2.2直线的方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§2.2 直线的方程 目录 题型1：直线的方程及辨析 5 题型2：直线图像的辨析 9 题型3：直线过定点问题 12 题型4：由直线的一般式方程判断直线的位置关系 15 题型5：由直线的位置关系求参数 18 题型6：求直线方程 21 1. 直线的点斜式方程 如果直线经过点，且斜率为.设是直线上不同于点的任意一点，因为直线直线的斜率为，由斜率公式得，即. 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 两种特殊情况： (1) 当直线的倾斜角为90°时,由于没有意义,直线没有斜率，这时直线与轴垂直,它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线上每一点的横坐标都等于,所以它的方程是,即． (2) 当直线的倾斜角为时,,即,这时直线与轴平行或重合,直线的方程是,即． 2. 直线的斜截式方程 如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即. 我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，k和b均有明显的几何意义:k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. (1) 当时，表示过原点的直线；当时，表示与x轴平行的直线;当且时，表示x轴. (2) 根据斜率和截距的几何意义判断k,b的正负时,直线一直线呈上升趋势;直线呈下降趋势;直线呈水平状态。直线与y轴的交点在x轴上方;直线与y轴的交点在x轴下方;直线过原点. (3) 方程中的b叫作直线在y轴上的截距.直线在y轴上的截距是指直线与y轴的交点的纵坐标，简称纵截距.类似地，直线在x轴上的截距是指直线与x轴的交点的横坐标,简称横截距. 3. 直线的两点式方程 若直线经过两点，（），则直线的斜率.由直线的点斜式方程得. 当，方程可以写成，这就是经过两点，（其中，）的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． (1) 在，中，如果，，则直线没有两点式方程.当时，直线垂直于x轴，直线方程为,即；当时，直线垂直于y轴，直线方程为,即. (2) 把直线的两点式方程化为，则该直线可以表示过平面任意不同两点，的直线． 4. 直线的截距式方程 已知直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），由直线的两点式方程得，即. 我们把直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线在两条坐标轴上的截距a与b确定，我们把方程叫做直线的截距式方程，简称截距式. (1) 若直线在两条坐标轴上的截距相等,则或直线过原点,故常设此直线方程为x+y=a或y=kx. (2) 若直线方程为,则直线与两条坐标轴围成的三角形的周长为，直线与两条坐标轴围成的三角形的面积为. 5. 直线的一般式方程 方程和都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示.我们把关于的二元一次方（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. (1) 平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. (2) 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线.特别地，当时，它表示垂直于轴的直线;当时，,方程可变形为,它表示过点，且垂直于轴的直线. 6. *直线的参数方程 如图，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x，y)是直线l上的任意一点，则向量与共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数，使，即 ，所以① 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x，y)，存在唯一实数t使①成立;反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x，y)，我们把①称为直线的参数方程. 如果直线l与坐标轴不垂直，那么mn≠0，由①可得，消去参数t，得，即，这样就得到了直线l的点斜式方程. 特别地,当直线的倾斜角为,则直线l的一个方向向量为,于是直线l的参数方程为 (t为参数). 由于为单位向量,因此t的几何意义为向量的模. 题型1：直线的方程及辨析 方法提炼 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与轴垂直的直线 (1) 已知斜率； (2) 已知一点. 斜截式 不能表示与轴垂直的直线 (1) 已知在轴上的截距； (2) 已知斜率. 两点式 不能表示与轴、轴垂直的直线 已知两个定点. 截距式 不能表示与轴垂直、轴垂直、过原点的直线 已知两个非零截距. 一般式 （不全为0） 无局限性，能表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程. 【例1.1.】 若方程表示一条直线，则实数满足（    ） A． B． C．，， D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】由题意与不同时为零，由此即可得解. 【详解】当时，或，当时，或， 若方程表示一条直线， 则与不同时为零，所以. 故选：D. 【例1.2.】 （多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 【例1.3.】 （多选）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、求直线的方向向量（平面中） 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 【例1.4.】 已知直线经过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】根据直线在轴上的截距的取值范围利用两点间斜率公式计算可得结果. 【详解】如下图所示： 易知点与点之间的斜率为， 当在轴上的截距的取值范围为时，直线的斜率的取值范围； 点点与点之间的斜率为， 当在轴上的截距的取值范围为时，直线的斜率的取值范围； 综上可知直线的斜率的取值范围为. 故选：C 【例1.5.】 （多选）下列说法中，正确的有（ ） A．直线在轴的截距是2 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量是，则直线的斜率是 D．点在直线上，直线方程为． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、求直线的方向向量（平面中）、直线斜率的定义 【分析】A选项，根据截距的定义判断；B选项，先求出直线斜率，根据斜率和倾斜角关系求解；C选项，根据方向向量的定义判断；D选项，根据点在直线上，代入条件，化简判断. 【详解】A选项，取，则，即直线在轴的截距是，A选项错误； B选项，直线化为，直线的斜率是， 设倾斜角为，则，，B选项正确； C选项，根据方向向量的定义可知其正确； D选项，点在直线上，则，即， 直线可化为，D选项正确. 故选：BCD 题型2：直线图像的辨析 方法提炼 设直线的一般方程为，则直线的图像特征与方程中的系数关系情况： (1) 当时，直线平行于轴. (2) 当时，直线平行于轴. (3) 当时，直线与轴重合. (4) 当时，直线与轴重合. (5) 当时，有 【例2.1.】 （多选）已知直线l的方程是（A，B不同时为0），则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则直线l过定点 C．若且，则直线l不过第二象限 D．若，则直线l必过第二、三象限 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析 【分析】对于A：举例分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于CD：根据直线斜率和截距分析判断. 【详解】选项A：例如（x轴），可得，则，故A错误； 选项B：若，则， 当时，式子恒成立， 所以直线l过定点，故B正确； 选项C：若且，则，且， 即直线l的斜率大于0，纵截距小于0， 所以直线l经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确； 选项D：若，则，且， 即直线l的斜率不为0，横截距小于0， 所以直线l必过第二、三象限，故D正确； 故选：BCD． 【例2.2.】 直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线图象的辨析 【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第一象限时所满足的条件，解得结果. 【详解】若直线斜率不存在，即不经过第一象限， 若直线斜率存在，即， 所以， 综上实数的取值范围为， 故选：C. 【例2.3.】 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线图象的辨析 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 【例2.4.】 （多选）在同一平面直角坐标系中，直线和直线不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABCD 【难度】0.65 【知识点】直线图象的辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】先把方程化成斜截式，然后分别分析各选项中的斜率和纵截距，进而可求解. 【详解】由题意， A项，，，所以A项不可能； B项，，，两直线的纵截距相同，所以,两直线重合，所以B项不可能； C项，，，所以C项不可能； D项，，，所以D项不可能. 故选：ABCD． 【例2.5.】 在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线图象的辨析 【分析】结合直线的图像，利用直线的斜率与纵截距进行判断. 【详解】因为直线总在直线的上方，所以直线与直线平行，且直线在y轴上的截距必大于直线在y轴上的截距，所以，．故A，B，D错误. 故选：C. 题型3：直线过定点问题 方法提炼 (1) 直接法:将方程化为点斜式,其中k为参数,求得直线恒过定点(x0,y0)。 (2) 赋值法:因为参数可取任意实数,所以给参数任取两次值,得到关于x,y的二元一次方程组,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点。 (3) 分离参数法:将方程变形,把x,y作为参数的系数,即有参数的放在一起。没参数的放在一起,因为此式子对任意的参数的值都成立,所以需系数为零,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点。即整理成关于参数的方程,若直线过定点,则,其解就是动直线所过定点的坐标。 【例3.1.】 不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 【例3.2.】 已知直线，当k变化时，所有的直线恒过定点 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】整理可得，即可分析直线过定点. 【详解】因为直线，即为， 令，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为：. 【例3.3.】 已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意可知，，求出直线与两坐标轴的交点，，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程. 【详解】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知， 令，所以直线与轴的交点为， 令，所以直线与轴的交点为， 所以， 当且仅当即时取等，所以此时直线为：. 故选：C. 【例3.4.】 （多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（    ） A．B点的坐标为 B．为定值 C．最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、由斜率判断两条直线垂直、辅助角公式、基本不等式求积的最大值 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，基本不等式，以及三角函数辅助角求最值即可判断各选项. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点， 又因为，即， 恒过定点，故A选项正确； 由 和， 满足，所以，可得， 所以，故B选项正确； 而， 当且仅当时等号成立， 所以最大值为，故C错误； 因为，设，为锐角, 则， ， 所以，， 所以当时，取最大值，故选项D正确. 故选：ABD. 题型4：由直线的一般式方程判断直线的位置关系 方法提炼 设直线（不同时为0），（不同时为0）. (1) 且（时）或 （时）. (2) . 【例4.1.】 “”是“直线：与：平行”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】由两条直线的一般式方程平行的判定，结合充要条件的定义，对选项进行验证. 【详解】时，直线：即，与直线：平行，充分性成立； 直线：与：平行，有，解得或， 其中时，两直线重合，舍去，故，必要性成立. “”是“直线：与：平行”的充要条件. 故选：A. 【例4.2.】 若直线和直线的位置关系为 . 【答案】平行 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】将直线方程化为斜截式，利用两直线平行的判定判断即可. 【详解】直线即，直线即， 显然两直线斜率相等，纵截距不等， 故直线和直线的位置关系为平行. 故答案为：平行 【例4.3.】 已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】充分条件、已知直线垂直求参数、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】求出时，或，从而得到是的充分不必要条件. 【详解】当时，直线的斜率为，的斜率为， 又，所以，充分性成立； 直线，， 若，则有，解得或，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【例4.4.】 直线和直线的位置关系是 ． 【答案】相交（不垂直） 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】求得两直线斜率，根据两直线的斜率，即可判断两直线的位置关系. 【详解】由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 由于且，即两直线相交且不垂直， 故答案为：相交（不垂直） 【例4.5.】 （多选）已知直线，其中，则（　 ） A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析、由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题 【分析】计算直线斜率判断A；由平行求出参数值判断B；求出直线过的定点判断C；求出直线的截距判断D. 【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为， 因此当时，直线与直线垂直，A正确； 对于B，若直线与直线平行，则，解得或，B错误； 对于C，当时，，与无关，则直线过定点，C正确； 对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是，1，不相等，D错误. 故选：AC 题型5：由直线的位置关系求参数 方法提炼 直线方程 位置关系 重合 且 相交 平行 且 且（时）或 （时） 垂直 【例5.1.】 已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】直线和直线平行，则；若两直线垂直，则.根据这些结论分别判断每个论述的正确性即可. 【详解】对于直线和直线， 若两直线相交，则. 由可得. 解得且，所以（1）错误.   若，则. 由可得，即，解得或. 当时，即，，两直线重合. 同理，当，，,，满足题意，所以（2）错误.   由前面分析可知，当时，两直线平行，所以（3）正确.   若，则. 展开式子得，即，解得，所以（4）正确. 故正确的有（3）（4）. 故选：B. 【例5.2.】 已知直线与垂直，则（    ） A．0 B．0或 C． D．0或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直的条件，列出等式，即可求出结果. 【详解】因为，则有，解得或， 故选：B. 【例5.3.】 已知点，直线的方程为，若直线以为法向量，且点在直线上，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、已知直线垂直求参数 【分析】先根据直线方程求得直线所过定点，方法一由直线的法向量可求得直线的方向向量，结合直线的斜率公式解得参数；方法二由题意直接求出直线的点法式方程.再代入点解得参数. 【详解】直线的方程为，即，所以直线过定点． 方法一  则直线的一个方向向量的坐标为．又直线过定点， 且点在直线上，所以，解得． 方法二  又直线过定点，所以直线的方程为， 化简得．将点代入，得，解得． 故答案为：. 【例5.4.】 已知直线：和直线：，求分别满足下列条件的，的值. (1)直线过点，且直线和垂直； (2)若直线和平行，且直线在轴上的截距为. 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.94 【知识点】由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程 【分析】 （1）由两条直线垂直得，再利用直线过点，列出方程求解a，b； （2）由两条直线平行得a，b满足，再利用纵截距为-3解出a，b. 【详解】（1）由于直线和垂直，故， 又直线过点，故， 联立两式，解得，. 故有，. （2）由于直线和平行，故， 直线在轴上的截距为，则， 联立解得，. 故有，. 题型6：求直线方程 方法提炼 1. 待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法，但要注意选择形式; (1) 已知直线过某点,常设点斜式方程。此时,应讨论斜率是否存在。 (2) 已知直线的斜率,常设点斜式或斜截式方程。 (3) 已知截距,常设斜截式或截距式方程。此时应注意截距式不能表示垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 (4) 已知两点,常设两点式方程。注意两点式不能表示垂直于坐标轴的直线。 (5) 已知条件过少或难以利用时,可设直线的斜截式,但不要忘记讨论斜率是否存在。 (6) 若所求的是直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长,则应选用截距式方程。 2. 一般地,具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系,它的方程叫作直线系方程。直线系方程中除含有自变量x,y以外,还含有可以根据具体条件取不同值的变量,称为参变量,简称参数由于参数的属性不同,因此可得到不同的直线系方程。 (1) 平行直线系方程 ①斜率为k的直线系方程为y=kx+b(k为常数,b为参数)。 ②与定直线平行的直线系方程为(λ为参数,λ≠C)。 ③过点且平行于直线的直线系方程为。 (2) 垂直直线系方程 ①与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线系方程为(k≠0,m为参数)。 ②与定直线垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(λ为参数)。 ③过点,且垂直于直线的直线系方程为。 (3) 过两条直线交点的直线系方程 设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0）.我们将直线方程: (其中m,n为参数,且m+n≠0)称为经过直线 与交点的直线系方程。当m=1,n=0时,此方程即为直线的方程:当m=0,n=1时,此方程即为直线的方程。 【例6.1.】 根据下列条件求解直线的一般式方程． (1)直线的斜率为2，且经过点； (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； (3)经过两点，； (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4； (5)直线l经过点且与，两点的连线垂直. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）根据直线点斜式方程直接整理可得结果； （2）根据直线斜截式方程直接整理可得结果； （3）根据直线两点式方程直接整理可得结果； （4）根据直线截距式方程直接整理可得结果； （5）根据两点求出斜率，由垂直关系求出直线的斜率，根据直线点斜式方程求得结果； 【详解】（1）因为，且经过点，由直线的点斜式可得， 整理可得，所以直线的一般式方程为. （2）由直线的斜率，且在y轴上的截距为4. 故直线的斜截式为，整理可得直线的一般式方程为. （3）由直线的两点式可得， 整理得直线的一般式方程为. （4）由直线的截距式可得，整理得直线的一般式方程为. （5）因为，两点连线的斜率为， 所以直线l的斜率为，由直线的点斜式可得， 整理得直线l的一般式方程为. 【例6.2.】 分别求满足下列条件的直线的方程： (1)过点，且与直线平行； (2)过点，且与直线垂直； (3)过点，且与x轴垂直； (4)过点，且平行于过两点和的直线． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、由两条直线平行求方程 【分析】（1）由题意设直线方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可得直线方程， （2）由题意设直线方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可得直线方程， （3）由于直线垂直于x轴，所以斜率不存在，直接写直线方程， （4）由题意求出直线的斜率，再由点斜式可求得直线方程 【详解】（1）由题意设直线方程为， 因为直线过点， 所以，得， 所以所求直线方程为 （2）由题意设直线方程为， 因为直线过点， 所以，得， 所以所求直线方程为 （3）因为直线过点，且与x轴垂直， 所以所求直线方程为 （4）由题意可知所求直线的斜率为， 所以直线方程为，即 【例6.3.】 已知直线过点，______． 在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，③直线过点，且.这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． (1)求的方程； (2)若与在轴上的截距相等，且的斜率为3，求在轴上的截距． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)6 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】（1）选择①，求出直线斜率，由点斜式得直线方程；选择②，设直线的截距式方程，代入已知点坐标求解；选择③，由两点间距离公式求得点坐标，再由两点式得直线方程； （2）选择①②③后都是一样：求出直线在轴上截距，由点斜式得直线方程． 【详解】（1）选择①． 由题意可设直线的方程为，又直线的斜率是直线的斜率的2倍， 所以． 所以直线的方程为，即． 选择②． 由题意可设直线的方程为，又直线过点， 所以，解得． 所以直线的方程为，即． 选择③． 因为，所以，结合，可得． 直线过点，且过点，所以直线的方程为，即． （2）由（1）可知直线的方程为，令，可得， 所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为． 又因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，即． 因此直线在轴上的截距为6． 【例6.4.】 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 【例6.5.】 一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】先求出，进而由截距式写出直线方程. 【详解】因为为的中点，故, 则直线的截距式方程为. 故答案为： 【例6.6.】 已知直线l经过点，而且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点法向式方程 【分析】根据直线法向量利用待定系数法即可得到答案. 【详解】设为平面直角坐标系中任意一点， 则P在直线l上的充要条件是与垂直． 又因为，所以， 整理可得一般式方程为． 故选：D. 【例6.7.】 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】求出的重心和外心后可得欧拉线的方程. 【详解】的重心坐标为即， 中垂线的方程为：，中垂线的方程为：， 故外心坐标为，故欧拉线的方程为：， 整理得到：， 故选：C. 【例6.8.】 已知两直线和的交点为，则过两点，的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由直线的交点坐标求参数 【分析】根据题意得且，进而得答案. 【详解】解：因为两直线和的交点为， 所以且， 所以，在直线上， 所以过两点，的直线方程为 故答案为： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.2 直线的方程 目录 题型1：直线的方程及辨析 5 题型2：直线图像的辨析 6 题型3：直线过定点问题 8 题型4：由直线的一般式方程判断直线的位置关系 9 题型5：由直线的位置关系求参数 10 题型6：求直线方程 11 1. 直线的点斜式方程 如果直线经过点，且斜率为.设是直线上不同于点的任意一点，因为直线直线的斜率为，由斜率公式得，即. 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 两种特殊情况： (1) 当直线的倾斜角为90°时,由于没有意义,直线没有斜率，这时直线与轴垂直,它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线上每一点的横坐标都等于,所以它的方程是,即． (2) 当直线的倾斜角为时,,即,这时直线与轴平行或重合,直线的方程是,即． 2. 直线的斜截式方程 如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即. 我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，k和b均有明显的几何意义:k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. (1) 当时，表示过原点的直线；当时，表示与x轴平行的直线;当且时，表示x轴. (2) 根据斜率和截距的几何意义判断k,b的正负时,直线一直线呈上升趋势;直线呈下降趋势;直线呈水平状态。直线与y轴的交点在x轴上方;直线与y轴的交点在x轴下方;直线过原点. (3) 方程中的b叫作直线在y轴上的截距.直线在y轴上的截距是指直线与y轴的交点的纵坐标，简称纵截距.类似地，直线在x轴上的截距是指直线与x轴的交点的横坐标,简称横截距. 3. 直线的两点式方程 若直线经过两点，（），则直线的斜率.由直线的点斜式方程得. 当，方程可以写成，这就是经过两点，（其中，）的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． (1) 在，中，如果，，则直线没有两点式方程.当时，直线垂直于x轴，直线方程为,即；当时，直线垂直于y轴，直线方程为,即. (2) 把直线的两点式方程化为，则该直线可以表示过平面任意不同两点，的直线． 4. 直线的截距式方程 已知直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），由直线的两点式方程得，即. 我们把直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线在两条坐标轴上的截距a与b确定，我们把方程叫做直线的截距式方程，简称截距式. (1) 若直线在两条坐标轴上的截距相等,则或直线过原点,故常设此直线方程为x+y=a或y=kx. (2) 若直线方程为,则直线与两条坐标轴围成的三角形的周长为，直线与两条坐标轴围成的三角形的面积为. 5. 直线的一般式方程 方程和都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示.我们把关于的二元一次方（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. (1) 平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. (2) 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线.特别地，当时，它表示垂直于轴的直线;当时，,方程可变形为,它表示过点，且垂直于轴的直线. 6. *直线的参数方程 如图，设直线l经过点，是它的一个方向向量，P(x，y)是直线l上的任意一点，则向量与共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数，使，即 ，所以① 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x，y)，存在唯一实数t使①成立;反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x，y)，我们把①称为直线的参数方程. 如果直线l与坐标轴不垂直，那么mn≠0，由①可得，消去参数t，得，即，这样就得到了直线l的点斜式方程. 特别地,当直线的倾斜角为,则直线l的一个方向向量为,于是直线l的参数方程为 (t为参数). 由于为单位向量,因此t的几何意义为向量的模. 题型1：直线的方程及辨析 方法提炼 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与轴垂直的直线 (1) 已知斜率； (2) 已知一点. 斜截式 不能表示与轴垂直的直线 (1) 已知在轴上的截距； (2) 已知斜率. 两点式 不能表示与轴、轴垂直的直线 已知两个定点. 截距式 不能表示与轴垂直、轴垂直、过原点的直线 已知两个非零截距. 一般式 （不全为0） 无局限性，能表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程. 【例1.1.】 若方程表示一条直线，则实数满足（    ） A． B． C．，， D． 【例1.2.】 （多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【例1.3.】 （多选）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【例1.4.】 已知直线经过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （多选）下列说法中，正确的有（ ） A．直线在轴的截距是2 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量是，则直线的斜率是 D．点在直线上，直线方程为． 题型2：直线图像的辨析 方法提炼 设直线的一般方程为，则直线的图像特征与方程中的系数关系情况： (1) 当时，直线平行于轴. (2) 当时，直线平行于轴. (3) 当时，直线与轴重合. (4) 当时，直线与轴重合. (5) 当时，有 【例2.1.】 （多选）已知直线l的方程是（A，B不同时为0），则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则直线l过定点 C．若且，则直线l不过第二象限 D．若，则直线l必过第二、三象限 【例2.2.】 直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 （多选）在同一平面直角坐标系中，直线和直线不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【例2.5.】 在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型3：直线过定点问题 方法提炼 (1) 直接法:将方程化为点斜式,其中k为参数,求得直线恒过定点(x0,y0)。 (2) 赋值法:因为参数可取任意实数,所以给参数任取两次值,得到关于x,y的二元一次方程组,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点。 (3) 分离参数法:将方程变形,把x,y作为参数的系数,即有参数的放在一起。没参数的放在一起,因为此式子对任意的参数的值都成立,所以需系数为零,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点。即整理成关于参数的方程,若直线过定点,则,其解就是动直线所过定点的坐标。 【例3.1.】 不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知直线，当k变化时，所有的直线恒过定点 【例3.3.】 已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 （多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（    ） A．B点的坐标为 B．为定值 C．最大值为 D．的最大值为 题型4：由直线的一般式方程判断直线的位置关系 方法提炼 设直线（不同时为0），（不同时为0）. (1) 且（时）或 （时）. (2) . 【例4.1.】 “”是“直线：与：平行”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例4.2.】 若直线和直线的位置关系为 . 【例4.3.】 已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例4.4.】 直线和直线的位置关系是 ． 【例4.5.】 （多选）已知直线，其中，则（　 ） A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 题型5：由直线的位置关系求参数 方法提炼 直线方程 位置关系 重合 且 相交 平行 且 且（时）或 （时） 垂直 【例5.1.】 已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5.2.】 已知直线与垂直，则（    ） A．0 B．0或 C． D．0或 【例5.3.】 已知点，直线的方程为，若直线以为法向量，且点在直线上，则 ． 【例5.4.】 已知直线：和直线：，求分别满足下列条件的，的值. (1)直线过点，且直线和垂直； (2)若直线和平行，且直线在轴上的截距为. 题型6：求直线方程 方法提炼 1. 待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法，但要注意选择形式; (1) 已知直线过某点,常设点斜式方程。此时,应讨论斜率是否存在。 (2) 已知直线的斜率,常设点斜式或斜截式方程。 (3) 已知截距,常设斜截式或截距式方程。此时应注意截距式不能表示垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 (4) 已知两点,常设两点式方程。注意两点式不能表示垂直于坐标轴的直线。 (5) 已知条件过少或难以利用时,可设直线的斜截式,但不要忘记讨论斜率是否存在。 (6) 若所求的是直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长,则应选用截距式方程。 2. 一般地,具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系,它的方程叫作直线系方程。直线系方程中除含有自变量x,y以外,还含有可以根据具体条件取不同值的变量,称为参变量,简称参数由于参数的属性不同,因此可得到不同的直线系方程。 (1) 平行直线系方程 ①斜率为k的直线系方程为y=kx+b(k为常数,b为参数)。 ②与定直线平行的直线系方程为(λ为参数,λ≠C)。 ③过点且平行于直线的直线系方程为。 (2) 垂直直线系方程 ①与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线系方程为(k≠0,m为参数)。 ②与定直线垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(λ为参数)。 ③过点,且垂直于直线的直线系方程为。 (3) 过两条直线交点的直线系方程 设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0）.我们将直线方程: (其中m,n为参数,且m+n≠0)称为经过直线 与交点的直线系方程。当m=1,n=0时,此方程即为直线的方程:当m=0,n=1时,此方程即为直线的方程。 【例6.1.】 根据下列条件求解直线的一般式方程． (1)直线的斜率为2，且经过点； (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； (3)经过两点，； (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4； (5)直线l经过点且与，两点的连线垂直. 【例6.2.】 分别求满足下列条件的直线的方程： (1)过点，且与直线平行； (2)过点，且与直线垂直； (3)过点，且与x轴垂直； (4)过点，且平行于过两点和的直线． 【例6.3.】 已知直线过点，______． 在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，③直线过点，且.这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． (1)求的方程； (2)若与在轴上的截距相等，且的斜率为3，求在轴上的截距． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【例6.4.】 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【例6.5.】 一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 【例6.6.】 已知直线l经过点，而且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【例6.7.】 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【例6.8.】 已知两直线和的交点为，则过两点，的直线方程为 . 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