第一章勾股定理专题训练——折叠专题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理专题训练——折叠专题 一．选择题 1．如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，点D为边AC上一点，将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上，则线段AD的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（　　） A． B． C． D．5 4．如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） A． B． C． D． 第4题图 第5题图 第6题图 5．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，BC＝9cm，AB＝15cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（　　） A．1cm B．3cm C．5cm D．6cm 6．如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．将长方形沿对角线AC折叠，点D落在了D′位置，AD′与BC相交于点E．则BE的长等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，将长方形纸片ABCD的一边AD折叠后，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕，已知AB＝6，AD＝10，则EC的长为（　　） A． B．3 C． D．4 8．已知，如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．6cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2 二．填空题 9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是AC边上的一个动点．将△ABC沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E．如图，若CD＝2，则C，E两点之间的距离为 　 　 ． 第9题图 第10题图 第11题图 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为　 　 ． 11．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝　 　 ． 第12题图 第13题图 第14题图 12．如图所示，在矩形纸片ABCD中，已知AB：BC＝2：3，点M在BC边上，将矩形折叠，使点D落在点M处，折痕为EF，若AE＝2，CM＝4，则AB的长为　 　 ． 13．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边上的D′点重合．若DC＝18，D′C＝12，则CF的长为 　 　 ． 14．如图，在矩形ABCD中，，BC＝4，P是边AD上的一点，AP＝1，Q是边CD上的动点，沿PQ将△DPQ折叠，则CD′的最大值为 　 　 ，最小值为 　 　 ． 15．如图，将长为8cm，宽为4cm的长方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长为　 　 ． 三．解答题 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是斜边AB和直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′． （1）如图（1），如果点B′和点A重合，求CE的长； （2）如图（2），如果点B′落在直角边AC的中点上，求CE的长． 17．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8． （1）求对角线AC的长； （2）点E是线段CD上的一点，把△ADE沿着直线AE折叠．点D恰好落在线段AC上，与点F重合，求线段DE的长． 18．如图，长方形的纸片ABCD中，AD＝6cm，AB＝8cm，把该纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F． （1）图中有等腰三角形吗？为什么？ （2）求重叠部分（即△ACF）的面积． 19．如图，在长方形ABCD中．AB＝10，BC＝8，点E是AD边上一点，将四边形BCDE沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为C'，D'，若C'D'恰好经过点A，求AE的长． 20．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，求： （1）AF的长； （2）求阴影部分三角形GED的面积． 第一章勾股定理专题训练——折叠专题 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C C B A A A 一．选择题（共8小题） 1．如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， 由勾股定理得：AB10（cm）， 设CD＝a cm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣a）cm， 由折叠性质得：CE＝CD＝a cm，AE＝AC＝6cm，∠ADC＝∠C＝90°， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），∠DEB＝90°， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＝DE2+BE2， ∴（8﹣a）2＝a2+42， 解得：a＝3（cm）， ∴CD＝a＝3cm． 故选：C． 2．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，点D为边AC上一点，将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上，则线段AD的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝7，AC＝24， ∴BC25， ∵将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上， ∴∠BA′D＝∠A＝90°，A′D＝AD， ∴AB⊥CD，A′D⊥BC， ∴BC•A′DCD•AB＝S△BCD， ∴25AD7（24﹣AD）， 解得AD， 故选：B． 3．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（　　） A． B． C． D．5 【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD＝AB＝4，∠B＝∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE＝DE，∠C＝∠CDE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠ADB+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝90°， ∴AD2+DE2＝AE2， 设AE＝x，则CE＝DE＝6﹣x， ∴42+（6﹣x）2＝x2， 解得x， ∴AE， 故选：C． 4．如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设NB＝x，则AN＝6﹣x， 由翻折的性质可知：ND＝AN＝6﹣x， ∵点D是BC的中点， ∴BDBC＝2． 在Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND2＝NB2+DB2，即（6﹣x）2＝x2+22， 解得：x． ∴BN， 故选：C． 5．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，BC＝9cm，AB＝15cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（　　） A．1cm B．3cm C．5cm D．6cm 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，BC＝9cm，AB＝15cm， ∴AC12cm， 根据折叠的性质可知：AE＝AB＝15cm， ∴CE＝AE﹣AC＝15﹣12＝3（cm）， 故选：B． 6．如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．将长方形沿对角线AC折叠，点D落在了D′位置，AD′与BC相交于点E．则BE的长等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设BE＝x cm，则EC＝（4﹣x）cm． 根据图形折叠的性质可知 CD＝CD′，∠D＝∠D′． ∵四边形ABCD为长方形， ∴AB＝CD＝3cm，∠B＝∠D＝90°． ∴AB＝CD′＝3cm，∠B＝∠D′＝90°． 在△ABE和△CED′中 ∴△ABE≌△CED′（AAS）． ∴BE＝ED′＝x cm． 在Rt△CED′中 EC2＝ED′2+CD′2， 即（4﹣x）2＝x2+32． 解得． ∴cm． 故选：A． 7．如图，将长方形纸片ABCD的一边AD折叠后，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕，已知AB＝6，AD＝10，则EC的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝10， ∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°， 由折叠的性质可得：AF＝AD＝10，DE＝EF， ∴， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2， 设CE＝x，则EF＝DE＝6﹣x， ∵EF2＝CF2+CE2， ∴（6﹣x）2＝22+x2， 解得：， 故选：A． 8．已知，如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．6cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2 【解答】解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE， 根据勾股定理可知：AB2+AE2＝BE2． ∴32+AE2＝（9﹣AE）2． 解得：AE＝4cm． ∴△ABE的面积为：3×4＝6（cm2）． 故选：A． 二．填空题（共8小题） 9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是AC边上的一个动点．将△ABC沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E．如图，若CD＝2，则C，E两点之间的距离为 　　 ． 【解答】解：连接CE，交BD于点F， 由折叠知，BE＝BC，CD＝ED， ∴BD垂直平分CE， ∴CF＝EFCE， ∵BC＝6，CD＝2，∠ACB＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为　2　 ． 【解答】解：如图， 取CF和AB的交点为D， ∵CF＝CB＝4， ∵AB5， ∵S△ABCAB×CDAC×BC， ∴CD， ∴FD＝CF﹣CD＝4， BD， 设BE＝EF＝x， ∴EDx， 在Rt△EDF中，EF2＝ED2+FD2， ∴x2， 解得x＝2，即EB＝2， 故答案为：2． 11．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝　5　 ． 【解答】解：设EC＝x，则BE＝8﹣x， ∵将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合， ∴AE＝EC＝x， 在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2， 42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， ∴EC＝5， 故答案为：5． 12．如图所示，在矩形纸片ABCD中，已知AB：BC＝2：3，点M在BC边上，将矩形折叠，使点D落在点M处，折痕为EF，若AE＝2，CM＝4，则AB的长为　8　 ． 【解答】解：从E点向BC边作垂线EG， 由题意可知AB：BC＝2：3，可设AB＝2x，BC＝3x， 可知EG＝2x，GM＝3x﹣6，EM＝3x﹣2， 根据勾股定理EG2+GM2＝EM2 可得x＝4，x＝2， ∴x≠2， 故结果为AB边长为8． 故答案为：8． 13．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边上的D′点重合．若DC＝18，D′C＝12，则CF的长为 　5　 ． 【解答】解：由折叠性质可得DF＝D′F， 设CF＝x，则D′F＝DF＝DC﹣CF＝18﹣x， ∵矩形纸片ABCD中，∠C＝90°， ∴CF2+D′C2＝D′F2， 即x2+122＝（18﹣x）2， 解得x＝5． 故答案为：5． 14．如图，在矩形ABCD中，，BC＝4，P是边AD上的一点，AP＝1，Q是边CD上的动点，沿PQ将△DPQ折叠，则CD′的最大值为 　　 ，最小值为 　3　 ． 【解答】解：∵，P是边AD上的一点，AP＝1，Q是边CD上的动点，沿PQ将△DPQ折叠， ∴D′是在以点P为圆心，PD＝4﹣1＝3的长为半径的圆弧上运动，如图所示， 当Q与C重合时，CD′有最大值， 当D′在PC与圆弧的交点处时，CD′最小， 故答案为：，3． 15．如图，将长为8cm，宽为4cm的长方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长为　cm　 ． 【解答】解：如图，连接BM，EM，BE， 由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称． ∴MN垂直平分BE， ∴BM＝EM， ∵点E是CD的中点，CD＝4cm， ∴DE＝2cm， 在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2＝BM2，DM2+DE2＝EM2， ∴AM2+AB2＝DM2+DE2． 设AM＝x cm，则DM＝（8﹣x）cm， ∴x2+42＝（8﹣x）2+22． 解得，x， 即AMcm． 故答案为：cm． 三．解答题（共5小题） 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是斜边AB和直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′． （1）如图（1），如果点B′和点A重合，求CE的长； （2）如图（2），如果点B′落在直角边AC的中点上，求CE的长． 【解答】解：（1）如图1中，设AE＝EB＝x， 在Rt△ACE中，∵AC2+CE2＝AE2， ∴22+（4﹣x）2＝x2， ∴x， ∴BE， ∴CE＝BC﹣BE＝4． （2）如图2中，设EB′＝EB＝y． 在Rt△CEB′中，∵CB′2+CE2＝EB′2， ∴12+（4﹣y）2＝y2， ∴y， ∴EB， ∴CE＝BC﹣BE＝4． 17．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8． （1）求对角线AC的长； （2）点E是线段CD上的一点，把△ADE沿着直线AE折叠．点D恰好落在线段AC上，与点F重合，求线段DE的长． 【解答】解：（1）在直角△ABC中，AC10； （2）根据题意得AF＝AD＝BC＝8，DE＝EF，FC＝AC﹣AF＝10﹣8＝2． 设DE＝x，则EC＝CD﹣DE＝6﹣x，EF＝DE＝x． 在直角△CEF中，EF2+FC2＝EC2， 则x2+4＝（6﹣x）2， 解得x． 18．如图，长方形的纸片ABCD中，AD＝6cm，AB＝8cm，把该纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F． （1）图中有等腰三角形吗？为什么？ （2）求重叠部分（即△ACF）的面积． 【解答】解：（1）△ACF是等腰三角形． 理由如下：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F， ∴∠BAC＝∠EAC， ∴∠EAC＝∠DCA， ∴△ACF为等腰三角形； （2）设FC＝x，则AF＝x，DF＝CD﹣CF＝8﹣x， 在Rt△ADF中，62+（8﹣x）2＝x2，解得x， 即CF， ∴重叠部分（即△ACF）的面积6． 19．如图，在长方形ABCD中．AB＝10，BC＝8，点E是AD边上一点，将四边形BCDE沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为C'，D'，若C'D'恰好经过点A，求AE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝∠C＝∠DAB＝90°，AB＝DC＝10，AD＝BC＝8， 根据翻折变换的性质可知： ∠D′＝∠D＝90°，∠C′＝∠C＝90°，ED＝ED′，BC′＝BC＝8，D′C′＝DC＝10； 由勾股定理得： AC′2＝AB2﹣BC′2， ∴AC′＝6，AD′＝10﹣6＝4； 设ED＝ED′＝a，则AE＝8﹣a， 由勾股定理得：（8﹣a）2＝42+a2， 解得：a＝3， ∴AE＝8﹣3＝5． 20．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，求： （1）AF的长； （2）求阴影部分三角形GED的面积． 【解答】解：（1）设AF＝x，则CF＝x，BF＝8﹣x， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2， ∴16+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴AF＝5； （2）如图：过G点作GH⊥AD于H， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠EFC＝∠EFA， ∴AF＝AE＝5，DE＝3， 则AG×GE＝AE×GH， 4×3＝5GH， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$