精品解析：广西梧州市蒙山县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题

2023-2024学年度上学期期末考试试题卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，将学校、考号、姓名写在答题卡指定位置，答案写在答题卡指定的区域内，在试题卷上答题无效；交卷时只交答题卡． 一、选择题：（请在答题卡上作答，否则无效．单项选择题，每小题3分，共36分） 1. 二次函数图象的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象的开口方向由二次项的系数决定，系数为正则开口向上；为负则开口向下；据此即可求解． 【详解】解：由二次函数解析式知，二次函数的二次项系数为，则二次函数图象的开口向下； 故选：B． 2. 关于函数的图象与性质说法正确的是（ ） A. 顶点坐标在第二象限 B. 图象关于轴对称 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数值的最小值为2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，在第一象限，对称轴直线为，故选项A、B错误； ∵， ∴抛物线的开口向下，有最大值为，且当时，y随x增大而增大，故选项C正确，选项D错误． 故选：C． 3. 下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与旋转对称图形的识别，掌握这两个概念是解题的关键；根据轴对称图形与旋转对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、只能利用轴对称得到图形，不能利用旋转得到图形，故不符合题意； B、不能利用轴对称得到图形，只能利用旋转得到图形，故不符合题意； C、不能利用轴对称得到图形，能利用旋转得到图形，故不符合题意； D、能利用轴对称得到图形，又能利用旋转得到图形，故符合题意； 故选：D． 4. 如图，一身高（）为的学生，在水平地面的影子（）长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求锐角的正切值；由正切函数定义即可直接求解． 【详解】解：依题意得， 则， 故选：B． 5. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 6. 如图，在半圆中，弦等于半径，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，则得是等边三角形，得，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵弦等于半径，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 7. 函数的图象分布在（ ） A. 第一、四象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，当时，反比例函数图象经过第一、三象限，当时， 反比例函数图象经过第二、四象限． 【详解】解：由题意可知，函数解析式为， 设， 反比例函数，经过第一、三象限， 函数经过第一、三象限． 故选：． 8. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据已知条件可设，，代入到化简后直接得出结果. 【详解】解：∵， ∴设，， ∴. 故选：A 9. 是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例线段的概念．把四条线段的长度按大小顺序排列，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可． 【详解】解：A．，不成比例，不合题意； B．，成比例， 符合题意； C．，不成比例，不合题意； D．，不成比例，不合题意； 故选B． 10. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：管道展直长度是， 故选：D． 11. 已知点 P 到⊙O 上的点的最大距离是 7 cm，最小距离是 1 cm，则⊙O的半径是( ) A. 4 cm B. 3cm C. 4cm 或 3cm D. 6cm或3cm 【答案】C 【解析】 【分析】当点P在圆内时，最大距离与最小距离之和就是圆的直径，可以求出圆的半径．当点P在圆外时，最大距离与最小距离之差就是圆的直径，可以求出圆的半径． 【详解】当点P在圆内时，因为点P到圆上各点的最大距离是7，最小距离是1，所以圆的直径为8，半径为4． 当点P在圆外时，因为点P到圆上各点的最大距离是7，最小距离是1，所以圆的直径为6，半径为3． 故选C 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确定半径的值． 12. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解． 详解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴=2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG为△EAB的中位线， ∴AE=2AG=12． 故选D． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键． 二、填空题：（请在答题卡上作答，每小题2分，共12分） 13. 抛物线的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线顶点式：，顶点为即可求解． 【详解】解：由抛物线得 顶点为； 故答案：． 【点睛】本题考查了根据抛物线的顶点式求顶点，掌握求法是解题的关键． 14. 若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图像上点的坐标都满足函数解析式是解题关键．把代入，解方程求出值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故答案为： 15. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，有一直角形木架，其中，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；通过证明，由相似三角形的性质求得结果即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 17. 如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理；连接，设圆的半径为r，则，由垂径定理得，由，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为r，则， ∵，且过圆心O， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，一块含角的直角三角板ABC，，将其绕点顺时针旋转得到，当B，A，在一条直线上时，顶点所走的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】得出点C经过的路径是圆心角，半径为的弧，代入弧长公式计算即可． 【详解】：在中， ∵， ∴， ∵绕点C顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴点C经过的路径是圆心角，半径为的弧， ∴顶点所走的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，弧长公式等知识，确定点B的运动路径是解题的关键． 三、解答题：（本题共72分） 19. 如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 20. 尺规作图与计算 在中，，请完成下列问题： （1）用尺规作图的方法，在上作出点，使得（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）求的值； 【答案】（1）如图所示，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意，以为半径作弧交于点，即可求解； （2）设，根据题意得出，，在中，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 依题意，，， ∴， ， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 21. 跨学科应用 在密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）当时，求该气体的密度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，设反比例函数的解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式． （2）把V的值代入所求函数解析式中即可求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， 由图象知，函数过点，把此点坐标代入上式中，得：， 解得：， ∴， 答：密度关于体积的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 答：当时，该气体的密度为． 22. 如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽为，当水位上升到达处，此时水面宽为．若水位继续以的速度上升，求从处淹到拱桥顶还需要多少小时． 【答案】5小时 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意设，则得，从而可求出二次函数解析式及点D的坐标，即可求出顶点到的距离，即可求解． 【详解】解：如图，以抛物线的对称轴所在直线为y轴，经过抛物线的顶点O且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意设，则； 把B、D两点坐标代入函数解析式中，得，解得：， ∴，， ∴顶点到的距离为1， ∴从处淹到拱桥顶需要的时间为（小时）， 答：从处淹到拱桥顶还需要5小时． 23. 打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图像如图所示． （1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润． 【答案】（1）y= -5x+500，50＜x＜100 （2）75元，3125元 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得，确定解析式，结合图像，确定自变量取值范围是50＜x＜100． （2）设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意构造二次函数，根据函数的最值计算即可． 【小问1详解】 设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得 ， 解得 ∴ 函数的解析式为y= -5x+500， 当y=0时，-5x+500=0， 解得x=100， 结合图像，自变量取值范围是50＜x＜100． 【小问2详解】 设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意，得： W=（x-50）(-5x+500) =， ∵-5＜0， ∴ w有最大值，且当x=75时，w有最大值，为3125， 故销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大；最大利润是3125元． 【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，正确构造二次函数是解题的关键． 24. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度． 【答案】灯泡到地面的高度为． 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】解：由题意可得：， 则， ∴， 即， 解得：， ∵ ∴， ∵光在镜面反射中的反射角等于入射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形，列出比例式是解题关键． 25. 如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ，， ， 是的切线， ， 在与中， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）10 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）先根据勾股定理求出，再求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 在中，， 、为的切线， ， 在中，，即， 解得， ． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，切线长定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 26. 如图，，动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，设运动时间为秒．（点到达点后，点也停止运动） （1）________，________（含的代数式表示）， （2）当为何值时，与相似？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可求解； （2）分①，则有，②；列出比例式，代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，； 故答案为：；． 【小问2详解】 当时， ①若，则， ， ， ， ， 解得：， ②当，若，则有 ， 所以， 即， 解得：（不符合题意，舍去）； ∴当时，． 【点睛】本题考查了列代数式，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度上学期期末考试试题卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，将学校、考号、姓名写在答题卡指定位置，答案写在答题卡指定的区域内，在试题卷上答题无效；交卷时只交答题卡． 一、选择题：（请在答题卡上作答，否则无效．单项选择题，每小题3分，共36分） 1. 二次函数图象的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 关于函数的图象与性质说法正确的是（ ） A. 顶点坐标在第二象限 B. 图象关于轴对称 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数值的最小值为2 3. 下列图形中既是能利用轴对称，又能利用旋转得到的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一身高（）为的学生，在水平地面的影子（）长为，则（ ） A. B. C. D. 5. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 如图，在半圆中，弦等于半径，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象分布在（ ） A. 第一、四象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、三象限 8. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 10. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（ ）． A. B. C. D. 11. 已知点 P 到⊙O 上的点的最大距离是 7 cm，最小距离是 1 cm，则⊙O的半径是( ) A. 4 cm B. 3cm C. 4cm 或 3cm D. 6cm或3cm 12. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题：（请在答题卡上作答，每小题2分，共12分） 13. 抛物线的顶点坐标是____________． 14. 若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 15. 已知，则_____． 16. 如图，有一直角形木架，其中，，则_____． 17. 如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为_____． 18. 如图，一块含角的直角三角板ABC，，将其绕点顺时针旋转得到，当B，A，在一条直线上时，顶点所走的路径长为________． 三、解答题：（本题共72分） 19. 如图，已知，在中，，，求的值． 20. 尺规作图与计算 在中，，请完成下列问题： （1）用尺规作图的方法，在上作出点，使得（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）求的值； 21. 跨学科应用 在密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求密度关于体积的函数解析式； （2）当时，求该气体的密度． 22. 如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽为，当水位上升到达处，此时水面宽为．若水位继续以的速度上升，求从处淹到拱桥顶还需要多少小时． 23. 打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图像如图所示． （1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润． 24. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度． 25. 如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 如图，，动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿边向点运动，设运动时间为秒．（点到达点后，点也停止运动） （1）________，________（含的代数式表示）， （2）当为何值时，与相似？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $