精品解析：广东省肇庆市广宁中学2025-2026学年高三上学期初期调研考试数学试卷

广东省肇庆市广宁中学2026届高三初期调研考 试数学试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列前项和为，，且，则（ ） A. 1012 B. 2024 C. D. 2025 6. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 记函数导函数为，且、分别为函数、的零点，若函数在上无极值，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 若函数极小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 为了了解苗圃中树苗的生长情况，林业部门从一个苗圃中的10000棵树苗中随机抽取了棵，按照树苗的高度进行了分组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知高度在内的树苗有10棵，将样本频率当做概率，则以下结论正确的是（ ） A. ， B. 这棵树苗高度的中位数的估计值为114 C. 在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有2000棵 D. 若采用按比例分层抽样的方法从这棵树苗中抽取40棵，则高度在内的有5棵 10. 在平面直角坐标系中，与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为、，点为曲线上任意一点，且满足，则（ ） A. 点在曲线上 B. C. D. 11. 已知定义在上的函数的图象为一条连续的曲线，且满足：①在上单调递增；②对，，，则以下结论正确的是（ ） A. 当时， B. 函数为奇函数 C. D. 若，，则 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12 若，则________. 13. 若直线为曲线的一条切线，则实数________. 14. 若一个等比数列有无穷多项，并且它的公比满足，则称为无穷递缩等比数列.研究发现：当时，无穷递缩等比数列的前项和（其中为首项，为公比）.下图为一个容器的轴截面，该容器由，，三个球形容器构成，其中球，各有3个出口，球有4个出口，且球的3个出口中1个与相连，球的4个出口中1个与相连、1个与相连，球的3个出口中1个与相连，一个小球在容器内做无规律随机运动，当小球运动到容器外时，运动停止.已知该小球的起始位置在球内，则当运动停止时，小球位于出口外的概率约为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）判断的形状； （2）若，边上的中线长为，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，底面，平面，，，，分别为棱、上的点，且，且//平面. （1）求的值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知函数的定义域为. （1）求的单调区间； （2）令，若对，，且，恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知过点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），为坐标原点，且. （1）求的值； （2）设点，记直线，的倾斜角分别为，，证明：； （3），为过点两条直线，且直线与轴的正半轴交于点，直线与轴的负半轴交于点，记点到直线，的距离分别为，，若，求面积的最小值. 19. 已知数表，记为数表中第行第列的数，且.设，，如果集合中元素的个数为，则称数表为“阶倍数表”. （1）写出3个满足的“2阶倍数表”； （2）若为“阶倍数表”，若整数，且，证明：； （3）是否存在“5阶倍数表”？若存在请举出例子；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省肇庆市广宁中学2026届高三初期调研考 试数学试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数性质求出集合A，根据集合的交集运算，即得答案. 【详解】由题意得，， 故， 故选：A 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出，进而求出复数的模. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 3. 若双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆和双曲线的方程及离心率计算公式可得结果. 【详解】由题意得椭圆的焦点为和， 而双曲线和椭圆有公共焦点，则双曲线的焦点也为和， 由双曲线方程可得，解得，又，得到， 则双曲线离心率为. 故选：B. 4. 已知单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律，结合垂直关系的向量表示逐项判断. 【详解】由单位向量，的夹角为，得， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 5. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. 1012 B. 2024 C. D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】根据的关系可得，即可通过列举发现周期性，进而可求解. 【详解】由可得，故， 由可得 故是周期为3的周期数列，且， 故， 故选：C 6. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据正四棱台及其外接球的性质，可知球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上，垂直于上下底面，结合已知条件求出上下底面的面积及，根据已知条件结合体积公式得出正四棱台的高，因为，设，根据勾股定理构造关于的方程，求出从而计算出值，根据求出外接球的表面积. 【详解】 如图所示，正四棱台的外接球半径，设， 根据正四棱台及其外接球的性质可知，球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上， 垂直于上下底面，且上下底面均为正方形，则 ，， ，， 设正四棱台的高为，则. 所以. 因为，设，则， 根据勾股定理. 所以外接球表面积. 故选：C. 7. 记函数的导函数为，且、分别为函数、的零点，若函数在上无极值，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，再由在上无极值可得，从而得到或6，根据三角函数的性质分别讨论的取值可得结果. 【详解】由题知，，，， 所以，解得①， 因为函数在上无极值，所以，解得②， 由①②可知，或6， 当时，可得，则，令，则，满足在上无极值； 当时，可得，则，令，则， 当时，，不满足在上无极值，故. 故选：A. 8. 若函数的极小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据导数确定导函数的单调性，即可结合极值的定义求解. 【详解】由可得， 当时，，此时在单调递增，无极值， 当时，由于函数均在单调递增，则在单调递增， 结合有极值，故必然有零点，且有唯一的零点，设为， 则，即，有， 当在单调递减，当在单调递增， 故是的极小值点，故，则，解得， 综上可得， 故选：C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 为了了解苗圃中树苗的生长情况，林业部门从一个苗圃中的10000棵树苗中随机抽取了棵，按照树苗的高度进行了分组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知高度在内的树苗有10棵，将样本频率当做概率，则以下结论正确的是（ ） A. ， B. 这棵树苗高度中位数的估计值为114 C. 在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有2000棵 D. 若采用按比例分层抽样的方法从这棵树苗中抽取40棵，则高度在内的有5棵 【答案】BC 【解析】 【分析】根据频率之和为1以及频率计算公式可判断A，根据中位数的计算方法可判断B，根据频率的计算可判断C，根据抽样比可判断D. 【详解】对于A，，解得， 高度在内树苗的频率为，则（棵），故A错误； 对于B，设中位数为，中位数左边和右边的频率分布直方图的面积相等，都为0.5， 前三个矩形的面积和为， 对应的矩形面积为， 因为，所以中位数在内， 则，解得， 所以这棵树苗高度的中位数的估计值为114，故B正确； 对于C，高度在100cm以下的树苗的频率为， 在这10000棵树苗中，高度在100cm以下的约有（棵），故C正确； 对于D，高度在内的树苗的频率为， 故若采用按比例分层抽样的方法从这棵树苗中抽取40棵，则高度在内的有（棵），故D错误. 故选：BC. 10. 在平面直角坐标系中，与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为、，点为曲线上任意一点，且满足，则（ ） A. 点在曲线上 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示求出曲线C满足的关系等式，再结合不等式的性质及基本不等式逐项判断. 【详解】依题意，，由， 得，则曲线， 对于A，当时，，点不在曲线上，A错误； 对于B，，当且仅当取等号，则，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，则有，C正确； 对于D，当时，，则， 即，因此； 当时， 若，则， 若，则， 解得，即，于是，因此成立，D正确. 故选：BCD 11. 已知定义在上的函数的图象为一条连续的曲线，且满足：①在上单调递增；②对，，，则以下结论正确的是（ ） A. 当时， B. 函数为奇函数 C. D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过赋值法和函数性质的推导来逐一分析选项. 详解】令，则，解得 令，则，即 因为在上单调递增，所以当时，， 故选项正确. 令，则， 由于，可得， 即，所以为奇函数， 故选项正确. 令，则，即， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 解得， 故选项错误. 因为，，所以，， 且（当且仅当时取等号）， 因为在上单调递增，， 所以与单调性相同，即在上单调递增， 因为为奇函数， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以 即， 故选项正确. 故选： 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得 . 故答案为： 13. 若直线为曲线的一条切线，则实数________. 【答案】1 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解切点处的方程，即可与原方程对照列式子求解. 【详解】对求导可得, 设切点为，则切点处的切线方程为， 化简可得， 故且， 解得， 故答案为：1 14. 若一个等比数列有无穷多项，并且它的公比满足，则称为无穷递缩等比数列.研究发现：当时，无穷递缩等比数列的前项和（其中为首项，为公比）.下图为一个容器的轴截面，该容器由，，三个球形容器构成，其中球，各有3个出口，球有4个出口，且球的3个出口中1个与相连，球的4个出口中1个与相连、1个与相连，球的3个出口中1个与相连，一个小球在容器内做无规律随机运动，当小球运动到容器外时，运动停止.已知该小球的起始位置在球内，则当运动停止时，小球位于出口外的概率约为________. 【答案】 【解析】 【分析】先分析小球运动规律，记次运动后，小球位于,,三个球形容器的概率分别为．根据运动规律建立递推关系，由递推关系得出数列通项公式，再根据无穷递缩等比数列的相关说明求得"运动停止前，小球位于球的概率"，进而得到"当运动停止时，小球位于出口外的概率". 【详解】记小球从一个球形容器运动到其相邻的球形容器为一次运动．记次运动后，小球位于,,三个球形容器的概率分别为． 根据马尔可夫链，可知：当时，, 化简，整理得：当时，. 特别地，可分析知，小球到达球需奇数次运动，偶数次运动后不能到达球, 所以认为当为偶数时，. 当为奇数时，因为小球的起始位置在球内，所以，所以. 因为小球到达球需偶数次运动，奇数次运动后不能到达球, 所以认为当为奇数时，. 当为偶数时，为奇数，所以 记数列的前项和为,则,其中为偶数. 由题意知，为无穷递缩等比数列,当时，. 即当运动停止前，小球位于球的概率约为. 所以当运动停止时，小球位于出口外的概率约为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）判断的形状； （2）若，边上的中线长为，求的周长. 【答案】（1）等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解， （2）利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由以及余弦定理可得， 化简可得， 故为等腰三角形， 【小问2详解】 由（1）知,故, 所以， 由余弦定理可得， 解得， 故的周长为 16. 如图，在四棱锥中，底面，平面，，，，分别为棱、上的点，且，且//平面. （1）求的值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取上点，使得，结合题给条件推出四边形为平行四边形，由线线平行得出平面平面，进而得出，根据中位线定理，从而得出. （2）先证明底面，以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，设为平面的法向量，为平面的法向量，利用向量点积为零得出，，结合图形运用计算求解. 小问1详解】 如图，取上点，使得. 因为平面，平面，平面平面， 所以，. 又， 所以四边形为平行四边形， 所以 又平面，，平面， 所以平面平面， 所以平面. 又平面平面，平面， 所以， 又， 所以为中点， 所以为中位线，为中点，即. 【小问2详解】 连接，因为，为中点， 所以为等腰三角形，， 由（1）知，则， 又因为底面，故以为原点，以为轴，建立如下空间直角坐标系， 为直角三角形，则， 则，，，，. 所以， 由（1）知，则. 所以，，. 设为平面的法向量，则 ，令，则，， 设为平面的法向量，则 ，令，则，. 设平面与平面的夹角为，结合图像可知，则 . 17. 已知函数的定义域为. （1）求的单调区间； （2）令，若对，，且，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数正负求解单调性， （2）求解的单调性，将问题转化为，构造，即可利用导数求解单调性得解. 【小问1详解】 ，令，解得，（舍去）， 故当在单调递减， 当在单调递增， 故的单调递增区间为，递减区间为 【小问2详解】 由于，则， 故在单调递减，故在单调递减， 故由可得对，恒成立， 令，则， 故当在上单调递增， 由于对，，且，， 故在单调递增， 因此，故. 18. 已知过点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），为坐标原点，且. （1）求的值； （2）设点，记直线，的倾斜角分别为，，证明：； （3），为过点的两条直线，且直线与轴的正半轴交于点，直线与轴的负半轴交于点，记点到直线，的距离分别为，，若，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）8 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程得韦达定理，进而根据数量积的坐标运算，代入即可化简求解， （2）根据两点斜率公式，即可化简求解斜率之和为0. （3）根据相切，可得切线长定理以及勾股定理，即可结合基本不等式求解. 【小问1详解】 设直线的方程为， 由，得. 设，， 则，， 故，解得， 【小问2详解】 ， 而 ， 所以， 因此，互补，即； 【小问3详解】 以为圆心，1为半径作圆, 由于，且,故直线与圆相切， 故记与圆的切点分别为,，连接， 由题意得 . 由切线长定理，知，，， 所以 又 ， 所以，解得 所以 ， 当且仅当，由于，即时，取等号. 故面积的最小值为8. 19. 已知数表，记为数表中第行第列的数，且.设，，如果集合中元素的个数为，则称数表为“阶倍数表”. （1）写出3个满足的“2阶倍数表”； （2）若为“阶倍数表”，若整数，且，证明：； （3）是否存在“5阶倍数表”？若存在请举出例子；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），，； （2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）理解题意按要求构造即可；（2）注意到数表中所有元素之和与和之间的联系，集合中元素的关系，即可证明；（3）反证法，对的取值进行分类讨论 【小问1详解】 ，其中，即，满足题意； ，其中，即，满足题意； ，其中，即，满足题意； 【小问2详解】 ，，且，而区间中只有个整数，为了使各不相同，除了以外的整数都有一个或与之相同，则，即，故. 【小问3详解】 假设存在“5阶倍数表”. 设，. 由（2）可知，，因此为偶数，故可能的取值为，，. 从而.若，即第行的所有数均为， 此时便不可能存在使得.因此，要么都属于，要么都属于. 由于对称性，不妨设. 若，则.此时每一列都各有一个和， 因此，因此，那么，与矛盾. 若，则.此时依然成立，因此， 那么，而， 因某两行之和为和，此两行的数必分别均为和. 因此每一列必有一个和，为使某列之和为，则该列剩余的三个数必然是三个， 但考虑到有一行之和为，那么该行最大的数为，其余四个数均为.两者矛盾， 故. 同理也会推出矛盾. 若，则.此时依然成立， 因此.不妨设此时数表为， 故，故. 进而可知，，且时，. 不妨设. 故数表如下. 不妨设，数表只能如下填写， 此时中间三列的数字之和均为，因此即使最后一行填上， 也无法使得该列数之和为，这与矛盾. 同理，依然矛盾. 故不存，假设不成立. 所以不存在“5阶倍数表”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $