精品解析：福建省莆田市哲理中学2024-2025学年下学期九年级第二次综合训练数学卷

2024-2025学年下学期九年级第二次综合训练数学试卷 一、选择题 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 2024年12月27日，经中央军委批准，由我国自主研制建造的076两栖攻击舰首舰命名为“中国人民解放军海军四川舰”，舷号51，其满载排水量超40000吨．将数据“40000”用科学记数法表示为（ ） A. 0.4×10⁴ B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可． 【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则计算判断A；根据幂的乘方法则计算判断B；根据同底数幂的乘法法则计算判断C；根据同底数幂的除法法则计算判断D． 【详解】解：A、a与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，与关于直线对称，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，由轴对称的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：和关于直线对称，， ， 又∵， ， 故选：C． 6. 在最近几次选拔赛中，甲、乙、丙、丁4名跳高运动员的平均成绩都是190，方差分别是，如果要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，你认为最应该派去参加比赛的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差的意义，根据方差越小越稳定进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴乙的成绩更加稳定， 故选：B． 7. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD=, 故选B. 【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和菱形的性质，关键在于菱形的对角线相互平分且垂直．首先设出、点的坐标，再根据菱形的性质可得点坐标，再根据点在反比例函数上，再结合面积等于，解方程即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 则，点的坐标为， ∴， 解得，， 故选：D． 9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设马每匹x两，牛每头y两，由“马四匹、牛六头，共价四十八两”可得，根据“马二匹、牛五头，共价三十八两，”可得，即可求解． 【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得 故选B 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解题的关键． 10. 已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质．先求出抛物线的对称轴为直线 ，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得，进一步即可求得顶点的纵坐标． 【详解】解：当时，， 则抛物线经过点和， 该抛物线的对称轴为直线 ． 点关于该对称轴对称的点的坐标是． 由题意，得： 恒正， 恒负． 该抛物线经过点和． 设该抛物线的函数表达式为 ． 代入，得 ， 解得 ． 当 时， ， 故选：B． 二、填空题 11. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 12. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面圆的半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出圆锥的底面圆的周长=2π×8cm=16πcm，而圆锥的侧面展开图为扇形，然后根据扇形的面积公式进行计算． 【详解】∵圆锥的底面圆的半径是8cm， ∴圆锥的底面圆的周长=2π×8cm=16πcm， ∴圆锥的侧面积=×10cm×16πcm=80πcm2． 故答案是：80π． 【点睛】考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．也考查了扇形的面积公式． 14. 如图， 已知， ， 则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据，证得，根据相似三角形的性质得到相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：． 15. 已知非零实数，满足，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据得出，将其代入进行计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】当点F在左侧时，过点作交于，交于点，先证明，得到，设，则．，，当点F在左侧时，则，当点F在右侧时，同理可得，由勾股定理得，然后由求二次函数最值的方法，求解即可． 【详解】解：当点F在左侧时，过点作交于，交于点，如图1， ∵矩形， ∴，，，，， ∵， ∴ ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， 设，则． ， ，， 则， ， 当点F在右侧时，过点作交延长线于，交延长线于点，如图2， 同理可得， ， 当时，的最小值为5， 故长的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，二次函数的性质，熟练掌握矩形的性质和判定、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算和代入求值，涉及到了分式的加法和除法运算、二次根式分母有理化等知识，解题关键是掌握分式的混合运算的方法，能熟练进行通分与约分．先化简原式，再将的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由“”可证，可得． 【详解】略 20. 如图，是的直径，点C是上除A，B外的一点． （1）如图1，作出的中点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，点D是的中点，于E，求证：是的切线． 【答案】（1） 如图所示点D即为所求作的的中点； （2） 证明：连接， ，是的直径， 点D是的中点 ； ； ， 是的半径 是的切线． 【解析】 【分析】本题主要考查作角平分线，切线的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，作的平分线交于点D，即为所求作； （2）连接，，证明，得出，从而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图1所示，六个小朋友围成一圈(面向圈内)做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手边的人.若游戏中传球和接球都没有失误. 若由开始一次传球，则和接到球的概率分别是 、 ； 若增加限制条件：“也不得传给右手边的人”.现在球已传到手上，在下面的树状图2中 画出两次传球的全部可能情况，并求出球又传到手上的概率. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)根据题目要求，球不得传给自己，也不得传给左手边的人，C在B的左手边，因此传给C的概率为0,B的右手边有四个人，因此传给F的概率为； (2)结合题目要求画出树状图即可求解. 【详解】解：∵C在B的左手边 ∴C接到球的概率为0； ∵B的右手边有四个人 ∴F接到球的概率为. 如图所示： ∵两次传球的全部可能情况有种，球又传到手上的情况有种， ∴故球又传到手上的概率为. 【点睛】本题考查的知识点是用画树状图法求事件的概率问题，读懂题意，画出树状图是解题的关键. 22. 已知实数，，满足． （1）当，时，求的值； （2）若的最大值与最小值的差为6，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键． （1）代入， 得到，再利用完全平方公式计算即可； （2）将变形为和，利用完全平方的非负性分别求出的最大值和最小值，结合的最大值与最小值的差为6，解方程求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 的最大值为，最小值为， 又的最大值与最小值的差为6， ， 解得：， 的值为． 