精品解析：2025年河北省邯郸市冀南新区精英中学中考数学六模试卷

2025年河北省邯郸市冀南新区精英中学中考数学六模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式的最小整数解为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ） A. 南偏西方向 B. 南偏东方向 C. 北偏西方向 D. 北偏东方向 3. 如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，则比线段短的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 4. 代数式可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则t的值不可以是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 7. 地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为．关于数据“”，下列说法正确的是（ ） A. 用科学记数法可表示为 B. 用科学记数法可表示为 C. 该数是一个18位数 D. 该数是一个19位数 8. 如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ） A. 0 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（    ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 11. 如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ） A. B. C. D. 2 12. 如图，在 △ ABC 中，∠ ACB=90° ，AC=BC=2 ．E ， F 分别是射线 AC 、CB 上的动点，且 AE=BF ， EF 与 AB 交于点 G ，EH⊥ AB 于点 H ，设 AE=x ，GH=y ，下面能够反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 一次射击训练，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9环，方差分别是，，则甲、乙在这次射击中成绩稳定的是 _____．（填“甲”或“乙”）． 14. 已知，其中为正整数，则______． 15. 如图，已知点是正六边形内一点，连结，，，．若，，则的长为________． 16. 如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为______． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 整式的值为P． （1）当m＝2时，求P的值； （2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值． 18. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 19. 如图，在四边形中，，，相交于点O，． （1）找出图中与相等的角，并说明理由． （2），请用无刻度的直尺和圆规作菱形，点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）． 20. 某物理探究小组利用实验器材模拟室内光线反射，研究光线反射规律．如图1，为水平放置的平面镜，为光屏，一束光从点A射入，光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑．由光的反射定理可知：．已知光屏与水平面的夹角为，点A与的距离分米，若光线与平面镜的夹角时，光线在光屏上形成的光斑为点C． （1）求点A与光斑点C的距离（结果保留根号）； （2）如图2，若光线与平面镜的夹角时，此时光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑为点G，求光斑点C与光斑点G之间的距离（结果保留根号）． 21. 已知，在如图所示的平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，． （1）求线段所在直线的解析式； （2）如图，在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的得到线段，若反比例函数的图象过点，求k的值，并直接判断点是否落在反比例函数的图象上； （3）在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的所得线段记为，当点落在（2）中的反比例函数的图象上时，请直接写出m的值． 22. 雨过天晴，人们常看到天空中出现彩虹，它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象．在说明这个现象时，需要分析光线射入水珠后的光路． 已知：一细束光线射入水珠，水珠可视为一个半径为的球，球心到入射光线的垂直距离为，折射光线．（参考数据：，） （1）圆心到折线的距离； （2）求光线与折线所夹的劣弧的长． （3）若这条光线在第一次射出水珠的线路与水珠所在的相切，请直接写出光线与所在直线所夹的锐角的度数． 23. 如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米，船头B高出水面2米，建立如图所示的平面直角坐标系．在船的前方距离O点40米处，有直立的固定标志杆，标志杆高米． （1）求船轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； （2）在点处发射一个小球，此时小球所走路线是抛物线的一部分．问：小球能否砸到标志杆．请通过计算加以说明； （3）若水面上涨2米，小船也随之上涨，标志杆固定不变．把小船向右移动n米（没有到达标志杆位置），然后再按（2）中的方式发射小球，若小球在落水前未砸中标志杆，直接写出的取值范围． 24. 如图，在平行四边形中，，，，点E是上一点，且点P从点E出发，沿折线运动，到终点D停止，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，设点P在折线上运动的路径长为 （1）如图1，当点P在边上运动时，长的最小值为______； （2）如图2，点P在上时，连接交于点M，设． ①时，求k的值； ②嘉琪说，点P在上时，k的值与x的值无关，嘉琪的说法______（填“正确”或“不正确”） ． （3）当射线恰好经过点C时，如图3，求此时x的长； （4）连接，直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省邯郸市冀南新区精英中学中考数学六模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式的最小整数解为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解集，即可得出最小的整数解. 【详解】解：解不等式 解得：， 则不等式的最小整数解为． 故选B． 2. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ） A. 南偏西方向 B. 南偏东方向 C. 北偏西方向 D. 北偏东方向 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向， ∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向． 故选D． 【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 3. 如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，则比线段短的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出对应线段的长，再比较出各线段的长短即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴比线段短的是线段， 故选；A． 4. 代数式可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．根据同底数幂的乘法，可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 5. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则t的值不可以是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：由题意，， 解得． 而， 故选：C． 7. 地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为．关于数据“”，下列说法正确的是（ ） A. 用科学记数法可表示为 B. 用科学记数法可表示为 C. 该数是一个18位数 D. 该数是一个19位数 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据“”用科学记数法可表示为，故A正确，B错误； 该数是一个17位数，故C，D错误． 故选：A． 8. 如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ） A. 0 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 9. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（    ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图， 平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 10. 如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】B 【解析】 【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案． 【详解】解∵1． 又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等． 11. 如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作OH⊥PA于H，根据正弦的定义得到sin∠OPA，由于OP＝3，则当OH最大时，即OH＝OA时，∠OPA最大，利用勾股定理求出PA即可． 【详解】解：作OH⊥PA于H，如图， ∵sin∠OPA， ∵OP＝3， ∴当OH最大时，即OH＝OA时，∠OPA最大， 此时PA． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了锐角三角函数． 12. 如图，在 △ ABC 中，∠ ACB=90° ，AC=BC=2 ．E ， F 分别是射线 AC 、CB 上的动点，且 AE=BF ， EF 与 AB 交于点 G ，EH⊥ AB 于点 H ，设 AE=x ，GH=y ，下面能够反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出 △ ABC 是等腰直角三角形，再判断出 △ AHE 是等腰直角三角形，然后根据勾股定理计算出 AB 、 AH 的长度，过点 B 作 BD ∥ AC 交 EF 于点 D ，然后利用平行线分线段成比例得出 B D:A E = B G:A G，B F:F C = B D:E C ，再表示出BD ，然后求出 BG 的长度，最后根据GH=AB﹣AH -BG ，代入数据就可以得出 y 关于 x 的函数关系式，再根据函数相应的图像解答． 【详解】解： ∵∠ ACB=90° ， AC=BC=2 ， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴ AB=, ∠ A=45° ， ∵ EH ⊥ AB 于点 H ， ∴△AHE是等腰直角三角形， ∵AC=BC=2 ∴ AH=AE=x ， 过点 B作 BD∥AC交EF于点 D ， 则 ∴ ∴= 整理得， 解得， BG=-x ， 根据图形，GH=AB﹣AH﹣BG ， =2﹣x-(-x)， =2﹣x-+x = 即 y=，是一条平行于 x 轴的直线． 故选： C ， 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了等腰直角三角的判定与性质，平行线分线段成比例定理，作辅助线利用平行线分线段成比例定理两次表示出BD是解题的关键 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 一次射击训练，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9环，方差分别是，，则甲、乙在这次射击中成绩稳定的是 _____．（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方程的意义即可得到答案． 【详解】解：，， ， 两人10次射击成绩的平均数均是9环， 甲、乙在这次射击中成绩稳定的是甲， 故答案为： 甲． 14. 已知，其中为正整数，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式加减运算，二次根式性质，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．根据无理数的估算即可得． 【详解】解：∵， ∵，， ， 为正整数， ， 故答案为：4． 15. 如图，已知点是正六边形内一点，连结，，，．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过点作，交分别为，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，根据已知得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交分别为，连接，过点作于点，设正六边形的边长为 ∵六边形是正六边形 ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵六边形是正六边形 ∴ ∵ ∴，则， ∴ ∵， ∴ 即 解得： 即， 故答案为：． 16. 如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为______． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键． （1）利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； （2）利用二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：（1）抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为． 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 故答案为：； （2）与y轴交于点， 则点关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最低点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 整式的值为P． （1）当m＝2时，求P的值； （2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将m＝2代入代数式求解即可， （2）根据题意，根据不等式，然后求不等式的负整数解． 【小问1详解】 解：∵ 当时， ； 【小问2详解】 ，由数轴可知， 即， ， 解得， 的负整数值为． 【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键． 18. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 【答案】（1）中位数为分，平均数为分，不需要整改 （2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由分变成4分 【解析】 【分析】（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可； （2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分； ∴客户所评分数的中位数为：(分) 由统计图可知，客户所评分数的平均数为：(分) ∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分， ∴该部门不需要整改． 【小问2详解】 设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有： 解得： ∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档， ∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分， ∵， ∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分， 即加入这个数据之后，中位数是4分． ∴与（1）相比，中位数发生了变化，由分变成4分． 【点睛】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键． 19. 如图，在四边形中，，，相交于点O，． （1）找出图中与相等的角，并说明理由． （2），请用无刻度的直尺和圆规作菱形，点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）， 理由如下： ， ， 在与中， ， ∴ ， ∴四边形为平行四边形， ， ； （2） 菱形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行线的性质，全等三角形的判定证明，则，进而可得四边形为平行四边形，从而可得结论． （2）作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，菱形即为所求． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵垂直平分， ∴，且经过点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 则四边形即为所求． 20. 某物理探究小组利用实验器材模拟室内光线反射，研究光线反射规律．如图1，为水平放置的平面镜，为光屏，一束光从点A射入，光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑．由光的反射定理可知：．已知光屏与水平面的夹角为，点A与的距离分米，若光线与平面镜的夹角时，光线在光屏上形成的光斑为点C． （1）求点A与光斑点C的距离（结果保留根号）； （2）如图2，若光线与平面镜的夹角时，此时光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑为点G，求光斑点C与光斑点G之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）分米 （2）分米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得分米．再由直角三角形的性质即可得解． （2）过点A作，垂足为点P．解直角三角形得出分米．分米，由等腰直角三角形的性质可得分米，即可得解． 【小问1详解】 解：在中，， ，分米， 分米． 根据题意，得，， 在中，， ∵分米，， 分米． 答：点A与光斑点C的距离为分米． 【小问2详解】 解：如图，过点A作，垂足为点P． 在中，． ，分米， 分米． 根据题意，得，， 在中，． ，分米， 分米． 在中，． ，分米， 分米． 分米． 答：光斑点C与光斑点G之间的距离为分米． 21. 已知，在如图所示的平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，． （1）求线段所在直线的解析式； （2）如图，在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的得到线段，若反比例函数的图象过点，求k的值，并直接判断点是否落在反比例函数的图象上； （3）在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的所得线段记为，当点落在（2）中的反比例函数的图象上时，请直接写出m的值． 【答案】（1） （2）；点不在反比例函数的图象上 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，位似变换，反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握求一次函数的解析式及反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先根据位似图形求出，的坐标，然后将点的坐标代入求解，得到反比例函数的解析式，再验证是否在反比例函数的图象上即可； （3）先根据位似图形求出的坐标，然后将点的坐标代入求解即可． 【小问1详解】 解：设线段所在直线的解析式为， 点A，B坐标代入，得， 解得， 线段所在直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，， 反比例函数的图象过点， ， ， ， 当时，， 点不在反比例函数的图象上； 【小问3详解】 解：由题意， 点落在中的反比例函数的图象上， ， ， ， ． 22. 雨过天晴，人们常看到天空中出现彩虹，它是由阳光照射到空中弥漫的水珠上时出现的现象．在说明这个现象时，需要分析光线射入水珠后的光路． 已知：一细束光线射入水珠，水珠可视为一个半径为的球，球心到入射光线的垂直距离为，折射光线．（参考数据：，） （1）圆心到折线的距离； （2）求光线与折线所夹的劣弧的长． （3）若这条光线在第一次射出水珠的线路与水珠所在的相切，请直接写出光线与所在直线所夹的锐角的度数． 【答案】（1）圆心到折线的距离为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，即可求解； （2）过点作于点，连接，依题意，，勾股定理求得，进而得出，，根据圆周角定理得出，进而根据弧长公式，即可求解． （3）过点作交于点，由（2）可得，则，进而根据切线的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵ ∴ 又 ∴， 即圆心到折线的距离为 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，连接， 依题意， ∴在中，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：如图所示，过点作交于点 由（2）可得，则 ∴ ∴ 又∵是的切线 ∴ ∴ 即光线与所在直线所夹的锐角的度数为． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，求弧长，切线的性质，解直角三角形；熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米，船头B高出水面2米，建立如图所示的平面直角坐标系．在船的前方距离O点40米处，有直立的固定标志杆，标志杆高米． （1）求船轮廓线所在抛物线的解析式及点的坐标； （2）在点处发射一个小球，此时小球所走路线是抛物线的一部分．问：小球能否砸到标志杆．请通过计算加以说明； （3）若水面上涨2米，小船也随之上涨，标志杆固定不变．把小船向右移动n米（没有到达标志杆位置），然后再按（2）中的方式发射小球，若小球在落水前未砸中标志杆，直接写出的取值范围． 【答案】（1）船轮廓线所在抛物线的解析式为，点的坐标为； （2） 解：能砸中， 将点的坐标代入，得 ， 解得，， ， 当时， 小球能砸到标志杆． （3）若小球在落水前未砸中标志杆，的取值范围是． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，并且会求二次函数的解析式． （1）设出二次函数的顶点式，代入原点坐标，可得二次项系数，从而可得船轮廓线所在抛物线的解析式，代入点的纵坐标，可得点的横坐标； （2）把点的坐标代入小球所走路线的抛物线解析式，解得的值，从而可得小球所走路线的抛物线的解析式，代入点的横坐标，通过计算判断抛物线与标志杆是否有交点即可； （3）根据二次函数图象的平移，可得在题设条件下小球所走路线抛物线的解析式，代入点的坐标，求出小球经过标志杆顶端对应的的值，即可确定满足题意的的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意，设船轮廓线所在抛物线的解析式为， 将的坐标代入，得 ．解得． ∴， 把代入抛物线解析式，得． 解得，，（舍去）， 点B的坐标为， 答：船轮廓线所在抛物线的解析式为，点的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 水面上涨2米，小船再向右移动米，小球所走路线抛物线的解析式为 若抛物线经过点，则， 解得，，． ． 答：若小球在落水前未砸中标志杆，的取值范围是． 24. 如图，在平行四边形中，，，，点E是上一点，且点P从点E出发，沿折线运动，到终点D停止，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，设点P在折线上运动的路径长为 （1）如图1，当点P在边上运动时，长的最小值为______； （2）如图2，点P在上时，连接交于点M，设． ①时，求k的值； ②嘉琪说，点P在上时，k的值与x的值无关，嘉琪的说法______（填“正确”或“不正确”） ． （3）当射线恰好经过点C时，如图3，求此时x的长； （4）连接，直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2）①；②嘉琪的说法正确 （3） （4） 【解析】 【分析】当时，最小，即最小，解直角三角形得出结果； ①作于G，可求得，根据得出； ②延长交于点H,连接，交于点N，可证得，，从而，进而得出结果； 作于W，作，交的延长线于V，可证得，从而，进一步得出结果； 当点P在上时，P点在A处时，，当点P在上运动时，作于 R，作射线，交于X，可证得，从而，从而得出点F在过点R且与成定角度是的度数的射线上运动，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图1， ∵旋转， ∴， 当时，最小，即最小． 过D作于G． ． ∴． ， ∴设（）． ∵， ∴． ∴． ∴． ． ∵， ． 故答案为：． 【小问2详解】 ①如图2， 同（1），作于G， 则． 线段绕点E顺时针旋转得到线段， ． 由（1）知，． ． 点F在上． ∵， ∴． ， 四边形是矩形． ． ， ∴． ． ． ②嘉琪的说法正确，理由如下： 如图3，延长交于点H,连接，交于点N，则． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ，． ∴． ∴． 由①可知，． ∴． ． 故答案为：正确； 【小问3详解】 如图4， 作于W，作，交的延长线于V． ． ． ， ． ． ． ． 设， 则． 由上知，． ． ． ． ． 【小问4详解】 当点P在上时，， 当P点在A处时，点F在上，，此时最小． ． 当点P在上运动时，如图， 作于 R，作射线，交于X， ． ∴． ． ， ． ． 点F在过点R且与成定角度是的度数的射线上运动． ， ． ． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ， 当F在X处时， 故的最小值是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $