精品解析：2026届湖南省湘潭市高三一模数学试题

湘潭市2026届高三第一次模拟考试 数 学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 平面向量，， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （ ） A. -5 B. 5 C. 1 D. -1 6. 跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.32 C. 0.45 D. 0.36 7. 已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不存在三个事件A，B，C两两对立 B. 若三个事件A，B，C 两两互斥，则 C. 给定事件A，B，C，且P(C)>0，则P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C) D. 已知数据的极差为4，方差为2，则数据 的极差和方差分别为8，4 10. 已知数列的通项公式为，前n项和为，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 是公差为的等差数列 B. 是中的项 C. 数列是单调递增数列 D. 数列中存在三项能构成等比数列 11. 已知函数（参考数据：），下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为6 B. 若恒成立，则的取值范围为 C. 若有两个不同实数根，则 D. 若恒成立，则的最大整数值为2 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式共有9项，则展开式中 的系数为____________． 13. 已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则_____________ 14. 函数 的值域为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线． （1）求角A； （2）求 AM 的长． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面为正三角形，E，F分别是棱，的中点，点G在侧棱上，且． （1）求证：∥平面； （2）若，求二面角的余弦值． 17. 已知椭圆（）的离心率为 且经过点，．过点，斜率为（）的直线与椭圆交于， 两点，直线， 分别与直线交于点，． （1）求椭圆的方程； （2）求的值． 18. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若方程有两个解 证明:使得 19. 在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第 轮对密钥片段进行一次变换．具体变换规则如下：若k为奇数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加1，偶数项的值减少k；若k为偶数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加2k，偶数项的值减少2．若初始密钥序列 ，则加密序列的所有项之和为 ．已知数列的前n项和为 且满足 （1）写出，并求出 ； （2）求 ； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘潭市2026届高三第一次模拟考试 数 学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求解分数不等式及指数不等式，再结合交集运算即可求解. 【详解】由可得：， 即，所以， 由，可得，所以， 所以， 故选：B 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算先计算，再由复数的概念即可求解. 【详解】由题意有， 所以的虚部是. 故选：A. 3. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简函数解析式，接着由平移变换得到解析式，再由奇偶性列出关于的方程，即可计算求解. 【详解】由题意可知，函数， 所以， 又为奇函数，所以， 又，所以. 故选：C 4. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可判断水的体积为三棱柱体积的一半，由此结合棱柱的体积，即可求出答案. 【详解】若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点， 设棱柱的体积为V，则水的体积为； 当侧面水平放置时，三棱柱有水部分的体积为， 则无水部分为水平放置的小三棱柱（一侧面为水面），其体积为， 由于三棱柱和三棱柱的高相同， 故，由于，则∽ ， 故，而，故，故， 故选：D 5. 平面向量，， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （ ） A. -5 B. 5 C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】可将各平面向量用坐标形式表示，进而求解 【详解】以网格中左下角一点为原点建立平面直角坐标系，则各向量可用坐标表示 易得，，. 因此， 故选：C 6. 跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.32 C. 0.45 D. 0.36 【答案】A 【解析】 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 7. 已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】已知函数，数列满足，结合分段函数的性质讨论，若为递增数列，则，与矛盾，不满足充分性；若，满足，可以推出为递增数列，故满足必要性，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 【详解】已知函数，数列满足. ①充分性： 若为递增数列，则对于所有，满足，即. 当时，成立，即 ：， ：， ：， ：需要满足，即， 当，，要使在时单调递增，则. 综上，若数列递增，则， 所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性. ②必要性： 若，则，由①知当时为递增数列， 所以“”能满足“数列递增”， 即“数列递增”是“”的必要条件. 所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不存在三个事件A，B，C两两对立 B. 若三个事件A，B，C 两两互斥，则 C. 给定事件A，B，C，且P(C)>0，则P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C) D. 已知数据的极差为4，方差为2，则数据 的极差和方差分别为8，4 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对立事件的定义及性质可判断A；根据互斥事件的加法公式可判断B；根据和事件的概率及条件概率下的加法公式可判断C；根据极差的定义及方差的性质求出新数据的极差、方差可判断D. 【详解】对于A，假设存在三个两两对立的事件A，B，C.由A与B对立可知B是事件A的对立事件，即；由A与C对立可知C是事件A的对立事件，即.因此；而事件B与C也要对立，则必需满足，即.若，则其对立事件，此时，但事件B，C对立要求，而.产生矛盾.故不存在三个两两对立的事件.故A正确； 对于B，根据互斥事件的加法公式得到，又，即.故B正确； 对于C，因为，根据条件概率下的加法公式得到，故C不正确； 对于D，不妨令，则，，因此新数据组的极差为，方差为，故D不正确. 故选：AB. 10. 已知数列的通项公式为，前n项和为，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 是公差为的等差数列 B. 是中的项 C. 数列是单调递增数列 D. 数列中存在三项能构成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得，，，进而判断ABC；用反证法可判断D. 【详解】由，则， 所以，则数列为等差数列，公差为， 则， 所以，则， 所以， 所以是公差为的等差数列，故A正确； 而，令， 解得，则不是中的项，故B错误； 而， 则数列是单调递增数列，故C正确； 假设中的三项成等比数列，则， ， 即， 则， 由于，则①且②， 由②可得，代入①可得， 由于，则数列中不存在三项能构成等比数列，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数（参考数据：），下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为6 B. 若恒成立，则的取值范围为 C. 若有两个不同实数根，则 D. 若恒成立，则的最大整数值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，求导，分析函数的单调性，进而求解判断即可；对于B，转化问题为恒成立，令，设，，利用导数分析其单调性，进而求解判断即可；对于C，令，转化问题为有两个不同实数根，且，利用导数分析其单调性可得，，设，，利用导数分析其单调性可得，进而求解判断即可；对于D，令，转化问题为恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解判断即可. 【详解】对于A，当时，， 则， 令，得，令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，无最小值，故A错误； 对于B，由，则，即， 令，即， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，故B正确； 对于C，由，， 令，则，， 则有两个不同实数根， 等价于有两个不同实数根，且， 而，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为时，，时，， 则，， 设，， 则， 当时，，则， 所以在上单调递减，则， 由，则， 则， 又，且在上单调递增， 所以，则，故C正确； 对于D，由，则，， 则，则， 令，则， 设，则， 因为， 由于，则， 所以， 且函数在上单调递增， 所以，使得，即， 则时，，函数在上单调递减， 时，，函数在上单调递增， 则， 因为函数在上单调递增，则， 则， 由恒成立，则， 则的最大整数值为2，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式共有9项，则展开式中 的系数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式共有9项，所以， 又因为展开式的通项公式为：, 所以的展开式的通项公式为， 令，则有 所以原式展开式中 的系数为. 故答案为： 13. 已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用焦半径公式求出A点坐标，再利用的面积结合抛物线方程求出B点坐标，利用两点间距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线C：的焦点为，准线方程为， 设，则由可得，得， 则，则，不妨取，则， 设，则满足， 由于的面积为即， 即，即，则 又，则，解得或（舍去）， 故，则， 故， 故答案为： 14. 函数 的值域为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】换元，化简得，再换元得， 令，利用得出的最大值与最小值，进而得到的值域 【详解】 令，则， 由于是奇函数且周期为，只需考虑 （值域对称）. 令，，则，（时，） 变为 令 对求导得： ， 令，得或， 当时，， 当时，， 当时， 的最大值是， 的最大值为 由于是奇函数， 故最小值为， 值域为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线． （1）求角A； （2）求 AM 的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的关系，结合正弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 故， 由正弦定理可得, 由于，所以, 结合,则， 【小问2详解】 由于AM 是角A 的平分线，， 由余弦定理可得，解得， 又, 解得 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面为正三角形，E，F分别是棱，的中点，点G在侧棱上，且． （1）求证：∥平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 连接，交于点，设交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以为线段的中点. 因为点E，F分别是棱，的中点， 所以点为线段的中点，所以. 又，所以. 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例易得，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）以为坐标原点，以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图，连接，因为为正三角形，是的中点，所以， 又侧面底面，所以底面， 因为在菱形中，，，所以， 又，所以平面，所以， 又是线段的中点，所以，由已知，所以为正三角形. 故以为坐标原点，以，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，， ，， 设平面的法向量为，则，， 不妨令，则，，， 取平面的法向量为，则， 易知二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 17. 已知椭圆（）的离心率为 且经过点，．过点，斜率为（）的直线与椭圆交于， 两点，直线， 分别与直线交于点，． （1）求椭圆的方程； （2）求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和顶点，可求，进而确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）表示出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，，再用两点式写出直线，的方程，进而得到，的纵坐标，表示出，化简即可. 【小问1详解】 由题意：， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 如图： 直线的方程为：，代入得： ， 整理得：. 设，，则，. 又直线：，令得； 直线：，令得. 所以 . 18. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若方程有两个解 证明:使得 【答案】（1）1 （2） 当或直线与函数的图象有1个交点，则的零点个数为1， 当时，直线与函数的图象有2个交点，则的零点个数为2， 当时，直线与函数的图象没有交点，则的零点个数为0. （3） 由可得， 要证，只需要证明在的值域是一个包含1的区间即可， 由题意，即， 由（2）知，且在单调递减， 注意到， 即得证. 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程得解； （2）分离参数，即可求导，根据函数的单调性，结合函数的图象即可求解； （3）根据（2）的结论，将问题转化为在的值域是一个包含1的区间即可. 【小问1详解】 设切点为则故， 又，则，即， 解得，故. 【小问2详解】 令，则， 令，则， 当在单调递增， 当在单调递减， 当时，取极大值，， 且当， 作出函数的大致图象如下： 由图象可知：当或直线与函数的图象有1个交点，则的零点个数为1， 当时，直线与函数的图象有2个交点，则的零点个数为2， 当时，直线与函数的图象没有交点，则的零点个数为0. 【小问3详解】 略 19. 在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第 轮对密钥片段进行一次变换．具体变换规则如下：若k为奇数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加1，偶数项的值减少k；若k为偶数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加2k，偶数项的值减少2．若初始密钥序列 ，则加密序列的所有项之和为 ．已知数列的前n项和为 且满足 （1）写出，并求出 ； （2）求 ； （3）证明：. 【答案】（1），； （2）； （3） ，， ， ， （）； 故 ， 故. 【解析】 【分析】（1）通过罗列即可求出，利用做差，求出为等比数列； （2）是一个奇偶分段的累加法，先求为奇数的通项，每两项合并，成为新的等差数列求和，利用累加法求出，为奇数的通项公式，再求出为偶数的通项； （3）利用第二问的结论求出的通项公式，通过放缩，可以放缩成裂项相消结构，利用裂项相消放缩进行证明； 【小问1详解】 ， ， ， ， ； ，， 两式做差，可得：； 可得：，故为公比为4的等比数列， 令，，可得， 故； 【小问2详解】 当为奇数时，， 当为偶数时，， 故也为奇偶分段数列，先求（为奇数，且）： ， ， ， ， …… ， ， ， ， 等号两边分别求和，， 等式右边是为首项为5，公差为的等差数列的前项和， 故，， 当时，成立； 当为偶数时，为奇数，此时： ； 故； 【小问3详解】 略. 【点睛】此题较难，需要注意通项公式求解过程中，要利用分组求和的方式，对累加法进行计算；对于第三问的放缩，要能配凑出裂项结构. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $