1.1.1集合及其表示方法讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

高一数学讲义 2025~2026学年上学期高一数学讲义 教材:人教B版高中数学必修第一册 章节:1.1.1 集合及其表示方法 part1 知识清单 知识点一.元素与集合的概念 1.元素:一般地,把研究对象统称为元素(element),常用小写的拉丁字母a,b,c…表示. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(set),(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C…表示. 3.空集:不含任何元素的集合称为空集,记作. 知识点二.元素与集合的关系 1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A. 2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A. 知识点三.集合元素的特点 1.确定性:集合的元素必须是确定的。 2.互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的。 3.无序性:集合中的元素可以任意排列。 知识点四.集合相等 集合相等:给定两个集合A和B如果组成它们的元素完全相同就称这两个集合相等,记作A=B。 知识点五.集合的分类 1. 有限集:含有有限个元素的集合。 2.无限集:含有无限个元素的集合。 知识点六.常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N+ Z Q R 知识点七.集合的表示方法 1.列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法:一般地,设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. 3.区间:在数学上,常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合.为了方便起见,我们引入区间(interal)的概念. ①一般区间的表示:设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时,包含端点的那一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 ②实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”. ③特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ Part2 教材重点例题与习题 1.用符号“”或“”填空: . 【答案】 【解答】 解:因为为自然数集,所以 因为为有理数集,所以 因为为整数集,所以 因为是实数集,所以 因为为自然数集,所以 因为为有理数集,,所以 2.用符号“”或“”填空: . 【答案】;;; 【解答】 解: ,则 ; 因为,则 ,则. 3.用适当的方法表示下列集合: 方程的所有解组成的集合 平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合. 【答案】解:因为和是方程的解,而且这个方程只有两个解,所以; 因为集合的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零,因此,. 4.已知集合,且,求的值. 【答案】解:由可分两种情况, 若,则;则,成立; 若,则,则,成立; 所以的值为或. 5.用适当的方法表示下列集合: 英语单词数学中的所有英文字母组成的集合 方程的所有解组成的集合 绝对值小于的所有实数组成的集合. 【答案】解:中的所有英文字母组成的集合为. 方程的所有解组成的集合为. 绝对值小于的所有实数组成的集合为. 6.用区间表示下列集合: ; . 【答案】解: . 7.下列的集合中,哪些是有限集哪些是无限集 使得式子有意义的所有实数组成的集合 使得式子有意义的所有自然数组成的集合 方程的所有实数解组成的集合. 【答案】解:要使有意义,需满足, 即,, 对应集合为,为无限集 要使有意义,需满足, 即,, 对应集合为,为有限集 ,, 在实数范围内无解, 对应集合为,为有限集 综上所述,为有限集,为无限集. Part3 综合练习 一、单选题:本题共9小题,每小题5分,共45分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是 A. 我校爱好足球的同学组成一个集合 B. 是不大于的自然数组成的集合 C. 集合和表示同一集合 D. 数,,,,,,组成的集合有个元素 2.下列四个区间能表示数集或的是 A. B. C. D. , 3.集合的另一种表示法是 A. B. C. D. 4.若集合中的三个元素可构成的三边长,则一定不是 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5.用列举法表示集合且,正确的是( ) A. B. C. D. 6.设集合,若且,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.设集合,若,则的值为( ) A. B. C. D. 8.已知集合满足条件:若,则,那么集合中所有元素的乘积为( ) A. B. C. D. 9.已知集合,,则集合中元素的个数为( ) A. B. C. D. 二、多选题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 10.设集合,则下列表述不正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题 11.集合用区间表示为 ;集合,且用区间表示为 . 12.用列举法表示集合 . 13.用符号“”或“”填空:若,则 , A. 14.已知集合中只有一个元素,则实数的值为 . 15.已知,,均为非零实数,集合,则集合的元素的个数有 个. 四、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.试分别用描述法和列举法表示下列集合: 方程的所有实数根组成的集合; 由大于且小于的所有整数组成的集合. 17.已知集合,,若,求集合. 18.已知. 若,用列举法表示; 当中有且只有一个元素时,求的值组成的集合. 19.设集合. 试判断,与集合的关系 用列举法表示集合. 20.已知集合问是否存在,使 中只有一个元素; 中至多有一个元素; 中至少有一个元素.若存在,分别求出来;若不存在,说明理由. Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】 【解答】 解:选项A,不满足确定性,故错误 选项B,不大于的自然数组成的集合是,故错误 选项C,由集合的无序性,C正确 选项D,因为,, 所以数,,,,,,组成的集合有个元素,故错误. 故选C. 2.【答案】 【解答】 解:根据区间的定义可知数集或可以用区间表示. 故选B. 3.【答案】 【解答】 解:集合是用描述法来表示的, 用另一种方法来表示就是用列举法, 即 故选D. 4.【答案】 【解答】解:根据集合元素的特点可知: ,,三个元素互不相等, 若此三个元素构成某一三角形的三边长, 则此三角形一定不是等腰三角形. 故选D. 5.【答案】 【解答】 解:解方程组得,, 则且, 故选:. 6.【答案】 【解答】 解:因为集合,若且, 且;解得; 故选:. 7.【答案】 【解答】 解:若,则, ,不满足集合元素的互异性, 故不合题意; 若,则舍去或, 当时,符合题意; 则的值为. 故选A. 8.【答案】 【解答】 解:由题意,当时,, 令代入,则, 则,则, 即, 所以, 故选B. 9.【答案】 【解答】 解:为大于等于且小于等于的奇数, , , 当,时,为偶数,有个; 当,时,为奇数,有个; 当,时,为奇数,有个. 在满足条件的奇数中,重复的有:,,,,,,,,,共个. 故集合中元素的个数为. 故选B. 10.【答案】 【解答】解:解方程求出, 选项A,是集合与集合间关系,但是符号错误,,项根据元素与集合间关系判断正确. 故选:. 11.【答案】 【解答】 解:集合用区间表示为:,集合,且用区间表示为:. 故答案为:;. 12.【答案】 【解答】 解:由,且,知是的约数, 故,,,, 从而的值为,,,,,,,. 故答案为. 13.【答案】 【解答】 解:因为是集合的元素,所以, 因为不是集合的元素,所以. 故答案为;. 14.【答案】 【解答】 解:集合只有一个元素, 一元二次方程有两相等根; ; . 故答案为. 15.【答案】 【解答】 解:当,时,, 当,时,, 当,时,, 当,时,, 故的所有值组成的集合为,个元素 故答案为:. 16.【答案】解:设,则是一个实数,且. 因此,用描述法表示为. 方程有两个实数根, 因此,用列举法表示为. 设,则是一个整数,即,且. 因此,用描述法表示为. 大于且小于的整数有,,,,,,,,, 因此,用列举法表示为. 17.【答案】解:若,则或, 若,解得或. 当时,,不符合集合中元素的互异性,故舍去; 当时,,. 若,得,由中元素的互异性,知不符合题意. 由可知集合. 18.【答案】解:. 当时,则是方程的实数根, ,解得; 方程为,解得或; ; 当时,方程为, 解得,所以; 当时,若集合只有一个元素, 由一元二次方程有相等实根,判别式, 解得; 综上,当或时,集合只有一个元素. 所以的值组成的集合. 19.【答案】解:因为,, 当时,,所以 当时,,所以A. 因为,, 所以只能取,,所以. 20.【答案】当时,方程只有一解,即,此时中只有一个元素; 当,且,即时,方程有两个相等的根,中只有一个元素. 综上所述:当或时,中只有一个元素. 中至多有一个元素,即或中只有一个元素. 由可知或时中只有一个元素, 而,即时方程无解,为空集, 综上所述:当或时,中至多有一个元素. 中至少有一个元素,即方程有解, 时,,即, 其中时,方程有两个相等的根,,. 若,方程有两个不相等的根,,,此时. 时,方程有根,. 综上所述:时,中至少有一个元素. 第 1 页 共 1 页 学科网(北京)股份有限公司 $$