精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

宁朔中学2025—2026（一）高二数学开学考试卷 考试时间：120分钟； 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算即可. 【详解】， 则，所以， 故选：A. 2. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 3. 从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ） A. 至多有2个红球 B. 至少有2个黄球 C. 都是黄球 D. 至多1个红球 【答案】C 【解析】 【分析】先对至少有1个红球进行情况分析，再结合对立事件的定义求解即可. 【详解】由题意得若发生“至少有1个红球”，则取出红球的数量为1个，2个，3个， 由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，即取到的都是黄球，故C正确. 故选：C 4. 某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为（ ） A. 270 B. 240 C. 180 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率之和为1得到方程，求出，进而求出数学成绩大于等于60分的人数. 【详解】，解得， 故数学成绩大于等于60分的人数为. 故选：B. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 6. 如图1，在直角梯形ABCD中,,,,,,E为线段BC上的一点,,过E作AB的平行线交AD于F,将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直得到六面体ABCDFE,如图2,则六面体ABCDFE的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把六面体ABCDFE的体积分成四棱锥和三棱锥相加即可得出答案. 【详解】由题意得六面体ABCDFE的体积为：， 故选：D 7. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 8. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点， 设圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得，所以，， 所以，，， ，则，所以，， 又因为，所以，， 所以，，， 因此，这两个圆锥的体积之和为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为5 B. 这组数据的方差为2.5 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第40百分位数为3.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极差、方差、众数、平均数、百分位数的定义和公式对选项逐一计算判断即可. 【详解】对于选项A： 极差是数据中最大值与最小值之差，所以这组数据的极差为，A正确； 对于选项B： 这组数据的平均值为， 所以方差为，B错误； 对于选项C： 这组数据的平均数为4，众数为4，所以C正确； 对于选项D： 因为，是整数，所以这组数据的第40百分位数为第二项和第三项的平均值为， 所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知事件A，B，且，，则（ ） A. 事件A与事件B互为对立事件 B. 若事件A与事件B互斥，则 C. 若，则事件A与事件B相互独立 D. 若事件A与事件B互斥，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答. 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件A与事件B互斥，则，B正确； 因为，所以事件与事件相互独立，则事件A与事件B相互独立，C正确； 若事件A与事件B互斥，则不可能同时发生，即，D错误. 故选：BC. 11. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项即可. 【详解】由题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得， 则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由于不存在实数，使得，则与不平行，故B错误； 对于C，由，则， 因为平面，所以平面，故C正确； 对于D，由， 则直线与所成角不为，故D错误. 故选：AC． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数模的意义直接求解. 【详解】. 故答案为：5 13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 14. 如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，结合正弦定理与、三角形内角和定理与两角和差余弦公式即可求得，从而得的大小. 【详解】因为BD的垂直平分线过点A，所以，则，所以． 又因为在中，，，所以． 在中，由正弦定理，得，所以, 因为，所以为锐角，所以， 则， 又，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 （1）频率分布表中的①②位置应填什么数据？ （2）补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； （3）现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 【答案】（1）①应填，②应填； （2）直方图见解析，人数为175； （3）15 【解析】 【分析】（1）结合抽取的总人数，结合表格中数据，计算出结果； （2）计算出区间的频率/组距，绘制直方图，并利用年龄在岁的频率得到答案； （3）计算出三个区间的比例，从而计算出从、中分别抽取的人数，得到答案. 【小问1详解】 ①应填，②应填； 【小问2详解】 区间的频率为0.20，故频率/组距为， 故补全频率分布直方图，如下： 这500名志愿者中年龄在岁的人数为； 【小问3详解】 、、的人数比例为， 从中抽取了2人，故从、中分别抽取了7人和6人， 故. 16. 在中，． （1）求的值； （2）若，且的面积，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及余弦定理求； （2）由正弦边角关系可得，再由三角形面积公式列方程求得，即可得. 【小问1详解】 因为，所以． 【小问2详解】 因为，由正弦定理得，所以， 因为的面积为，又， 即，所以，则. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面. （2）根据平面，得到即为二面角的平面角，再在中，求的正弦. 【小问1详解】 因为，，所以，. 又，，所以. 所以. 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 【答案】（1）证明：∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 19. 在一次奥运会男子乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，决赛采取7局4胜制.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果互不影响. （1）求只需进行四局比赛的概率： （2）已知前两局比赛甲均告负，求甲最终能逆转获得冠军的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解； （2）分类应用独立事件乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解. 【小问1详解】 设事件“甲第局都获胜”，. 由题意，事件相互独立，且. 只需进行四局比赛包含两种情况： ①甲能胜四局：；②乙连胜四局：. 设事件“只需进行四局比赛”；则 . 故只需进行四局比赛的概率为. 【小问2详解】 设事件“前两局比赛甲均告负，甲最终能逆转获得冠军”. 由于前两局比赛甲均告负，所以接下来的比赛甲最多可以负一局，包含两种情况： ①甲接下来连胜四局：； ②接下来五局比赛中甲4胜1负（负的一局为第3~6局中某一局）： . 所以， . 所以，甲最终能逆转获得冠军的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁朔中学2025—2026（一）高二数学开学考试卷 考试时间：120分钟； 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2 2. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ） A. 至多有2个红球 B. 至少有2个黄球 C. 都是黄球 D. 至多1个红球 4. 某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为（ ） A. 270 B. 240 C. 180 D. 150 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，在直角梯形ABCD中,,,,,,E为线段BC上的一点,,过E作AB的平行线交AD于F,将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直得到六面体ABCDFE,如图2,则六面体ABCDFE的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差为5 B. 这组数据的方差为2.5 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第40百分位数为3.5 10. 已知事件A，B，且，，则（ ） A. 事件A与事件B互为对立事件 B. 若事件A与事件B互斥，则 C. 若，则事件A与事件B相互独立 D. 若事件A与事件B互斥，则 11. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 14. 如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 （1）频率分布表中的①②位置应填什么数据？ （2）补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； （3）现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 16. 在中，． （1）求的值； （2）若，且的面积，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 19. 在一次奥运会男子乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，决赛采取7局4胜制.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果互不影响. （1）求只需进行四局比赛的概率： （2）已知前两局比赛甲均告负，求甲最终能逆转获得冠军的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $