山西省临汾第一中学校2025-2026学年高三上学期数学周测（四）

临汾一中2025-2026学年高三第一学期数学周测（四） 数学试题 （考试时间：150分钟；总分：150分） 一、单选题 1．若复数z满足，则（    ） A． B．1 C．3 D．25 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则（    ） A．14 B．30 C．42 D．60 5．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 7．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D．对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 10．下列命题为真命题的是（    ）． A． B． C． D． 11．如图，棱长为2的正方体，O为底面ABCD的中心，E为棱的中点，M是线段上的动点，P为平面内的动点，则下列说法正确的是（    ）． A．平面 B． C．的最小值为 D．OP的最小值为 三、填空题 12．已知向量，满足，，则     ． 13．的展开式中的系数为 （用数字作答）． 14．45°和30°的直角三角板拼成如图所示的平面四边形，连接交于，记和的面积分别为，，则 ． 四、解答题 15．某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： (1)求的值； (2)以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值； (3)若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 16．在多面体中，为平行四边形，平面，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)已知多面体的体积为，求与平面所成角的正弦值. 17．已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式. (2)从下面①②中任选一个作为条件，求数列的前n项和． ①；②． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 18．如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积. （3）在（2）的条件下证明：为定值. 19．已知函数的导函数为． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，求实数的取值范围； (3)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《临汾一中2025-2026学年高三第一学期数学周测（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B B D C A ABD BCD 题号 11 答案 BCD 12．  13． 14． 11．选项A中，分别取，中点，，连接、，，可知， 又因为，所以，所以平面不成立，选项A错误； 选项B中，取中点，连接，，，所以， 因为正方体，所以面， 因为平面，所以，即； 因为，，所以， ，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，故，选项B成立； 选项C中，要求的最小值，面，面， 这两个三角形和都是边长为的正三角形， 将它们置入同一平面可以得到平行四边形，为中点， 在中，由余弦定理可得， ∴，选项C成立； 选项D中，垂直平面时的值最小， 又到平面的距离等于到平面距离的， 设正四面体的高等于， 因为，即， 即，解得， 正四面体的高等于，所以的最小值为．选项D成立； 故选：BCD． 14．解法一 ： 设． 在中，由，得． 在中，由，，得． 记，在中，由正弦定理得． 在中，由，得． 由得， 化简得，故，， 所以． 解法二： 由解法一知，． 如图1，取的中点，连接，易知． 由得，又，所以， 则． 又，所以， 所以． 解法三： 以所在直线分别为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则直线：，令，得，， 所以，， 所以． 故答案为：. 15．（1）根据题意有：，解得：. （2）若以每一组数据的中间值为代表，估计本次考试的平均成绩为： . （3）根据频率分布直方图可知，全校同学中成绩在，，各段的同学人数比例为，所以样本中三段分数的同学人数为1人，3人，4人 所以随机变量的可取值为0，1，2，3 ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . 16．（1）证明：因为平面且面，所以， 又因为，可得 因为且面，则平面 又因平面面，所以平面平面. （2）解：因为，由（1）可知三棱锥中，由面， 则解得， 由（1）可知，，两两相互垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图所示 由（1）可知，，可得， 则， 设面的法向量，则， 令，可得，所以， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17．（1）因为①，故得②， ①－②得，得． 在中，令，得， 又，所以，解得，所以， 故，而，故是以2为首项、2为公比的等比数列， 所以． （2）若选①： 由（1）知，所以， 则， ， 两式相减，得：， 所以． 若选②： 由（1）知，所以， 则 ． 18．（1）∵､是椭圆的两个顶点，且，直线的斜率为， 由，，得， 又，解得，， ∴椭圆的方程为； （2）证明：直线的方程为，即，将其代入， 消去，整理得. 设，. ∴，. 记的面积是，的面积是. 由题意，， ∵， ∴， ∵，. ∴的面积等于的面积； （3）证明：由（2）知，，，， ∴， ， ， . 19．（1）当时，，则， 所以，则， 所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）由题知，， 因为有三个不同的零点， 所以方程有三个不等实根， 化简可得方程有三个不等实根， 即可看成直线与曲线有三个不同的交点， ， 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图1所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为． （3）由题知，，其定义域为， 则， 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图2所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以， 不妨设，则， 所以，所以 所以 ， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又， 所以，所以在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$