1.2 全等三角形 课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.2　全等三角形 A B C 两个三角形的位置变化了，变换前后的两个三角形可以重合. 对应边、对应角的大小变化吗？你能得到什么结论？ A B C C A B C' B A A' C B' A' B' (C') A' B' C' 如图，△ABC分别通过平移、轴对称、旋转得到△A'B'C'，变换前后的两个三角形有什么关系？ 两个三角形的对应边分别相等、对应角分别相等. A B C 变换前后的两个三角形可以重合. A B C C A B C' B A A' C B' A' B' (C') A' B' C' 如图，△ABC分别通过平移、轴对称、旋转得到△A'B'C'，变换前后的两个三角形有什么关系？ 两个三角形的对应边分别相等、对应角分别相等. 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合，我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形. 记作 △ABC ≌ △A'B'C'． 用符号表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上． 读作 △ABC全等于△A'B'C'. 互相重合的顶点叫对应顶点， 互相重合的边叫对应边， 互相重合的角叫对应角， A B C B' A' C' 如图，△ABC和△A'B'C'是全等三角形， ∠A和∠A'，∠B和∠B'，∠C和∠C是对应角； 顶点A和A'，B和B'，C和C'是对应顶点； AB和A'B'，BC和B'C'，AC和A'C'是对应边； ∴ ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C ＝∠F ∵△ABC ≌△DEF （已知）， ∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF A B C D E F 全等三角形的性质 （全等三角形的对应边相等） （全等三角形的对应角相等） A D B C E F ≌ 概念辨析1： 根据图形所提供的条件和全等式： （1）在图上标出所缺的字母； （2）说出它们的对应边和对应角. 6 ∴∠A=∠FDE，∠CBA=∠E，∠C=∠F A B C D E F 概念辨析2：先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角. ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF 解: 7 规律一：有公共边的，公共边是对应边 A B C D 概念辨析3：先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角. ∵△ABC≌△ABD ∴AB=AB，BC=BD，AC=AD ∴∠BAC=∠BAD， 解: ∠ABC=∠ABD， 一组共边三角形（筝型） ∠C= ∠D 8 概念辨析4：先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角. A C O D B ∵△AOC≌△BOD ∴AO=BO，AC=BD，OC=OD ∴∠A=∠B，∠C=∠D，∠AOC= ∠BOD 解: 规律二：有对顶角的，对顶角是对应角 一组共顶点三角形（X型） 9 规律三：有公共角的，公共角是对应角 概念辨析5：先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角. ∵△ABC≌△ADE ∴AB=AD，AC=AE，BC=DE ∴∠A=∠A，∠B=∠D，∠ACB= ∠AED 解: A B C D E 一组共角三角形（燕尾型） BE=CD吗？ 10 规律四：一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边 A B C D E 概念辨析6：先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角. ∵△ABC≌△DEC ∴AB=DE，AC=DC，BC=EC ∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB= ∠DCE 解: 一组共顶点三角形（旋转型） 11 规律五：一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角 B C A F D 概念辨析7：先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角. ∵△ABC≌△FDC ∴∠A=∠F，∠B=∠D，∠ACB= ∠FCD 解: 一组共顶点三角形（蝴蝶型） ∴AB=FD，AC=FC，BC=DC 12 寻找对应元素的规律 （1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角； E A C F D B 例. 如图，已知点B，D，C，F在同一条直线上，且△ABC≌△EFD. 求证：AB//EF. 证明：∵△ABC≌△EFD， ∴∠B=∠F (全等三角形的对应角相等） ∴AB//EF (内错角相等，两直线平行） 在图中，当△DEF沿BC所在直线平移时，你可以找到哪些始终保持平行的直线？ AB//EF AC//ED 变式、如图，已知点E、C、F、B在同一直线上，△ABC≌△DEF，∠A=25°，∠B=65°，BF=3cm. (1) 求∠DFE的度数和EC的长. (2) 判断BE和DF的位置关系. E A C F D B 解： (1) ∵△ABC≌△DEF， ∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE， ∵∠A=25°，∠B=65°， ∴∠ACB=180°－∠A－∠B=90°， ∴∠DFE=90°， 又∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF， ∴BC－CF=EF－CF， ∴BF=EC， ∵BF=3cm， ∴EC=3cm (2) BE⊥DF 理由：由(1) 得，∠DFE=90°， ∴BE⊥DF于F 1．如图△ABD≌△CDB，若AB＝4，AD＝5，BD＝6， ∠ABD＝30°，则BC＝_____，CD＝_____，∠CDB＝_____． A B D C 练习 4 5 30° 变式.如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB绕O旋转180°，可以与△______重合，说明△AOB≌△______．这两个三角形的对应边是AO与_____，OB与_____，BA与______；对应角是∠AOB与________，∠OBA与________，∠BAO与________． A B C D O COD COD CO OD DC ∠COD ∠ODC ∠DCO 练习 2．如图△ABC≌△A′B′C′，则∠A′＝____°，∠B＝____°，∠C′＝____°，∠C＝____°． A B C A′ B′ C′ 56° 51° 56 51 73 73 A O D C B 3．如图△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点O， （1）写出图中相等的边和角． （2）若∠A＝100°，∠DBC＝20°， 求∠D，∠ABC，∠BOC的度数． 分析：∵△ABC≌△DCB， ∴AB=DC，AC=DB， ∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC， ∴OB=OC，∠ABC－∠DBC=∠DCB－∠ACB， ∴AC－OC=DB－OB，∠DCO=∠ABO， ∴AO=DO A O D C B 3．如图△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点O， （1）写出图中相等的边和角． （2）若∠A＝100°，∠DBC＝20°， 求∠D，∠ABC，∠BOC的度数． 解：（1）AB＝DC，AC＝DB， OB＝OC，AO＝DO ∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB， ∠ACB＝∠DBC，∠DCO＝∠ABO （2）∵∠A＝100°，∠DBC＝20°， 由（1）得∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC， ∴∠D＝100°，∠ACB＝20°， ∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝60°， ∠BOC＝180°－∠ACB－∠DBC＝140° 4. 如图，△ABE≌△ACF，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF相交于点O . (1)判断BF与CE 是否相等，并证明你的结论; (2)判断∠BFO与∠CEO是否相等，并证明你的结论 . (1) BF=CE 解： 理由： ∵△ABE≌△ACF ∴AB=AC，AE=AF, ∴AB－AF=AC－AE， 即 BF=CE (2) ∠BFO=∠CEO 理由： ∵△ABE≌△ACF ∴∠A=∠A，∠B=∠C ∴∠A+∠C=∠A+∠B， ∵∠BFO=∠A+∠C，∠CEO=∠A+∠B， ∴∠BFO=∠CEO 5.如图，△ABC≌△ADE，∠C＝50°，∠D＝45°，∠CFA＝75°，求∠BAC和∠BAE的度数. A B C D E F ∵△ABC≌△ADE ∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE， ∵∠D＝45°， ∴∠B＝45°， ∵∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝85°， ∴∠DAE＝85°， 又∵∠CFA＝∠B+∠BAF，∠CFA＝75°， ∴∠BAF＝∠CFA－∠B＝30°， ∴∠BAE＝∠BAF+∠DAE＝115° 解： 变式.如图，△ABC≌△ADE，∠BAE=140°，∠CAD=10°，∠D=40° 求：(1)∠BAC的度数；(2)∠E的度数 D E A B C (1)∵△ABC≌△ADE ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAE=140°，∠CAD=10°， ∴∠BAE－∠CAD＝130°， 即∠BAC+∠DAE＝130°， ∴2∠BAC＝130°， ∴∠BAC＝65°， (2)∵△ABC≌△ADE ∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D， 由(1)得∠BAC＝65°， ∴∠DAE＝65°， ∵∠D＝40°， ∴∠E＝180°－∠D－∠DAE＝75°， 解： 2.全等三角形的有关概念，会用几何语言表示两个三角形全等，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角． 1.用运动变化的观点经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法． 小结 $$