精品解析：安徽省皖西南示范中学2025-2026学年高三上学期起点考试数学试题

安徽省皖西南示范中学2025-2026学年高三上学期起点考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 已知均为单位向量，且，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知数据，若这组数据的极差是中位数的2倍，则满足条件的正整数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 10. 《九章算术》是我国的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，分别为的中点，则（ ） A. 该堑堵的体积为108 B. 平面 C. 该堑堵外接球的表面积为 D. 平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点 11. 已知是函数的零点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最小值为 D. 当取得最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等差数列的前项和，，则____________. 13. 已知函数，则不等式的解集为______. 14. 将分别标有号码的6个小球平均分为两组，记这两组小球中最小的号码分别为，，则数学期望______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某区体育老师为了了解初中学生喜欢篮球是否和性别有关，随机调查了该区100名初中学生，其中女生占了.经调查，在喜欢篮球的学生中，女生的人数是男生的2倍，在不喜欢篮球的学生中，女生的人数是男生的7倍. （1）根据题中信息，完成下面列联表； 性别 是否喜欢篮球 合计 喜欢 不喜欢 男生 女生 合计 100 （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢篮球与该区初中学生的性别有关联？ 附：. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，平面. （1）证明：是直角三角形. （2）若，求平面ABE与平面CDE夹角的余弦值. 18. 已知分别是椭圆的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的坐标； （3）求四边形的面积的取值范围. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）设无穷数列，请探究是否存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省皖西南示范中学2025-2026学年高三上学期起点考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的基本运算，可得，再结合复数的几何意义进行判断即可. 【详解】由已知，根据复数的运算可得， 所以其所对应的点的坐标为，显然在第二象限. 故选：B 2. 若集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用补集运算和并集运算直接得到结果. 【详解】由，，则， 又，所以. 故选：D 3. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数公式求出，再利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得，解得， 由，得，则， 所以. 故选：A 5. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为是方程的两个根，所以， 在正项等比数列中，有，， 又，所以，所以. 故选：B 6. 已知均为单位向量，且，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的运算律求得，再结合数量积的定义即可求解. 【详解】由题意，则， 设与的夹角为，则， 显然最大值为，此时. 故选：C 7. 已知数据，若这组数据的极差是中位数的2倍，则满足条件的正整数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】按照或、或、三种情况分类讨论，求出数据的中位数和极差，列式求解即可. 【详解】当或时，这组数据的中位数为，极差为，显然，满足题意； 当或时，这组数据的中位数为，极差为，显然不满足题意； 当正整数时，这组数据的中位数为，极差为，则，即，满足题意； 综上，满足条件的正整数的个数为3个. 故选：C 8. 已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，设，可得点，再代入双曲线方程并整理求得，进而求出离心率范围. 【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得， 设，则，即点， 因此，整理得，由，得，则， 于是，解得，即，则的离心率， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A；由正切函数最小正周期公式求解判断B；根据函数的对称性求解判断C；根据正切函数的对称中心求解判断D. 【详解】对于A，，错误； 对于B，中，则最小正周期为，正确； 对于C，函数的对称轴为， 令，解得， 则函数图象的对称轴为，令得，错误； 对于D，令，解得， 则函数图象的对称中心为， 令得，所以是图象的一个对称中心，正确． 故选：BD 10. 《九章算术》是我国的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，分别为的中点，则（ ） A. 该堑堵的体积为108 B. 平面 C. 该堑堵外接球的表面积为 D. 平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用棱柱体积公式求解判断A；利用直线与直线相交判断B；利用补体法求得该堑堵的外接球半径，进而求出外接球的表面积判断C；延长并与的延长线交于点F，连接，交于点，连接，利用几何关系得，即可判断D. 【详解】由题意该堑堵的体积为，故A正确； 因为直线与直线相交，所以直线与平面不平行，故B错误； 该堑堵可以放置在边长为6的正方体中， 该堑堵的外接球和正方体的外接球为同一个外接球， 所以该堑堵的外接球半径为， 所以外接球的表面积为，故C正确； 延长并与的延长线交于点F，连接，交于点，连接， 由可知，由可得， 平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点，故D正确. 11. 已知是函数的零点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最小值为 D. 当取得最小值时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的单调性及零点存在性定理确定零点区间判断A；利用导数法求出的单调区间，从而有判断B；利用几何意义将问题转化为在上能成立，令，利用导数法求解其单调区间，求得，即可判断C；先求出，然后由求解即可判断D. 【详解】对于A，当时，，定义域为， 则由单调性的性质可知在上单调递增， 又，， 根据零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为，错误； 对于B，当时，，则， 由单调性的性质可知在上单调递增， 且， 所以当时，，当时，， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的最小值为，所以，正确； 对于C，由题意，即点在直线上， 可以理解为点到原点的距离的平方， 所以原点到直线的距离一定小于或等于点到原点的距离， 即在上能成立， 即在上能成立，令，则， 令，，得， 当时，，当时，， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以当时，，即的最小值为，正确； 对于D，当取得最小值时，，所以， 所以，所以， 所以，解得，正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等差数列的前项和，，则____________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解. 【详解】在等差数列中，由，得，解得， 所以. 故答案为：0 13. 已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在R上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得. 【详解】因为函数的定义域为R，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. ，由函数和函数在R上单调递增可知， 所以函数在R上单调递增， 则由可得， 由函数在R上单调递增得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14. 将分别标有号码的6个小球平均分为两组，记这两组小球中最小的号码分别为，，则数学期望______. 【答案】 【解析】 【分析】求出的可能取值及其对应的概率，再由数学期望公式求解即可. 【详解】将6个小球平均分两组，分组的方法数有种， 由题意的可能取值为1，2，3，则，， 故， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某区体育老师为了了解初中学生喜欢篮球是否和性别有关，随机调查了该区100名初中学生，其中女生占了.经调查，在喜欢篮球的学生中，女生的人数是男生的2倍，在不喜欢篮球的学生中，女生的人数是男生的7倍. （1）根据题中信息，完成下面列联表； 性别 是否喜欢篮球 合计 喜欢 不喜欢 男生 女生 合计 100 （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢篮球与该区初中学生的性别有关联？ 附：. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析 （2）喜欢篮球与该区初中学生的性别有关联 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求出女生人数和男生人数，喜欢篮球的男生人数和喜欢篮球的女生人数，即可补全列联表； （2）根据列联表数据计算，与临界值比较即可判断. 【小问1详解】 女生人数为，男生人数为， 设喜欢篮球的男生人数为，则喜欢篮球的女生人数为， 由题意得，解得， 故列联表如下： 性别 是否喜欢篮球 合计 喜欢 不喜欢 男生 20 5 25 女生 40 35 75 合计 60 40 100 【小问2详解】 零假设：喜欢篮球与该区初中学生的性别无关联， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜欢篮球与该区初中学生的性别有关联. 16. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用正弦定理角化边求出，再利用（1）的结论及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由，得 由正弦定理得，由余弦定理得， 而，所以. 【小问2详解】 由及正弦定理得，而，解得， 由（1）得，解得， 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，平面. （1）证明：是直角三角形. （2）若，求平面ABE与平面CDE夹角的余弦值. 【答案】（1） 在四棱锥中，取的中点，连接， 由，得四边形是边长为1的正方形， 则，又，于是， 由平面平面，得， 又平面，因此平面， 又平面，所以，即是直角三角形. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定与性质证得即可. （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面ABE与平面CDE的法向量，再利用向量法求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为坐标原点，直线分别为,,轴建立空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为，则，取，得， 显然是平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知分别是椭圆的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的坐标； （3）求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标可得，再结合及轴可得，解方程组即可求解椭圆方程； （2）设，，由题可知，根据向量坐标运算得，又，解方程组即可求解的坐标. （3）设关于原点的对称点，进而由平行关系判断三点共线，再设直线的方程，与椭圆方程联立，将转化为，再求点到直线的距离，然后利用梯形的面积公式求，最后通过变形利用基本不等式可求最大值即可. 【小问1详解】 由题可知，即， 若，且，则此时轴， 所以，即，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，， 由题可知，则，解得， 因为两点在椭圆上，所以，所以， 即，解得，所以的坐标为. 【小问3详解】 设，，，， 则关于原点的对称点，即， 由，，得， 则，即， 则，则三点共线， 又，得， 设，联立得， 则，，， 则， 则， 又点到直线的距离， 则梯形的面积， 令，则， 则，当即时等号成立， 故的取值范围为. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）设无穷数列，请探究是否存在，使得. 【答案】（1）； （2）； （3）存在. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）等价变形给定的恒成立不等式，利用导数结合单调性求出范围. （3）利用导数求出函数在的值域，再按分类探讨，结合二倍角的余弦公式确定的通项，进而推理判断得解. 【小问1详解】 函数，求导得， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 不等式，令， 依题意，在上恒成立，且，求导得， 令，求导得， 函数在上单调递减，， 当，即时，，函数在上单调递减， 则，函数在上单调递减，， 因此不等式在内恒成立，于是； 当时，，函数在的图象连续不断， 则存在，使得当时，，于是函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 由于，则当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，则． 当时，而，由二次函数性质得，与矛盾； 当时，记，则， 以此类推得，不妨设， 倒推得，只要存在，使得，且， 同时（因为）,又函数的值域包含的部分区间， 因此存在，使得，进而通过递推关系使得， 所以存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $