精品解析：四川省广安中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

广安中学2026高考冲刺月测卷二 八月月测 数学试卷 2025.08 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ） A. 甲得分的平均数比乙的大 B. 乙的成绩更稳定 C. 甲得分的中位数比乙的大 D. 甲的成绩更稳定 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知集合，,则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 1是函数的极大值点 C. 当时， D. 不等式的解集为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 的面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________. 13. 函数的图象在处的切线方程是____________． 14. 已知正三棱锥的所有棱长都为，则以PA为直径的球的球面被侧面PBC所截得曲线的长为___________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值以及相应的的值； （3）若，求的值. 16. 已知椭圆的左焦点为，直线l：与椭圆C交于A、B两点． （1）求线段AB的长； （2）求的面积． 17. 如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点. （1）求证平面； （2）若， （i）求证平面； （ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）若为函数的极小值点，求a的取值范围． （3）曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由． 19. 设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． （1）已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； （2）已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； （3）证明：不存在“等比关联数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安中学2026高考冲刺月测卷二 八月月测 数学试卷 2025.08 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ） A. 甲得分的平均数比乙的大 B. 乙的成绩更稳定 C. 甲得分的中位数比乙的大 D. 甲的成绩更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解. 【详解】甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13， 甲得分的方差明显比乙大. 故选:B 【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用复数的除法运算化简z，再利用复数的几何意义求复数对应的点. 【详解】由已知得，∴z在复平面内对应的点的坐标为， 该点在第四象限. 故选：D 3. 已知集合，,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合的补集，再求两集合的交集. 【详解】由可得， 则. 故选：B. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集． 【详解】解：不等式可转化为，即，即， 所以不等式等价于解得：， 所以原不等式的解集是 故选：B 5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得，再根据三角形的面积公式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以，所以， 所以的面积为. 故选：C. 6. 已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准方程可得结果. 【详解】∵抛物线的方程为， ∴标准方程为， ∴抛物线的准线方程为. 故选：A. 7. 已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等差数列的性质计算即可得. 【详解】因为，所以， 由等差数列的性质得，所以，所以． 故选：A. 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设化简可得，，从而将向量等式化简，根据平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， ， 在中， ， ， 为线段上的一点，，且易得， . 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知可得，逐个验证选项即可. 【详解】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则， ，故A错误；，故B正确； ，，则，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 1是函数的极大值点 C. 当时， D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，进而可得A正确；利用导数求的函数的最值即可得到B错误；由在上单调递减，利用单调性即可判断C选项；D选项，根据B选项得到，再得到函数的单调性，从而得到不等式，求出解集. 【详解】由题意得曲线是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，故曲线的对称中心为，故A正确； ，易得在和上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，1为的极小值点，故B错误； 因为在上单调递减，当时，，所以，故C正确； 由上知，易求， 所以，所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义、标准方程和几何性质，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：因为，解得，故A正确； B：双曲线，所以， 的离心率，故B错误； C：因为，所以， 则的面积为，故C正确； D：所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求出x，然后由向量的模的坐标表示可得. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故答案为： 13. 函数的图象在处的切线方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，求出函数在处的切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】由已知，得，所以， 所以所求切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知正三棱锥的所有棱长都为，则以PA为直径的球的球面被侧面PBC所截得曲线的长为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，找到球面被侧面PBC所截得曲线是一段圆弧，求出弧长. 【详解】如图， 分别取PA，BC的中点为O，D，连接AD，PD. 则，，，所以平面PAD. 又平面PBC，所以平面平面PBC，交线为PD， 过A作，垂足为E，则平面PCD. 过O作.垂足为M，所以平面PCD， 由于平面截球所得的为圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直， 所以以PA为直径的球的球面被侧面PBC所截得曲线是以点M为圆心的一段圆弧. 易知E是的中心，M是PE的中点，所以M，E分别是线段PD的两个三等分点， 即，所以所求曲线对应劣弧上的圆周角为， 所以对应的圆心角为， 易知， 所以所截得曲线长度. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值以及相应的的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2）最小值，；最大值3，；（3） 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的周期，代入求解即可； （2）由，则，再求函数的值域即可； （3）由已知有，又，再结合诱导公式化简求值即可. 【详解】解：（1）因为函数的最小正周期为， 由，得. （2），因为，所以， 从而. 于是，当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值3. （3）因为，所以. 故 . 【点睛】本题考查了三角函数的周期，重点考查了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题. 16. 已知椭圆的左焦点为，直线l：与椭圆C交于A、B两点． （1）求线段AB的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把直线方程代入椭圆方程，求得交点坐标，可求线段AB的长； （2）结合（1）的结论，利用点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 联立，或， 当时，， 当时，，不妨设， ； 【小问2详解】 由， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 17. 如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点. （1）求证平面； （2）若， （i）求证平面； （ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】（1）证明：四点共面， 平面平面ABCD，平面平面，平面平面， 平面平面平面. （2）（i）证明：如图所示， 连接平面平面，， 又平面平面平面， 又平面平面. （ii） 【解析】 【分析】（1）由题可证得四点共面，然后由面面平行性质得到线线平行，从而可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）如图所示，在平面内作直线垂足为， 连接，设. 平面， 平面即为直线与平面所成角. 平面， 平面平面， ， 当时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）若为函数的极小值点，求a的取值范围． （3）曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不存在，理由如下． 假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，， 则有，即， 化简得． 令，则， 由知函数在上单调递增， 由得，即，这与矛盾， 所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）按值取正负零分别讨论在0左右两侧值的正负而得解； （3）假定曲线存在两个不同的点关于轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于轴对称，利用导数判断单调性即可得解. 【小问1详解】 ，，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， ①若，则，单调递增，无极值，不符合题意． ②若，则当时，，，所以不可能为极小值点，不符合题意． ③若，令，则， 当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减， 则，又，当时，． 若，则， 当时，，当时，，所以为函数的极小值点，符合题意． 若，因为在上单调递增，的值从增到0， 所以直线与曲线在上的图象有公共点，即存在使得， 当时，，即， 所以存在，使得当时，， 当时，，此时为函数的极小值点，符合题意． 综上，. 【小问3详解】 略 19. 设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． （1）已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； （2）已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； （3）证明：不存在“等比关联数列”． 【答案】（1） （2） （3） 当时，假设的各项从小到大排列，此时数列有项， 则，，，， 因为是等比数列，所以，即，所以． 设的公比为，则，所以， 所以，， 剩余四项为，，，， 又公比，所以，，是连续三项，因此是第4项或第7项， 当时，，所以，即，不符合题意； 当时，，所以，即，不符合题意； 因此当时，不存在“等比关联数列”． 【解析】 【分析】（1）根据定义计算出的前三项，即可写出等比数列的通项公式； （2）先计算出及的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再分两种情况讨论的可能性，从而得到使的前3项成等比数列的所有可能情况，进而求出概率； （3）先计算出的项数，再由的公比为，写出确定的，进而求出，再求出确定的，推理出，，是连续三项，从而推理出是第4项或第7项，进而分两种情况讨论即可得证. 【小问1详解】 因为，，， 由定义可知，， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为中4项均不相同，所以有种，有项， 假设，则，，，． 设的公比为，则， 又数列的第三项，第四项， 或第三项，第四项， 所以， 且，得，且， 或， 且，得，且， 这两种情况，不能同时成立，使得的前3项为等比数列有4种情况， 故． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $