1.3 勾股定理的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.3勾股定理的应用同步练习 1． 选择题 1．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（　　） A．40海里 B．32海里 C．24海里 D．20海里 3．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．13m B．17m C．18m D．26m 4．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送3m（水平距离BC＝3m）时，踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索AD的长度是（　　） A．3m B．4m C．5m D．6m 第4题图 第5题图 第6题图 5．如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（　　）米 A．15 B．12 C．10 D．6 6．如图，一架长2.5m的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为0.7m，如果梯子的顶端B下滑0.4m至B'，那么梯子底端将滑动（　　） A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m 7．如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10cm，高度为12cm，吸管长为25cm（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a最小为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 8．表中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为（　　） 诗文： 波平如镜一湖面 半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中里 突遭狂风吹一边 离开原处二尺远 花贴湖面象睡莲 A．3.5尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.5尺 9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 第9题图 第10题图 第11题图 10．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 11．如图，瓢虫在地图上从A点先向南爬7cm，又向东爬4cm，再向北爬2cm，又向东爬4cm，再向南爬1cm到B点，如此爬行比从A点直接爬到B点多爬行（　　） A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm 12．如图，一条笔直的铁路AB的同侧有两个村庄C，D，它们到铁路AB的距离分别为15km和10km，分别过C，D两点作AB的垂线，垂足为M，N，测量得MN＝25km．现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站到M点的距离为（　　） A．6km B．8km C．10km D．12km 第12题图 第13题图 13．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 14．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　） A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 第14题图 第15题图 15．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道．已知滑道AC与AE的长度相等，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m，则滑道AC的长为（　　） A．7m B．8m C．8.5m D．9m 二．填空题 16．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　 　 米． 第16题图 第17题图 第18题图 17．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　 米． 18．如图，笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米，则原路线AC的长为 　 　 千米． 19．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和AB为 　 　 寸． 第19题图 第20题图 20．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 　 　 ． 21．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 　 　 ． 第21题图 第23题图 22．有一根长为51cm的细木棍和一个长、宽、高分别为16cm，12cm，48cm的长方体盒子，你认为该细木棍能完全放进此盒子中吗？　 　 ．（填“能”或“不能”） 23．《九章算术》是我国最重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何”．译文大意是：“有一根竹子高一丈（十尺），竹梢部分折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问竹竿还有多高”，若设未折断的竹竿长为x尺，根据题意可列方程为 　 　 ． 三．解答题 24．某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度CE，测得水平距离BD的长为15米；风筝线BC的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 25．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 26．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB． 27．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送2m（水平距离BC＝2m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直． （1）求绳索AD的长； （2）直接写出将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝　 　 m． 28．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD＝90km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 29．周末，小斌在父母的陪伴下坐车外出游玩．在一段笔直的公路AB段外有一个景点C，由于视线遮挡原因．只有在离景点C250m以内的区域才能欣赏景点C．已知AB＝500m，AC＝300m，BC＝400m． （1）请通过计算说明小斌一家在公路AB段行驶时能否欣赏到景点C？ （2）已知在公路AB段欣赏景点C的足够时间为18s，小斌家汽车在AB段以7m/s的速度匀速行驶．请你通过计算判断小斌家在公路AB段欣赏景点C的时间足够吗？ 30．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作： ①测得BD的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米． （1）求风筝的高度CE； （2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM＝8米），则他往回收线多少米？ 31．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：﹣根竹子，原高一丈，一﹣阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺） [模型]如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形ABC，其中一直角边BC长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 32．【提出问题】 某校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多了一段，但这条绳子的长度未知．其中旗杆AB与地面BC垂直，绳子AC拉直后的末端C与旗杆底端B之间用线段BC表示，绳子垂到地面，比旗杆多的一段用a表示． 【设计方案】 第一小组提出运用八上学过的含有30°角的直角三角形的性质，可以设计一种解决问题的特殊方案： 步骤一，将绳子拉直，使其与地面的夹角恰好为60°； 步骤二，测量线段BC的长度； 步骤三，通过计算AB＝AC﹣a，得到旗杆的高度． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝b． 请直接写出AB＝ 　 　 ；（用含a，b的式子表示） 【质疑探究】 第二小组认为第一小组的方案没有解决一般情况．他们根据勾股定理提出了新的方案：先测量a的长度，再将绳子拉直后测量线段BC的长度；并进行了实地测量，得到了如下数据： （2）如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝1m，BC＝5m，求旗杆AB的高度； 【类比迁移】 （3）如图3，若绳子比旗杆短，下垂后比旗杆少的一段用n表示，拉直绳子后，过其末端C作CD⊥BD于点D，CE⊥AB于点E，若CD＝m，BD＝c，设旗杆AB＝x m，为求出旗杆AB的高度，根据勾股定理可列出方程为 　 　 （用含m，n，c，x的式子表示） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$