精品解析：安徽省合肥市巢湖市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

巢湖市2023/2024学年度第二学期期末教学质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找出的同类二次根式即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、与是同类二次根式，能合并，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式． 2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．平行四边形邻角互补，据此解答即可． 【详解】解：如图，在中，， ∴， ∵， ． 故选：C． 4. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是　　 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符； B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符； C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符； D．原来数据的方差==， 添加数字2后的方差==， 故方差发生了变化． 故选D． 5. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图像经过点 B. 的值随值的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、四象限 D. 它的图像与轴交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像，对选项依次判断即可． 【详解】A、当时，，选项错误，不符合题意； B、，的值随值的增大而减小，选项错误，不符合题意； C、它的图像经过第一、二、四象限，选项正确，符合题意； D、当时，，解得，选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴，确定a，b的大小，再根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知：b＜-2，1＜a＜2， ∴a−2＜0，a＋b＜0， ∴原式＝|a−2|−|a＋b|， =−（a−2）＋（a＋b） ＝−a＋2＋a＋b ＝2＋b， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质化简，本题属于基础题型． 7. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 8. 在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出的值． 【详解】解：将直线向上平移3个单位，得到直线， 把点代入，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 9. 如图，的对角线交于点O，E为的中点，F为的中点，若，，，则的长为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求解相关线段的长． 先根据平行四边形的性质，得出，，，，再根据中位线定理，得出，，结合，可得，令，求出，，构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵E为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵于点O，点F是中点， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 10. 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（ ） A. 甲车从A地到B地时间为分钟 B. 甲车速度是乙车速度的倍 C. 甲车行驶路程是乙车的2倍 D. 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．根据时间、速度和路程之间的关系结合函数图象逐一判断即可． 【详解】解：甲车从地到地时间为（分钟）， 故A选项不符合题意； 甲车从地到地时间为分钟，乙车从地到地时间为分钟， 行驶相等的路程甲、乙两车所用时间之比为， 甲、乙两车的速度之比为， 甲车速度是乙车速度的3倍， 故B选项符合题意； 甲车行驶路程是乙车的2倍， 故C选项不符合题意； 设乙车的速度为千米分钟，则甲车的速度为千米分钟，、两地之间的路程为 千米， 设甲、乙两车第一次相遇的时间为分钟，则 解得， 设甲、乙两车第二次相遇的时间为分钟，则， 解得， （分钟）， 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟， 故D选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，一次函数与的图象交点横坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系．满足关于x的不等式的不等式就是直线位于直线的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交点横坐标为， ∴关于x不等式的解集为， 故答案为：． 13. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，若AB=3，BC=9，则折痕EF的长度为____． 【答案】． 【解析】 【分析】过E作EG⊥BC于G，设AE=x，根据勾股定理得到AE，进而得出BE、BF长，根据EG=AB，可求出GF的长，运用勾股定理即可得到EF． 【详解】解：过E作EG⊥BC于G， 设AE=x，则DE=BE=9-x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2， ∴x2+32=（9-x）2 解得x=4， ∴AE=4， ∴BE=DE=9-4=5， ∵∠DEF=∠BFE，∠DEF=∠BEF， ∴∠BFE=∠BEF， ∴BF=BE=5， ∴GF=1， ∴Rt△EFG中，EF= . 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用． 14. 如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑________m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是________m． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出的长即可推出结果； （2）取的中点E，连接，根据直角三角形上的中线的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据当O，E，D共线时，长最大，求解即可． 【详解】解：（1）如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即木板的顶端A沿墙上滑， 故答案为：1； （2）如图，取的中点E，连接， 由题意可知，是直角三角形的斜边上的中线，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 当O，E，D共线时，长最大，最大值为， 故答案为：. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先算乘方，再算乘法，最后计算二次根式的加减法即可． 详解】解： 16. 一次函数图象经过，两点． （1）求此一次函数表达式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用（1）中解析式计算自变量为6所对应的函数值即可． 【小问1详解】 设一次函数解析式为， 把，代入得 ， 解得， 所以一次函数解析式为 【小问2详解】 当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某单位大门装有红外线自动感应门，红外线感应器安装在门正上方A处（如图所示），感应器离地面的距离米，当身高为1.8米的人走到离门水平距离0.8米的地方时（即米），大门就会自动打开，求感应器的感应距离是多少？ 【答案】感应器的感应距离是1米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是识别出直角三角形，结合题干已知条件利用勾股定理求得线段的长度即可． 【详解】解：由题知：，， 在中，， ∴， ∴感应器的感应距离是1米． 18. 如图，在的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，以为一边画平行四边形，使其面积为6； （2）在图②中，以为一边画一个菱形； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）画出底为3，高为2的平行四边形即可； （2）根据菱形的定义，画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图①中，平行四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，菱形即为所求． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，且，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分∠DAB，，，求BF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形DEBF是平行四边形，再证∠DEB＝90°，即可得出结论； （2）证AD＝DF＝10，再由勾股定理求出DE＝8，然后由矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形DEBF是矩形； （2）∵AF平分∠DAB， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt△AED中，，由勾股定理得：， 由（1）得四边形DEBF是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形DEBF为矩形是解此题的关键． 20. 综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】（1），，，（2）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了平方数的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题关键， （1）依据题意，将需要比较大小的两式作差，其结构符合完全平方式，利用完全平方式的非负性证明即可； （2）依据题意，做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出两条对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】解：（1）由题意，， ． ； ， ． ； ， ． ； ， ． ． 故答案为：，，，． （2）对角线相互垂直， ． ． ． ． 用来做对角线的竹条至少要厘米． 六、（本题满分12分） 21. 某学校想了解九年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在该校九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集到以下数据（单位：分钟） 男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105 女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，69，74，55，90，98，68，72，88 统计数据，分析数据，并制作了如下统计表： 时间 平均数 中位数 众数 方差 男生 2 4 男生 66.7 70 617.3 女生 1 5 9 3 女生 697 70.5 547.2 （1）请将上面的表格补充完整________，________，________，________． （2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人？ （3）体育老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持体育老师观点的理由． 【答案】（1） （2）初三年级锻炼时间在分钟以上的同学有人 （3）女生比男生做得好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表： （1）根据题意补充表格即可； （2）用样本估计总体即可； （3）从平均数和中位数来比较即可． 【小问1详解】 解：由题意知男生体育锻炼时间在的人数有名，的人数有名，则 将男生数据从小到大排列后，处在第位的两个数的平均数为，因此中位数 女生数据出现次数最多的是，因此众数是，即 故答案为：； 【小问2详解】 解：据表格，可得锻炼时间在分钟以上的男生有人，女生有人 （人）， 答：初三年级锻炼时间在分钟以上的同学有人； 【小问3详解】 解：女生比男生做得好． 理由一：因为，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末做得更好． 理由二：因为，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末做得更好． 七、（本题满分12分） 22. 某快递公司因业务拓展，需要招聘快递员，提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日底薪50元，每完成一单业务再提成3元； 方案二：每日底薪80元，前30单无提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元． 设快递员每日完成的业务量为n单（n为正整数），方案一、二中日工资分别为（单位：元）． （1）分别写出关于n的函数解析式； （2）据统计，若某快递员平均每天的业务量约为50单，仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？说明理由； （3）设某快递员平均每日完成的业务量为n单，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？试画出日工资收入函数大致图象并直接写出你的选择方案． 【答案】（1）y2 （2）他应该选择方案一．理由见解析 （3）当或时，他应该选择方案二；当或时，两个方案的日工资相同，任选其一即可；当时，他应该选择方案一． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）分别根据两个具体方案解答即可； （2）当时，分别计算，的值并比较大小即可； （3）先计算两函数图象的交点坐标，再根据函数关系式画出对应的函数图象，再图象比较，的大小即可． 【小问1详解】 解：（1）， 当时，， 当时， ∴关于n的函数解析式（n为正整数）， 关于n的函数解析式y2． 【小问2详解】 解：他应该选择方案一．理由如下： 当时，，， ∵， ∴仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择方案一． 【小问3详解】 当时，解得， 当， 解得， ∴两函数图象的交点坐标为，， 则两函数的图象如图所示： 根据图象，当或时，， 当或时，， 当时，， ∴当或时，他应该选择方案二；当或时，两个方案的日工资相同，任选其一即可；当时，他应该选择方案一． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，正方形中，、分别是、上的点，，垂足为M． （1）求证：； （2）如图2，将沿方向平移到，当点为的中点时，连接与、分别交于点、． ①猜想线段、、有何数量关系，说明理由； ②若正方形的边长为，且点为的中点，则________． 【答案】（1）见解析 （2）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握以上知识． （1）证明，得出； （2）①由平移得，，连接、，过作 ，，在正方形对角线上，则，，，证明，得出，则可得出结论； ②求出的长，根据三角形的面积比得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①猜想：， 理由如下：由平移得，，连接、， 为的中点，， ， 过作 ，，在正方形对角线上，则，， ， ， ， 为的中点， ∴ 又∵ ∴ ②如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是正方形的对角线， ∴平分 ∴， ∴ ∴ ∵正方形的边长为，且点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巢湖市2023/2024学年度第二学期期末教学质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A 1，2，3 B. 3，4，5 C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是　　 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图像经过点 B. 的值随值的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、四象限 D. 它的图像与轴交点 6. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 8. 在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ） A ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 9. 如图，的对角线交于点O，E为的中点，F为的中点，若，，，则的长为（　　） A. 2 B. C. D. 10. 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（ ） A. 甲车从A地到B地时间为分钟 B. 甲车速度是乙车速度的倍 C. 甲车行驶路程是乙车的2倍 D. 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 12. 如图，一次函数与的图象交点横坐标为，则不等式的解集为________． 13. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，若AB=3，BC=9，则折痕EF的长度为____． 14. 如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑________m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是________m． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16 一次函数图象经过，两点． （1）求此一次函数表达式； （2）当时，求y的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某单位大门装有红外线自动感应门，红外线感应器安装在门正上方A处（如图所示），感应器离地面的距离米，当身高为1.8米的人走到离门水平距离0.8米的地方时（即米），大门就会自动打开，求感应器的感应距离是多少？ 18. 如图，在的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，以为一边画平行四边形，使其面积为6； （2）在图②中，以为一边画一个菱形； 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，且，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF矩形； （2）若AF平分∠DAB，，，求BF的长． 20. 综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 六、（本题满分12分） 21. 某学校想了解九年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在该校九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集到以下数据（单位：分钟） 男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105 女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，69，74，55，90，98，68，72，88 统计数据，分析数据，并制作了如下统计表： 时间 平均数 中位数 众数 方差 男生 2 4 男生 66.7 70 617.3 女生 1 5 9 3 女生 69.7 705 547.2 （1）请将上面的表格补充完整________，________，________，________． （2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人？ （3）体育老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持体育老师观点的理由． 七、（本题满分12分） 22. 某快递公司因业务拓展，需要招聘快递员，提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日底薪50元，每完成一单业务再提成3元； 方案二：每日底薪80元，前30单无提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元． 设快递员每日完成的业务量为n单（n为正整数），方案一、二中日工资分别为（单位：元）． （1）分别写出关于n的函数解析式； （2）据统计，若某快递员平均每天的业务量约为50单，仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？说明理由； （3）设某快递员平均每日完成的业务量为n单，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？试画出日工资收入函数大致图象并直接写出你的选择方案． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，正方形中，、分别是、上的点，，垂足为M． （1）求证：； （2）如图2，将沿方向平移到，当点为的中点时，连接与、分别交于点、． ①猜想线段、、有何数量关系，说明理由； ②若正方形的边长为，且点为的中点，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $