湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题

襄阳四中2025—2026学年第一学期高三开学检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ） A. B. C. 0 D. 40 7. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（ ） A. 45 B. 46 C. 90 D. 91 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. C. (为坐标原点) D. 当取最小值时， 11. 记内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角的最大值为 C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则实数a的值为________． 13. 直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为__________. 14. 若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角满足． （1）求； （2）若的外接圆半径为2，且，求的面积． 16. 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 17. 如图，四棱锥中，平面，，． （1）作点在平面内的射影，写出作法及理由； （2）若，，且，求二面角的正弦值． 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 19. 已知函数. （1）当时，求证：函数有唯一极值点； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 襄阳四中2025—2026学年第一学期高三开学检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）． 【17题答案】 【答案】（1）设，连接，过点作的垂线，垂足即为点在平面内的射影． 下面证明： ，， 点，在线段的中垂线上，即有， 平面，平面，， 又，、平面，平面， 又平面，平面平面， 又平面平面，，平面， 平面，故点为点在平面内的射影. （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）不可信． 【19题答案】 【答案】（1）证明：函数，有，则在R上单调递增， 当时，有，即. 当时，由，得，且. 当时，. 因为，所以. 因为对任意恒成立，所以当时，. 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的唯一极值点. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $