精品解析：2025年广东省深圳中考数学练习卷（四）

2025年九年级第二学期深圳中考数学练习卷（四） 说明：本卷共6页，考试时间90分钟，满分100分，题前，请将姓名、考号、考点、考场和座位号填写在答题卡相应的区域，并贴好条形码．考试结束后，请将本卷和题卡一并上交． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这个图形叫作中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意； B、不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 2. 如题图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先用勾股定理求出，再根据数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点表示的数，熟练掌握相关知识点是关键． 【详解】解：由图可知两条直角边的长为2和1，根据勾股定理得： ， 点表示的数为， 故选：B． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方和合并同类项，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A错误； ，B错误； C 错误； ，D正确． 故选 D． 4. 北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近平方米的冰面采用分模块控制技术．可根据不同项目分区域、分标准制冰．将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 科学记数法的形式是： ，其中，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到4的后面，所以 【详解】解： 故选C 5. 如图，，点是直线上的点，过点的直线交直线于点，平分交于点．在直线绕点旋转的过程中，图中的度数可以分别是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及邻补角的性质，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得，根据角平分线的定义得到，根据邻补角互补求出即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴，不符合题意； C、∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，符合题意； D、∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，与关于直线对称，P为上任一点（A、P、不共线），下列结论中，错误的是（　　） A. 是等腰三角形 B. 垂直平分、 C. 与面积相等 D. 直线，的交点不一定在直线上 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质解答即可． 该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确， 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D错误， 故选：D． 7. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可． 【详解】解：设如图表所示： 根据题意可得：x+6+20=22+z+y， 整理得：x-y=-4+z， x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m， 整理得：x=-2+z，y=2z-22， ∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z， 解得：z=12， ∴x+y =3z-24 =12 故选：D． 【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键． 8. 如图，小明在点处仰头看到一架直升机正从点处沿水平方向飞行，此刻望向楼顶处的仰角为，于是他立即在原地用时2秒拿出手机开始录像.已知录制开始时直升机已驶至小明正上方点处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住之前，能录像的时长为（ ） A. 2秒 B. 秒 C. 秒 D. 条件不足，无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，设飞机速度为，利用三角函数解直角三角形分别用含有的代数式表示，，的长，最后算出时间即可． 【详解】解：延长交于点，设飞机速度为， 由题意得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴那么飞机被大楼遮住之前，能录像的时长为： 故选C． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练运用特殊角的三角函数值解直角三角形是解决本题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 为将中华优秀传统文化融入学校教育教学，积极引导青少年从小学习中华优秀传统文化知识，培养审美鉴赏和创造能力，筑牢中华优秀传统文化根基．某学校计划开展中小学生中华优秀传统文化知识竞赛．并对八年级（1）班的50名学生竞赛成绩进行了调查，统计结果如下表所示． 分数（分） 90 92 94 96 98 100 人数（人） 4 10 11 13 9 3 在本次调查中，八年级（1）班这50名学生竞赛成绩的中位数是_____分． 【答案】95 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数分别为， 则中位数是：（分）． 故答案为：95． 10. 如图，已知，点E为上一点，交对角线于点F，且，则___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，先求出，证明，得到，得到，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，AB是的直径，M、N是异于A，B的两点，C是一动点，的角平分线交于点D，的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接EB．设OA=r．作等腰Rt△ADB，AD=DB，∠ADB=90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α，利用弧长公式计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接EB．设OA=r． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵E是△ACB的内心， ∴∠AEB=135°， 作等腰Rt△ADB，AD=DB，∠ADB=90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α， ：=：=， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 12. 如图，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，连接、、，，过点A作于点H，若，，则五边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得出，再证明点G、B、E在一条直线上，从而利用证明，于是有，再根据，转化为，求出五边形的面积． 【详解】解：∵， ∴将绕点A顺时针旋转到的位置， ∴， ∴，，，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴点G、B、E在一条直线上， ∵， ∴． ∴． 在与中， ， ， ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求面积，全等三角形的判定，全等三角形的性质，求三角形的面积，求多边形的面积，解题关键是找准全等三角形． 13. 如图，直角三角形纸片中，，，，点D为的中点，点E为一动点（不与端点重合），且，沿直线折叠该纸片，点C的对应点为，再沿直线折叠该纸片，点C的对应点为，设点，D之间的距离为d，则d的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由勾股定理可得，设与交于点，作点关于直线对称点，连接交于，由，点为的中点，可得，连接，，则与关于直线对称，由对称性可得点在以点为圆心，5为半径的上运动，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 如图，设与交于点，作点关于直线的对称点，连接交于， 点与点关于对称， ，， ， ， ， ， 点为的中点， ，即， ， ， ， 连接，，则与关于直线对称， 、关于直线对称，且点，，共线，点，，共线，且，点在以点为圆心，5为半径的上运动， 当点在上时，点、之间的距离最小，最小值为， 又， 的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆外一点到圆上点的距离最值等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，先计算负整数指数幂，零指数幂，去绝对值和特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，然后从中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据根式混合运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 因为， 所以， 所以； 当时，原式． 16. 卡塔尔世界杯开赛前，某同学为了调查各球队在本年级受欢迎程度，对部分同学开展了“你最喜爱的球队”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了如图两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题． （1）本次问卷调查共调查了多少名同学． （2）补全图1中的条形统计图，并求出图2中喜爱“西班牙”人数占调查总人数的百分比． （3）现有喜欢“阿根廷”（记为A），“巴西”（记为B），“西班牙”（记为C），“德国”（记为D）的同学各一名，若要从4人中随机抽取2人，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的概率． 【答案】（1）80名 （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据最喜欢阿根廷的人数为24人，占总调查人数的，列式计算即可； （2）根据喜爱“西班牙”的人数为16人，总人数为32人，求出所占的百分比即可； （3）先列出表格或画出树状图，求出结果即可． 小问1详解】 解：本次问卷调查共调查的学生人数为（名）． 【小问2详解】 解：喜爱“巴西”人数（名）． 补全图1中的条形统计图如图所示． 图2中喜爱“西班牙”人数占调查总人数的百分比为． 【小问3详解】 列表如下： A B C D A B C D 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的结果有：，，共2种， ∴恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的概率为． 17. 石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象． 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　 　．（直接写出结果） 【答案】【观察】①90；②105；【发现】①50；②y＝，补全图象见解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72 【解析】 【分析】【观察】①先据题意求出两个机器人速度的关系，再确定第二次迎面相遇的位置，然后设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可求出结果； ②仿照①的解题思路和方法解答即可； 【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，根据题意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即为a的值； ②分0＜x≤50与50＜x＜75两种情况，分别求出正比例函数与一次函数的关系式，进一步即可补全函数图象； 【拓展】分三种情况画出图形，然后根据题意得出相应的分式方程，解方程即可得出y与x的关系，进而可得关于x的不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v＝4v， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，而， ∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时， 机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90， 故答案为：90； ②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣35＝115个单位长度， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， ∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为， 机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而， ∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时， 机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105， 故答案为：105； 【发现】①当第二次相遇地点刚好在点B时， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，150﹣x＝2x，∴x＝50， 即：a＝50， 故答案为：50； ②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上， ∴线段OP的表达式为y＝3x， 当v＜时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y）， 整理，得y＝﹣3x+300， ∴y与x的函数关系式是y＝， 补全图象如图2所示： 【拓展】①如图， 由题意知，， ∴y＝5x， ∵0＜y≤60， ∴0＜x≤12； ②如图， ∴， ∴y＝﹣5x+300， ∵0≤y≤60， ∴48≤x≤60， ③如图， 由题意得，＝， ∴y＝5x﹣300， ∵0≤y≤60， ∴60≤x≤72， ∵0＜x＜75， ∴48≤x≤72， 综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72， 故答案为：0＜x≤12或48≤x≤72． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、两点间的距离、一元一次方程和一元一次不等式的应用，难度较大，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 18. 已知：线段c，d， （1）求作：，使，，高． （2）求作：，使，，角平分线． 要求：①作一个即可，用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——画直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线，圆周角定理熟练掌握几种基本尺规作图的方法是解题的关键． （1）先作射线，在射线截取，作线段的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，在线段的垂直平分线上截取，过点E作线段的垂直平分线的垂线交与点C，连接，则即为所求，过点C作的垂线于点D即可； （2）同理（1），以为直径作，作的垂直平分线交与E；过点B作垂线，在垂线上截取点F，；在线段上截取点G，使；在线段上截取点D，使；连射线，交于点C． 【小问1详解】 解：1.先作射线，在射线截取， 2.作线段的垂直平分线交于点O， 3.以点O为圆心，为半径画圆， 4.在线段的垂直平分线上截取， 5.过点E作线段的垂直平分线的垂线交与点C，连接，则即为所求； 6.过点C作的垂线于点D．        如图所示为所求： 理由：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 【小问2详解】 解：1.同理（1），以为直径作，作的垂直平分线交与E； 2．过点B作垂线，在垂线上截取点F，； 3．在线段上截取点G，使； 4．在线段上截取点D，使； 5．连射线，交于点C． 如图所示为所求： 理由：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，且， ∴中，，，角平分线． 19. 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点D是抛物线的顶点． （1）求B、C、D三点的坐标； （2）连接BC，BD，CD，若点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，当S△PBC＝S△BCD时，求m的值（点P不与点D重合）； （3）连接AC，将△AOC沿x轴正方向平移，设移动距离为a，当点A和点B重合时，停止运动，设运动过程中△AOC与△OBC重叠部分的面积为S，请直接写出S与a之间的函数关系式，并写出相应自变量a的取值范围． 【答案】（1）B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）；（2）m的值为；（3）． 【解析】 【分析】（1）令y＝0，解方程即可求得A、B的坐标，令x＝0，即可求得C的坐标，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）根据待定系数法求得直线BC的解析式，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，则xD＝1＝xE，求得yE＝﹣2，DE＝2，进而得出S△BCD＝S△BED+S△CDE＝×2×1+×2×2＝3，然后分两种情况分别讨论求得即可； （3）分三种情况：①当0＜a≤1时，根据S＝S△AOC﹣S△A′OE﹣S△FGC′即可求得；②当1＜a≤3时，如图4，根据S＝S△AOC﹣S△FGC′＝即可求得；③当3＜a≤4时，如图5，S＝（4﹣a）×（4﹣a）． 【详解】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）； （2）设BC：y＝kx+b 将B（3，0），C（0，﹣3）代入得：， 解得：， ∴直线BC为y＝x﹣3， 过点D作DE∥y轴，交BC于点E， ∵xD＝1＝xE， ∴yE＝﹣2， ∴DE＝2， ∴S△BCD＝S△BED+S△CDE＝×2×1+×2×2＝3， 过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（m，m﹣3） ①当P是BC下方抛物线上一点时，如图1， ∴． ∴m1＝﹣1（舍），m2＝2， ②当P是BC上方抛物线上一点时，如图2， S△PBC＝S△PQC﹣S△PQB＝m2﹣m＝3， 解得m1＝，m2＝， 综上：m的值为； （3）①当0＜a≤1时，如图3， ∵OA′＝1﹣a，O′C′＝OC＝3， ∵＝ 即＝， ∴AE＝3﹣3a， ∴CE＝3a， ∵， 即＝， ∴O′G＝3﹣a， ∴GC′＝a， ∵＝＝， ∴△FC′G边CG′上的高为a， ∴S＝S△AOC﹣S△A′OE﹣S△FGC′＝×1×3﹣（1﹣a）×（3﹣3a）﹣a×a＝﹣a2+3a； ②当1＜a≤3时，如图4， ∵GC＝a，△FC′G边CG′上的高为a， ∴S＝S△AOC﹣S△FGC′＝×1×3﹣a×a＝﹣a2+； ③当3＜a≤4时，如图5， ∵A′B＝4﹣a，CC′＝a， 设△A′FB边A′B上的高为h，则△CFC′边CC′的高为3﹣h， ∵△A′FB∽△C′FC， ∴＝，解得h＝（4﹣a）， ∴S＝（4﹣a）×（4﹣a）＝a2﹣3a+6； 综上， 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，抛物线的交点坐标，三角形的面积等，分类讨论思想的应用是解题的关键． 20. 如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD． （1）如图2，若点A是劣弧的中点． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②求平行四边形ABCD的面积． （2）若点A运动到优弧上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切． ①求AB的长； ②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值． 【答案】①证明见解析；②；（2）①AB的长为或；② 【解析】 【分析】（1）①利用等弧所对的弦相等可得，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；②连接AO，交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得，利用勾股定理求出OE的长，即可求解； （2）①分情况讨论当CD与相切时、当BC与相切时，利用垂径定理即可求解；②根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：（1）①∵点A是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②连接AO，交BD于点E，连接OD， ， ∵点A是劣弧的中点，OA为半径， ∴，OA平分BD， ∴， ∵平行四边形ABCD是菱形， ∴E为两对角线的交点， 在中，, ∴， ∴； （2）①如图，当CD与相切时，连接DO并延长，交AB于点F， ∵CD与相切， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， 中，， ∴，解得， ∴， ∴； 如图，当BC与相切时，连接BO并延长，交AD于点G， 同理可得，， 所以, 综上所述，AB的长为或； ②过点A作， ， 由（2）得： 根据等面积法可得， 解得， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级第二学期深圳中考数学练习卷（四） 说明：本卷共6页，考试时间90分钟，满分100分，题前，请将姓名、考号、考点、考场和座位号填写在答题卡相应的区域，并贴好条形码．考试结束后，请将本卷和题卡一并上交． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 纹样是我国古代艺术中瑰宝．下列四幅纹样图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如题图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近平方米的冰面采用分模块控制技术．可根据不同项目分区域、分标准制冰．将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，点是直线上的点，过点的直线交直线于点，平分交于点．在直线绕点旋转的过程中，图中的度数可以分别是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，与关于直线对称，P为上任一点（A、P、不共线），下列结论中，错误的是（　　） A. 等腰三角形 B. 垂直平分、 C. 与面积相等 D. 直线，的交点不一定在直线上 7. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 如图，小明在点处仰头看到一架直升机正从点处沿水平方向飞行，此刻望向楼顶处的仰角为，于是他立即在原地用时2秒拿出手机开始录像.已知录制开始时直升机已驶至小明正上方点处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住之前，能录像的时长为（ ） A. 2秒 B. 秒 C. 秒 D. 条件不足，无法计算 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 为将中华优秀传统文化融入学校教育教学，积极引导青少年从小学习中华优秀传统文化知识，培养审美鉴赏和创造能力，筑牢中华优秀传统文化根基．某学校计划开展中小学生中华优秀传统文化知识竞赛．并对八年级（1）班的50名学生竞赛成绩进行了调查，统计结果如下表所示． 分数（分） 90 92 94 96 98 100 人数（人） 4 10 11 13 9 3 在本次调查中，八年级（1）班这50名学生竞赛成绩的中位数是_____分． 10. 如图，已知，点E为上一点，交对角线于点F，且，则___________． 11. 如图，AB是的直径，M、N是异于A，B的两点，C是一动点，的角平分线交于点D，的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是________． 12. 如图，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，连接、、，，过点A作于点H，若，，则五边形的面积为_______． 13. 如图，直角三角形纸片中，，，，点D为的中点，点E为一动点（不与端点重合），且，沿直线折叠该纸片，点C的对应点为，再沿直线折叠该纸片，点C的对应点为，设点，D之间的距离为d，则d的取值范围为________． 三、解答题（本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 计算： 15. 先化简，然后从中选取一个合适的数作为的值代入求值． 16. 卡塔尔世界杯开赛前，某同学为了调查各球队在本年级受欢迎程度，对部分同学开展了“你最喜爱的球队”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了如图两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题． （1）本次问卷调查共调查了多少名同学． （2）补全图1中的条形统计图，并求出图2中喜爱“西班牙”人数占调查总人数的百分比． （3）现有喜欢“阿根廷”（记为A），“巴西”（记为B），“西班牙”（记为C），“德国”（记为D）的同学各一名，若要从4人中随机抽取2人，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的概率． 17. 石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象． 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　 　．（直接写出结果） 18. 已知：线段c，d， （1）求作：，使，，高． （2）求作：，使，，角平分线． 要求：①作一个即可，用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 19. 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点D是抛物线的顶点． （1）求B、C、D三点的坐标； （2）连接BC，BD，CD，若点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，当S△PBC＝S△BCD时，求m的值（点P不与点D重合）； （3）连接AC，将△AOC沿x轴正方向平移，设移动距离为a，当点A和点B重合时，停止运动，设运动过程中△AOC与△OBC重叠部分的面积为S，请直接写出S与a之间的函数关系式，并写出相应自变量a的取值范围． 20. 如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD． （1）如图2，若点A是劣弧的中点． ①求证：平行四边形ABCD是菱形； ②求平行四边形ABCD的面积． （2）若点A运动到优弧上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切． ①求AB的长； ②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $