精品解析：河北省唐山市半壁店育才学校2025-2026学年上学期开学摸底考试九年级数学试卷

2025年新初三数学人教新版开学考模拟试卷1 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8 3. 下列判断错误的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 4. 如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为4，则该直线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，则此时计算出来的平均数比实际结果多（ ） A. 9 B. 10 C. 19 D. 2 7. 下列二次根式中，与能合并的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 计算_______． 10. 如图，正方体的棱长为2，O为的中点，则O，，B三点为顶点的三角形面积为_______________． 11. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为_____． 12. 如图，在中，为线段上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．若，．且时，设正方形的边与线段相交于点，则线段长的最大值为_______． 13. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为_________． 14. 点在直线上，且点到两坐标轴的距离相等，则点在第_______象限． 15. 有甲，乙两组数据，如表所示；甲，乙两组数据的方差分别为，，则_______（填“>”，“”，“”）． 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 16. 数学课上老师出示了下面一道题，请同学们据此补全结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分． 如图，在菱形中，，点、分别是、的中点，相交于点，连接，交于点． 请补全下列结论： ① ，② ，③ ，④ ，⑤ ． 小明补全的结论为：①，②，③，④，⑤．如果你给小明批卷，小明可得________分． 三、解答题（共6小题，满分52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： （1）已知，，求c的长； （2）已知，，求a的长； 19. 如图，在中，，，求的度数． 20. 一个一次函数的图象过A（1，3），B（﹣5，﹣3）两点 （1）求该函数解析式； （2）设点P在x轴上，若S△ABP＝12，求点P的坐标． 21. 为了弘扬中华优秀传统文化，推动文化强省建设，我省中华传统文化研究会准备举办经典诵读比赛，某校积极备战，对九年级学生诵读情况进行了抽查，并根据学生平均每周诵读时间（时间取最接近的整数）绘制了如下的条形统计图和扇形统计图．根据图中信息解决下列问题： （1）求本次抽查的学生总数，并补全条形统计图； （2）求九年级学生平均每周诵读时间的众数、中位数； （3）试估计该校1200名九年级学生中，平均每周诵读时间不少于4小时的学生人数． 22. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年新初三数学人教新版开学考模拟试卷1 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 2. 如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由 ，可求b＝4，即可求解． 【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c， ∴ABa，ACb，BCc， ∵∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴2a2+2b2＝2c2， ∴a2+b2＝c2， ∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC， ∴BG＝GH＝a， ∵， ∴（a+c）（c﹣a）＝16， ∴c2﹣a2＝32， ∴b2＝32， ∴b＝4， ∴ACb＝8， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键． 3. 下列判断错误的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐一进行判断即可，掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该说法正确，不符合题意； 、四个内角都相等的四边形是矩形，该说法正确，不符合题意； 、两条对角线垂直且平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意； 故选：． 4. 如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象得到kx＞2b的解集是x＜3，再求不等式k（x﹣1）＞2b的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当x＜3时，kx﹣2b＞0， 所以关于x的不等式kx＞2b的解集是x＜3， 所以关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集为x﹣1＜3， 即：x＜4， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 5. 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为4，则该直线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设 P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知 PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为4，可得到 x、y之间的关系式． 【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 矩形的周长为4， ， ， 即该直线的函数表达式是， 故选择：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．根据坐标的意义得出 x、y之间的关系是解题的关键． 6. 在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，则此时计算出来的平均数比实际结果多（ ） A. 9 B. 10 C. 19 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数.由已知可得，因看错数，总数增加了900，由此可得平均数多多少. 【详解】解：在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，相当于总数增加了900，则此时所算得的平均数比实际结果多. 故选：A. 7. 下列二次根式中，与能合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ∴与能合并的是， 故选D. 8. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°， 而CE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DAE中 ∴△ABF≌△DAE， ∴AE=BF，所以（1）正确； ∴∠ABF=∠EAD， 而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°， ∴AE⊥BF，所以（2）正确； 连接BE， ∵BE＞BC， ∴BA≠BE， 而BO⊥AE， ∴OA≠OE，所以（3）错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△DAE， ∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF， ∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”． 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 计算_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算．利用平方差公式计算二次根式的乘法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：2． 10. 如图，正方体的棱长为2，O为的中点，则O，，B三点为顶点的三角形面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的性质和勾股定理得，，，则是等腰三角形，过点O作于点M，则，在中，由勾股定理得，利用三角形的面积求出答案即可．此题考查了正方体的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵正方体的棱长为2， ∴，， ∵O为的中点， ∴， ∴，， ， ∴是等腰三角形， 过点O作于点M， ∴， 在中，， ∴， 即O，，B三点为顶点的三角形面积为， 故答案为： 11. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用三角形面积以及勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10， ∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝120，AO＝12，OD＝5，AC⊥BD， ∴AD＝AB＝＝13， ∵DH⊥AB， ∴AO×BD＝DH×AB， ∴12×10＝13×DH， ∴DH＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质以及勾股定理，解题关键是正确得出DH的长． 12. 如图，在中，为线段上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．若，．且时，设正方形的边与线段相交于点，则线段长的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过A作交延长线于H，连接，先证明得到，再由A、D、F、C共圆求得和，最后设，表达出关于x的二次函数，从而得到答案． 【详解】解：过A作交延长线于H，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴A、D、F、C共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设，则， ∵D为线段上一点，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴为：， 而在对称轴左侧，随x增大而增大， ∴时，最大为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质、四点共圆、相似三角形性质与判定、二次函数等综合知识，难度较大，解题的关键是构造相似三角形，得到． 13. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得，进而可将阴影部分的面积求出． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案是：5． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系． 14. 点在直线上，且点到两坐标轴的距离相等，则点在第_______象限． 【答案】二或三 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一元一次方程的应用等知识点．分为点A横纵坐标相同和互为相反数两种情况分别根据点A在直线上，分别运用一元一次方程求出点A的坐标即可． 【详解】解：①当点A横纵坐标相同时，设点A的坐标是， 则有，解得， ∴点A的坐标是， ∴点A在第三象限； ②当点A横纵坐标互为相反数时，设点A的坐标是时， 则有：，解得， ∴点A的坐标是． ∴点A在第二象限； 综上点A第二或三象限． 故答案为：二或三． 15. 有甲，乙两组数据，如表所示；甲，乙两组数据的方差分别为，，则_______（填“>”，“”，“”）． 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 【答案】> 【解析】 【分析】求出甲乙两组数据的方差，比较大小即可． 【详解】解：由表格可知： 甲组数据的平均数为：， 乙组数据的平均数为：， ∴甲组数据的方差为：， 乙组的数据的方差为：， ∴乙组的方差较小， 故答案为：>． 【点睛】本题考查求方差，解题的关键是根据方差公式进行求解． 16. 数学课上老师出示了下面一道题，请同学们据此补全结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分． 如图，在菱形中，，点、分别是、的中点，相交于点，连接，交于点． 请补全下列结论： ① ，② ，③ ，④ ，⑤ ． 小明补全的结论为：①，②，③，④，⑤．如果你给小明批卷，小明可得________分． 【答案】70 【解析】 【分析】由菱形的性质与已知条件，得到和是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到，，由三角形的外角的性质得出①正确；根据证得，得到，由勾股定理得，得到②错误；由推出③正确；由全等三角形的性质求得，得到④错误；由勾股定理得，根据三角形面积公式求得⑤正确． 【详解】解：∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵点E、F分别是、的中点， ∴，， ∴，①正确； ∵，， ∴， 同理， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴，②错误； ，③正确； ∵， ∴， ∴，④正确； 在中，，， 由勾股定理得：， ∴，⑤正确； ∴小明得分为：分， 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质和判定是解决问题的关键． 三、解答题（共6小题，满分52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： （1）已知，，求c的长； （2）已知，，求a的长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理计算c的长； （2）利用勾股定理计算a的长． 【小问1详解】 解：，，， ； 【小问2详解】 解：，，， ． 19. 如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，根据平行四边形的性质可得 根据可得， 进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ． 20. 一个一次函数的图象过A（1，3），B（﹣5，﹣3）两点 （1）求该函数解析式； （2）设点P在x轴上，若S△ABP＝12，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝x+2；（2）（2，0）或（﹣6，0） 【解析】 【分析】（1）根一次函数的解析式为y=kx+b，据待定系数法，可以求得该函数的表达式； （2）由题意可求直线y=x+2与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点P坐标． 【详解】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b， 根据题意得： 解得： ∴函数表达式为y＝x+2； （2）设点P（m，0） ∵在y＝x+2中，当y=0时x=-2， ∴直线y＝x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0） ∵S△ABP＝|m+2|×3+|m+2|×3＝12 ∴|m+2|＝4 ∴m＝2或﹣6 ∴点P坐标（2，0）或（﹣6，0）． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，分割法求三角形的面积是解题的关键． 21. 为了弘扬中华优秀传统文化，推动文化强省建设，我省中华传统文化研究会准备举办经典诵读比赛，某校积极备战，对九年级学生诵读情况进行了抽查，并根据学生平均每周诵读时间（时间取最接近的整数）绘制了如下的条形统计图和扇形统计图．根据图中信息解决下列问题： （1）求本次抽查的学生总数，并补全条形统计图； （2）求九年级学生平均每周诵读时间的众数、中位数； （3）试估计该校1200名九年级学生中，平均每周诵读时间不少于4小时的学生人数． 【答案】（1）本次调查的学生总数为60人，补全条形统计图见解析； （2）众数为3；中位数为3 （3）估计平均每周诵读时间不少于4小时的学生人数约为300人． 【解析】 【分析】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）先根据扇形图中2小时对应的圆心角占周角的，结合2小时的人数可得总人数，再用总人数减去其他时间的人数求得3小时的人数即可补全条形图； （2）根据众数和中位数的定义求解可得； （3）用总人数乘以样本中不少于4小时的学生人数所占比例可得． 【小问1详解】 解：本次调查的学生总数为(人)， 则3小时人数为(人)， 补全图形如下： ； 【小问2详解】 解：由条形图知众数为3小时， 中位数为第30、31个数据的平均数，即中位数为(小时)； 【小问3详解】 解：估计平均每周诵读时间不少于4小时的学生人数为(人)． 22. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，作于，于，则， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的值是定值，定值为6，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $