精品解析：海南华侨中学2027届高三上学期第二次阶段考试数学试题

海南华侨中学2027届高三上学期第二次阶段考数学试题 命题人：古其远 梅馨怡 审题人：薛文新 饶高飞 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到复数，再根据复数的乘法计算可得. 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标是， 所以，所以. 故选：C 2. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A. B. 1 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，依次求得，，借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系.由图可知，, ， 故. 故选：A. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由奇函数性质可得：. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理确定，根据三角形的内角和求得，进而求得；或根据余弦定理求得，并求解三角形的各角检验即可. 【详解】在中，由正弦定理，得. 因为，所以，或. 当时，，所以； 当时，，所以. 故选：D. 方法二：由余弦定理，得 ，化简得. 所以，或. 当时，，，符合题意； 当时，，所以，，符合题意. 故选：D. 5. 为等比数列，若，，成等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设公比为，即得，根据等差中项的性质有，即可求值. 【详解】设的公比为，则，而，，成等差数列， ∴，即，解得. ∴. 故选：A. 6. 已知函数，（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为， D. 若，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 所以，又，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位， 可得的图象， 再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象， 即，故B错误； 令，则， 即对称中心为，故C正确； 因为，且， 根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D错误. 7. 已知正方形的边长为，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，； 为正方形内部(不含边界)的动点， 点在以为直径，且在正方形内部的半圆上(不含边界)，如图. 取的中点，连接，则，得， 解得. 正方形的边长为，为的中点，； . 当时，取到最小值，即； 点在以为直径，且在正方形内部的半圆上(不含边界)， ； ； ，即的取值范围是. 8. 定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. 函数有4个零点 D. 的图象关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，对称性和周期性，利用时的解析式即可得出答案. 【详解】当时，，所以， 又因为定义域为的函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于原点对称，所以是奇函数， 当时，，由奇函数的性质得，故A错误； 因为，令，则，，所以， 所以是周期为的周期函数， 所以，又，所以 因为，， 所以，故B正确； 求函数的零点个数，即求函数和函数的图象的交点个数， 在区间中，函数，由周期性可得函数值域为， 因为在单调递增，时，，时，， 由绝对值的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 当，则或，所以当，， 当时，，， 画出两函数图像如图所示，观察可得函数和函数的图象的交点个数为个， 所以函数有个零点，故C错误； 因为，所以，又， 所以的图象关于点对称，故D错误. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，故B错误； 对于C，在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，由与夹角为锐角，得，即，解得且，故D错误. 10. 已知，是方程的两根，下列论断正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 若且，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据韦达定理求出，，再逐项判断即可. 【详解】因为，所以，是方程的两虚根， 设则，所以, 解得，所以，或，. 对于A，复数不能比较大小.故A错误； 对于B,,所以，故B正确； 对于C，或,故C正确； 对于D，设由可得：， 化简得， 即，解得，所以， 因为，所以.故D正确. 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的零点是，的零点是 B. 若有四个零点，则的取值范围为 C. 不等式的解集为 D. 若方程的所有实根之和为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据零点的定义计算即可判断；对于B，先将条件转化为与有四个交点，再根据数形结合即可判断；对于C，分和两种情况计算不等式即可判断；对于D，令，将条件转化为函数与函数图象交点个数，再分，和三种情况分析，利用数形结合讨论函数零点即可判断． 【详解】对于A，因为，令，解得，所以函数的零点为， 令，解得，或，所以的零点是，或，故A错误； 对于B，若有四个零点，则与有四个交点， 又，则与的大致图象如下： 数形结合可得，若与有四个交点，则的取值范围为，故B正确； 对于C，由， 若，则，不符合题意； 若，则，即， 解得，故C正确； 对于D，令， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 则函数与函数的大致图象如下： 又的对称轴为， 当时，函数与函数的图象有个交点，且交点横坐标大于， 即， 结合选项B的图象知函数与函数有个交点， 且个交点关于对称， 此时方程有两根，且两根和为，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有个交点， 且交点的横坐标分别为，， 当时，即，解得，或， 当时，即，解得，，， 即函数与函数的图象有个交点， 则方程有个根，且这个根的和为，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有个交点， 即函数与函数的图象有个交点， 且交点的横坐标分别为，， 当时，结合选项B的图象知函数与函数无交点，不符合题意； 当时，结合选项B的图象知函数与函数有个交点， 且关于对称，所以个交点横坐标之和为， 所以方程有个根，且这个根之和为，符合题意， 综上，实数的取值范围是，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上． 12. 函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可. 【详解】若使函数有意义，需满足：， 解得； 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，已知向量，且，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用平面向量平行的充要条件、同角三角函数的商数关系、诱导公式化简计算即可. 【详解】由题意可知，即， 所以 . 故答案为： 14. 如图是某款户外露营“遮阳神器”的平面结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成．已知，，且；当时，______________；当遮阳效果最好（即的面积最大）时，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用周角性质求出，结合余弦定理计算长度；设，构建面积关于的函数，利用导数求得面积最大值时的，进而求出. 【详解】当时，， 所以. 在中，，， 由余弦定理得，所以. 设，其中， 因为，且， 所以. 的面积. 令，因为，所以. 设， 求导得. 令，即，解得或（舍去）. 当时，.令，且. 当，即时，，函数单调递增； 当，即时，，函数单调递减. 所以当时，取得最大值.此时. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程 15. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求直线到平面的距离； （2）求平面和平面所成夹角的正弦值． 【答案】（1）2 （2）． 【解析】 【分析】（1）证明平面，将求到平面的距离转化为求点到平面的距离，再证明平面，得到点到平面的距离就是的长，即可得出答案； （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入向量夹角的余弦公式再由计算即可得出答案. 【小问1详解】 取的中点，连接，，如图所示： 在中，因为，分别是棱，的中点，所以为的中位线， 所以，且，易知，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面． 因此直线到平面的距离即点到平面的距离， 由于平面，平面，所以， 又，，所以， 结合，，平面，所以面，则即为点 到平面的距离，又，所以直线到平面的距离为2． 【小问2详解】 由已知，，，所以， 即，得，因为底面，所以， 由于为等腰三角形，所以， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， 因为为棱的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则 令，则，，即平面的一个法向量为， 又平面，平面，所以，由， 且，和在平面上，所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面所成夹角的正弦值为． 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求解； （2）利用正弦定理将和用表示，求出，利用正弦函数的图象和性质求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 且，则． 【小问2详解】 因为，， 所以由正弦定理得，， 则，， 则， 在中，，故，则， 则，所以的取值范围为． 17. 已知向量，，函数（），且函数的图象相邻两对称轴之间的距离为． （1）求的值以及函数在上的单调递增区间； （2）若，对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）；. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算及三角恒等变换化简，再利用对称轴间距求周期，算出；利用余弦函数增区间整体代换，再和定义域取交集； （2）任意性恒成立转化为，分别求其最值，解不等式求出的取值范围. 【小问1详解】 由题， ． 因为函数的图象相邻两对称轴之间的距离为， 所以函数的最小正周期为，即，解得. 所以． 法一：令，， 解得，. 又，所以令，可得， 因此函数在上的单调递增区间为． 法二：令，由，可得， 由于在上单调递增，即，故， 因此函数在上的单调递增区间为． 【小问2详解】 由题意可知， 由，可得， 所以. 故，即. 而. 令，构造. 由题，则， 若，则，解得，所以符合题意； 若，则恒成立，所以符合题意； 若，则，解得，所以. 综上所述，的取值范围为． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，，过轴上的一点（）作直线交椭圆于，两点（异于点，）．设直线斜率为，直线斜率为． （ⅰ）求（用表示）； （ⅱ）若，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1）． （2）（ⅰ）;（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用离心率的公式得到的等式，由在椭圆上得到的等式，结合计算得到，，从而得到椭圆的方程． （2）（ⅰ）根据题意设直线的方程为，此直线和椭圆联立方程组，消去得到关于的一元二次方程，则，设，，利用韦达定理求出，，求出.（ⅱ）由结合（ⅰ）的计算结果求出，从而得到，，由结合的值求出，利用三角形的面积公式求出，，计算，利用基本不等式求出的最大值． 【小问1详解】 因为椭圆：（）的离心率为， 所以，化简得①， 因为在椭圆上，所以②， 联立①②解得，，故椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）过轴上的一点（）作直线交椭圆于，两点（异于点，）， 设直线的方程为， 则联立，消去得， 其中，即， 设，，则，， 则 . （ⅱ）因为， 所以由（ⅰ）可得， 解得，即， 则，， 因为，，所以，解得， 记的面积为，的面积为， 则，， 则， 令，则， 则，当且仅当，即时等号成立． 则的最大值为． 19. 已知函数. （1）若函数为增函数，求的取值范围； （2）已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1）可知：当时，单调递增， ∵，则，即， 整理得， 构建，则， 令，解得；令，解得 ； 则在上递减，在递增， 故，即，当且仅当 时等号成立， 令，可得， 故； （ii）证明：∵，则， 可知有两个不同实数根，由（1）知， 可得， 同理可得， 构建，则， 当时，；当 时，；当 时，； 且，故对恒成立， 故在上单调递减， ∵，则，即， 且，则，故， 可得； 又∵，由（i）可得，即， 则， 且，则， 可得； 综上所述：. 可得，则 故. 【解析】 【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解； （2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可； （ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果. 【小问1详解】 ∵，则， 若 是增函数，则， 且 ，可得， 故原题意等价于对恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得 ； 则在上递增，在递减，故， ∴的取值范围为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南华侨中学2027届高三上学期第二次阶段考数学试题 命题人：古其远 梅馨怡 审题人：薛文新 饶高飞 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A. B. 1 C. D. 7 3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 为等比数列，若，，成等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知函数，（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为， D. 若，且，则 7. 已知正方形的边长为，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为的函数的图象关于点对称，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. 函数有4个零点 D. 的图象关于直线对称 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若与夹角为锐角，则 10. 已知，是方程的两根，下列论断正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 若且，则或 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的零点是，的零点是 B. 若有四个零点，则的取值范围为 C. 不等式的解集为 D. 若方程的所有实根之和为，则实数的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上． 12. 函数的定义域为___________. 13. 在平面直角坐标系中，已知向量，且，则的值为______. 14. 如图是某款户外露营“遮阳神器”的平面结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成．已知，，且；当时，______________；当遮阳效果最好（即的面积最大）时，_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程 15. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求直线到平面的距离； （2）求平面和平面所成夹角的正弦值． 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 17. 已知向量，，函数（），且函数的图象相邻两对称轴之间的距离为． （1）求的值以及函数在上的单调递增区间； （2）若，对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，，过轴上的一点（）作直线交椭圆于，两点（异于点，）．设直线斜率为，直线斜率为． （ⅰ）求（用表示）； （ⅱ）若，记的面积为，的面积为，求的最大值． 19. 已知函数. （1）若函数为增函数，求的取值范围； （2）已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $