册1.2一定是直角三角形吗 　讲义　2025--2026学年北师大版八年级数学上册

1.2一定是直角三角形吗 讲解目录 【知识点1】勾股定理的逆定理 1 【知识点2】勾股数 1 【题型1】勾股数的识别与计算 2 【题型2】勾股定理与逆定理的应用 2 【题型3】由三边判定三角形形状 3 【题型4】与勾股数有关的规律问题分析 4 【题型5】综合分析直角三角形 5 知识讲解 【知识点1】勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【知识点2】勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 题型专练 【题型1】勾股数的识别与计算 【典型例题】下列四组数中，为勾股数的是　　 A.2，3，5 B.4，12，13 C.3，4，5 D.1，2，3 【举一反三1】若正整数，，是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 【举一反三2】下列各组数中，是勾股数的是　　 A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13 C.9，16，25 D.1，2，3 【举一反三3】下列四组数中，为勾股数的是　　 A.2，3，5 B.4，12，13 C.3，4，5 D.1，2，3 【举一反三4】若正整数，，是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 【题型2】勾股定理与逆定理的应用 【典型例题】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，．则　　． 【举一反三1】已知，如图，，，，，，则四边形的面积是 　　． 【举一反三2】已知，如图在中，，，，，的面积为35，求的面积． 【举一反三3】如图， 已知在中，于点，，，， （1） 求的长 ． （2） 求证：是直角三角形 ． 【题型3】由三边判定三角形形状 【典型例题】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是　　 A.直角三角形两个锐角互余 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和等于 D.勾股定理 【举一反三1】的三边为，，且，则该三角形是　　 A.以为斜边的直角三角形 B.以为斜边的直角三角形 C.以为斜边的直角三角形 D.锐角三角形 【举一反三2】三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是　　三角形（直角、锐角、钝角）． 【举一反三3】一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为　　． 【举一反三4】已知，，，为大于1的正整数），试问是直角三角形吗？若是，哪条边所对的角是直角？请说明理由． 【举一反三5】已知的三边长分别为，，．求证：是直角三角形． 【题型4】与勾股数有关的规律问题分析 【典型例题】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　                           ． 【举一反三1】下面各组、、，是勾股数的是　　．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【举一反三2】[知识背景]我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：，4，；，12，；，24，分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． （1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． （2）若，，，其中且是整数．求证：以，，为边的是直角三角形． 【举一反三3】（1）大家知道3，4，5；5，12，13；8，15，17等都是勾股数，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由； （2）除此之外，你还能发现具有哪些规律？至少写出一条． 【题型5】综合分析直角三角形 【典型例题】在中，，，的对边分别是，，．下列不能说明是直角三角形的是　　 A.，， B. C. D. 【举一反三1】下列条件中，、、分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【举一反三2】下列条件中，、、分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【举一反三3】在中，，，的对边分别是，，．下列不能说明是直角三角形的是　　 A.，， B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2一定是直角三角形吗 讲解目录 【知识点1】勾股定理的逆定理 1 【知识点2】勾股数 1 【题型1】勾股数的识别与计算 2 【题型2】勾股定理与逆定理的应用 4 【题型3】由三边判定三角形形状 6 【题型4】与勾股数有关的规律问题分析 8 【题型5】综合分析直角三角形 10 知识讲解 【知识点1】勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【知识点2】勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 题型专练 题型1】勾股数的识别与计算 【典型例题】下列四组数中，为勾股数的是　　 A.2，3，5 B.4，12，13 C.3，4，5 D.1，2，3 【答案】C 【解析】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【举一反三1】若正整数，，是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】C 【解析】解：正整数，，是一组勾股数，根据题意，不妨设最大，则：， ．，，， ， ，，不一定是勾股数，故错误； ．，，， ， ，，不一定是勾股数，故错误； ．，，， ， ，，一定是勾股数，故正确； ．，，， ， ，，不一定是一组勾股数，故错误． 故选：． 【举一反三2】下列各组数中，是勾股数的是　　 A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13 C.9，16，25 D.1，2，3 【答案】B 【解析】解：、，0.4，0.5不是整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意； 、， 是勾股数，故本选项符合题意； 、， 不是勾股数，不符合题意； 、， 不是勾股数，不符合题意． 故选：． 【举一反三3】下列四组数中，为勾股数的是　　 A.2，3，5 B.4，12，13 C.3，4，5 D.1，2，3 【答案】C 【解析】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【举一反三4】若正整数，，是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】C 【解析】解：正整数，，是一组勾股数，根据题意，不妨设最大，则：， ．，，， ， ，，不一定是勾股数，故错误； ．，，， ， ，，不一定是勾股数，故错误； ．，，， ， ，，一定是勾股数，故正确； ．，，， ， ，，不一定是一组勾股数，故错误． 故选：． 【题型2】勾股定理与逆定理的应用 【典型例题】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，．则　　． 【答案】90． 【解析】解：以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ， ， ， ，， ， ． 故答案为90． 【举一反三1】已知，如图，，，，，，则四边形的面积是 　　． 【答案】36． 【举一反三2】已知，如图在中，，，，，的面积为35，求的面积． 【答案】解：，的面积为35， ， ， ，， ， ， ． 【举一反三3】如图， 已知在中，于点，，，， （1） 求的长 ． （2） 求证：是直角三角形 ． 【答案】解： （1） ， 在中，，， 根据勾股定理， 得， （2） 证明： 在中， ， ， 是直角三角形 ． 【题型3】由三边判定三角形形状 【典型例题】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是　　 A.直角三角形两个锐角互余 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和等于 D.勾股定理 【答案】B 【解析】解：设相邻两个结点的距离为，则此三角形三边的长分别为、、， ， 以、、为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：． 【举一反三1】的三边为，，且，则该三角形是　　 A.以为斜边的直角三角形 B.以为斜边的直角三角形 C.以为斜边的直角三角形 D.锐角三角形 【答案】A 【解析】解：原式可化为， 此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理， 所以此三角形是直角三角形． 故选：． 【举一反三2】三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是　　三角形（直角、锐角、钝角）． 【答案】直角 【解析】解：， ， ， 三角形是直角三角形． 故答案为直角． 【举一反三3】一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为　　． 【答案】 【解析】解：三角形的三边长的比为， 设三角形的三边长分别为，，． 其周长为， ，解得， 三角形的三边长分别是15，20，25． ， 此三角形是直角三角形， ． 故答案为：． 【举一反三4】已知，，，为大于1的正整数），试问是直角三角形吗？若是，哪条边所对的角是直角？请说明理由． 【答案】解：是直角三角形，理由是： 中，，，， ， 即， 这个三角形是直角三角形， 边所对的角是直角． 【举一反三5】已知的三边长分别为，，．求证：是直角三角形． 【答案】证明： ， ， ， 是直角三角形． 【题型4】与勾股数有关的规律问题分析 【典型例题】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　                           ． 【答案】11，60，61． 【解析】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13， 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为，第三个数为， 根据勾股定理的逆定理，得：， 解得． 则得第5组数是：11，60，61． 故答案为：11，60，61． 【举一反三1】下面各组、、，是勾股数的是　　．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）、，能构成勾股数，故符合题意； （2）、，能构成勾股数，故符合题意； （3）、，不能构成勾股数，故不符合题意． （4）、均不是整数，所以不能构成勾股数，故不符合题意； 故答案为：（1）（2）． 【举一反三2】[知识背景]我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：，4，；，12，；，24，分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． （1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． （2）若，，，其中且是整数．求证：以，，为边的是直角三角形． 【答案】解：（1）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦； 当时，，； 第四组勾股数是，40，； 故答案为：，，，40，； （2）证明：，，，其中且是整数， ， ， 以，，为边的是直角三角形． 【举一反三3】（1）大家知道3，4，5；5，12，13；8，15，17等都是勾股数，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由； （2）除此之外，你还能发现具有哪些规律？至少写出一条． 【答案】解：（1）观点正确，理由如下： 若，，是一组勾股数，则有，所以有， 利用平方差公式，可得， 若为偶数时，观点显然正确；若为奇数，则，均为奇数，则和中必有一个偶数， 所以，，中必定有一个偶数． （2）（当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数为奇数）， （当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数）． 【题型5】综合分析直角三角形 【典型例题】在中，，，的对边分别是，，．下列不能说明是直角三角形的是　　 A.，， B. C. D. 【答案】A 【解析】解：．，，并且， ， 不是直角三角形，符合题意； ．，， ， ， 是直角三角形，不合题意； ．， ，即， 是直角三角形，不合题意； ．，， ， ， ， 是直角三角形，不合题意． 故选：． 【举一反三1】下列条件中，、、分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【答案】C 【解析】解：、， 是直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 是直角三角形， 故不符合题意； 、，， 不是直角三角形， 故符合题意； 、，，，， 是直角三角形， 故不符合题意； 故选：． 【举一反三2】下列条件中，、、分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【答案】C 【解析】解：、， 是直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 是直角三角形， 故不符合题意； 、，， 不是直角三角形， 故符合题意； 、，，，， 是直角三角形， 故不符合题意； 故选：． 【举一反三3】在中，，，的对边分别是，，．下列不能说明是直角三角形的是　　 A.，， B. C. D. 【答案】A 【解析】解：．，，并且， ， 不是直角三角形，符合题意； ．，， ， ， 是直角三角形，不合题意； ．， ，即， 是直角三角形，不合题意； ．，， ， ， ， 是直角三角形，不合题意． 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $$