精品解析：福建省武夷山市第二中学八年级下学期数学培优班选拔考试数学试卷

福建省武夷山市第二中学2023—2024学年（下）“数学培优班” 选拔考试八年级数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 提醒：请在答题卡上解答，在该试卷上答题一律无效 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分 1. 下列各式：，，，，，其中是分式的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】根据分式的定义逐个判断即可． 【解答】解：分式有，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子（、是整式）中，分母中含有字母，则叫分式． 2. 若分式的值为正数，则需满足的条件是（ ） A. 为任意实数 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为分母不可能是负数，所以分子的值是正数就可以了，据此可得解. 【详解】∵， ∴分式的值为正数时，， 解得：. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了分式的值是正数的条件，是需要熟练掌握的内容．注意分式分母的值不能是0． 3. 下列分解因式正确的是（ ） A. －x2－y2 = －(x＋y)(x－y) B. x2y+2xy+4y = y(x+2)2 C. －49x2＋x2y2 = (xy＋7x)(xy－7x) D. 16x2＋4y2－16xy = 4(2x－y)2 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A、-x2-y2，无法分解因式，故此选项错误； B、x2y+2xy+4y=y（x2+2x+4），故此选项错误； C、49x2-x2y2=（7x-xy）（7x+xy），故此选项错误； D、16x2+4y2-16xy=4（2x-y）2，正确． 故选D． 4. 已知a、b为实数且，，设，则P、Q的大小关系为（ ） A. B. C. D. 大小关系不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．将两式分别化简，然后将代入其中，再进行比较，即可得出结论． 【详解】解：， ； ； ． 故选：C． 5. 已知三角形的三条边为a，b，c，且满足，则这个三角形的最大边c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握完全平方公式、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为a，b，c， ， ， 又这个三角形的最大边为c， 故选：C． 6. 多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是（   ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】可根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解． 【详解】设多边形有n条边， 则n−2=11，解得n=13. 故这个多边形是十三边形． 故经过这一点对角线的条数是13−3=10. 故选C. 【点睛】此题考查了多边形的对角线，多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n-3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形． 7. 若一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角形的内角和定理求出该三角形三个内角的度数，进而可得答案． 【详解】解：因为一个三角形三个内角的度数之比是， 所以这个三角形的三个内角分别是30°，45°，105°， 所以这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，属于基础题目，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 8. 如图，点三点在同一直线上，且；若，则的度数为（ ） A. 49° B. 47° C. 45° D. 43° 【答案】B 【解析】 【分析】利用“边边边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠1，∠BAC=∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3=∠1+∠2，然后求解即可． 【详解】在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SSS)， ∴∠ABC=∠1，∠BAC=∠2， 在△ABC中，由三角形的外角性质得，∠3=∠ABC+∠BAC=∠1+∠2， ∵∠1+∠2+∠3=94°， ∴2∠3=94°， ∴∠3=47°. 故选B. 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的性质与运用. 9. 如图，等腰底边的长为4cm，面积是，D为边上的中点，腰的垂直平分线交于M，交于点F，则的值为（　　） A. 2cm B. 10cm C. 6cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、垂直平分线的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式计算出，由垂直平分线的性质可得，最后由，得到答案． 【详解】解：是等腰三角形，为边上的中点， ， ， ， 是腰的垂直平分线， ， ， 故选C． 10. 如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；③；③；④．其中正确的是（ ） A. ② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质，此外找出线段之间的和差关系是解决本题的关键． 在上截取，连接，根据“平分”和“”证明出，故选项①正确；由①可知，，再根据线段间的和差关系可得：，由三角形面积公式及等量代换可得，故选项②④正确． 【详解】在上截取，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 根据已知条件无法证明，故③错误； ∵， ∴， ∴， 即，故④正确． 其中正确的是①②④． 故选：C． 二、填空题：（本题共小题，每小题分，共分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，运用分组分解法进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 若，则的值是____________． 【答案】18 【解析】 【分析】先因式分解，再整体代入计算即可． 【详解】 故答案为：18 【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据完全平方公式进行因式分解再整体代入是解题的关键． 13. 从，，，1，3这5个数中，随机抽取一个数，记为a，若a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．不等式组中两不等式整理后，由不等式组无解确定出的范围，进而舍去不合题意的值，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解，确定出满足题意的值，求出之和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： 不等式组的解集为， 由不等式组无解，得到，即，，，， 分式方程去分母得：， 解得：， 又则舍去， 又分式方程的解为整数，则舍去， ∴或， 所有满足条件的值之和是， 故答案为：． 14. 在中，点是的重心，若的面积等于6，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键． 先根据点是的重心得出，再由的面积等于，得出的面积等于，即可求出． 【详解】解：∵中，点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程与动点几何问题，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度； 【详解】解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ②当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴, ∴， ∴点的运动速度：； 故答案为：或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点于，且，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的横坐标是______． 【答案】31.5 【解析】 【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，，A2的横坐标为， A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A6的横坐标． 【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=OB1=， 即A1的横坐标为=， ∵°， ∴∠OB1D=30°， ∵A1B2//x轴， ∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°， ∴∠A1B1B2=90°， ∴A1B2=2A1B1=2， 过A2作A2B⊥A1B2于B,则A1B=A1B2=1， 即A2的横坐标为+1=， 过A3作A3C⊥A2B3于C， 同理可得,A2B3=2A2B2=4,A2C=A2B3=2， 即A3的横坐标为+1+2=， 同理可得,A4的横坐标为+1+2+4=， 由此可得,An的横坐标为， ∴点A6的横坐标是， 故答案为． 【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A的系列点的规律． 三、解答题：（本题共小题，共分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，绝对值的化简与计算，零指数幂的运算，负整数指数幂的运算，正确运算是解决本题的关键． 根据完全平方公式，绝对值的化简与计算，零指数幂的运算，负整数指数幂计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．将方程两边同乘以，去分母后转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， 不是原分式方程的解，原分式方程无解． 19. 如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接，若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，垂直平分线的性质，等边对等角；根据平分，得出，根据三角形内角和定理得出，根据垂直平分线的性质得出，则 ，根据,即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ， 的中垂线交于点， ， ， ． 20. 已知：，，． （1）如图1当点D在上，________． （2）如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由． 【答案】（1） （2）．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是使用分析法找到：两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． （1）由全等可知，所以当点D在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：．理由如下： 过点D作于点F，过点A作交的延长线于点G， 则． ∵， ∴， ∵， ∴． ， ∴． ∵，，， ∴． 21. 从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述过程能验证的等式是_________； （2）若，求的值； （3）． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积． （1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：上述过程能验证的等式是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴； 【小问3详解】 解： ． 22. 列方程或不等式解应用题： 小公园某商铺贩卖关于小公园文化的纪念明信片和钥匙扣，若一个钥匙扣的进价比一份纪念明信片进价少1元.且用120元购进纪念明信片的数量与用100元购进钥匙扣的数量相同． （1）求每份纪念明信片和一个钥匙扣的进价分别是多少元？ （2）若该商铺购进纪念明信片的数量比钥匙扣的数量的3倍还少4个，且购进纪念明信片和钥匙扣两种商品的总数量不超过100个，则商铺最多购进钥匙扣多少个？ （3）在（2）的条件下，如果一份纪念明信片售价是12元，一个钥匙扣的售价为9元，且将购进的纪念明信片和钥匙扣两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过480元，那么该商铺购进纪念明信片和钥匙扣两种商品有哪几种方案？ 【答案】（1）钥匙扣的进价为5元，纪念明信片的进价为6元 （2）商铺最多购进钥匙扣26个 （3）有4种方案 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． （1）设钥匙扣的进价为元，纪念明信片的进价为元，根据用120元购进纪念明信片的数量与用100元购进钥匙扣的数量相同，列方程求解； （2）设购进钥匙扣的个，则纪念明信片的，根据购进纪念明信片和钥匙扣两种商品的总数量不超过100个，列不等式求解； （3）设购进钥匙扣的个，则纪念明信片的，根据可使销售两种商品的总利润超过480元，列不等式求解． 【小问1详解】 解：设钥匙扣的进价为元，纪念明信片的进价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：钥匙扣的进价为5元，纪念明信片的进价为6元； 【小问2详解】 设购进钥匙扣的个，则纪念明信片的， 解得： 答：商铺最多购进钥匙扣26个； 【小问3详解】 设购进钥匙扣的个，则纪念明信片的， 解得：． ∵ ∴ 为整数， ， 24，25，26， 该有4种方案． 方案一：购进钥匙扣：23个，纪念明信片：65个； 方案二：购进钥匙扣：24个，纪念明信片：68个； 方案三：购进钥匙扣：25个，纪念明信片：71个； 方案四：购进钥匙扣：26个，纪念明信片：74个； 23. 下列各组的两个整式具有共同特征，我们将具有这种特征的两个整式称为“孪生整式”．观察下列各组孪生整式： ①，； ②，； ③，； ④，； ⑤，； ⋯⋯ 根据你观察到的规律，解决下列问题： （1）写出的孪生整式； （2）探究整式与是否可能为一组孪生整式． 【答案】（1）； （2）不可能，原因见解析． 【解析】 【分析】此题考查了分式和整式的混合运算，找到规律和熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意得到规律，即可写出的孪生整式； （2）观察“孪生整式”，可知展开后一次项相同，二次项系数与常数项互换，根据规律得关于m、n的方程组，根据方程组解的情况即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意可得，的孪生整式为， ∴的孪生整式为； 【小问2详解】 不可能，理由如下： ∵， 观察“孪生整式”，可知展开后一次项相同，二次项系数与常数项互换， ， 若与是“孪生整式”， 比较系数，得： ， 不存在满足此条件的 m、n 的值. ∴这两个整式不可能为一组孪生整式． 24. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时． ①直接写出用含a，b的式子分别表示和； ②试比较，的大小，并说明理由 【答案】（1）原计划的行驶速度为 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的化简，理解题意是解答的关键． （1）设原计划的行驶速度为，根据题意，利用一小时后的时间差为列方程求解即可； （2）①根据时间、路程、速度关系分别求得，；②作差，根据分式的混合运算法则化简，然后与0比较即可求解． 【小问1详解】 解：设原计划的行驶速度为，则 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原分式方程的解为． 答：原计划的行驶速度为． 【小问2详解】 解：①根据题意， ，； ②，理由如下： ∵， 为正数，且， ． ． 25. 将的折起，翻折后角的顶点位置记作． （1）当落在上时（如图1），可得与的关系为 ； （2）当点落在和之间（如图2）时，探究之间的关系，并说明理由； （3）当落在，的同旁（如图3）时，直接写出之间的关系． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变化及其性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握图形的折叠变化及其性质，灵活运用三角形的外角定理找出相关角之间的关系是解决问题的关键． （1）由折叠性质可得，再根据三角形外角的定义及性质可得，即可得解； （2）由三角形外角的定义及性质可得，从而得到，由折叠的性质可得，即可得解； （3）由三角形外角的定义及性质可得，，从而得到，由折叠的性质可得，即可得解． 【小问1详解】 解：当点落在上时，如图1所示： 由折叠的性质可知：， 由三角形的外角定理得：； 故答案为：． 【小问2详解】 解：当点落和之间时，连接，如图2所示： 则之间的关系是：， 理由如下： 由三角形的外角定理得：， ，即， 由折叠的性质可知：， ； 【小问3详解】 解：当落在的同旁时，设与交于点，如图3所示： 则之间的关系是：， 理由如下： 是的一个外角， ， 是的一个外角， ，即， 由折叠的性质可知：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省武夷山市第二中学2023—2024学年（下）“数学培优班” 选拔考试八年级数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 提醒：请在答题卡上解答，在该试卷上答题一律无效 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分 1. 下列各式：，，，，，其中是分式的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若分式的值为正数，则需满足的条件是（ ） A. 为任意实数 B. C. D. 3. 下列分解因式正确的是（ ） A. －x2－y2 = －(x＋y)(x－y) B. x2y+2xy+4y = y(x+2)2 C. －49x2＋x2y2 = (xy＋7x)(xy－7x) D. 16x2＋4y2－16xy = 4(2x－y)2 4. 已知a、b为实数且，，设，则P、Q的大小关系为（ ） A. B. C. D. 大小关系不能确定 5. 已知三角形的三条边为a，b，c，且满足，则这个三角形的最大边c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是（   ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 若一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 8. 如图，点三点在同一直线上，且；若，则的度数为（ ） A. 49° B. 47° C. 45° D. 43° 9. 如图，等腰底边长为4cm，面积是，D为边上的中点，腰的垂直平分线交于M，交于点F，则的值为（　　） A. 2cm B. 10cm C. 6cm D. 5cm 10. 如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；③；③；④．其中正确的是（ ） A. ② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：（本题共小题，每小题分，共分） 11. 因式分解：______． 12. 若，则的值是____________． 13. 从，，，1，3这5个数中，随机抽取一个数，记为a，若a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是___________． 14. 在中，点是的重心，若的面积等于6，______． 15. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点于，且，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的横坐标是______． 三、解答题：（本题共小题，共分） 17. 计算： 18. 解方程： 19. 如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接，若，，求的度数． 20 已知：，，． （1）如图1当点D在上，________． （2）如图2猜想与面积有何关系？请说明理由． 21. 从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述过程能验证的等式是_________； （2）若，求的值； （3）． 22. 列方程或不等式解应用题： 小公园某商铺贩卖关于小公园文化的纪念明信片和钥匙扣，若一个钥匙扣的进价比一份纪念明信片进价少1元.且用120元购进纪念明信片的数量与用100元购进钥匙扣的数量相同． （1）求每份纪念明信片和一个钥匙扣的进价分别是多少元？ （2）若该商铺购进纪念明信片数量比钥匙扣的数量的3倍还少4个，且购进纪念明信片和钥匙扣两种商品的总数量不超过100个，则商铺最多购进钥匙扣多少个？ （3）在（2）的条件下，如果一份纪念明信片售价是12元，一个钥匙扣的售价为9元，且将购进的纪念明信片和钥匙扣两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过480元，那么该商铺购进纪念明信片和钥匙扣两种商品有哪几种方案？ 23. 下列各组的两个整式具有共同特征，我们将具有这种特征的两个整式称为“孪生整式”．观察下列各组孪生整式： ①，； ②，； ③，； ④，； ⑤，； ⋯⋯ 根据你观察到规律，解决下列问题： （1）写出的孪生整式； （2）探究整式与是否可能为一组孪生整式． 24. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发的第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，比原计划提前到达目的地． （1）求原计划的行驶速度； （2）汽车按原路返回，若司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），共用时小时；若司机准备用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，共用时小时． ①直接写出用含a，b的式子分别表示和； ②试比较，的大小，并说明理由 25. 将的折起，翻折后角的顶点位置记作． （1）当落在上时（如图1），可得与的关系为 ； （2）当点落在和之间（如图2）时，探究之间的关系，并说明理由； （3）当落在，的同旁（如图3）时，直接写出之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $