经典例题五 由一般式方程判断直线的平行】 【例1】（23-24高二·全国·单元测试）已知，直线与直线平行 ，则（    ） A． B．且 C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）方程在a取不同实数时，对应不同的直线，这些不同的直线的位置关系如何？在平面直角坐标系中，分别作出时方程表示的直线． 1．（23-24高一下·山东淄博·期末）已知直线与平行，则实数（    ） A． B． C．或 D．2或 2．(多选题)（22-23高二上·甘肃兰州·期中）（多选题）下列直线中，一定与直线平行的是（    ） A． B． C．（） D．（） 3．（24-25高二上·全国·课前预习）若直线和直线的位置关系为 . 4．（22-23高二上·湖南邵阳·期中）已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【经典例题六 由一般式方程判断直线的垂直】 【例1】（2024高二·江苏·专题练习）直线和直线的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不确定 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 1．（23-24高二上·浙江温州·期末）下列直线中与直线垂直的一条是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·广东广州·期中）已知直线（ ） A．直线与直线平行 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线垂直 3．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）若直线与直线垂直，则实数 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，直线，且，求m的值． 【经典例题七 由两条直线平行求方程】 【例1】（24-25高二上·四川眉山·期末）过点，且与直线平行的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知点不在直线上，直线过点，且，证明：直线的方程可以写成． 1．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·全国·对口高考）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为 ． 4．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【经典例题八 由两条直线垂直求方程】 【例1】（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知直线l的方程为，则过点且与l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标. (2)求直线的方程. 1．（24-25高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为 ． 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. (1)与直线：垂直； (2)两坐标轴上截距相反. 【经典例题九 直线过定点问题】 【例1】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2023高二上·全国·专题练习）若，且a，b不同时为0，求证：直线必过一个定点. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京昌平·期中）已知直线， 则下述论断正确的是（    ） A．直线不可能经过坐标原点 B．直线的斜率可能为0 C．直线的倾斜角不可能是 D．直线恒过定点 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线的斜率k与直线在y轴上的截距b相等，则该直线一定经过的点是 . 4．（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【拓展训练一 直线方程及其应用】 【例1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，，则直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线经过点和. (1)求的一般式方程； (2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程. 1．（23-24高二·全国·课后作业）下列不可以表示与轴垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·海南·期中）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高二下·上海·课后作业）若直线经过点，且与向量垂直，则的点方向式方程为 ． 4．（24-25高二上·广西河池·阶段练习）已知的顶点分别为． (1)求边的中线所在直线的方程； (2)求边的垂直平分线所在直线的方程． 【拓展训练二 根据方程判断直线位置关系】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知直线，动直线 ，则下列结论中正确的是（    ） ①存在，使得的倾斜角为90° ②对任意的，与都有公共点 ③对任意的，与都不重合 ④对任意的，与都不垂直 A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②④ 【例2】（23-24高二上·上海金山·阶段练习）已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 1．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 2．（多选题）（24-25高二·全国·课后作业），是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况说法错误的是（    ） A．无论k，，如何，总是无解 B．无论k，，如何，总有唯一解 C．存在k，，使，是方程组的一组解 D．存在k，，使之有无穷多解 3．（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，若，则实数 ． 4．（23-24高二·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【拓展训练三 根据直线的位置关系求方程】 【例1】（24-25高三上·四川·期中）已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，边所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·贵州黔西·期中）根据下列条件，求直线方程： (1)过点，且与直线垂直； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知定直线及其外一点，则方程表示直线（    ） A．过P且与定直线相交 B．过P且与定直线垂直 C．过P且与定直线平行 D．可能不过P点 2．（多选题）（22-23高二上·黑龙江鸡西·阶段练习）过点引直线，使它与两点距离相等，则此直线方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是 ． 4．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)求BC边上的高的直线方程； (2)求平分的面积且过点C的直线的方程． 1．（2024高二·全国·专题练习）对于直线l：，下列说法不正确的是（ ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 2．（2024·陕西西安·二模）直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知直线方程为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5. （24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 6．（多选题）（24-25高二上·江苏连云港·期中）设直线过两点和，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为 7．（多选题）（22-23高二上·广东广州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若直线斜率为，则它的倾斜角为 B．若，，则直线的倾斜角为 C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点 8．（多选题）（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l过点，，则（    ） A．直线l的倾斜角为150° B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的截距式方程为 9．（多选题）（24-25高二上·四川巴中·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 10．（多选题）（24-25高二上·吉林长春·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点A，B不重合），则的面积的值可以是（   ） A． B． C．3 D． 11．（23-24高二上·江苏·阶段练习）过点，斜率是直线的斜率的的直线方程为 . 12．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 ． （2）若直线经过点且在两坐标轴上的截距和为4，则该直线的方程为 ． 13．（24-25高二上·四川成都·期中）过定点且与直线平行的直线方程为 . 14．（24-25高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 15．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 16．（24-25高二上·全国·课前预习）直线上给定一个点和斜率，求直线的方程． 17．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点分别为、、. (1)求直线的一般式方程； (2)求边上的高线所在直线的斜截式方程. 18．（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）  设直线l的方程为，根据下列条件分别求m的值． (1)直线l在x轴上的截距为2； (2)直线l的斜率为1． 19．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在平面直角坐标系中的两点，． (1)求线段的中垂线的方程； (2)若直线l经过点A，且在两个坐标轴上的截距相等，求直线l的方程， 20．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$