精品解析：陕西省延安市2025-2026学年上学期九年级数学开学收心检测卷

2025~2026学年度第一学期开学收心检测卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解． 【详解】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了公因式，找出系数和字母部分的最大公约数即可． 【详解】解：多项式的公因式为． 故选：A． 3. 如图，A，B两点被池塘隔开，过点A，B分别作直线，相交于点C，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点D，E分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 4. 如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，根据题意得到平分，进而求解即可． 【详解】∵，，且 ∴平分 ∴． 故选：A． 5. 解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、均为常数，且）的图象经过、两点，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是正确解答此题的关键． 根据图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数（、均为常数，且）的图象经过、两点， ∵当时，一次函数的图象在x轴上方 ∴的解集是． 故选：B． 7. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【详解】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 8. 如图，在中，平分，交于点，且，连接，延长与交于点，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义可得，进而可得，然后结合已知条件可得，于是可判断②；根据等边三角形的性质可得，然后根据即可证明，从而可判断①；由与等底（）等高（与间的距离相等）可得，进而可判断④；若=，则根据等腰三角形的性质和平行线的性质得，但题中未限定这一条件，从而可判断③不一定正确；于是可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；故②正确； ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵与等底（）等高（与间的距离相等）， ∴，故④正确． ∵ ∴ 若，则， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 但题中未限定这一条件， ∴③不一定正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的分母不为零． 根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：； 故答案为： 10. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是___________边形． 【答案】九 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；设这个多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】设这个多边形的边数是n，则有， 化简得， 解得， 这个多边形是九边形． 故答案为：九． 11. 若是一个完全平方式，则a的值为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构，明确中间项与首尾两项的关系，进而列方程求解． 先确定完全平方式的首尾项：首项和尾项的底数；再根据中间项等于首项底数x尾项底数，列出关于的方程；最后解方程得到的两个值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴中间项，即． 当时，，，解得； 当时，，，解得． 故答案为：或． 12. 如图，将沿直线方向平移到的位置（点A、B、C的对应点分别是点、、），延长、相交于点D．若，则的度数为______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质(平移前后对应线段平行)及平行线的性质(两直线平行，同旁内角互补)，解题的关键是根据平移性质得出对应线段平行，再利用平行线性质结合已知角度求的度数． 由平移性质可知,平移后对应线段；与平行，故与组成内错角，根据两直线平行内错角相等，即可求出． 【详解】解：∵沿直线方向平移得到， ∴(平移的性质：平移前后对应线段平行)． 即， ∴． 故答案为：． 13. 不等式的正整数解有________个． 【答案】2 【解析】 【分析】先解不等式，再找到符合的正整数即可得到答案； 【详解】解：解不等式得：， ∴正整数解为：，两个， 故答案为：2； 【点睛】本题考查解不等式的正整数解，解题的关键是熟练掌握不等式的性质，求出不等式的解． 14. 如图，在四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上，过点作交的延长线于点，连接，已知，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再证明，即可得，，即有为等腰直角三角形，即可得，问题随之得解． 【详解】解：根据旋转有：，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法和平方差公式的应用，解题的关键是先将式子中不同形式的公因式（与）转化为相同形式，再提取公因式，最后利用平方差公式分解彻底． 先观察式子，发现，将其代入原式，使两项都含有公因式；再提取公因式，得到含平方差形式的式子；最后利用平方差公式进一步分解，确保因式分解彻底． 【详解】解： 故答案为：． 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得 检验：当时，， ∴是原方程的解． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出将向上平移个单位长度后得到的，点、、的对应点分别为点、、； （2）画出将绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出点的坐标，点、、的对应点分别为点、、． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 、、 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，平移作图，掌握旋转和平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 解不等式： ，并把解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示不等式组的解集如下： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由得：， 解得：， 由得：， 解得：， 在数轴上表示不等式组的解集如下： 不等式组的解集为：． 19. 如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线． 【答案】证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，先证明为等边三角形，可得，进一步解答即可. 【详解】略 20. 如图，的对角线与相交于点，，求的周长． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ． ， 的周长为． 故答案为：17． 21. 如图，有一块五边形模具，现要在模具内部设计一个孔，使得孔到边、边的距离相等，且孔到点的距离与孔到点的距离相等，请你找出孔的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【解析】 【分析】根据到角两边相等的点在角的平分线上，到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到点为的角平分线和线段的中垂线的交点，利用尺规作角平分线和垂线的方法，作图即可． 【详解】略 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】先通分括号内的分式，再将除法变为乘法进行化简计算，最后代入求值即可． 【详解】原式， 当，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，正确化简分式是解题的关键． 23. 如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后由面积法求出的长即可． 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 24. 为庆祝我国“春节中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． （1）求该店两次购进这款窗花各多少个？ （2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 【答案】（1）该店第一次购进这款窗花个，第二次购进这款窗花个 （2）每个窗花的售价至少为元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设该店第一次购进这款窗花个，则第二次购进这款窗花个，根据“每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元”列出方程，解出，进行解答，即可； （2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：设该店第一次购进这款窗花个，则第二次购进这款窗花个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：该店第一次购进这款窗花个，第二次购进这款窗花个； 【小问2详解】 解：设每个窗花的售价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个窗花的售价至少为元． 25. 在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解；②求的最值．”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程： 小明的解答： 小丽的解答： 无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为 （1）根据小明的解答，将因式分解； （2）根据小丽的解答，求代数式的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）仿照小明的解答把原式化为：，再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照小丽的思考把原式化为，再利用偶次方的非负性解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为. 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，过点作于点，，则的面积等于多少？ 【延伸拓展】 （2）如图2，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，以为边在右侧作等边，连接． ①求证：为等边三角形； ②若，求四边形的面积． 【答案】 （1） （2）①证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； ② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，由平行四边形的面积公式计算即可； （2）①根据等边三角形的性质可证，，结合等边三角形的判定即可求解； ②根据题意可证四边形是平行四边形，如图所示，过点作于点，则，由等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到的长，结合平行四边形的面积即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴平行四边形的面积为； （2）①略 ②∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴，， ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的判的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合运用，合理作图是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期开学收心检测卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，A，B两点被池塘隔开，过点A，B分别作直线，相交于点C，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2或 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、均为常数，且）的图象经过、两点，则的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，交于点，且，连接，延长与交于点，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是______． 10. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是___________边形． 11. 若是一个完全平方式，则a的值为______． 12. 如图，将沿直线方向平移到的位置（点A、B、C的对应点分别是点、、），延长、相交于点D．若，则的度数为______． 13. 不等式的正整数解有________个． 14. 如图，在四边形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上，过点作交的延长线于点，连接，已知，则的长度为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 分解因式：． 16. 解分式方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出将向上平移个单位长度后得到的，点、、的对应点分别为点、、； （2）画出将绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出点的坐标，点、、的对应点分别为点、、． 18. 解不等式： ，并把解集在如图所示的数轴上表示出来． 19. 如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线． 20. 如图，的对角线与相交于点，，求的周长． 21. 如图，有一块五边形模具，现要在模具内部设计一个孔，使得孔到边、边的距离相等，且孔到点的距离与孔到点的距离相等，请你找出孔的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点，若，，求的长． 24. 为庆祝我国“春节中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． （1）求该店两次购进这款窗花各多少个？ （2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 25. 在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解；②求的最值．”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程： 小明的解答： 小丽的解答： 无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为 （1）根据小明的解答，将因式分解； （2）根据小丽的解答，求代数式的最小值． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，过点作于点，，则的面积等于多少？ 【延伸拓展】 （2）如图2，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，以为边在右侧作等边，连接． ①求证：为等边三角形； ②若，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $