第一章 特殊平行四边形 单元测试2025-2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试 一、选择题 1.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的平分线交BC于点F.若AB＝6，BC＝16，则FC的长度为(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是(　　) A.DC＞EF B.DC＜EF C.DC＝EF D.无法比较 3.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件： ①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD. 中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图所示)，现有如下四种选法，其中错误的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 4.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AC与BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD.则下列推理成立的是(　　) A.由①④得出⑥ B.由②④得出⑥ C.由①②得出⑥ D.由①③得出⑤ 5.△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离为(　　) A.2cm，2cm，2cm B.3cm，3cm，3cm C.4cm，4cm，4cm D.2cm，3cm，5cm 6.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝6，则AB的长为(　　) A.3 B.2 C.3 D.6 7.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣2，0），则点D的坐标为（　　） A. B. C. D. 8.如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（　　） A.45° B.50° C.60° D.70° 10.已知如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′=DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′=∠A′C′D；其中正确的方案是（　　） A.甲、乙、丙 B.只有乙、丙 C.只有甲、乙 D.只有甲 11.如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（　　） A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣ 12.如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（　　） A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.不变，等于 D.不变，等于 二、填空题 13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是____________． 14.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∠BDE＝32°，则∠DEB＝__________. 15.如图，它是一个人工滑雪场的框架图，其中AB＝200 m，AC⊥BC.一名滑雪运动员沿着斜坡，从A滑至B.当这名滑雪运动员滑行至AB的中点D处时，支架CD的长是________________． 16.如图，将一个边长为10 cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝　       　 cm． 17.如图，P为菱形ABCD的对角线AC上的一定点，Q为AD边上的一个动点，AP的垂直平分线分别交AB，AP于点E，G，∠DAB＝30°，若PQ的最小值为2，则AE的长为 　     　． 三、解答题 18.如图，已知在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF. (1)求证：AF＝DC； (2)若AD＝CF，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并证明你的结论． 19.如图，在△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB. (1)试说明四边形AEDF的形状，并说明理由； (2)连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？ (3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由． 20.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN. (1)求证：四边形BMDN是菱形； (2)若AB＝2，AD＝4，求MD的长． 21.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. (1)求证：∠CEB＝∠CBE； (2)四边形BCED是什么四边形？并说明理由． 22.在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动，老师采用小组合作探究的形式给各小组都发放长为12 cm，宽为8 cm的长方形纸片，让他们通过折纸提出问题和探究． （1）[操作发现]第1组的同学连接对角线AC，将矩形ABCD分别沿AE，CM折叠，使点B落在AC上点F处，点D落在AC上的点N处，请你判断四边形AECM是什么特殊四边形？并说明理由； （2）[操作探索]第2组的同学是在BC边上取中点E，连接AE，然后沿AE折叠，使得点B的对应点F在矩形ABCD的内部，连接CF，且AD＞AB，如图2，请你求CF的长； （3）[问题解决]第3组的同学对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕MN，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点B对应点F落在MN上，并使折痕经过点A，得到折痕AE，连接AF，则EC＝　          　． 北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的平分线交BC于点F.若AB＝6，BC＝16，则FC的长度为(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】C 【解析】在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝16， ∵E为AD的中点，∴AE＝AD＝×16＝8， 在Rt△ABE中，BE＝＝＝10， ∵EF是∠BED的平分线，∴∠BEF＝∠DEF， ∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BEF＝∠BFE，∴BF＝BE＝10，∴FC＝BC－BF＝16－10＝6. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是(　　) A.DC＞EF B.DC＜EF C.DC＝EF D.无法比较 【答案】C 【解析】∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF＝AB，在Rt△ABC中，D是AB的中点，∴CD＝AB，∴CD＝EF. 3.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件： ①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD. 中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图所示)，现有如下四种选法，其中错误的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 【答案】B 【解析】A．∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意； B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当③AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意； C．∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意． 4.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AC与BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD.则下列推理成立的是(　　) A.由①④得出⑥ B.由②④得出⑥ C.由①②得出⑥ D.由①③得出⑤ 【答案】B 【解析】A．对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误； B．对角线垂直的矩形是正方形，正确； C．对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误； D．对角线相等且平分的四边形是矩形，但不能得到菱形，故错误． 5.△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离为(　　) A.2cm，2cm，2cm B.3cm，3cm，3cm C.4cm，4cm，4cm D.2cm，3cm，5cm 【答案】A 【解析】如图，连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO， ∴BD＝BF，CD＝CE，AE＝AF， 又∵∠ACB＝90°，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点， ∴四边形OECD是正方形，则点O到三边AB，AC，BC的距离＝CD， ∴AB＝8－CD＋6－CD＝－2CD＋14，即－2CD＋14＝10，∴CD＝2，即点O到三边AB，AC，BC的距离为2 cm. 6.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝6，则AB的长为(　　) A.3 B.2 C.3 D.6 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD＝3， ∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝3. 7.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣2，0），则点D的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣2，0），∴OB＝2，OA＝4，∴AB＝＝＝2， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，AD∥BC，∴点D坐标为（2，4）. 8.如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】∵△ABC，△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°， ∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC，故①正确； 由①可得AD＝BC，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD，AC互相平分，故②正确； 由①可得AD＝AC＝CE＝DE，故四边形ACED是菱形，即③正确； ∵四边形ABCD是平行四边形，BA＝BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵AC∥DE，∴∠BDE＝∠COD＝90°，∴BD⊥DE，故④正确； 综上可得①②③④正确，共4个． 9.如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（　　） A.45° B.50° C.60° D.70° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°， 由作图可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°. 故选：A． 10.已知如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′=DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′=∠A′C′D；其中正确的方案是（　　） A.甲、乙、丙 B.只有乙、丙 C.只有甲、乙 D.只有甲 【答案】B 【解析】根据题意可知AD=B'C'，AD∥B'C'，∴四边形AB'C'D是平行四边形． 方案甲，AB'=C'D不能判断四边形AB'C'D是菱形； 方案乙，由B'D⊥AC'，∴平行四边形AB'C'D是菱形； 方案丙，由∠A'C'B'=∠A'C'D，又AD∥B'C'，∴∠DAC'=∠A'C'B'，∴∠DAC'=∠AC'D，∴AD=C'D，可得平行四边形AB'C'D是菱形． 所以正确的是乙和丙． 11.如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（　　） A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣ 【答案】B 【解析】如图，连接OB，作BD⊥x轴于点D，则∠ODB＝90°， ∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴OC＝BC＝1，∠C＝90°， ∴OB＝＝＝， ∵∠COB＝∠CBO＝45°，∠COD＝15°，∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝45°﹣15°＝30°， ∴BD＝OB＝×＝， ∴点B的纵坐标为﹣. 12.如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（　　） A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.不变，等于 D.不变，等于 【答案】C 【解析】连接AC，交BD于O，连接EO， ∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°， ∵EG是AP的垂直平分线，∴AG＝PG，∠AEG＝∠AOB＝90°，∴A，E，G，O四点共圆， ∴∠PAG＝∠EOB，∠APG＝∠PAG，∴∠EOG＝∠APG， ∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC， ∵AE＝PE，∴OE∥BC，∴∠EOG＝∠DBC＝∠ABC＝∠APG， ∵菱形ABCD固定，∴∠ABC的度数固定， 即∠APG的度数不变. 二、填空题 13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是____________． 【答案】AB＝BC，或AC⊥BD(答案不唯一) 【解析】由题意可确定，四边形ABCD为四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，若使AB＝BC.可进一步确定其为正方形. 14.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∠BDE＝32°，则∠DEB＝__________. 【答案】116° 【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝BE＝AC，∴∠DBE＝∠BDE＝32°， ∴∠DEB＝180°－32°×2＝116°. 15.如图，它是一个人工滑雪场的框架图，其中AB＝200 m，AC⊥BC.一名滑雪运动员沿着斜坡，从A滑至B.当这名滑雪运动员滑行至AB的中点D处时，支架CD的长是________________． 【答案】100 m 【解析】∵AC⊥BC，D是AB的中点，∴CD＝AB＝×200＝100（m）. 16.如图，将一个边长为10 cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝　       　 cm． 【答案】10 【解析】如图，设AC与BD相交于点O， ∵原来四边形为正方形，∴四条边相等，∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝10 cm， ∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝10 cm， ∴DO＝BD＝5 cm， 在Rt△ADO中，AO＝＝5 (cm)， ∴AC＝2AO＝10 cm． 17.如图，P为菱形ABCD的对角线AC上的一定点，Q为AD边上的一个动点，AP的垂直平分线分别交AB，AP于点E，G，∠DAB＝30°，若PQ的最小值为2，则AE的长为 　     　． 【答案】4 【解析】作PF⊥AB于点F，PG⊥AD于点G，连接PE，则∠PFE＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝30°，∴AD＝AB，CD＝CB， ∵AC＝AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝15°，∴PG＝PF， ∵PQ≥PG，∴当PQ＝PG时，PQ的值最小， ∵PQ的最小值为2，∴PG＝PF＝2， ∵EG垂直平分AP，∴AE＝PE，∴∠EPA＝∠BAC＝15°，∴∠PEF＝∠EPA+∠BAC＝30°， ∴AE＝PE＝2PF＝4. 三、解答题 18.如图，已知在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF. (1)求证：AF＝DC； (2)若AD＝CF，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并证明你的结论． 【答案】解：(1)证明：∵AF∥DC，∴∠AFE＝∠DCE， 又∵∠AEF＝∠DEC(对顶角相等)，AE＝DE(E为AD的中点)，∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC. (2)矩形．理由： 由(1)，有AF＝DC且AF∥DC，∴四边形AFDC是平行四边形， 又∵AD＝CF，∴四边形AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)． 【解析】 19.如图，在△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB. (1)试说明四边形AEDF的形状，并说明理由； (2)连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？ (3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由． 【答案】解：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形. (2)∵四边形AEDF为菱形，∴AD平分∠BAC，则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形. (3)∵四边形AEDF为正方形，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可． 【解析】 20.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN. (1)求证：四边形BMDN是菱形； (2)若AB＝2，AD＝4，求MD的长． 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO， ∵在△DMO和△BNO中，∠MDO=∠NBO，BO=DO，∠MOD=∠NOB，∴△DMO≌△BNO(ASA)， ∴OM＝ON， 又∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形， ∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形． (2)∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝MD＝x， 在Rt△AMB中，MB2＝AM2＋AB2，即x2＝(4－x)2＋22， 解得x＝，∴MD长为. 【解析】 21.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. (1)求证：∠CEB＝∠CBE； (2)四边形BCED是什么四边形？并说明理由． 【答案】解：(1)证明：∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD， ∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE， ∴∠CEB＝∠CBE. (2)四边形CEDB是菱形． 理由：∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD， ∵∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB，∴CE＝BD， ∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形， ∵BC＝BD， ∴四边形CEDB是菱形． 【解析】 22.在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学活动，老师采用小组合作探究的形式给各小组都发放长为12 cm，宽为8 cm的长方形纸片，让他们通过折纸提出问题和探究． （1）[操作发现]第1组的同学连接对角线AC，将矩形ABCD分别沿AE，CM折叠，使点B落在AC上点F处，点D落在AC上的点N处，请你判断四边形AECM是什么特殊四边形？并说明理由； （2）[操作探索]第2组的同学是在BC边上取中点E，连接AE，然后沿AE折叠，使得点B的对应点F在矩形ABCD的内部，连接CF，且AD＞AB，如图2，请你求CF的长； （3）[问题解决]第3组的同学对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕MN，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点B对应点F落在MN上，并使折痕经过点A，得到折痕AE，连接AF，则EC＝　          　． 【答案】解：（1）如图1，四边形AECM是平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC＝∠ACD， 由折叠的性质得到∠EAF＝∠BAC，∠MCN＝∠ACD， ∴∠EAF＝∠MCN，∴AE∥CM， ∴四边形AECM是平行四边形. （2）如答图2，连接BF交AE于点H， ∵AD＞AB，∴BC＝AD＝12 cm，AB＝8 cm， ∵E是BC点中点，∴BE＝CE＝6 cm，∴AE＝＝10 (cm)， 由折叠的性质得EF＝BE＝6，BH⊥AE，BH＝HF， ∴BE＝CE＝EF，∴∠BFE＝∠EBF，∠EFC＝∠ECF，∴∠BFE+∠EFC＝∠EBF+∠ECF， ∵∠BFE+∠EFC+∠EBF+∠ECF＝180°，∴∠BFE+∠EFC＝90°，∴∠BFC＝90°， ∵＝AE•BH＝AB•BE，∴10BH＝8×6，∴BH＝4.8 cm，∴BF＝4.8×2＝9.6 (cm)， ∴CF＝＝7.2（cm）. （3）如答图3，延长EF交AD于点P， ∵P在AD上，∴AD＞AB，∴AD＝12 cm，AB＝8 cm， ∵BC∥MN∥AD，∴BM∶MA＝EF∶FP， ∵MB＝AM，∴EF＝FP， ∵AF⊥EP，∴AE＝AP，∴∠EAF＝∠PAF， ∵∠BAE＝∠FAE，∠BAE+∠EAF+∠FAP＝90°，∴∠BAE＝30°， ∵∠B＝90°，∴BE＝AB＝ (cm)， ∴CE＝BC﹣BE＝（12﹣）cm． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$