23. 抛物线C1：过点，抛物线的顶点为点． （1）若，求抛物线的顶点的坐标； （2）在（1）的条件下，抛物线与轴交于点，且轴上有点，轴上是否存在点使得，若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）将和代入抛物线解析式求解即可； （2）先求出点坐标，再由勾股定理求出的长，当点在轴的负半轴时，证出，从而得到，得出的长，进而即可得出点的坐标； 【小问1详解】 解：当时，， 代入，得：， 解得或， ∵， ∴， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得 ， 当点在轴的负半轴时，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴ ， 由对称性可得 ， 综上所述，存在点N的坐标为或使得． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，二次函数平移的性质是解题的关键． 24. “海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2） 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为米，半径为米，该团队分成三组分别乘坐号、号和号轿厢，当号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，请连接、，则 °； （2）求出号轿厢运动到最高点时，号轿厢所在位置点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） 【答案】（1）45 （2）点的高度为米 （3）写字楼的实际高度约为米 【解析】 【分析】（1）由题可知，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个轿厢，因此可由求解； （2）过点作于点，由题可知，点此时的高度为最高为150米，半径为72米，因此点高度为78米，根据，，可得（米，即可求解； （3）连接，，，由素材1，素材3可得，，则米，过点作于点，令，由素材2，3得：，，可得，即，从而可求解． 【详解】解：（1）连接、，如下图所示： “海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个轿厢， ， 故答案为：． （2）过点作于点， 点此时的高度为最高为米，半径为米， 点高度为米， ，， ， 点的高度为米， 答：点的高度为米． （3）连接，，， 由素材1，素材3可得，， 则，过点作于点， 令，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得： ，， ∴，， ，即， 点的高度为：（米）， 答：写字楼的实际高度约为米． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查解直角三角形的实际应用，圆周角定理，将实际问题转化为数学模型是解题的关键． 25. 在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点． （1）如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：； （2）若，点是边上的点，连接交于点，点是的中点， 如图（2），若，求的长； 如图（3），连接，当，且时，求的值． 【答案】（1） 证明：连接交于点， 矩形， ，，， ， 点，分别是，的中点， ，则， ， ， ； （2）的长为2； 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质求得，利用三角形中位线的性质求得，推出，利用相似三角形的性质即可证明； （2）连接交于点，连接，利用三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可； 设，则，连接，，作于点，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点，连接， 由（1）知， ， ， ， ， ，即， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即的长为2； 设，则，连接，，作于点， 则四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， 点是的中点， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期九年级第二次综合训练数学试卷 一、选择题 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 2024年12月27日，经中央军委批准，由我国自主研制建造的076两栖攻击舰首舰命名为“中国人民解放军海军四川舰”，舷号51，其满载排水量超40000吨．将数据“40000”用科学记数法表示为（ ） A. 0.4×10⁴ B. C. D. 3. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与关于直线对称，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在最近几次选拔赛中，甲、乙、丙、丁4名跳高运动员的平均成绩都是190，方差分别是，如果要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，你认为最应该派去参加比赛的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 因式分解：__________ 13. 已知圆锥的底面圆的半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是________． 14. 如图， 已知， ， 则_______． 15. 已知非零实数，满足，则的值等于__________． 16. 如图，在矩形中，，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为______． 三、解答题 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，，求证：． 20. 如图，是的直径，点C是上除A，B外的一点． （1）如图1，作出的中点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，点D是的中点，于E，求证：是的切线． 21. 如图1所示，六个小朋友围成一圈(面向圈内)做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手边的人.若游戏中传球和接球都没有失误. 若由开始一次传球，则和接到球的概率分别是 、 ； 若增加限制条件：“也不得传给右手边的人”.现在球已传到手上，在下面的树状图2中 画出两次传球的全部可能情况，并求出球又传到手上的概率. 22. 已知实数，，满足． （1）当，时，求的值； （2）若的最大值与最小值的差为6，求的值． 23. 抛物线C1：过点，抛物线的顶点为点． （1）若，求抛物线的顶点的坐标； （2）在（1）的条件下，抛物线与轴交于点，且轴上有点，轴上是否存在点使得，若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 24. “海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2） 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为米，半径为米，该团队分成三组分别乘坐号、号和号轿厢，当号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，请连接、，则 °； （2）求出号轿厢运动到最高点时，号轿厢所在位置点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） 25. 在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点． （1）如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：； （2）若，点是边上的点，连接交于点，点是的中点， 如图（2），若，求的长； 如图（3），连接，当，且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $