4.1线段、射线、直线 同步课堂讲义2025-2026学年北师大版（2024）七年级数学上册

4.1线段、射线、直线 讲解目录 【知识点1】两点间的距离 1 【知识点2】线段的性质：两点之间线段最短 2 【知识点3】直线的性质：两点确定一条直线 2 【知识点4】比较线段的长短 2 【知识点5】线段的和差 2 【知识点6】直线、射线、线段 2 【题型1】线段的比较大小 3 【题型2】与线段有关的综合问题 4 【题型3】线段的定义及表示方法 5 【题型4】有关射线的问题 6 【题型5】确定线段 7 【题型6】线段的实际应用问题 7 【题型7】作线段(尺规作图) 8 【题型8】几何语言与几何图形的互化 9 【题型9】直线的性质及应用 10 【题型10】点与直线及直线与直线间的关系 11 【题型11】直线、射线、线段的区别与联系 13 【题型12】两点的距离 14 【题型13】直线的定义及表示方法 14 【题型14】射线的定义及表示方法 15 【题型15】线段的基本性质及应用 17 【题型16】线段的和与差 18 【题型17】线段n等分点的有关计算 19 知识讲解 【知识点1】两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 【知识点2】线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 【知识点3】直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．           简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 【知识点4】比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC=BC，C为AB中点，AC=AB，AB=2AC，D 为CB中点，则CD=DB=CB=AB，AB=4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 【知识点5】线段的和差 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 【知识点6】直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 题型专练 【题型1】线段的比较大小 【典型例题】七年级一班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条最长的绳子，请你为他们选择一种合适的方法(　　) A.把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳 B.把两条绳子接在一起 C.把两条绳子重合，观察另一端情况 D.没有办法挑选 【举一反三1】有不在同一直线上的两条线段AB和CD，李明很难判断出他们的长短，因此他借助于圆规，操作如图所示，由此可得出(　　) A.AB＝CD B.AB＞CD C.AB＜CD D.无法确定 【举一反三2】如图，已知点C，D在线段AB上．嘉嘉：若AD＞BC，则AC＞BD；淇淇：若AC＞BD，则AD＞BC，下列判断正确的是(　　) A.两人均正确 B.两人均不正确 C.只有嘉嘉正确 D.只有淇淇正确 【举一反三3】如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是(　　) A.AC＝BD B.AC＜BD C.AC＞BD D.不能确定 【举一反三4】有不在同一直线上的两条线段AB和CD，李明很难判断出他们的长短，因此他借助于圆规，操作如图所示，由此可得出(　　) A.AB＝CD B.AB＞CD C.AB＜CD D.无法确定 【题型2】与线段有关的综合问题 【典型例题】下列说法中，正确的有(　　)个. ①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离； ③两点之间，线段最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点； ⑤射线AB和射线BA是同一条射线；⑥直线有无数个端点． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三1】下列说法中，错误的是(　　) A.过两点有且只有一条直线 B.两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离 C.两点之间，线段最短 D.在线段、射线、直线中直线最长 【举一反三2】下列说法： ①连接两点间的线段叫做这两点间的距离； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点之间，线段最短； ③若，则点是的中点； ④若，，，则有．其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三3】如图，C、D、E为线段AB上三点，且AC=12CD，E为BD的中点，DE=15AB=2 cm，则CE的长为            cm． 【举一反三4】已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CD=6 cm，求线段MC的长． 【题型3】线段的定义及表示方法 【典型例题】下列说法错误的是(　　) A.直线AB和直线BA表示同一条直线 B.过一点可以作无数条直线 C.线段AB和线段BA表示同一条线段 D.直线AB比射线AB长 【举一反三1】如图，下列说法正确的是(　　) A.点O在射线AB上 B.点B是直线AB的一个端点 C.射线OB和射线AB是同一条射线 D.点A在线段OB上 【举一反三2】下列语句正确的是(　　) A.延长线段AB到C，使BC＝AC B.反向延长线段AB，得到射线BA C.取射线AB的中点 D.连接A、B两点，使线段AB过点C 【举一反三3】在图中有(　　) A.3条直线 B.3条射线 C.3条线段 D.以上都不对 【举一反三4】延长线段AB到点C，下列说法中正确的是(　　) A.点C在线段AB上 B.点C在直线AB上 C.点C不在直线AB上 D.点C在直线AB的延长线上 【题型4】有关射线的问题 【典型例题】下列说法错误的是(　　) A.直线AB和直线BA表示同一条直线 B.过一点能作无数条直线 C.射线AB和射线BA表示不同射线 D.射线比直线短 【举一反三1】如图，下列语句描述正确的是(　　) A.点O在直线AB上 B.点B是直线AB的一个端点 C.点O在射线AB上 D.射线AO和射线OA是同一条射线 【举一反三2】下列结论正确的是(　　) A.直线比射线长 B.一条直线就是一个平角 C.过三点中的任两点一定能作三条直线 D.经过两点有且只有一条直线 【举一反三3】下列说法正确的是(　　) A.直线AB＝2 cm B.射线AB＝3 cm C.直线AB与直线BA是同一条直线 D.射线AB与射线BA是同一条射线 【举一反三4】若平面内有4个点，过其中任意两点画射线，最多可以画______条． 【举一反三5】平面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有__________条． 【举一反三6】若平面内有4个点，过其中任意两点画射线，最多可以画______条． 【举一反三7】平面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有__________条． 【题型5】确定线段 【典型例题】如图，图中共有_______条线段．(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三1】在同一直线上有若干个点，若构成的射线共有20条，则构成的线段共有(　　) A.10条 B.20条 C.45条 D.90条 【举一反三2】如图，线段AD上有两点B，C，则图中共有线段(　　) A.三条 B.四条 C.五条 D.六条 【举一反三3】如图，线段AD上有两点B，C，则图中共有线段(　　) A.三条 B.四条 C.五条 D.六条 【举一反三4】如图，图中共有_______条线段．(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三5】一条直线上有n个不同的点，则该直线上共有线段            条． 【举一反三6】如图，图(1)中含有1条线段，图(2)中含有3条线段，图(3)中含有6条线段，则接下去的图(4)中应含有_______条线段，第(10)图中应含有________条线段． 【举一反三7】如图，点A，B，C，D，E在线段MN上，则图中共有 　   　条线段． 【举一反三8】如图，点C，D，E都在线段AB上，以图中的A，B，C，D，E为端点的线段共有______________条． 【题型6】线段的实际应用问题 【典型例题】往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备(　　)种不同的车票． A.4 B.8 C.10 D.20 【举一反三1】往返于A、B两地的客车，中途停靠3个站，每两个站间的票价均不相同，需准备(　　)种车票． A.10 B.20 C.6 D.12 【举一反三2】火车往返于A，B两个城市，中途经过5个站点(共7个站点)，不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有 　    　种不同的车票． 【举一反三3】往返于A、B两个城市的客车，中途有C、D、E三个停靠点 (1)该客车有多少种不同的票价？ (2)该客车上要准备多少种车票？ 【题型7】作线段(尺规作图) 【典型例题】如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD=AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，点B，C，D依次在射线AP上，根据图示，下列线段长度错误的是(　　) A.AD＝2a B.BC＝a－b C.BD＝a－b D.AC＝2a－b 【举一反三2】只用无刻度直尺就能作出的是　　 A.延长线段AB至C，使BC=AB B.过直线l上一点A作l的垂线 C.作线段的中点 D.从点O 再经过点P作射线OP 【举一反三3】如图，点B，C，D依次在射线AP上，根据图示，下列线段长度错误的是(　　) A.AD＝2a B.BC＝a－b C.BD＝a－b D.AC＝2a－b 【举一反三4】如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD=AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三5】已知：线段a、b，求作：线段AD，使线段AD＝a+2b．(利用直尺与圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹) 【举一反三6】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a，b. 求作：线段AB，使AB＝a+b. 【题型8】几何语言与几何图形的互化 【典型例题】下列说法中正确的是(　　) A.射线AB和射线BA是同一条射线 B.延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的 C.延长直线AB D.经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线 【举一反三1】如图，下列说法正确的是(　　) A.图中共有5条线段 B.直线AB与直线AC是指同一条直线 C.射线AB与射线BA是指同一条射线 D.点O在直线AC上 【举一反三2】根据语句“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是( ) A. B. C. D. 【举一反三3】下列语句表示的图形是(只填序号). ①三条直线两两相交，交点分别为A、B、C．_________． ②已知点A、B、C，画直线AB、射线AC，连接BC．_________． ③以线段AB上一点C为端点画射线._________． 【举一反三4】按要求作图：平面上有A，B，C三点，如图所示，画直线AC，射线BC，线段AB，在射线BC上取点D，使BD=AB． 【题型9】直线的性质及应用 【典型例题】经过两点可以画(　　)直线． A.三条 B.两条 C.一条 D.不确定 【举一反三1】下列说法中错误的是(　　) A.过一点可以画无数条直线 B.过已知三点可以画一条直线 C.一条直线通过无数个点 D.两点确定一条直线 【举一反三2】平面上有三点，经过每两点作一条直线，则能作出的直线的条数是(　　) A.1条 B.3条 C.1条或3条 D.以上都不对 【举一反三3】在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三4】植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，理由是(　　) A.两点确定一条直线 B.两点间距离的定义 C.两点之间，线段最短 D.因为省事 【举一反三5】如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺_________(填是或者不是)直的，判断依据是　                               　． 【举一反三6】过一个已知点可以画            条直线，过两点可以画            条直线，过三点            画直线．(选填“能”“不能”或“不一定能”) 【举一反三7】工人师傅在用方砖铺地时，常常打两个木桩，然后沿着拉紧的线铺砖，这样地砖就铺得整齐，这个事实说明的原理是            ． 【题型10】点与直线及直线与直线间的关系 【典型例题】平面上有三点，经过每两点作一条直线，则能作出的直线的条数是(　　) A.1条 B.3条 C.1条或3条 D.以上都不对 【举一反三1】如图，在方格纸中，点A，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直线上的三个点有(　　) A.3组 B.4组 C.5组 D.6组 【举一反三2】平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【举一反三3】画一条直线同时经过点A和点B，这样的直线可以画______条． 【举一反三4】用适当的语句表述图中点与直线的关系．(至少4句) 【举一反三5】如图1，经过平面上的两个点可以画一条直线，如图2，图3，经过平面上三个点中任意两个点画直线，一共可以画一条或三条直线．那么经过平面上四个点中任意两个点画直线，一共可以画几条直线？请画图说明． 【题型11】直线、射线、线段的区别与联系 【典型例题】关于直线，射线，线段的描述正确的是(　　) A.直线最长，线段最短 B.射线是直线长度的一半 C.直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点 D.直线、射线及线段的长度都不确定 【举一反三1】已知A、B、C、D依次是直线AD上的4个不同点，则下列说法正确的是(　　) A.线段AD与线段BC是两条相同线段 B.直线AD与直线BC是两条不同直线 C.射线AB于射线AD是两条相同射线 D.射线BC于射线BD是两条里不同射线 【举一反三2】探索规律： (1)若直线l上有2个点，则射线有            条，线段有            条； (2)若直线l上有3个点，则射线有            条，线段有           条； (3)若直线l上有4个点，则射线有            条，线段有            条； (4)若直线l上有n个点，则射线有            条，线段有            条． 【举一反三3】如图所示，共有直线            条，射线            条，线段            条． 【举一反三4】如图平面上有四个点，过其中每两个点画一条直线，可以画几条直线？在画出的图形中共有几条线段？几条射线？ 【题型12】两点的距离 【典型例题】如果线段AB=6，点C在直线AB上，BC=4，D是AC的中点，那么A、D两点间的距离是(　　) A.5 B.2.5 C.5或2.5 D.5或1 【举一反三1】从点O引两条射线OA、OB，在OA、OB上分别截取OM=1 cm，ON=1 cm，则M、N两点间的距离一定(　　) A.不小于1 cm B.大于1 cm C.等于1 cm D.有最大值2 cm 【举一反三2】如果线段AB=4 cm，BC=3 cm，那么A、C两点的距离为(　　) A.1 cm B.7 cm C.1 cm或7 cm D.无法确定 【举一反三3】已知A、B两点之间的距离是10 cm，C是线段AB上的任意一点，则AC中点与BC中点间距离是(　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.不能计算 【题型13】直线的定义及表示方法 【典型例题】下列各图中直线的表示法正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】数轴是一条(　　) A.射线 B.直线 C.线段 D.以上都是 【举一反三2】关于直线，下列说法正确的是(　　) A.可以量长度 B.有两个的端点 C.可以用两个小写字母来表示 D.没有端点 【举一反三3】下列各图中直线的表示法正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三4】如图，水平的直线可以表示为__________，也可以表示为_________；竖直的直线可以表示为_________，也可以表示为_________． 【举一反三5】图中共有            条直线． 【举一反三6】图中有　　　　　条直线． 【举一反三7】如图，水平的直线可以表示为__________，也可以表示为_________；竖直的直线可以表示为_________，也可以表示为_________． 【题型14】射线的定义及表示方法 【典型例题】日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于几何中的(　　) A.折线 B.直线 C.射线 D.线段 【举一反三1】如图，下列不正确的说法是(　　) A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.线段AB与线段BA是同一条线段 C.射线OA与射线AB是同一条射线 D.射线OA与射线OB是同一条射线 【举一反三2】下列各图中，表示“射线CD”的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图所示，A、B、C是同一直线上的三点，下面说法正确的是(　　) A.射线AB与射线BA是同一条射线 B.射线AB与射线BC是同一条射线 C.射线AB与射线AC是同一条射线 D.射线BA与射线BC是同一条射线 【举一反三4】如图，下列不正确的说法是(　　) A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.线段AB与线段BA是同一条线段 C.射线OA与射线AB是同一条射线 D.射线OA与射线OB是同一条射线 【举一反三5】如图，点C为直线AB外一点，作射线AC，连结BC，则图中共含有 　   　条射线． 【举一反三6】如图，反向延长射线OA得射线            ． 【举一反三7】如图，能用图中字母表示的射线有            条． 【举一反三8】如图，点C为直线AB外一点，作射线AC，连结BC，则图中共含有 　   　条射线． 【题型15】线段的基本性质及应用 【典型例题】如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是(　　) A.两直线相交只有一个交点 B.两点确定一条直线 C.经过一点有无数条直线 D.两点之间，线段最短 【举一反三1】如图，从A到B最短的路线是(　　) A.A﹣G﹣E﹣B B.A﹣C﹣E﹣B C.A﹣D﹣G﹣E﹣B D.A﹣F﹣E﹣B 【举一反三2】如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是            ． 【举一反三3】如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和(OA+OB+OC+OD)最小，并说出理由． 【举一反三4】如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由． 【题型16】线段的和与差 【典型例题】已知在同一直线上有A，B，C三个点，且AB＝3，BC＝2，则AC的长为(　　) A.5 B. C.5或1 D.或1 【举一反三1】平面上有A、B、C三点，已知AB＝8 cm，BC＝5 cm，则AC的长是(　　) A.13 cm B.3 cm C.13 cm或3 cm D.不能确定 【举一反三2】平面上有三点A，B，C，如果AB=8，AC=5，BC=3，下列说法正确的是(　　) A.点C在线段AB上 B.点C在线段AB的延长线上 C.点C在直线AB外 D.点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外 【举一反三3】如图1，一段绳子上一点满足，将这段绳子对折，使与重合(如图2)，再沿点剪断，使原绳子分成三段． (1)若，则剪断后最短的绳子长度为      ； (2)若分成的三段绳子的长度之比为，则      ．    【举一反三4】一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖正好对着直尺刻度约为5.6 cm处，另一端正好对着直尺刻度约为20.6 cm处，则水笔的中点位置对着的直尺刻度约为__________cm． 【举一反三5】已知线段AB＝12，在AB上有C、D、M、N四点，且AC：CD：DB＝1：2：3．AM＝AC，DN＝BD，求线段MN的长． 【题型17】线段n等分点的有关计算 【典型例题】如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长为(　　) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 【举一反三1】如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝2AB；④AB＋BC＝AC，能表示B是AC中点的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】已知线段AB，延长AB到C，使BC=AB，D为AC的中点，若AB=9 cm，则DC的长为　　． 【举一反三3】已知在数轴上点A，B，C所表示的数分别为，x，8，其中点B是AC的三等分点，则x的值是______． 【举一反三4】如图，线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，使得，求的长． 【举一反三5】如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点． (1)如果AB＝12 cm，AM＝5 cm，求BC的长； (2)如果MN＝8 cm，求AB的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1线段、射线、直线 讲解目录 【知识点1】两点间的距离 1 【知识点2】线段的性质：两点之间线段最短 2 【知识点3】直线的性质：两点确定一条直线 2 【知识点4】比较线段的长短 2 【知识点5】线段的和差 2 【知识点6】直线、射线、线段 2 【题型1】线段的比较大小 3 【题型2】与线段有关的综合问题 4 【题型3】线段的定义及表示方法 6 【题型4】有关射线的问题 8 【题型5】确定线段 11 【题型6】线段的实际应用问题 13 【题型7】作线段(尺规作图) 14 【题型8】几何语言与几何图形的互化 17 【题型9】直线的性质及应用 19 【题型10】点与直线及直线与直线间的关系 21 【题型11】直线、射线、线段的区别与联系 23 【题型12】两点的距离 25 【题型13】直线的定义及表示方法 26 【题型14】射线的定义及表示方法 28 【题型15】线段的基本性质及应用 31 【题型16】线段的和与差 33 【题型17】线段n等分点的有关计算 36 知识讲解 【知识点1】两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 【知识点2】线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 【知识点3】直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．           简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 【知识点4】比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC=BC，C为AB中点，AC=AB，AB=2AC，D 为CB中点，则CD=DB=CB=AB，AB=4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 【知识点5】线段的和差 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 【知识点6】直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 题型专练 【题型1】线段的比较大小 【典型例题】七年级一班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条最长的绳子，请你为他们选择一种合适的方法(　　) A.把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳 B.把两条绳子接在一起 C.把两条绳子重合，观察另一端情况 D.没有办法挑选 【答案】A 【举一反三1】有不在同一直线上的两条线段AB和CD，李明很难判断出他们的长短，因此他借助于圆规，操作如图所示，由此可得出(　　) A.AB＝CD B.AB＞CD C.AB＜CD D.无法确定 【答案】B 【解析】∵AB＝AD(CD)+BD， ∴AB＞CD， 故选：B． 【举一反三2】如图，已知点C，D在线段AB上．嘉嘉：若AD＞BC，则AC＞BD；淇淇：若AC＞BD，则AD＞BC，下列判断正确的是(　　) A.两人均正确 B.两人均不正确 C.只有嘉嘉正确 D.只有淇淇正确 【答案】A 【解析】∵AC+CD＝AD，BD+CD＝BC， ∴若AD＞BC，则AC＞BD；若AC＞BD，则AD＞BC， 即嘉嘉和淇淇两人均正确， 故选：A． 【举一反三3】如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是(　　) A.AC＝BD B.AC＜BD C.AC＞BD D.不能确定 【答案】A 【解析】因为AB＝CD，AB＝AC＋CB，CD＝BD＋CB，所以AC＝BD. 【举一反三4】有不在同一直线上的两条线段AB和CD，李明很难判断出他们的长短，因此他借助于圆规，操作如图所示，由此可得出(　　) A.AB＝CD B.AB＞CD C.AB＜CD D.无法确定 【答案】B 【解析】∵AB＝AD(CD)+BD， ∴AB＞CD， 故选：B． 【题型2】与线段有关的综合问题 【典型例题】下列说法中，正确的有(　　)个. ①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离； ③两点之间，线段最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点； ⑤射线AB和射线BA是同一条射线；⑥直线有无数个端点． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】A 【解析】①过两点有且只有一条直线，正确，②连接两点的线段叫做两点间的距离，不正确，应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，③两点之间，线段最短，正确，④若AB=BC，则点B是线段AC的中点，不正确，只有点B在AC上时才成立，⑤射线AB和射线BA是同一条射线，不正确，端点不同，⑥直线有无数个端点．不正确，直线无端点．共2个正确，故选A． 【举一反三1】下列说法中，错误的是(　　) A.过两点有且只有一条直线 B.两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离 C.两点之间，线段最短 D.在线段、射线、直线中直线最长 【答案】D 【解析】A.过两点有且只有一条直线，说法正确； B.两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离，说法正确； C.两点之间，线段最短，说法正确； D.在线段、射线、直线中直线最长，说法错误；故选D． 【举一反三2】下列说法： ①连接两点间的线段叫做这两点间的距离； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点之间，线段最短； ③若，则点是的中点； ④若，，，则有．其中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】①连接两点间的线段的长度叫做这两点间的距离，故①错误； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点确定一条直线，故②错误； ③若在线段上，，则点是的中点，故③错误； ④若，，，，，则有．故④正确； 故选：A． 【举一反三3】如图，C、D、E为线段AB上三点，且AC=12CD，E为BD的中点，DE=15AB=2 cm，则CE的长为            cm． 【答案】6 【解析】∵DE=15AB=2 cm，∴AB=2×5=10，∵E为BD的中点，∴BD=2DE=2×2=4 cm，∴AD=AB-BD=10-4=6 cm，∵AC=CD，∴CD=AD=×6=4 cm，∴CE=CD+DE=4+2=6 cm．故答案为：6． 【举一反三4】已知：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=2：4：3，M是AD的中点，CD=6 cm，求线段MC的长． 【答案】解 由AB：BC：CD=2：4：3，设AB=2x cm，BC=4x cm，CD=3x cm，则CD=3x=6，解得x=2． 因此，AD=AB+BC+CD=2x+4x+3x=18(cm)．因为点M是AD的中点， 所以DM=AD=×18=9(cm)．MC=DM-CD=9-6=3(cm)． 【题型3】线段的定义及表示方法 【典型例题】下列说法错误的是(　　) A.直线AB和直线BA表示同一条直线 B.过一点可以作无数条直线 C.线段AB和线段BA表示同一条线段 D.直线AB比射线AB长 【答案】D 【解析】A．直线AB和直线BA是同一条直线，故此项正确，不符合题意； B．过一点可以作无数条直线，故此项正确，不符合题意； C．线段AB和线段BA是同一条线段，故此项正确，不符合题意； D．直线和射线都是不可度量的，因此不能比较大小，故此项错误，符合题意． 故选：D． 【举一反三1】如图，下列说法正确的是(　　) A.点O在射线AB上 B.点B是直线AB的一个端点 C.射线OB和射线AB是同一条射线 D.点A在线段OB上 【答案】D 【解析】A.点O不在射线AB上，点O在射线BA上，故此选项错误； B.点B是线段AB的一个端点，故此选项错误； C.射线OB和射线AB不是同一条射线，故此选项错误； D.点A在线段OB上，故此选项正确． 故选：D． 【举一反三2】下列语句正确的是(　　) A.延长线段AB到C，使BC＝AC B.反向延长线段AB，得到射线BA C.取射线AB的中点 D.连接A、B两点，使线段AB过点C 【答案】B 【解析】A.延长线段AB到C，使BC＝AC，不可以做到，故本选项错误； B.反向延长线段AB，得到射线BA，故本选项正确； C.取射线AB的中点，错误，射线没有中点，故本选项错误； D.连接A、B两点，并使线段AB经过C点，若A、B、C三点不共线则做不到，故本选项错误． 故选：B． 【举一反三3】在图中有(　　) A.3条直线 B.3条射线 C.3条线段 D.以上都不对 【答案】C 【解析】根据图象可知，图中有一条直线，8条射线，3条线段， 故选：C． 【举一反三4】延长线段AB到点C，下列说法中正确的是(　　) A.点C在线段AB上 B.点C在直线AB上 C.点C不在直线AB上 D.点C在直线AB的延长线上 【答案】B 【解析】A.点C在线段AB上，说法错误； B.点C在直线AB上，说法正确； C.点C不在直线AB上，说法错误； D.点C在直线AB的延长线上，说法错误；故选B． 【题型4】有关射线的问题 【典型例题】下列说法错误的是(　　) A.直线AB和直线BA表示同一条直线 B.过一点能作无数条直线 C.射线AB和射线BA表示不同射线 D.射线比直线短 【答案】D 【解析】直线AB和直线BA表示同一条直线，A选项正确； 过一点能作无数条直线，B选项正确； 射线AB和射线BA表示不同射线，C选项正确； 射线、直线都是无限长的，不能比较长短，D错误． 故选：D． 【举一反三1】如图，下列语句描述正确的是(　　) A.点O在直线AB上 B.点B是直线AB的一个端点 C.点O在射线AB上 D.射线AO和射线OA是同一条射线 【答案】A 【解析】A.点O在直线AB上，故此选项符合题意； B.点B是线段AB的一个端点，故此选项不符合题意； C.点O不在射线AB上，点O在射线BA上，故此选项不符合题意； D.射线OA和射线AO不是同一条射线，故此选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三2】下列结论正确的是(　　) A.直线比射线长 B.一条直线就是一个平角 C.过三点中的任两点一定能作三条直线 D.经过两点有且只有一条直线 【答案】D 【解析】A.直线比射线长，直线与射线都是无限长不能比较，故本选项错误， B.一条直线就是一个平角，角必须有顶点，故本选项错误， C.过三点中的任两点一定能作三条直线，前提是三点不在同一条直线上，故本选项错误， D.经过两点有且只有一条直线，故本选项正确． 故选：D． 【举一反三3】下列说法正确的是(　　) A.直线AB＝2 cm B.射线AB＝3 cm C.直线AB与直线BA是同一条直线 D.射线AB与射线BA是同一条射线 【答案】C 【解析】A.直线无限长，选项说法错误，不符合题意； B.射线无限长，选项说法错误，不符合题意； C.直线AB与直线BC是同一条直线，选项说法正确，符合题意； D.射线AB与射线BA不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三4】若平面内有4个点，过其中任意两点画射线，最多可以画______条． 【答案】12 【解析】设平面内这4个点分别为A，B，C，D， 过任意两点画射线则有，射线AB，射线BA，射线AC，射线CA，射线AD，射线DA，射线BC，射线CB，射线BD，射线DB，射线CD，射线DC，共12条． 故答案为：12． 【举一反三5】平面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有__________条． 【答案】12 【解析】如图，过一个端点可以作3条射线，同理，过其它3个端点都可以作3条射线，所以，射线共有3×4=12．故答案为：12． 【举一反三6】若平面内有4个点，过其中任意两点画射线，最多可以画______条． 【答案】12 【解析】设平面内这4个点分别为A，B，C，D， 过任意两点画射线则有，射线AB，射线BA，射线AC，射线CA，射线AD，射线DA，射线BC，射线CB，射线BD，射线DB，射线CD，射线DC，共12条． 故答案为：12． 【举一反三7】平面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有__________条． 【答案】12 【解析】如图，过一个端点可以作3条射线，同理，过其它3个端点都可以作3条射线，所以，射线共有3×4=12．故答案为：12． 【题型5】确定线段 【典型例题】如图，图中共有_______条线段．(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】图中线段有线段AC，线段AB，线段BC，共有3条线段． 故选：C． 【举一反三1】在同一直线上有若干个点，若构成的射线共有20条，则构成的线段共有(　　) A.10条 B.20条 C.45条 D.90条 【答案】C 【解析】∵同一直线上有若干个点，若构成的射线共有20条，∴这条直线上共有10个点，∴构成的线段条数：=45，故选C． 【举一反三2】如图，线段AD上有两点B，C，则图中共有线段(　　) A.三条 B.四条 C.五条 D.六条 【答案】D 【解析】由图得，图中的线段有：AB，BC，CD，AC，BD，AD，一共6条． 故答案为：D. 【举一反三3】如图，线段AD上有两点B，C，则图中共有线段(　　) A.三条 B.四条 C.五条 D.六条 【答案】D 【解析】由图得，图中的线段有：AB，BC，CD，AC，BD，AD，一共6条． 故答案为：D. 【举一反三4】如图，图中共有_______条线段．(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】图中线段有线段AC，线段AB，线段BC，共有3条线段． 故选：C． 【举一反三5】一条直线上有n个不同的点，则该直线上共有线段            条． 【答案】n(n-1) 【解析】当直线上有三个不同点，共有线段3条，当直线上有四个不同的点，共有线段6条，所以一条直线上有n个不同的点时共有线段n(n-1)条，故答案为：n(n-1). 【举一反三6】如图，图(1)中含有1条线段，图(2)中含有3条线段，图(3)中含有6条线段，则接下去的图(4)中应含有_______条线段，第(10)图中应含有________条线段． 【答案】10；55 【解析】图(1)中含有1条线段，图(2)中含有3条线段，即3=1+2，图(3)中含有6条线段，即6=1+2+3，以此类推．图(4)中有1+2+3+4=10(条)线段；第(10)图中有1+2+3+…+10==55(条)线段．故答案为10，55． 【举一反三7】如图，点A，B，C，D，E在线段MN上，则图中共有 　   　条线段． 【答案】21 【解析】可以根据公式计算，＝21． 故答案为：21． 【举一反三8】如图，点C，D，E都在线段AB上，以图中的A，B，C，D，E为端点的线段共有______________条． 【答案】10 【解析】图中的线段有：线段AB，线段AC，线段AD，线段AE，线段BC，线段BD，线段BE，线段CD，线段CE，线段DE，线段共10条． 故答案为：10． 【题型6】线段的实际应用问题 【典型例题】往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备(　　)种不同的车票． A.4 B.8 C.10 D.20 【答案】D 【解析】如图所示，A、E两点代表甲、乙两地，中途停靠的三站分别是B、C、D， ∴不同的线段数就是车票的种类， 从甲到乙的线段有：AB，AC，AD，AE；BC，BD，BE；CD，CE；DE； ∴4+3+2+1＝10(种)， ∵往返车票不同， ∴需要准备车票种类：10×2＝20(种)． 故选：D． 【举一反三1】往返于A、B两地的客车，中途停靠3个站，每两个站间的票价均不相同，需准备(　　)种车票． A.10 B.20 C.6 D.12 【答案】B 【解析】此题相当于一条线段上有3个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：4+3+2+1＝10； ∴有10种不同的票价； ∵车票是要考虑顺序的， ∴需准备20种车票， 故选：B． 【举一反三2】火车往返于A，B两个城市，中途经过5个站点(共7个站点)，不同的车站来往需要不同的车票，则这条路线共有 　    　种不同的车票． 【答案】42 【解析】n个车站每两站之间车票有两种，则n个车站的票的种类数＝n(n﹣1)种， 当n＝7时，n(n﹣1)＝7×6＝42(种)． 故答案为：42． 【举一反三3】往返于A、B两个城市的客车，中途有C、D、E三个停靠点 (1)该客车有多少种不同的票价？ (2)该客车上要准备多少种车票？ 【答案】解 (1)根据线段的定义： 可以转化成线段图形， 可知图中共有线段有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB共10条， 则有10种不同的票价； (2)因车票需要考虑方向性，例如“A→B”与“B→A”， 虽然票价相同，但车票不同， 故需要准备20种车票． 【题型7】作线段(尺规作图) 【典型例题】如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD=AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得：D是线段CE的中点，AB=CD， ∴CD=DE，即选项A正确； AB=CE=CD=DE,即B、D正确，C错误． 故答案为C． 【举一反三1】如图，点B，C，D依次在射线AP上，根据图示，下列线段长度错误的是(　　) A.AD＝2a B.BC＝a－b C.BD＝a－b D.AC＝2a－b 【答案】C 【解析】A项，因为AB＝BD＝a，所以AD＝AB＋BD＝a＋a＝2a，故A选项正确； B项，因为BD＝a，CD＝b，所以BC＝BD－CD＝a－b，故B选项正确； C项，由图示可知，BD＝a，故C选项错误； D项，因为AB＝BD＝a，CD＝b，所以AC＝AB＋BD－CD＝2a－b， 故D选项正确． 【举一反三2】只用无刻度直尺就能作出的是　　 A.延长线段AB至C，使BC=AB B.过直线l上一点A作l的垂线 C.作线段的中点 D.从点O 再经过点P作射线OP 【答案】D 【解析】使用的是无刻度的直尺， 作图时不能作出，所以A不能选； 过直线上一点作的垂线时， 要有直角， 或量角器、 圆规， 只用直尺是不能作出垂线的， 所以不能选B； 作线段的中点，需要测量， 只用无刻度直尺是做不出的， 所以不能选C； 从点再经过点作射线，可以只用无刻度直尺就能作出； 故选：D． 【举一反三3】如图，点B，C，D依次在射线AP上，根据图示，下列线段长度错误的是(　　) A.AD＝2a B.BC＝a－b C.BD＝a－b D.AC＝2a－b 【答案】C 【解析】A项，因为AB＝BD＝a，所以AD＝AB＋BD＝a＋a＝2a，故A选项正确； B项，因为BD＝a，CD＝b，所以BC＝BD－CD＝a－b，故B选项正确； C项，由图示可知，BD＝a，故C选项错误； D项，因为AB＝BD＝a，CD＝b，所以AC＝AB＋BD－CD＝2a－b， 故D选项正确． 【举一反三4】如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD=AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得：D是线段CE的中点，AB=CD， ∴CD=DE，即选项A正确； AB=CE=CD=DE,即B、D正确，C错误． 故答案为C． 【举一反三5】已知：线段a、b，求作：线段AD，使线段AD＝a+2b．(利用直尺与圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹) 【答案】如图所示，线段AD即为所求： 【举一反三6】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a，b. 求作：线段AB，使AB＝a+b. 【答案】解 线段AB就是所求的线段． 【题型8】几何语言与几何图形的互化 【典型例题】下列说法中正确的是(　　) A.射线AB和射线BA是同一条射线 B.延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的 C.延长直线AB D.经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线 【答案】D 【解析】A.射线用两个大写字母表示时，端点字母写在第一个位置，所以射线AB和射线BA不是同一条射线，此选项错误； B.延长线段AB是按照从A到B的方向延长的，而延长线段BA是按照从B到A的方向延长的，意义不相同，故此选项错误； C.直线本身就是无限长的，不需要延长，故此选项错误； D.根据直线的公理可知：两点确定一条直线，故此选项正确．故选D． 【举一反三1】如图，下列说法正确的是(　　) A.图中共有5条线段 B.直线AB与直线AC是指同一条直线 C.射线AB与射线BA是指同一条射线 D.点O在直线AC上 【答案】B 【解析】图中有线段AB、AC、BC、AO、OB、OC，共6条故A错误；直线表示方法是用直线上两个点表示，没有先后顺序，故B正确；射线表示方法是端点字母在前，故C错误；根据点与直线关系可得D错误． 【举一反三2】根据语句“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是： 故选：B． 【举一反三3】下列语句表示的图形是(只填序号). ①三条直线两两相交，交点分别为A、B、C．_________． ②已知点A、B、C，画直线AB、射线AC，连接BC．_________． ③以线段AB上一点C为端点画射线._________． 【答案】①(2) ②(1) ③(3) 【解析】①三条直线两两相交，交点分别为A、B、C，图形(2)符合；②已知点A、B、C，画直线AB、射线AC，连接BC，图形(1)符合；③以线段AB上一点C为端点画射线，图形(3)符合．故答案为：(2)，(1)，(3)． 【举一反三4】按要求作图：平面上有A，B，C三点，如图所示，画直线AC，射线BC，线段AB，在射线BC上取点D，使BD=AB． 【答案】解：如图所示： 【题型9】直线的性质及应用 【典型例题】经过两点可以画(　　)直线． A.三条 B.两条 C.一条 D.不确定 【答案】C 【解析】由两点确定一条直线可得，经过两点可以画一条直线， 故选：C． 【举一反三1】下列说法中错误的是(　　) A.过一点可以画无数条直线 B.过已知三点可以画一条直线 C.一条直线通过无数个点 D.两点确定一条直线 【答案】B 【解析】A.过一点可以画无数条直线，此选项正确，不符合题意； B.过不在一条直线上的三点不能画一条直线，此选项不正确，符合题意； C.一条直线通过无数个点，此选项正确，不符合题意； D.两点确定一条直线，此选项正确，不符合题意．故选B． 【举一反三2】平面上有三点，经过每两点作一条直线，则能作出的直线的条数是(　　) A.1条 B.3条 C.1条或3条 D.以上都不对 【答案】C 【解析】分两种情况：①三点在同一直线上时，只能作出一条直线；②三点不在同一直线上时，每两点可作一条，共3条． 【举一反三3】在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧； “弯曲公路改值”，可以用“两点之间线段最短”来解释，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释． ∴这些现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有1个． 故选：A． 【举一反三4】植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，理由是(　　) A.两点确定一条直线 B.两点间距离的定义 C.两点之间，线段最短 D.因为省事 【答案】A 【解析】由两点确定一条直线可得，经过两点可以画一条直线， 故选：A． 【举一反三5】如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺_________(填是或者不是)直的，判断依据是　                               　． 【答案】不是；两点确定一条直线 【解析】∵甲尺是直的，两尺拼在一起两端重合， ∴甲尺经校订是直的，那么乙尺就一定不是直的， 判断依据是：两点确定一条直线． 故答案为：不是，两点确定一条直线． 【举一反三6】过一个已知点可以画            条直线，过两点可以画            条直线，过三点            画直线．(选填“能”“不能”或“不一定能”) 【答案】无数条；1；不一定能 【解析】过一个已知点可以画无数条条直线，过两点可以画1条直线，过三点不一定能画直线，因为只有三点在一条直线上时可以画一条直线，否则无法过三点画直线．故答案为：无数条，1，不一定能． 【举一反三7】工人师傅在用方砖铺地时，常常打两个木桩，然后沿着拉紧的线铺砖，这样地砖就铺得整齐，这个事实说明的原理是            ． 【答案】经过两点有且只有一条直线 【题型10】点与直线及直线与直线间的关系 【典型例题】平面上有三点，经过每两点作一条直线，则能作出的直线的条数是(　　) A.1条 B.3条 C.1条或3条 D.以上都不对 【答案】C 【解析】①当三点在同一直线上时，只能作出一条直线； ②三点不在同一直线上时，每两点可作一条，共3条； 故选：C． 【举一反三1】如图，在方格纸中，点A，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直线上的三个点有(　　) A.3组 B.4组 C.5组 D.6组 【答案】C 【解析】如图，在方格纸中，点A，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直线上的三个点有5组， 即①A、B、C；②E、H、C；③D、E、F；④B、E、K；⑤D、H、K； 故选：C． 【举一反三2】平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定(1+2+3)条直线，不同5点最多可确定(1+2+3+4)条直线，因为1+2+3+4+5+6+7=28，所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线．故选C． 【举一反三3】画一条直线同时经过点A和点B，这样的直线可以画______条． 【答案】1 【解析】画一条直线同时经过点A和点B，这样的直线可以画1条． 故答案为：1． 【举一反三4】用适当的语句表述图中点与直线的关系．(至少4句) 【答案】解 点A在直线l上，点B在直线l上，直线l 经过A、B两点，点P在直线l外． 【举一反三5】如图1，经过平面上的两个点可以画一条直线，如图2，图3，经过平面上三个点中任意两个点画直线，一共可以画一条或三条直线．那么经过平面上四个点中任意两个点画直线，一共可以画几条直线？请画图说明． 【答案】解 分三种情况讨论： ①如图1，当四点在同一直线上时，可以画1条直线； ②如图2，当只有三点在同一直线上时，可以画4条直线； ③如图3，当任意三个点都不在同一直线上，可以画6条直线； 综上所述，过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画1条、4条或6条直线． 【题型11】直线、射线、线段的区别与联系 【典型例题】关于直线，射线，线段的描述正确的是(　　) A.直线最长，线段最短 B.射线是直线长度的一半 C.直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点 D.直线、射线及线段的长度都不确定 【答案】C 【解析】A.直线没有长度，故本选项错误； B.射线和直线都能无限延伸，是没有长度的，故本选项错误； C.直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点，故本选项正确； D.线段的长度可以确定，故本选项错误．故选C． 【举一反三1】已知A、B、C、D依次是直线AD上的4个不同点，则下列说法正确的是(　　) A.线段AD与线段BC是两条相同线段 B.直线AD与直线BC是两条不同直线 C.射线AB于射线AD是两条相同射线 D.射线BC于射线BD是两条里不同射线 【答案】C 【解析】A.线段AD与线段BC是两条不相同线段，故本选项错误； B.直线AD与直线BC是同一条直线，故本选项错误； C.射线AB于射线AD是两条相同射线，故本选项正确； D.射线BC于射线BD是两条相同射线，故本选项错误．故选C． 【举一反三2】探索规律： (1)若直线l上有2个点，则射线有            条，线段有            条； (2)若直线l上有3个点，则射线有            条，线段有           条； (3)若直线l上有4个点，则射线有            条，线段有            条； (4)若直线l上有n个点，则射线有            条，线段有            条． 【答案】(1)4;1 (2)6;3 (3)8;6 (4)2n;. 【解析】(1)如图所示： 射线有4条，线段有1条； (2)如图所示： 射线有6条，线段有3条； (3)如图所示： 射线有8条，线段有6条； (4)综合以上可得：直线l上有n个点，则射线有2n条，线段有条． 【举一反三3】如图所示，共有直线            条，射线            条，线段            条． 【答案】2；7；6 【解析】线段有：线段AB、线段AD、线段BD、线段BC、线段AC、线段CD；射线有：射线DB、射线AB、射线BC、射线CB、射线AC、射线CA、射线DC；直线有：直线BC、直线AC．即共有6条线段，共有7条射线，共有2条直线．故答案为：2、7、6． 【举一反三4】如图平面上有四个点，过其中每两个点画一条直线，可以画几条直线？在画出的图形中共有几条线段？几条射线？ 【答案】解：6条直线，6条线段，12条射线. 【题型12】两点的距离 【典型例题】如果线段AB=6，点C在直线AB上，BC=4，D是AC的中点，那么A、D两点间的距离是(　　) A.5 B.2.5 C.5或2.5 D.5或1 【答案】D 【解析】本题有两种情形：(1)当点C在线段AB上时，如图： AC=AB-BC，又∵AB=6 cm，BC=4 cm，∴AC=6-4=2 cm，D是AC的中点，∴AD=1 cm； (2)当点C在线段AB的延长线上时，如图： AC=AB+BC，又∵AB=6 cm，BC=4 cm，∴AC=6+4=10 cm，D是AC的中点， ∴AD=5 cm．故选D． 【举一反三1】从点O引两条射线OA、OB，在OA、OB上分别截取OM=1 cm，ON=1 cm，则M、N两点间的距离一定(　　) A.不小于1 cm B.大于1 cm C.等于1 cm D.有最大值2 cm 【答案】D 【解析】只有OA、OB在一条直线(方向相反)时，MN有最大值，为2 cm,其余情况因为两点之间，线段最短，都小于2 cm,故选D. 【举一反三2】如果线段AB=4 cm，BC=3 cm，那么A、C两点的距离为(　　) A.1 cm B.7 cm C.1 cm或7 cm D.无法确定 【答案】D 【解析】(1)当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论．①点B在A、C之间时，AC=AB+BC=4+3=7 cm；②点C在A、B之间时，AC=AB-BC=4-3=1 cm．所以A、C两点间的距离是7 cm或1 cm．(2)当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能．故选D． 【举一反三3】已知A、B两点之间的距离是10 cm，C是线段AB上的任意一点，则AC中点与BC中点间距离是(　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.不能计算 【答案】C 【解析】如图所示： ∵AB=10 cm，点D、E分别是线段AC，BC的中点， ∴DE=DC+CE=AC+BC=(AC+BC)=AB=×10=5 cm．故答案为：C． 【题型13】直线的定义及表示方法 【典型例题】下列各图中直线的表示法正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据直线的表示方法可得直线AB正确． 故选：B． 【举一反三1】数轴是一条(　　) A.射线 B.直线 C.线段 D.以上都是 【答案】B 【解析】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线，故选B． 【举一反三2】关于直线，下列说法正确的是(　　) A.可以量长度 B.有两个的端点 C.可以用两个小写字母来表示 D.没有端点 【答案】D 【解析】直线没有端点，能无限延伸，不可以测量，故A、B、C错误， 故选：D． 【举一反三3】下列各图中直线的表示法正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据直线的表示方法可得直线AB正确． 故选：B． 【举一反三4】如图，水平的直线可以表示为__________，也可以表示为_________；竖直的直线可以表示为_________，也可以表示为_________． 【答案】直线AO；直线m；直线BO；直线n 【举一反三5】图中共有            条直线． 【答案】3 【解析】根据直线式向两方无限延伸的，图中的直线有：直线AO、直线CO、直线AC，共3条．故答案为：3． 【举一反三6】图中有　　　　　条直线． 【答案】2 【解析】图中的直线有2条直线． 故答案为：2． 【举一反三7】如图，水平的直线可以表示为__________，也可以表示为_________；竖直的直线可以表示为_________，也可以表示为_________． 【答案】直线AO；直线m；直线BO；直线n 【题型14】射线的定义及表示方法 【典型例题】日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于几何中的(　　) A.折线 B.直线 C.射线 D.线段 【答案】C 【解析】手电筒发射出来的光线，给我们的感觉是手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，故给我们的感觉是射线． 故选：C． 【举一反三1】如图，下列不正确的说法是(　　) A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.线段AB与线段BA是同一条线段 C.射线OA与射线AB是同一条射线 D.射线OA与射线OB是同一条射线 【答案】C 【解析】A.直线AB与直线BA是同一条直线，故本选项不符合题意； B.线段AB和线段BA是同一条线段，故本选项不符合题意； C.射线OA与射线AB不是同一条射线，故本选项符合题意； D.射线OA与射线OB是同一条射线，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】下列各图中，表示“射线CD”的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】观察图形可知，表示“射线CD”的是 故选：B． 【举一反三3】如图所示，A、B、C是同一直线上的三点，下面说法正确的是(　　) A.射线AB与射线BA是同一条射线 B.射线AB与射线BC是同一条射线 C.射线AB与射线AC是同一条射线 D.射线BA与射线BC是同一条射线 【答案】C 【解析】A.由图形可知，射线AB与射线BA不是同一条射线，故A选项不符合题意； B.由图形可知，射线BA与射线BC不是同一条射线，故B选项不符合题意； C.由图形可知，射线AB与射线AC是同一条射线，故C选项符合题意； D.由图形可知，直线BA与直线BC不是同一条直线，故D选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三4】如图，下列不正确的说法是(　　) A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.线段AB与线段BA是同一条线段 C.射线OA与射线AB是同一条射线 D.射线OA与射线OB是同一条射线 【答案】C 【解析】A.直线AB与直线BA是同一条直线，故本选项不符合题意； B.线段AB和线段BA是同一条线段，故本选项不符合题意； C.射线OA与射线AB不是同一条射线，故本选项符合题意； D.射线OA与射线OB是同一条射线，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三5】如图，点C为直线AB外一点，作射线AC，连结BC，则图中共含有 　   　条射线． 【答案】6 【解析】由图可得，图中共含有射线6条：以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以C为端点的射线有1条． 故答案为：6． 【举一反三6】如图，反向延长射线OA得射线            ． 【答案】OE 【举一反三7】如图，能用图中字母表示的射线有            条． 【答案】5 【解析】图中可以表示的射线有AC、CB、CD、DB、BD共5条． 【举一反三8】如图，点C为直线AB外一点，作射线AC，连结BC，则图中共含有 　   　条射线． 【答案】6 【解析】由图可得，图中共含有射线6条：以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以C为端点的射线有1条． 故答案为：6． 【题型15】线段的基本性质及应用 【典型例题】如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是(　　) A.两直线相交只有一个交点 B.两点确定一条直线 C.经过一点有无数条直线 D.两点之间，线段最短 【答案】D 【解析】将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短． 故选：D． 【举一反三1】如图，从A到B最短的路线是(　　) A.A﹣G﹣E﹣B B.A﹣C﹣E﹣B C.A﹣D﹣G﹣E﹣B D.A﹣F﹣E﹣B 【答案】D 【解析】根据图形，从A地到B地，一定要经过E点且必须经过线段EB， 所以只要找出从A到E的最短路线，根据“两点之间线段最短“的结论，从A到E的最短路线是线段AE，即A﹣F﹣E，所以从A地到B地最短路线是A﹣F﹣E﹣B． 故选：D． 【举一反三2】如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是            ． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】∵蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处有多条爬行线路，只有AC是直线段，∴沿AC爬行一定是最短路线，其数学道理是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短． 【举一反三3】如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和(OA+OB+OC+OD)最小，并说出理由． 【答案】解 要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC、BD的交点． 理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，那么PA+PC＞AC， 即PA+PC＞OA+OC， 同理，PB+PD＞OB+OD， ∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD， 即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小． 【举一反三4】如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由． 【答案】解 如图，连接AC、BD，其交点即H的位置．根据两点之间线段最短，可知到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，理由：如果任选H′点(如图)，由三角形三边关系定理可知，HA+HB+HC+HD=AC+BD＜H′A+H′B+H′C+H′D． 【题型16】线段的和与差 【典型例题】已知在同一直线上有A，B，C三个点，且AB＝3，BC＝2，则AC的长为(　　) A.5 B. C.5或1 D.或1 【答案】C 【解析】如图1， AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1； 如图2， AC＝AB+BC＝3+2＝5， 所以AC的长为5或1． 故选：C． 【举一反三1】平面上有A、B、C三点，已知AB＝8 cm，BC＝5 cm，则AC的长是(　　) A.13 cm B.3 cm C.13 cm或3 cm D.不能确定 【答案】D 【解析】①三点在一条直线上时， AC＝AB+BC＝8+5＝13(cm)或AC＝AB﹣BC＝8﹣5＝3(cm)； ②三点不在一条直线上时， 由三角形三边的关系可知：AB﹣AC＜BC＜AB+AC， 即3＜BC＜13． 综合以上可知只要答案D符合要求． 故选：D． 【举一反三2】平面上有三点A，B，C，如果AB=8，AC=5，BC=3，下列说法正确的是(　　) A.点C在线段AB上 B.点C在线段AB的延长线上 C.点C在直线AB外 D.点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外 【答案】A 【解析】如图： 从图中我们可以发现AC+BC=AB，所以点C在线段AB上．故选A. 【举一反三3】如图1，一段绳子上一点满足，将这段绳子对折，使与重合(如图2)，再沿点剪断，使原绳子分成三段． (1)若，则剪断后最短的绳子长度为      ； (2)若分成的三段绳子的长度之比为，则      ．    【答案】(1) 2 (2)16或1 【解析】(1)由题意得：， 剪断后最短的绳子长度为2， 故答案为：2. (2)设， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，或1， 故答案为：16或1. 【举一反三4】一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖正好对着直尺刻度约为5.6 cm处，另一端正好对着直尺刻度约为20.6 cm处，则水笔的中点位置对着的直尺刻度约为__________cm． 【答案】13.1 【解析】∵这支水笔的长约是20.6﹣5.6＝15(cm)， ∴水笔的中点位置对着的直尺刻度约是5.6+×15＝13.1(cm)． 故答案为：13.1． 【举一反三5】已知线段AB＝12，在AB上有C、D、M、N四点，且AC：CD：DB＝1：2：3．AM＝AC，DN＝BD，求线段MN的长． 【答案】解 当C点在线段AB上： ∵AB＝12，AC：CD：DB＝1：2：3， ∴AC＝×12＝2，CD＝×12＝4，DB＝×12＝6， ∴AM＝AC＝1，DN＝BD＝， ①当点N在点D右侧时，如图1，MN＝MC+CD+DN＝2﹣1+4+＝； ②当点N在点D左侧时，如图2，MN＝MC+CD﹣DN＝2﹣1+4﹣＝． 综上所述，线段MN的长为或． 【题型17】线段n等分点的有关计算 【典型例题】如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长为(　　) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 【答案】B 【举一反三1】如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝2AB；④AB＋BC＝AC，能表示B是AC中点的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】AB＝AC，AB＝BC，AC＝2AB能说明点B是AC中点，而AB＋BC＝AC不能说明． 【举一反三2】已知线段AB，延长AB到C，使BC=AB，D为AC的中点，若AB=9 cm，则DC的长为　　． 【答案】6 cm 【解析】∵BC=AB，AB=9 cm， ∴BC=3 cm，AC=AB+BC=12 cm， 又因为D为AC的中点，所以DC=AC=6 cm． 故答案为：6 cm． 【举一反三3】已知在数轴上点A，B，C所表示的数分别为，x，8，其中点B是AC的三等分点，则x的值是______． 【答案】0或4 【解析】∵点B是AC的三等分点， ∴或， ∵点A，B，C所表示的数分别为，x，8， ∴，， 则或， 解得或， 故答案为：0或4． 【举一反三4】如图，线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，使得，求的长． 【答案】解：∵M是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【举一反三5】如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点． (1)如果AB＝12 cm，AM＝5 cm，求BC的长； (2)如果MN＝8 cm，求AB的长． 【答案】解 (1)∵点M是线段AC的中点， ∴AC＝2AM， ∵AM＝5 cm， ∴AC＝10 cm， ∵AB＝12 cm， ∴BC＝AB﹣AC＝2 cm； (2)∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点， ∴BC＝2NC，AC＝2MC， ∵MN＝NC+MC＝8 cm， ∴AB＝BC+AC＝2MN＝2×8＝16 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$